Lista 05: Oscilações 5.1 - Mostre que a equação diferencial do

Lista 05: Oscilações
5.1 - Mostre que a equação diferencial do oscilador harmônico satisfaz o princípio de superposição, ou seja,
mostre que a sin(ωt), b cos(ωt) e a sin(ωt) + b cos(ωt), a, b ∈ R, são soluções.
5.2 - Verifique que x(t) = A sin(ωt + φ) e x(t) = B cos(ωt + φ), A, B ∈ R, são soluções da equação diferencial do oscilador harmônico.
5.3 - Seja a posição do OHS dada por x(t) = A cos(ωt + φ). Obtenha a amplitude e o ângulo de fase em
função das condições iniciais x(0) = x0 e v(0) = v0 .
5.4 - Um sistema massa-mola é constituído de uma mola
200 N · m−1 e massa
√ com constante elástica k = −1
m = 2 Kg. Em t = 0 o deslocamento do oscilador é de 3 m e a velocidade de 10 m · s . Encontre:
a) O período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento.
b) As funções horárias da posição, velocidade e aceleração.
5.5 - Uma conta de massa m, enfiada em um aro (anel) vertical de raio R, desliza sem atrito em torno do
ponto mais baixo (posição de equilíbrio). Se θ é o ângulo com a vertical, mostre que para pequenas oscilações o movimento é harmônico e calcule a frequência angular.
5.6 - Um pêndulo simples oscila com período T no nível do mar onde a aceleração da gravidade é g. Em
outro local, a grande altitude, o período do pêndulo passa a ser T 0 . Determine o valor da aceleração da
gravidade g0 neste local, em função de T , g e T 0 .
5.7 - Em um planeta distante, um ET quer medir a gravidade de seu planeta usando um pêndulo simples.
Para tanto, ele observa que um pêndulo oscila com um período de 2 segundos, quando o comprimento da
corda é L. Quando este comprimento é aumentado de 50 cm, o período passa para 3 segundos. Determine o
valor de L e da gravidade g do planeta. Considere que o pêndulo executa pequenas oscilações.
5.8 - Um pêndulo físico consiste de um disco sólido uniforme (de massa M e raio R) suportado num plano
vertical por um eixo localizado a uma distância d do centro do disco. O disco é deslocado de um pequeno
ângulo (em relação a sua posição de equilíbrio) e liberado. Ache o período de oscilação do pêndulo.
5.9 - Certa mola sem massa está suspensa no teto com um pequeno objeto preso a sua extremidade inferior. O objeto é mantido inicialmente em repouso, numa posição yi tal que a mola não fique esticada ou
contraida. O objeto é então liberado e oscila para cima e para baixo, sendo sua posição mais baixa 10 cm
abaixo de yi .
a) Qual o período de oscilação?
b) um objeto com massa de 300 g é ligado ao primeiro objeto e logo após o sistema oscila com o dobro do
período original. Qual a massa do primeiro objeto? Considere g = 10 m · s−2
5.10 - Um oscilador harmônico simples oscila com amplitude A, frequência angular ω e ângulo de fase
φ = 0.
a) Encontre |x| e |v| quando as energias cinéticas e potenciais do oscilador são iguais.
b) Quantas vezes a igualdade K = U ocorre por ciclo? Qual o intervalo?
c) Quando x = A2 , quais são as frações de K e U em relação a E?
1
q
Respostas: 5.3) A = x02 +
0, 1 kg;
v0 2
ω ,
v0
; 5.5) ω =
φ = arctan − ωx
0
2
q
g
R;
5.7) L = 25 , g =
2π2
5 ;
5.9.a)
√
2π
10
s, 5.9.b)