números complexos - Unifal-MG

NÚMEROS COMPLEXOS
1. DEFINIÇÃO
No conjunto dos números reais » , temos que a 2 = a ⋅ a é sempre um número não negativo para
todo a. Ou seja, não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo em » .
Portanto, podemos definir um conjunto de números complexos C, tal que:
i 2 = −1 ou i = −1 .
Podemos definir o conjunto dos números complexos como sendo o conjunto dos números escritos
na forma:
z = a + bi
onde a e b são reais, sendo a chamado de parte real e b de parte imaginária.
Simbolizamos as partes real e a imaginária com a seguinte notação:
z = Re( z ) + Im( z ) i
Definimos ainda que dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i serão iguais
quando a1 = a2 e b1 = b2 .
2. PLANO DE ARGAND-GAUSS
Gauss associou a cada número complexo z = a + bi um par ordenado (a, b) com a, b ∈ » e
representou cada número como um ponto no plano. Essa representação recebe o nome de “Plano de
Argand-Gauss” ou “Plano Complexo”:
1
Na forma polar, um número complexo pode ser representado na forma polar, isto é:
Isto, é
sen θ =
b
ρ
→ b = ρ sen θ
e cos θ =
a
ρ
→ a = ρ cos θ
z = a + bi = ( ρ cos θ ) + ( ρ sen θ ) i
z = ρ ( cos θ + i sen θ )
e ρ = a 2 + b 2 = módulo do vetor
ρ é chamado de módulo de z.
3. COMPLEXO CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
O complexo conjugado de um número complexo z é definido como o número z com a parte
imaginária multiplicada por –1.
Se z = a + bi , então o complexo conjugado será z * = a − bi
Por exemplo:
z = 2+ i
z* = 2 − i
z = −2i
z * = 2i
z = −4
z * = −4
Módulo de um número complexo: ρ = a 2 + b 2
O valor de ρ é chamado de módulo de z. Se z = a + bi e z * = a − bi , então:
z = ρ = z ⋅ z*
Vejamos:
z = z ⋅ z* =
( a + bi ) ⋅ ( a − bi ) =
a 2 − b 2i 2 = a 2 + b 2
2
4. OPERAÇÕES ELEMENTARES
As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural, considerando-se o
número complexo como um binômio.
Soma:
Sejam os números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i , então
z1 +z2 =
( a1
+ b1i ) + ( a2 + b2i ) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i
Na forma polar, se z1 = ρ1 ( cos θ1 + i sen θ1 )
e z2 = ρ 2 ( cos θ 2 + i sen θ 2 ) , então
z1 +z2 = ρ1 ( cos θ1 + i sen θ1 ) + ρ 2 ( cos θ 2 + i sen θ 2 )
z1 +z2 = ( ρ1 cos θ1 + ρ 2 cos θ 2 ) + ( ρ1 sen θ1 + ρ 2 sen θ 2 ) i
Subtração: sejam os números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i , então
z1 − z2 =
( a1
+ b1i ) − ( a2 + b2i ) = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) i
Na forma polar, se z1 = ρ1 ( cos θ1 + i sen θ1 )
e z2 = ρ 2 ( cos θ 2 + i sen θ 2 ) , então
z1 − z2 = ρ1 ( cos θ1 + i sen θ1 ) − ρ 2 ( cos θ 2 + i sen θ 2 )
z1 − z2 = ( ρ1 cos θ1 − ρ 2 cos θ 2 ) + ( ρ1 sen θ1 − ρ 2 sen θ 2 ) i
Multiplicação: sejam os números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i , então
( a1 + b1i ) ⋅ ( a2 + b2i )
= a1 ( a2 + b2i ) + b1i ( a2 +
z1 ⋅ z2 =
z1 ⋅ z2
z1 ⋅ z2 = a1a2 + a1b2i +a2b1i + b1b2i
b2i )
2
z1 ⋅ z2 = ( a1a2 − b1b2 ) + ( a1b2 +a2b1 ) i,
pois i 2 = −1
Na forma polar, se z1 = ρ1 ( cos θ1 + i sen θ1 )
e z2 = ρ 2 ( cos θ 2 + i sen θ 2 ) , então
z1 ⋅ z2 = ρ1 ( cos θ1 + i sen θ1 ) ⋅ ρ 2 ( cos θ 2 + i sen θ 2 )
z1 ⋅ z2 = ρ1 ⋅ ρ 2 ( cos θ1 + i sen θ1 )( cos θ 2 + i sen θ 2 )
z1 ⋅ z2 =ρ1 ⋅ ρ 2 ( cos θ1 cos θ 2 − sen θ1 sen θ 2 ) + i ( sen θ1 cos θ 2 + sen θ 2 cos θ1 )
z1 ⋅ z2 =ρ1 ⋅ ρ 2 cos (θ1 + θ 2 ) + i sen (θ1 + θ 2 ) 
Exemplos: se z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + 5i
3
z1 + z2 = ( 3 + 2i ) + (1 + 5i ) = 4 + 7i
z1 − z2 = ( 3 + 2i ) − (1 + 5i ) = 2 – 3i
z1 ⋅ z2 =
( 3 + 2i ) ⋅ (1 + 5i ) = 6 + 15i + 2i + 10i 2 = −4 + 17i
π
π
π
π


se z1 = 10  cos + i sen  e z2 = 2  cos + i sen 
4
4
6
6


π
π 
π
π

z1 + z2 = 4  cos + i sen  + 2  cos + i sen 
4
4 
6
6

π
π 
π
π

z1 + z2 =  4 cos + 2 cos  +  4sen + 2sen  i
4
6 
4
6

ou

2
3 
2
1
z1 + z2 =  4
+2
+ 2  i = 2 2 + 3 + 2 2 + 1 i
 +  4
2   2
2
 2
z1 − z2 =
(
) (
)
π
π
π
π


z1 ⋅ z2 = 10  cos + i sen  e z2 = 2  cos + i sen 
4
4
6
6


Potenciação: se um número complexo escrito na forma polar z = ρ ( cos θ + i sen θ ) , o quadrado
deste número será:
z 2 = z ⋅ z =ρ ⋅ ρ cos (θ + θ ) + i sen (θ + θ )  = ρ 2 cos ( 2θ ) + i sen ( 2θ ) 
O mesmo resultado pode ser obtido para potências maiores, isto é:
z n = ρ n cos ( nθ ) + i sen ( nθ )  , onde 0 ≤ nθ < 2π
Esta fórmula é conhecida como Fórmula de Moivre.
Radiciação: chamamos de raiz n-ésima de um número complexo z o número complexo z k tal que
( z k )n
= z . Por exemplo,
i = −1 , pois se zk = i → zk2 = zk ⋅ zk = i 2 = −1
i = 3 −i , pois se zk = i → zk3 = zk ⋅ zk ⋅ zk = i 2 ⋅ i = −i
.
2
2
2i = 4 16 , pois se zk = 2i → zk4 = zk ⋅ zk ⋅ zk ⋅ zk = ( 2i ) ⋅ ( 2i ) = 16
4
A operação de radiciação é uma forma de potenciação, onde os expoentes são números racionais
não inteiros. Desta forma, podemos utilizar a fórmula de Moivre para calcular também as raízes
enésimas de um número complexo:
1
n
1
n
  θ + 2kπ 
 θ + 2kπ
z = r cos
 + i.sen
n
n


 
θ + 2kπ

< 2π e 0 ≤ k < n
 , onde 0 ≤
n

Exemplo 2. Encontre as raízes quadradas de z = 4 + 4 3i
( )
1º. Passo: calcular o módulo de z : z = 4 2 + 4 3
2
=8

4 3 2 3
=
senθ =
8
2 ⇒ θ = π + 2kπ
2º. Passo: determinar o argumento de z : 
3
cos θ = 4 = 1

8 2
3º. Passo: usar a Fórmula de Moivre:
 π
  + 2kπ
z = 8 cos 3
2
 
 
1
2
1
2
π

 + 2kπ

 + i.sen 3
2












 π

π

= 8 2 cos + kπ  + i.sen + kπ 

6

 6
1
1
2
π
π

Ou seja, para k = 0, z = 2 2  cos + isen  = 6 + i 2
6
6

1
7π
7π

e para k = 1, z 2 = 2 2  cos
+ isen
6
6


 = 6 −i 2

5. NOTAÇÃO DE EULER
Os números complexos podem ainda ser apresentados em uma outra forma bastante útil, decorrente
da fórmula de Euler. Se expandirmos a função exponencial e x em série de Mac Laurin (ou série de
Taylor na origem), têm–se:
∞
ex = ∑
i =0
xi x 0 x1 x 2 x 3
x 0 x1 x 2
x3
x 2 x3
= + + + + ... = + +
+
+ ... = 1 + x + + + ...
i ! 0! 1! 2! 3!
1 1 2 ⋅1 3 ⋅ 2 ⋅ 1
2 6
Se fizermos a substituição x = iθ , obteremos:
5
iθ
( iθ )
=
0
1
( iθ )
+
( iθ )
+
2
( iθ )
+
3
( iθ )
+
4
( iθ )
+
5
+ ...
1
1
2
6
24
120
iθ i 2θ 2 i 3θ 3 i 4θ 4 i 5θ 5
eiθ = 1 + +
+
+
+
+ ...
1
2
6
24 120
θ θ3 θ5

iθ θ 2 iθ 3 θ 4 i 5θ 5
θ2 θ4
iθ
e = 1+ −
−
+ +
+ ... = 1 −
+
+ ... + i  − +
+ ...  = Re+ i Im
1
2
6 24 120
2 24
 1 6 120

e
Mas a parte real 1 −
θ2
2
+
θ4
24
+ ... = cos θ e a parte imaginária
θ
1
−
θ3
6
+
θ5
120
+ ... = sen θ .
Portanto eiθ = cos θ + i sen θ
e um número complexo pode ser escrito como z = z eiθ = z ( cos θ + i sen θ )
isto é, o módulo de z e sua fase eiθ .
Este resultado é interessante, pois podemos escrever as funções trigonométricas em função de uma
combinação de números complexos.
Por exemplo, se z = eiθ = cos θ + i sen θ , z* = e − iθ = cos θ − i sen θ , com z = 1 ,
z + z* = eiθ + e− iθ = 2 cos θ → cos θ =
eiθ + e − iθ
2
z − z* = eiθ − e− iθ = 2i sen θ → sen θ =
eiθ − e − iθ
2i
então
Relações úteis
Podemos ainda escrever um número complexo, elevado a n–ésima potência na forma:
zn = z
n
( cos nθ + i sen nθ ) =
n
z einθ
Um caso particular é o número z=1
6
zn = z
n
( cos nθ + i sen nθ )
1n = cos nθ + i sen nθ = einθ = ( cos θ + i sen θ )
( cos θ + i sen θ )
n
n
= cos nθ + i sen nθ
O mesmo pode ser feito para a raiz n–ésima:
Se
n
z = zk ,
z = ρ eiθ e
zk = ρ k eiθk
zkn = z
ρ n einθ = ρ eiθ
k
k
Estes números somente serão iguais se:
ρn = ρ
k
e
einθk = eiθ → θ k =
θ + 2 kπ
n
Um caso particular é o número z=1
z = 1 = ρ eiθ = ρ ei 0 = ρ
θ + 2 kπ 2 kπ
=
θk =
n
n
2
k
π
2 kπ
n
1 = cos
+ i sen
n
n
No plano de Argand, as raízes n-ésimas da unidade distribuem-se sobre o círculo (centrado na origem),
correspondendo aos vértices de um polígono regular de n lados inscrito no círculo, conforme ilustrado na
figura abaixo.
Raízes da unidade, para n=4 e n=6, respectivamente.
7