Lista 6

Sexta lista de exercício – Cálculo II – Física – 3MAT010
Equações diferenciais de segunda ordem não-homogêneas
Prof. Paulo Laerte Natti
Exercício 1: Obtenha a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas de
segunda ordem dadas abaixo
a)
y   7 y   0
b)
d2
dt
c)
e)
y   0
d2
dx 2
N ( x)  5
2
I (t )  20
d
I (t )  200 I (t )  0
dt
d) y   0
d
N ( x)  24 N ( x)  0
dx
f)
d2
d 2
R( )  5
d
R( )  0
d
g) y 4  9 y 2  20 y  0
Exercício 2: Obtenha a solução geral das equações diferenciais lineares não-homogêneas de
segunda ordem dadas abaixo
t
t
a) y  6 y  25 y  2 sen    cos  
2
2
c) y  6 y  25 y  50 t 3  36 t 2  63 t  18
e)
y   y   sec x
b) y  6 y  25 y  2 t e t
d) y  5 y  x  1sen x  x  1cos x
f) x  4 x  sen 2 2t
g)
y 4  x
Exercício 3: Um peso de 20N distende uma mola de 30cm. Se o peso move-se em um meio
d
cuja força amortecedora é  c y (t ) , c  0 , determine os valores de c para os quais o
dt
movimento é superamortecido, criticamente amortecido e subamortecido.
Exercício 4: Uma massa de 3,65 kg está suspensa por uma mola, distendendo-a de 0,39
metros além de seu comprimento natural. A massa é colocada em movimento, a partir de
sua posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de 1,22 m/s na direção para baixo.
Determine o movimento subseqüente da mola se a força devido à resistência do ar é de
0,91 x N .
Exercício 5: Considere um sistema massa-mola amortecido sujeito a uma força externa
periódica do tipo F sen  t onde F é constante. Este tipo de movimento é chamado
vibração amortecida forçada. Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento
do peso é
d2
c d
k
F
yt  
yt   yt   sen  t
2
m dt
m
m
dt
e que o deslocamento y (t ) do peso é dada por
yt   C1 cos  t  C2 sen  t  C3 sen  t
onde   k
m
e C3  F
m
2
 2
 .
Exercício 6: Descreva a posição y (t ) do centro de massa de um automóvel, o qual tem um
sistema de amortecimento composto de mola–fluido, ao passar por uma lombada com uma
velocidade constante v . Modele a lombada pela função
x
y1 t   y 0 sen 2   ,
L
onde L é o comprimento da lombada e y 0 é a sua altura máxima. Seja M a massa do
automóvel, K a constante elástica da mola associada a um sistema amortecedor de
constante de amortecimento  .
a) Qual a amplitude de oscilação do automóvel quando a sua velocidade é pequena?
b) Qual a amplitude de oscilação do automóvel quando a sua velocidade é muito grande?
c) Qual a amplitude de oscilação do automóvel quando a sua velocidade é
L
v
2
 K   2 
   
 M  M  
12
?
Referência: V. S. Bagnato, “O quebra-molas” Rev. Bras. Ens. 22, 422 (2000).
Exercício 7: Um circuito RLC ligado em série tem resistência R=180 ohms, capacitância
C=1/280 farads, indutância L=20 henries e uma tensão alternada aplicada E(t)=10 sen t .
Admitindo que não haja carga inicial no capacitor, mas uma corrente inicial de 1 ampère
quando a tensão é aplicada inicialmente.
a) Determine a carga no capacitor no instante t .
b) Determine a corrente que flui através deste circuito no instante t .
c) Determine a corrente de estado estacionário do circuito e discuta o resultado verificando
como C, L e R contribuem para esta corrente estacionária.
Exercício 8: Seja um cilindro de raio 10cm, altura 25cm e massa 7Kg flutuando em um
tanque cuja água tem densidade 1 quilograma por litro. Se ele é liberado com 20% do seu
comprimento acima da linha de equilíbrio, com uma velocidade de 1,52 m/s e dirigida para
baixo, determine uma expressão para o movimento do cilindro no instante t.