Fundamentos da Matemática Elementar I

MATEMÁTICA
Graduação
Fundamentos
da Matemática
Elementar I
Flávia Cristina Figueiredo Coura
Judith de Paula Araújo
José do Carmo de Toledo
Flávia Cristina Figueiredo Coura
José do Carmo Toledo
Judith de Paula Araújo
Fundamentos da Matemática Elementar I
2011
C858f Coura, Flávia Cristina Figueiredo
Fundamentos da matemática elementar I / Flávia Cristina Figueiredo
Coura ; Judith de Paula Araújo ; José do Carmo de Toledo . – São João del-Rei,
MG : UFSJ, 2011.
163p.
Graduação em Matemática.
1. Matemática I. Araújo, Judith de Paula II. Toledo, José do Carmo III. Título.
CDU: 510.2
Reitor
Helvécio Luiz Reis
Coordenador UAB/NEAD/UFSJ
Heitor Antônio Gonçalves
Comissão Editorial:
Fábio Alexandre de Matos
Flávia Cristina Figueiredo Coura
Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva
José do Carmo Toledo
José Luiz de Oliveira
Leonardo Cristian Rocha
Maria Amélia Cesari Quaglia
Maria do Carmo Santos Neta
Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo
Maria Rita Rocha do Carmo (Presidenta)
Marise Maria Santana da Rocha
Rosângela Branca do Carmo
Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal
Terezinha Lombello Ferreira
Edição
Núcleo de Educação a Distância
Comissão Editorial - NEAD-UFSJ
Capa
Eduardo Henrique de Oliveira Gaio
Diagramação
Luciano Alexandre Pinto
SUMÁRIO
PRA COMEÇO DE CONVERSA.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05
UNIDADE 1 – TRIGONOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE 2 – NÚMEROS COMPLEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
UNIDADE 3 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
PARA FINAL DE CONVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
REFERÊNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
PARA COMEÇO DE CONVERSA...
Prezado(a) aluno(a):
É com alegria que estamos iniciando o estudo da disciplina Fundamentos da Matemática
Elementar I, do curso de Licenciatura em Matemática, na modalidade a distância da
UFSJ. É muito bom estar com você nesta caminhada. Vamos aproveitá-la da melhor
forma possível, a fim de que você possa enriquecer seus conhecimentos, revisando
alguns conceitos e conhecendo outros.
Embora você já tenha, de algum modo, estudado a maioria dos conceitos que serão
trabalhados nesta disciplina, certamente, a maneira como os verá será diferente. Por se
tratar de um texto direcionado ao futuro professor de Matemática, consideramos ser
imprescindível apresentar os conteúdos da trigonometria, dos números complexos e das
equações polinomiais com o rigor que é próprio dos conteúdos matemáticos.
Os conteúdos que abordaremos, nesta disciplina, são distribuídos em três unidades. O
tempo que você terá para cursar esta disciplina será de 60 dias e você deverá estudar os
seguintes tópicos:
Funções trigonométricas.
Identidades fundamentais.
5
Equações trigonométricas
Representações algébrica e geométrica dos números complexos.
Equações trigonométricas.
Polinômios.
Equações polinomiais de grau 1, 2, 3 e n.
Propriedades relacionadas às equações polinomiais.
Atenção! Organize-se e procure se dedicar, da melhor forma possível, ao estudo desta
disciplina. É muito importante, em cada unidade, você realizar as tarefas no tempo
estipulado para isso. Se você tiver dificuldade para tal, procure trocar ideias com colegas
que estão cursando a disciplina, com o tutor presencial, com o tutor a distância ou com o
professor responsável.
6
unidade
1
UNIDADE 1
TRIGONOMETRIA
Objetivos
Reconhecer o seno, o cosseno e a tangente como razões de semelhança e as
relações entre elas;
Resolver problemas que envolvam as razões trigonométricas: seno, cosseno e
tangente;
Reconhecer no círculo trigonométrico a variação de sinais, crescimento e
decrescimento das funções seno, cosseno e tangente;
Identificar o gráfico das funções seno, cosseno e tangente;
Resolver problemas que envolvam a Lei dos senos;
Resolver problemas que envolvam a Lei dos cossenos;
Demonstrar identidades trigonométricas.
7
Na Unidade 1, estudamos conceitos e resultados correspondentes à medição de
ângulos que são importantes para o estudo da Trigonometria que, segundo Carvalho
(2005), quer dizer medida dos ângulos de um triângulo e é uma palavra que herdamos
unidade
do matemático Bartolomeu Pitisco (1561-1613).
Nesta unidade, focalizaremos os conceitos e propriedades da Trigonometria,
começando pelos ângulos agudos no triângulo retângulo até a generalização para
ângulos quaisquer do ciclo trigonométrico. Estudaremos, ainda, a Lei dos Senos, muito
útil para estabelecer relação entre as medidas dos lados de um triângulo e os valores
dos senos de ângulos e a Lei dos Cossenos, da qual temos o Teorema de Pitágoras como
caso
particular.
Concluímos
a
unidade,
estudando
trigonométricas. Iniciamos com o resultado, a seguir.
algumas
identidades
Iniciamos este texto com a definição de ângulo – tal como enunciada na Unidade 1 –
como a figura formada por duas semirretas que têm mesma origem O . Essas
semirretas são chamadas de lados do ângulo, e a origem é chamada de vértice do
ângulo.
Já sabemos, também da Unidade 1, que qualquer ângulo pode ser expresso por sua
medida em graus.
Essa informação é importante para estudarmos as funções
trigonométricas do ângulo agudo.
Consideremos, então, o ângulo AOˆ A1   , 0º < τ < 90º e sejam AA1 , BB1 e CC1
perpendiculares à semirreta OC1 (FIG. 5.1). Podemos afirmar que os triângulos AOA1 ,
BOB1 e COC1 são semelhantes por terem ângulos correspondentes congruentes (Caso
ângulo-ângulo-ângulo).
121
9
1
Podemos, portanto, estabelecer as seguintes igualdades:
FIG. 6.1
AA1 BB1 CC1
(6.1)


OA OB OC
OA1 OB1 OC1


OA OB OC
AA1 BB1 CC1


OA1 OB1 OC1
(6.2)
(6.3)
Como podemos observar, essas relações dependem apenas do ângulo τ e não das
medidas dos segmentos envolvidos. Esse fato é muito importante – e por muito tempo
foi muito útil – pelo fato de podermos utilizar triângulos pequenos, cujos lados temos
acesso para medir, para calcularmos as medidas dos lados de um triângulo maior, cuja
medida dos lados seja operacionalmente muito difícil, ou de um triângulo ao qual não
temos acesso aos lados para realizar a medida. Um exemplo dessa utilidade é o cálculo
do raio da Terra, realizado por Eratóstenes no século III a.C., usualmente relatado nos
livros didáticos de Matemática.
As relações (6.1), (6.2) e (6.3) definem, respectivamente, as funções seno, cosseno e
tangente do ângulo agudo τ. Como os triângulos representados na FIGURA 6.1 são
retângulos, podemos chamar qualquer um dos lados opostos aos ângulos retos de
hipotenusa, e aos outros dois lados, de catetos. Sendo assim, podemos reescrever as
relações anteriores da seguinte forma:
122
10
sen 
cos 
tg 
unidade
unidade
cateto oposto a 
(6.1)
hipotenusa
cateto adjacente a
(6.2)
hipotenusa
cateto oposto a 
(6.3)
cateto adjacente a 
Vamos utilizar essas relações para expressar seno, cosseno e tangente do ângulo

agudo C do ΔABC (FIG. 6.2), retângulo em A, em função das medidas dos lados.
FIG. 6.2
 c
senC 
a
 b
cos C 
a
 c
tgC 
b
123
11
1
6
Usando essas igualdades podemos demonstrar algumas relações trigonométricas
importantes, tais como:


sen 2C  cos 2 C  1
e

 senC
tgC 

cos C
(6.4)
(6.5)
Para demonstrar (6.4), chamada de relação fundamental, usaremos o Teorema de
Pitágoras (b 2  c 2  a 2 ) , de fato:

  c 2  b 2 c2  b2 a 2
sen 2 C  cos 2 C       
 2 1
a2
a
a a
e
 c

senC
c
  a   tgC
b
cos C b
a
Proposição 6.1
Se dois ângulos α e β são complementares (α + β = 90º), então, sen  cos  (o cosseno
de um ângulo é igual ao seno do seu complemento) e tg  1
tg
.
Demonstração
No ΔABC (FIG. 6.2), temos que B̂ e Ĉ são ângulos complementares e, aplicando as
relações (6.1), (6.2) e (6.3) ao ΔABC (FIG. 6.2), temos
senBˆ 
e
tgBˆ 
b
 cos Cˆ
a
b
1
1


c c
tgCˆ
b
124
12
1
unidade 6
unidade
Com esses resultados, conseguimos encontrar os valores das funções trigonométricas
de um ângulo em relação aos valores das funções trigonométricas do seu
complemento.
ATENÇÃO
Seno, cosseno e tangente também são chamados razões trigonométricas por serem
razões entre números que expressam as medidas dos lados dos triângulos. Como são
razões entre grandezas de mesma espécie, não vêm acompanhados de unidade.
Contudo, no cálculo desses números, as medidas dos lados precisam estar na mesma
unidade de medida.
Proposição 6.2
a) Se 0 º    45º então sen2  2.sen . cos
b) Se 0 º    90 º então sen

2

1  cos 
.
2
Exercícios 6.3
1) Demonstre a Proposição 6.2.
Sugestão: Utilize um triângulo isósceles ABC, com Aˆ  2 , cujos lados
congruentes AB e AC medem 1, traçando a altura relativa ao lado BC, que
também é bissetriz do ângulo  e a altura relativa ao lado AC. Em seguida,
calcule a área do triângulo ABC.
2) Calcule as funções trigonométricas dos ângulos 18 º , 30 º , 45 º , 60 º .
Sugestão para o cálculo relativo ao ângulo de 18º: Considere um triângulo ABC,

 
com AB  AC  1 , A  36 º , B  C  72 . Em seguida, trace a bissetriz CD do ângulo

C.
125
13
Até aqui, utilizamos o grau como unidade de medida para se medir ângulos. Em vários
textos, é comum expressões como arco de 60°. De acordo com Carmo, Morgado e
Wagner (2005), devemos entender essa expressão como arco que subentende um
ângulo central de 60°, como o que está representado pelo arco DE, na FIGURA 6.3.
FIG. 6.3
A seguir, introduziremos a unidade de medida de um ângulo a partir da medida do
arco que o determina, que é a medida do ângulo em radianos. Inicialmente, como
estudamos na Unidade 5, consideraremos que todo círculo de raio R tem um
comprimento C, que é calculado pela expressão 2πR.
Para tratarmos da medida do arco (em radianos) determinado por um ângulo central,
utilizaremos dois resultados, que consideramos sem prova. São eles: (1) arcos de
círculos que subentendem um mesmo ângulo central são semelhantes e (2) a razão de
semelhança é a razão entre os raios desses círculos (LIMA, 1991)
Para utilizarmos esses resultados (FIG. 6.3), inicialmente, designaremos s para
representar o comprimento do arco DE contido no círculo de centro O cuja medida do
raio denotaremos por R. Consideremos, então, os pontos D’ e E’, pertencentes às
semirretas OD e OE, que determinam o arco D’E’, de comprimento s’ contido em um
círculo de centro O e de raio medindo R’. Como DE e D’E’ são arcos determinados pelo
126
14
unidade
unidade


mesmo ângulo central – DOE  D' OE'  60 - podemos usar (1) e (2). Desse modo,
temos
s R

s' R'
ou seja,
s.R'  s'.R
ou ainda,
s s'

R R'
Essa mesma propriedade que analisamos para o ângulo de 60º, vale para qualquer
ângulo central. Em outras palavras, a medida do arco determinado por um ângulo
central é igual à razão entre o comprimento do arco determinado pelo ângulo em um
círculo cujo centro é o vértice do ângulo e a medida do raio do círculo. Essa razão é
constante e é a medida do ângulo central – ou do arco – em radianos.

Retomando o nosso exemplo do ângulo DOE  60 , temos que o comprimento do arco
correspondente é dado por s  2R 6 (lembre-se que 60° é a sexta parte de 360°).
Assim, a medida do arco determinado pelo ângulo central de 60° é dada, em radianos,
por
60 º 
ou seja,
s 2R 6

R
R
60 º 

3
rad
Façamos o mesmo raciocínio para um semicírculo de raio R:
180 º 
s 2R 2

  rad
R
R
127
15
1
6
Com esses exemplos foi possível verificar que a relação entre as medidas de um arco,
em radianos, e a do ângulo central que o determina, em graus, não depende do raio da
circunferência e, assim, não varia em circunferências de raios com medidas diferentes.
Isso quer dizer que, por exemplo, que o ângulo central cuja medida é 60° determinará
sempre um arco de
Assim, temos que

3
radianos . Assim, para qualquer círculo de raio R vale a relação
180° = π radianos
1 radiano 
180

180 º

 57 
3,141592...
FIG. 6.4
Fonte: PESSOAL SERCOMTEL, 2010
Esse resultado nos permite identificar, em um círculo orientado (vide Definição 6.4), de
raio R=1, com uma origem definida, arcos e ângulos correspondentes.
128
16
unidade
unidade
Definição 6.4
O ciclo trigonométrico (C1) é um círculo orientado cujo sentido positivo é o antihorário, de raio unitário, que tem como origem de todos os arcos um ponto A (FIG 6.5).
FIG. 6.5
Definição 6.5
Medida algébrica de um arco AB desse círculo é o comprimento desse arco, associado
a um sinal positivo, se o sentido de A para B for anti-horário, e, negativo, em caso
contrário. Essa medida será denotada por mAB.
Assim, podemos afirmar que a medida algébrica do arco que representa uma volta
completa no ciclo trigonométrico é igual a 360° ou 2π rad.
A vantagem de trabalharmos no ciclo trigonométrico (C1) é que podemos
representar quaisquer ângulos/arcos, incluindo aqueles das voltas negativas (-510° ou
  , por exemplo) e os que são maiores que uma volta positiva (780° e 3π, entre
4
outros). Isso é possível porque, para qualquer arco de comprimento α, podemos
associar um número inteiro k de voltas negativas ou positivas. Vamos tomar como
exemplo o arco AB (FIG. 6.6).
129
17
1
6
FIG. 6.6
O arco AB determina em C1 o ponto B, tal que mAB =  3 radianos . Agora, vamos
considerar alguns arcos cuja extremidade também é o ponto B, mas que não estão na
primeira volta positiva (um arco α é da primeira volta positiva se 0    2 ).
 O arco determinado pelo ângulo de 420° corresponde a uma volta completa no
sentido positivo ( 1 360 º ) mais 60°. Assim, marcamos sua extremidade em C1,
na segunda volta positiva e podemos representá-lo por   2k . Nesse caso,
3
k=1.
 O arco determinado pelo ângulo de 1140° corresponde a três voltas completas
no sentido positivo ( 3 360 º ) mais 60°. Então, marcamos sua extremidade em
C1, na quarta volta positiva, e podemos representar esse arco por   2k , em
3
que k=3.
 O arco determinado pelo ângulo de –660° corresponde a duas voltas completas
no sentido negativo (  2 360 º ) mais 60° (no sentido positivo) e também tem
extremidade no ponto B. Então, marcamos sua extremidade em C1, na segunda
volta negativa, e podemos representar esse arco por   2k . Assim, temos k=
3
- 2.
130
18
unidade
unidade
Resumindo, um arco qualquer cuja extremidade seja o ponto B (Fig. 6.6) pode ser
representado pela expressão   2k , k  Z (Z representa o Conjunto dos números
3
inteiros) que é a expressão geral dos arcos côngruos a  .
3
Definição 6.6
A expressão geral de todos os arcos côngruos a x, tal que 0  x  2 , é dada por
x  2k , k  Z .
Agora que sabemos como expressar qualquer ângulo ou arco, podemos associar
qualquer número real x, que representa um arco de comprimento x a um ponto de C1, o
que é imprescindível para estender a todos os ângulos/arcos as relações que
estudamos para os ângulos agudos.
Definição 6.7
Sejam R o Conjunto dos números reais e C 1 o círculo trigonométrico da Definição 6.4.
Definimos a função E : R  C 1 , tal que, para cada x  R associa o ponto E(x) sobre C 1 ,
percorrido, a partir da origem A, um comprimento igual a x, no sentido positivo, se x>0,
e no sentido negativo, se x<0.
De acordo com a definição anterior, E(x) é o ponto de C 1 atingido. Desse modo, o ponto
P de C 1 é a imagem da função E(x) do arco de comprimento x.
Definição 6.8
Ao associarmos ao ciclo trigonométrico (C1) um sistema de coordenadas cuja origem
é o centro de C1 e sendo A(1,0) (FIG. 6.7), podemos definir
cos x = abscissa de P
sen x = ordenada de P
tgx 
senx
, se cos x  0
cos x
Na FIG. 6.7, podemos observar o ponto P determinado pelo arco cujo ângulo central é θ
e por suas coordenadas P(cos θ, sen θ). Ainda é possível verificar que as definições de
131
19
1
6
seno, cosseno e tangente coincidem com aquelas que estudamos anteriormente, no
triângulo retângulo, para ângulos agudos.
FIG. 6.7
Da definição anterior decorre que cos 0 = 1 e que sen 0 =0 (quando P = A) e que
cos

2
 0 e sen

2
 1 (quando
é reto). Podemos observar, ainda, que a relação
fundamental (6.4) se mantém, pois como todo ponto P(cos θ, sen θ) está a uma
distância 1 da origem, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que sen 2  cos 2   1.
Além disso, a tangente continua sendo calculada por (6.5), embora não seja definida
para x 

2
 k , k  Z , já que, para esses arcos, o cosseno é igual a zero. Portanto, a
definição 6.8 – relativa a qualquer ângulo/arco – amplia as relações que já estudamos
para os ângulos agudos.
Retomando as funções trigonométricas, temos que para todo k inteiro e para todo x real
sen( x  2k )  sen( x) e cos( x  2k )  cos( x) , já que E( x  2k )  E( x)  P . Explicando
melhor, temos que o seno de todos os arcos cuja extremidade seja o P tem o mesmo
valor, o que também se aplica aos cossenos. Com isso, podemos afirmar que as funções
132
20
1
unidade 6
unidade
seno e cosseno são periódicas de período 2π. Esse fato nos permite restringir o estudo
dessas funções ao intervalo [0,2π], que corresponde ao estudo das coordenadas de um
ponto que percorre o ciclo trigonométrico na primeira volta positiva.
Outra consideração importante a respeito do seno e do cosseno se refere aos seus
valores. Analisando a FIG. 6.8, e relembrando que o ciclo trigonométrico tem raio
unitário, podemos verificar que essas funções estão compreendidas no intervalo
[-1,1] e assumem valores positivos ou negativos, dependendo do quadrante em que se
encontra o ponto do qual são coordenadas. O seno – associado ao eixo das ordenadas,
vertical - assume valores positivos, no 1º e no 2º quadrantes e, negativos, no 3º e no 4º.
O cosseno – associado ao eixo das abscissas, horizontal – assume valores maiores que
zero, no 1º e no 4º quadrantes, e menores que zero, quando o ponto está situado, no 2º
ou no 3º quadrantes.
FIG. 6.8
Agora, vamos mostrar como determinar os valores das funções seno e cosseno, em
qualquer quadrante, conhecidos seus valores no primeiro quadrante. Para tanto,
consideraremos os casos em que a extremidade de um arco está no segundo, terceiro
ou quarto quadrante.
133
21
FIG. 6.9
Considerando que o ponto P determina o arco AP que, por sua vez, está associado a um
ângulo central, que chamaremos de α, temos que P(cos α, sen α). Por semelhança de
triângulos, temos que
P2, imagem do arco AP2, está relacionado ao ângulo (180°
α).
P4, imagem do arco AP4, está relacionado ao ângulo (360°
α).
P3, imagem do arco AP3, está relacionado ao ângulo (180° + α).
Com isso, ainda usando a semelhança de triângulos e lembrando que P(cos α, sen α),
temos que,
no 2º quadrante,
sen (180°° α) = sen (α ) e cos (180°° α) = cos(α), então, P2 ( cos α, sen α).
No 3º quadrante,
sen (180°+α) = sen(α ) e cos (180°+α)= cos(α), então, P3 ( cos α, sen α).
No 4º quadrante,
sen (360°° α) = sen(α ) e cos (360°° α)=cos(α), então, P4 (cos α, sen α).
134
22
unidade
unidade
Usando esse processo, conseguimos verificar que os valores absolutos das funções
trigonométricas seno e cosseno podem ser determinados pelos valores dessas funções, no
primeiro quadrante.
Os gráficos das funções seno e cosseno no intervalo [0,2π] estão representados nas FIG.
6.10 e 6.11, respectivamente.
y

x
 

 


FIG. 6.10
y

x
 

  


FIG. 6.11
Como já sabemos que as duas funções são periódicas de período 2π, podemos, então,
representar os gráficos das funções seno e cosseno, isto é, as representações de parte
dos conjuntos de pontos (x, sen x) e (x, cos x), como se pode ver nas FIG. 6.12 e 6.13,
respectivamente.
135
23
1
6
y


x
 







FIG. 6.12
y


x
 







FIG. 6.13
As duas curvas (FIG. 6.12 e 6.13) são idênticas e são chamadas de senoide. O gráfico da
função cosseno é apenas o resultado da translação da senoide de 
em relação ao gráfico da função seno.
2
para a esquerda
Já definimos a função tangente por tgx  senx cos x para x  k  
2
, ou seja, a
tangente é uma função que não está definida apenas quando cos x  0 . A exemplo do
que foi feito em relação ao seno e ao cosseno, usando a FIG. 6.14, mostraremos a
tangente como medida algébrica de um segmento (tg x = mAT).
136
24
unidade
unidade
FIG. 6.14
Da relação (6.5), temos que tgx  senx cos x . Utilizando os dados da figura anterior,
temos:
tgx 
senx MM '

cos x MM "
Como os triângulos OMM’ e OTA são semelhantes (pelo Caso AAA), podemos
considerar que:
tgx 
senx MM ' AT AT



 m AT
cos x MM " OA
1
As demonstrações para ângulos dos outros quadrantes seguem o mesmo raciocínio e
ficam como exercício.
A função tangente também tem um gráfico, que é o conjunto dos pontos (x, tg x), para
todo x real e diferente de  2  k , em que k é um número inteiro. Os arcos da forma
137
25
1
6
 2  k são aqueles cuja extremidade estão em pontos de abscissa (cosseno) zero. A
FIG. 6.15 representa uma parte do gráfico da função tangente.
y


x

  
 

  



FIG. 6.15
Analisando a FIG. 6.15, podemos observar que os gráficos nos intervalos ]   2 ,  2[ e
] 2 , 3 2[ são iguais. Isso acontece porque a função tangente é periódica com
período π, o que nos permite afirmar que
tg (x)= tg (x+π) .
Ainda focalizando o gráfico anterior, podemos observar que a função torna-se maior
tanto quanto se aproxima de  2 , por valores menores que  2 e fica menor à medida
que se aproxima de  2 , por valores maiores que  2 , sem, contudo, ter um ponto
definido, quando x   2 , arco para o qual a função tangente não está definida. A reta
x   2 é denominada assíntota do gráfico da função. Essas considerações se aplicam a
qualquer ponto do tipo x   2  k , em que k é um número inteiro.
A partir das funções seno, cosseno e tangente, podemos definir outras funções que
indicamos, a seguir, e que, em algumas referências, são denominadas como suas
recíprocas:
138
26
1
senx
unidade
unidade
1
cos x
1
tgx
Definição 6.9
As funções recíprocas das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente,
respectivamente, são cossecante, secante e cotangente e são definidas por:
Cossecante de x
Secante de x
Cotangente de x
cos ecx 
sec x 
1
, se senx  0
senx
1
, se cos x  0
cos x
ctgx 
1
, se tgx  0
tgx
Os gráficos das funções cossecante, secante e cotangente podem ser obtidos, a partir
dos gráficos das três primeiras funções que estudamos, conforme se pode ver nas FIG.
6.16, 6.17 e 6.18, respectivamente.
139
27
1
6
y


x

  
 

 



FIG. 6.16
y


x

  
 

 



FIG. 6.17
y
y = cos(x)/sin(x)


x

  
 

 



FIG. 6.18
140
28
1
unidade 6
unidade
EXERCÍCIOS 6.10
1) A que quadrantes pode pertencer θ, se:
a) sen  
1
8
b) cos   
2
2
c) tg  7 2
2) Calcule:
a) sen 315°
b) cos 240°
c) tg 150°
3) Para que valores de θ, em radianos e em graus, da primeira volta positiva, se tem:
a) sen  
b) cos   
3
2
2
2
c) tg  1
4) Calcule:
a) tg1500
b) cos(1035)
c) sen
7
2
 9 
d) tg  

 4 


5) Determine a menor solução positiva da equação sen 5 x    0 .
3

141
29
6) Encontre o conjunto dos números reais x, tais que:


a) cos 3x    0
2



b) sen 3x    0
2



c) tg  3x    0
2

7) Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais senx  
1
.
2
8) Sabendo que a mAP = x, verifique que ctg x = BD, sec x = OS e que cossec x = OC. Para
isso, observe as FIG. 6.19, 6.20 e 6.21, respectivamente, sabendo que d é paralelo a
reta AA’.
FIG. 6.19
FIG. 6.20
142
30
unidade
unidade
FIG. 6.21
9) Determine o Conjunto Imagem das funções cotangente, secante e cossecante.
10)Prove as relações
 1
, x  k

(a) ctgx   tgx
,k  Z

0, x   k

2
(b) sec 2 x  1  tg 2 x
(c) cos sec 2 x  1  ctg 2 x
SUGESTÃO: Utilize a FIG. 6.22.
FIG. 6.22
Fonte: PT. WIKIBOOKS .ORG, 2010
143
31
1
6
11)
Consideremos duas funções f(x) e g(x), de domínios Df e Dg. A sentença f(x) =
g(x) é chamada uma identidade, se for verdadeira para todo x que pertença aos dois
domínios. Assim, a identidade trigonométrica é uma igualdade que é válida
para quaisquer elementos pertencentes ao domínio de cada uma das funções
envolvidas. Desse modo, verificar se uma igualdade é uma identidade
trigonométrica consiste em provar que a relação é verdadeira para qualquer
elemento que pertença ao domínio de cada uma das funções que a compõe.
Existem inúmeros métodos que podemos utilizar para verificar se uma igualdade é
uma identidade, dentre os quais destacamos:
- Partir de um dos membros para chegar ao outro.
- Transformar dois membros separadamente em uma mesma expressão.
- Estabelecer a diferença entre os dois membros e provar que essa diferença é
igual a zero.
- Partir de uma identidade conhecida e chegar à identidade desejada.
Para exercitar, demonstre as identidades, a seguir.
a) (senx  cos x)(senx  cos x)  2sen 2 x  1
b)
senx
1  cos x

 2 cos sec x
1  cos x
senx
sen 2 x sec 2 x  tg 2 x
c)

1
1  cos x
sec x
d) sen6 x  1  3 cos 2 x  3 cos 4 x  cos 6 x
12)Demonstre as seguintes identidades:
a) cos(a  b)  cos a. cos b  sena.senb
b) cos(a  b)  cos a. cos b  sena.senb
c) sen(a  b)  sena. cos b  senb. cos a
d) sen(a  b)  sena. cos b  senb cos a
e) tg (a  b) 
tga  tgb
1  tga.tgb
144
32
1
unidade 6
unidade
f) tg (a  b) 
tga  tgb
1  tga.tgb
Eis a demonstração do item (a). Consideremos os pontos P(cos a, sen a) e
Q (cos b, sen b). Calculando a distância d entre P e Q, temos:
d  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2
Fazendo o cálculo com as coordenadas de P e Q, temos:
d 2  (cos a  cos b) 2  (sena  senb) 2
Desenvolvendo os quadrados e usando sen 2 x  cos 2 x  1, obtemos,
d 2  2  2(cos a. cos b  sena.senb)
Mudando o sistema de ordenadas, fazendo uma rotação dos eixos de um ângulo b em
torno da origem, temos no novo sistema, que Q(1,0) e P(cos(a-b),sen(a-b)). Calculando
novamente a distância entre os pontos P e Q, temos
ou seja,
d 2  (1  cos(a  b)) 2  (0  sen(a  b)) 2 ,
d 2  2  2 cos(a  b)
Igualando os valores de d 2 , temos:
cos(a  b)  cos a. cos b  sena.senb
como queríamos verificar!
Até este ponto do texto, nossos estudos focalizaram o triângulo retângulo a partir do
qual calculamos as funções trigonométricas de um ângulo. Agora, estudaremos
relações envolvendo senos e cossenos e que são válidas para quaisquer triângulos,
retângulos ou não.
145
33
Proposição 6.11
Em um triângulo qualquer com lados medido a, b e c, respectivamente opostos aos
  
ângulos A, B, C são válidas as igualdades
a
b
c



senA senB senC
Esse resultado é conhecido como Lei dos senos e pode ser enunciado da seguinte
forma: em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos
ângulos opostos.
Demonstração
Para esta demonstração precisaremos utilizar o seguinte resultado, em relação à área S
de um triângulo ABC:

1
S  b.c.senA
2
(3),
em que b e c são as medidas dos comprimentos dos lados do triângulo que formam o
ângulo A.
Começaremos demonstrando que a relação enunciada é válida para qualquer triângulo
(acutângulo, retângulo ou obtusângulo). Traçando a altura CH do triângulo ABC, temos:
FIG. 6.23

Caso 1: A é um ângulo agudo (FIG. 6.23), temos que, no triângulo ACH,

 h
senA  , então, h  b.senA
b
146
34
(a)
Retomando ABC, já sabemos que
unidade
unidade
S
1
ch .
2
Utilizando (a), substituiremos h por b.senA, assim:

1
S  c.b.senA .
2
FIG. 6.24

Caso 2: Quando A é um ângulo obtuso (FIG. 6.24), temos que, no triângulo ACH,


 h
senA  sen(  A)  senD 
b
então,


h  b.senD  b.sen(  A)
Desse modo,

h  bsenA
Usando raciocínio análogo ao anterior, teremos que

1
S  b.c.senA
2


Caso 3: Para o caso em que A é um ângulo reto (senA  sen90 º  1) , teremos que

1
1
1
S  c.a.  c.a.1  c.a.senA
2
2
2
147
35
1
6
Desse modo, provamos a relação (3) para qualquer triângulo. Para demonstrar a Lei
dos senos, multiplicamos a relação (3) por a (medida do lado oposto ao ângulo Â),
obtendo,

1
aS  b.c.a.senA
2
Então,
a
abc

sen 2S
Seguindo o mesmo raciocínio, mas em relação aos outros dois ângulos do triângulo –


B e C – temos, também para a área do triângulo ABC, as expressões
S
em que se conclui que,
Portanto,

1
a.csenB
2
b
abc

senB 2S
e
e
S

1
a.bsenC
2
c
abc

senC 2S
a
b
c



sen senB senC
Esse resultado é importante para, por exemplo, resolvermos o problema de calcular
distâncias inacessíveis. Essa relação nos informa, ainda, que o triângulo ABC é

semelhante ao triângulo cujos lados medem senA , senBˆ , senCˆ .
Exercícios 6.12
1) Num triângulo ABC são dados A = 40°, B = 35° e AB = 100m. Calcule o ângulo Ĉ e as
medidas dos lados AC e BC. Dados: sen 40° = 0,643; sen 35° = 0,574 e sen 75° =
0,966.
2) Deseja-se determinar a distância entre os pontos A e B, entre os quais há um lago.
Para isso, coloca-se uma marca no ponto C, a 50 m de A, e determina-se que
148
36
1
unidade 6
unidade


ACB  44º e CAB  102º . Calcule a distância de AB, sabendo que sen 34° = 0,559;
sen 44° = 0,695 e sen 78° = 0,978.
Proposição 6.13
Em um triângulo qualquer de lados medindo a, b e c, respectivamente opostos aos
ângulos  , B̂ e Ĉ do triângulo ABC, vale a igualdade
a 2  b 2  c 2  2bc cos Aˆ
Esse resultado é conhecido como Lei dos cossenos e pode ser enunciado assim: em
todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados
das medidas dos outros lados, menos duas vezes o produto das medidas desses
lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.
Demonstração
Novamente utilizando a FIG. 6.23, analisemos o caso em que ABC é acutângulo.
FIG. 6.23
Tomando por referência o ângulo agudo A, queremos mostrar que
a 2  b 2  c 2  2bc cos Aˆ
Como CH  h e AH  x , temos, no triângulo BCH, pelo Teorema de Pitágoras, que,
a 2  h 2  (c  x) 2
149
37
(4).
Já que no triângulo ACH, b 2  h 2  x 2 , então, b 2  x 2  h 2 . Substituindo essa igualdade
em (4), temos que,
a 2  b 2  x 2  (c  x) 2 ou
a 2  b 2  x 2  (c 2  2cx  x 2 ) , ou seja,
a 2  b 2  x 2  c 2  2cx  x 2 , isto é,
a 2  b 2  c 2  2cx
(5).
x
Como, no triângulo ACH, temos que cos Aˆ  , então, x  b. cos Aˆ , que substituída na
b
igualdade (5) resulta em
a 2  b 2  c 2  2bc cos Aˆ
Consideremos, agora, o caso em que  é um ângulo obtuso (FIG. 6.24).
FIG. 6.24
Nesse caso, pretendemos novamente demonstrar que
a 2  b 2  c 2  2bc cos Aˆ
Novamente como CH  h e AH  x , temos, no triângulo BCH, pelo Teorema de
Pitágoras, que,
a 2  h 2  (c  x) 2
150
38
(6).
unidade
unidade
Já que no triângulo ACH, b 2  h 2  x 2 , então, b 2  x 2  h 2 . Substituindo essa igualdade
em (6), temos que,
a 2  b 2  x 2  (c  x) 2 ou
a 2  b 2  x 2  (c 2  2cx  x 2 ) , ou seja,
a 2  b 2  x 2  c 2  2cx  x 2 , isto é,
a 2  b 2  x 2  c 2  2cx  x 2 , ou seja,
a 2  b 2  c 2  2cx (7).
No triângulo ACH, temos que
cos Dˆ  cos(  Aˆ )  bx , então, x  b. cos(  Aˆ ) ,
Sabemos que cos Aˆ   cos(  Aˆ ) , retomando (7), temos que
a 2  b 2  c 2  2bc cos Aˆ
como nos propomos a demonstrar!
Para o caso em que o ângulo é reto, o resultado acima é o Teorema de Pitágoras. A Lei
dos cossenos nos permite, por exemplo, calcular os ângulos de um triângulo por meio
das medidas de seus lados.
Exercícios 6.14
1) Dois lados de um triângulo medem 5 cm e 10 cm e formam ângulo de 110°. Calcule
a medida do terceiro lado, sabendo que cos 70° = 0,34.
2) Determine o menor ângulo do triângulo cujos lados são AB =
BC = 2 3 cm.
151
39
3 cm, AC = 3 cm e
1
6
unidade
2
UNIDADE 2
NÚMEROS COMPLEXOS
Objetivos
Compreender a necessidade da ampliação do Conjunto dos números reais ( )
para o Conjunto dos números complexos ( ).
Compreender e utilizar as representações algébrica e geométrica de um número
complexo.
Utilizar as operações com números complexos nas duas formas de representação.
Encontrar o resultado da potenciação e da radiciação de números complexos e
compreender as respectivas interpretações geométricas.
41
unidade
Nesta unidade, começamos o estudo dos números complexos, a partir de uma reflexão a
respeito dos números, de suas características, de seus usos, para, então, apresentar um
percurso histórico por meio do qual se fizeram necessários os números complexos. Em
seguida, apresentamos o Conjunto dos números complexos e suas propriedades. Os
complexos são ainda apresentados nas suas duas representações – algébrica e
goemétrica -, para as quais se definem as operações de adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e radiciação. Para essas duas últimas operações, apresentamos
ainda as respectivas representações geométricas.
CONCEITOS E CONTROVÉRSIAS
Sabemos que os números 1, 2, 3, 4, ..., n, ... – que formam o conjunto
naturais – surgiram a partir de situações concretas de contagem.
*
dos números
Entretanto, ao se praticarem as operações fundamentais (adição, subtração,
multiplicação e divisão) com os elementos de
conjunto. Por exemplo:
No conjunto
*,
a equação algébrica
cumpre a condição
perceberam-se as limitações desse
x+5=1
não possui solução.
Admitindo que cada elemento a de
*,
*
possui um simétrico –a, isto é, um número que
–a + a = a + (–a) = 0
43
2
pode-se falar, então, nos números simétricos aos números naturais, isto é, os números
inteiros negativos. Os números naturais passam a ser chamados, assim, de números
inteiros positivos.
Surge, assim, o chamado conjunto
dos números inteiros relativos, que é a união do
conjunto dos números inteiros positivos com o zero e com o conjunto dos números
inteiros negativos.
No estudo das “regras de sinal” para a multiplicação em , um fato se evidencia:
multiplicar por –1 significa “trocar o sinal” e, evidentemente, trocar o sinal duas
vezes equivale a deixar como está.
Em termos gerais, dizemos que
multiplicar um número inteiro relativo por –a quer dizer multiplicar por (–1)a,
ou seja, primeiro por a e, depois, por –1.
Resumindo:
multiplicar um número inteiro relativo por –a é o mesmo que multiplicar por a e,
depois, trocar o sinal. Daí, resulta que (–a)(–b) = ab.
A partir desses fatos, as manipulações com números relativos se desenvolvem sem
maiores novidades. Entretanto, na cabeça das pessoas mais inquisidoras, resta uma
sensação de “regra outorgada pela força”. Mais precisamente, insinua-se:
44
unidade
 Será possível demonstrar, em vez de impor, que (–1)(–1) = 1? *
Outra insinuação que geralmente se faz, quando do primeiro contato com o conjunto
a seguinte:
é
 Será que os inteiros negativos possuem alguma utilidade?
Quando alguém pergunta o que é isso ou aquilo e recebe como resposta a definição do
dicionário, vemos a ênfase mudando na resposta porque, na verdade, essa definição não
revela exatamente o que isso ou aquilo é, mas, sim, o quer dizer. Ao longo do processo
de desenvolvimento da ciência matemática, observamos, por exemplo, os nomes dos
números se afunilando em símbolos e os próprios números se subordinando às regras às
quais obedecem. A mudança na Matemática começou quando alguém contou, pela
primeira vez, e evoluiu pelo projeto – em andamento – de derivar essas leis de um
conjunto de axiomas capazes de serem manuseados pelos matemáticos. Acompanhando
a mudança de paradigma, a influência recíproca dos números veio a ser entendida como
manifestação desses axiomas. Nós os vivenciamos como se eles fossem anteriores à
experiência.
Torna-se importante fazer a seguinte reflexão:
*
Veja o Apêndice deste Capítulo.
45
2
Com a evolução do pensamento matemático, os números se tornavam invisíveis: não
mais descrevendo objetos, mas sendo eles os próprios objetos. Os números adquiriam
adjetivos próprios: positivos, negativos, naturais, racionais, reais (racionais e
irracionais). Com o tempo, esses adjetivos viriam a se tornar substantivos (os reais, os
racionais). Os números mudaram e tinham sua existência considerada em meio às
operações neles executadas. Tudo que vimos e entendemos estava passando das causas
dos números a seus efeitos.
O que caracteriza a atividade viva de fazer matemática é que, para qualquer coisa ser
um número, ela tem de se socializar com os números que já existem, sendo capaz de,
pelo menos, trocar “amabilidades” com os “nativos”.
A seguir, a título de ilustração, apresentamos algumas situações-problema que podem
ser usadas para construir a compreensão das “regras de sinal”, para a adição e para a
multiplicação em
, além de contribuir para o melhor entendimento dos números
negativos em problemas concretos.
SITUAÇÃO 1
Vamos utilizar o conjunto
e representar um lucro, por um número positivo, e um
prejuízo, por um número negativo.
Por exemplo:
“+ 20 reais” significam um lucro de 20 reais
46
unidade
“– 30 reais” significam um prejuízo de 30 reais.
3 reais de prejuízo podem ser representados pelo número –3.
4 reais de lucro podem ser representados pelo número +4.
CONCLUSÃO:
Um prejuízo de 3 reais somado a outro prejuízo de 8 reais resulta em um prejuízo
total de 11 reais. Por isso, é intuitivo concluir que
(–3) + (–8) = –11
Um prejuízo de 3 reais somado com um lucro de 8 reais resulta em um lucro de 5
reais. Por isso, é intuitivo concluir que
(–3) + (+8) = +5
Um lucro de 3 reais somado com um prejuízo de 8 reais resulta em um prejuízo
de 5 reais. Por isso, é intuitivo concluir que
(+3) + (–8) = –5
SITUAÇÃO 2
Vamos utilizar o conjunto
e representar um ganho, por um número positivo, e uma
perda, por um número negativo. Vamos representar, também, o tempo no futuro, por
um número positivo, e o tempo no passado, por um número negativo.
Por exemplo:
47
2
+ 8 reais significam um ganho de 8 reais.
– 8 reais significam uma perda de 8 reais.
3 reais perdidos podem ser representados pelo número –3.
4 dias no futuro, depois de hoje, podem ser representados pelo número +4.
– 3 dias significam 3 dias, antes de hoje.
4 dias, antes de hoje, podem ser representados pelo número –4.
12 reais perdidos podem ser representados pelo número –12.
12 reais ganhos podem ser representados pelo número +12, ou, simplesmente,
12.
CONCLUSÃO:
Se uma pessoa perde 3 reais por dia, então, em 4 dias, a partir de hoje, essa
pessoa terá perdido 12 reais, ou seja,
(–3) (+4) = –12.
Se uma pessoa vem perdendo 3 reais por dia, então, em 4 dias, antes de hoje, essa
pessoa estava 12 reais mais rica, ou seja:
(– 3) (– 4) = 12 .
Se uma pessoa vem ganhando 3 reais por dia, então, em 4 dias, antes de hoje, tal
pessoa tinha 12 reais a menos, ou seja:
(+ 3)
(– 4) = –12.
48
unidade
Para encerrar essa discussão sobre conceitos e controvérsias, vamos voltar à equação
x+5=1
que, no conjunto , pode ser resolvida do seguinte modo:
x+5=1
x + 5 + (–5) = 1 + (–5)
x + 0 = –4
x = –4
Uma equação como essa – bem como sua respectiva solução negativa – poderiam não
fazer sentido no passado remoto da humanidade. Hoje, é possível dar-lhe significado,
imaginando, por exemplo, o seguinte contexto:
Em uma conta bancária foram depositados 5 reais e o saldo
passou a ser de 1 real. Isso implica que havia um débito de 4 reais
nessa conta.
Essa maneira de pensar torna os números negativos tão reais quanto seus equivalentes
positivos.
49
2
UM POUCO DA HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS
A história dos números complexos ilustra bem como um conceito matemático
fundamental pode demorar muito até ser bem compreendido e aceito. É uma história
longa de resistência, por parte de excelentes matemáticos, a admitirem a existência dos
números complexos, mesmo quando os usavam.
Os números complexos começaram a aparecer sistematicamente em Matemática com os
algebristas italianos do século XVI. Quando isso aconteceu, os matemáticos não tinham
nem ainda esclarecido os conceitos de números negativos e irracionais. Assim, o
desenvolvimento do conceito de número não foi algo progressivo, dando-se na ordem
que nos parece natural, e que é exposta nos textos: números naturais, inteiros, racionais,
reais e, por fim, complexos. Até o século XIX, quando CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855),
divulgou a interpretação geométrica dos números complexos, ainda havia matemáticos
que discutiam se os números negativos realmente existiam ou não.
Na matemática antiga, se um algebrista desejava negar a existência de números
irracionais ou negativos, dizia, simplesmente, – como os gregos antigos – que as
equações x2 = 2 e x + 2 = 0, por exemplo, não são resolúveis. De modo semelhante, os
algebristas tinham podido evitar os números imaginários, simplesmente dizendo que
uma equação como x2 + 1 = 0 não é resolúvel. Não havia necessidade de considerar
raízes quadradas de números negativos.
Credita-se ao italiano GERÔNIMO CARDANO (1501-1576) o primeiro uso da raiz quadrada
de um número negativo, quando resolve o seguinte problema, agora famoso:
Dividir 10 em duas partes cujo produto é 40.
50
unidade
que se reduz a resolver a equação de segundo grau
x2 – 10x + 40 = 0
De início, CARDANO declarou ser manifestamente impossível encontrar uma solução
desse problema. Depois, no entanto, com espírito propriamente audaz – típico de quem
tinha, como ele, formação médica – teria dito:
“Não obstante, operaremos”.
Resolvendo a equação acima, pelo método usual de completar o quadrado, obteve:
x2 – 10x + 40 = 0, isto é, (x – 5)2 – 25 + 40 = 0, donde (x – 5)2 = – 15
Daí, operando como se os números que aparecem fossem números reais, escreveu:
x–5 =
Daí, concluiu que x = 5
15 ou x = 5
15 ,
15 , que é a solução procurada.
Deixando de lado – como proposto pelo próprio CARDANO – toda a tortura mental
envolvida, temos:
(5
15 ) + ( 5
(5
15 ) ( 5
15 ) = 10.
15 ) = 25 – (–15) = 40.
51
2
Desse modo, ele encontrou 5
fato, têm soma 10 e produto 40.
15 e 5
15 , mostrando que esses números, de
CARDANO conclui, dizendo que essas quantidades são “verdadeiramente sofisticadas” e
que, continuar trabalhando com elas, seria “tão sutil quanto inútil”. Outros autores,
posteriormente, mostrariam que tais manipulações eram de fato sutis, mas nada inúteis.
É um mérito de CARDANO que ele, ao menos, tenha dado alguma atenção a essa intrigante
situação.
A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO CÚBICA
Em 1545, CARDANO, em seu livro “Ars Magna” (A Grande Arte), mostrou o método para
resolver equações do terceiro grau **, hoje, chamado de Fórmula de CARDANO. Veja, a
seguir, o enunciado desse método.
A expressão para as raízes da equação
x3 + px + q = 0,
conhecida como fórmula de CARDANO, é dada por:
x
**
3
q
2
q2
4
p3
27
3
q
2
q2
4
p3
.
27
A resolução de equações cúbicas não foi, em sentido algum, motivada por considerações
práticas, nem tinham valor para os engenheiros ou praticantes da matemática. O mais importante
resultado das descobertas publicadas na Ars Magna foi o enorme impulso dado, em várias direções, à
pesquisa em álgebra.
52
unidade
Com a solução da equação cúbica, surgiu a necessidade de considerar raízes quadradas
de números negativos. Sempre que as três raízes de uma equação cúbica são reais e
diferentes de zero, a fórmula de CARDANO leva, inevitavelmente, a raízes quadradas de
números negativos. Para esse tipo de equação cúbica, o alvo era um número real.
Entretanto, ele não poderia ser atingido sem que se compreendesse alguma coisa sobre
os números imaginários. Nesse caso, então, se tornava necessário levar em conta os
imaginários, mesmo que se concordasse em só aceitar raízes reais.
Quando, por exemplo, se aplica a fórmula de CARDANO à equação
x3 –15x – 4 = 0
o resultado é
x 
3
2   121 
3
(*)
2   121
(#)
Se, por um lado, CARDANO sabia que não existe raiz quadrada de número negativo, por
outro, ele sabia que x = 4 é uma raiz de (*). Portanto, ele não conseguiu entender como
sua regra faria sentido em tal situação.
Um outro importante algebrista italiano, RAFAEL BOMBELLI (cerca de 1526-1573) –
considerado um discípulo de CARDANO – teve o que chamou de “ideia louca”: aplicando as
regras usuais da Álgebra, mostrou que
2 
***
2 

3
 1  2   121 ***
De fato,

3
    1
2
 1  2 3  3.2 2 .  1  3.2.  1 
3
 8  12  1  6   1  2  11  1  2   121.
53
2
ou seja,
3
2
121
2
1
3
2
121
2
1
De modo análogo, mostrou que
Portanto, voltando em (#),temos que o valor de x é dado por
x= 2
1+2
1 = 4
Como x = 4 é realmente raiz da equação (*), a partir de BOMBELLI, os matemáticos
passaram a usar as raízes quadradas de números negativos, embora se sentissem um
pouco desconfortáveis com isso. BOMBELLI trabalhava sistematicamente com a
quantidade
1 , que hoje chamamos unidade imaginária e representamos por i. Apenas
no século XIX, quando GAUSS divulga a representação geométrica dos números
complexos, é que essa sensação de desconforto desaparece.
Uma mudança na atitude dos matemáticos em relação aos números complexos pode ser
percebida nas palavras de ALBERT GIRARD (1590-1633):
54
unidade
“Pode-se perguntar: para que servem essas soluções impossíveis (raízes complexas)?
Eu respondo: para três coisas:
–
–
–
para a validez das regras gerais;
devido à sua utilidade;
por não haver outras soluções.”
O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
No conjunto
dos números reais, as seguintes propriedades das operações de soma e
produto são consideradas fundamentais, tendo em vista o fato de que, a partir delas, é
possível deduzir todas as regras de operações aritméticas sobre
:
(1) A adição e a multiplicação são comutativas, isto é, se a e b são números reais, então,
i)
ii)
a + b = b + a;
ab = ba.
(2) A adição e a multiplicação são associativas, isto é, se a, b e c são números reais, então,
i)
ii)
(a + b) + c = a + (b + c);
(ab)c = a(bc).
(3) A multiplicação é distributiva relativamente à adição, isto é, se a, b e c são números
reais, então,
i)
a (b + c) = ab + ac;
55
2
ii)
ab = ba.
(4) Existem, e são únicos, os números 0 e 1 satisfazendo às condições:
i)
ii)
a + 0 = a;
a1 = a,
para todo real a.
(5) A todo real a corresponde um único número real (–a), e, se a
real
1
, tais que
a
i)
ii)
0, um único número
a + (–a) = 0;
a
1
= 1.
a
Assim, por exemplo:
(a) De acordo com a propriedade (4), decorre que (–1)1 = –1.
(b) Aplicando as propriedades (3), (4) e (5), decorre que a0 = 0.
(c) A partir das propriedades acima, também pode ser deduzido que (–1)(–1) = 1.
Decorre de (c) que o quadrado a2 = aa de um número real a nunca é negativo. Em outras
palavras, no conjunto dos números reais não é possível extrair a raiz quadrada de
um número negativo.
56
unidade
Os números complexos nascem dessa impossibilidade. Queremos dispor de um conjunto
de objetos – que chamaremos números complexos – em que se possa somar e
multiplicar e em que se possa, também, extrair a raiz quadrada de um número negativo.
Evidentemente, queremos que os reais sejam elementos desse conjunto e que as
operações de adição e multiplicação, quando feitas sobre reais, deem o mesmo resultado
que as operações que já conhecemos.
Existem muitas maneiras de definir o conjunto dos números complexos. Adotaremos a
seguinte:
Os números complexos constituem um conjunto
, em que estão definidas operações de
adição e multiplicação, com as propriedades (1), (2), (3), (4) e (5). Além disso, os
números reais estão incluídos em
e:
(a) Existe um número complexo i – chamado de unidade imaginária – tal que i 2 = –1.
(b) Todo número complexo pode ser escrito de uma maneira única na forma algébrica
a + bi, em que a e b são reais [a é chamado de parte real, e b é chamado parte
imaginária
do complexo a + bi]. Usa-se a notação Re(a + bi) = a e Im(a + bi) = b.
COMENTÁRIOS
Já que o complexo i é tal que
i . i = –1,
então,
57
2
(–i) . (–i) = (–1)2 i2 = i2 = –1,.
Isso significa que
são as possíveis raízes quadradas de –1.
i e –i
1 , por si só, poderia pressupor dois significados distintos: i e –i.
Portanto, o símbolo
Para evitar ambiguidades, assumiremos que
1 = i
Portanto, com essa convenção, a unidade imaginária i dos complexos pode ser definida
de dois modos:
i 2 = –1.
i=
1.
EXEMPLO 2.1
Dê significado para cada um dos símbolos
4 e
Solução.
4 =
a
4 i 2 = 2 i , ou seja,
ai2
imaginária”.
a
i2
a , com a > 0 .
4 significa “o dobro da unidade imaginária”.
a i , ou seja,
a , com a > 0, significa “ a vezes a unidade
58
unidade
POTÊNCIAS DE i
Ao trabalharmos com a unidade imaginária i, consideraremos válidas todas as
propriedades operatórias de
definições:
. De início, admitiremos a validade das seguintes
i0 = 1
i1 = i
i 2 = –1
As demais potências, i n , n
acima.
e n
3, podem ser obtidas por meio dos resultados
i0 = 1
i1 = i
i 2 = –1
i3 = i2 . i = – i
i4 = i3 . i = – i . i = – i2 = 1
i5 = i4 . i = 1 . i = i
i6 = i4 . i2 = 1 . i2 = i2 = – 1
i 7 = i 4 . i 3 = 1 . (– i) = – i
i8 = i4 . i4 = 1 . 1 = 1
i9 = i4 . i5 = 1 . i = i
i 10 = i 4 . i 6 = 1 . (–1) = –1
i 11 = i 4 . i 7 = 1 . (– i ) = – i
... e assim por diante.
59
2
COMENTÁRIOS
Os cálculos anteriores sugerem a existência de quatro resultados possíveis para as
potências de i. Observe como identificar em qual dos casos se enquadra uma potência i n
,n
e
n 4.
Se dividirmos n por 4, teremos:
isto é, n = 4q + r.
Portanto,
i n = i 4q + r = i 4q . i r = ( i 4 ) q . i r = 1 q . i r = i r
Assim, podemos fazer a seguinte generalização:
i n = i r,
em que r é o resto da divisão de n
por 4.
EXEMPLO 2.2
Calcular i 253.
60
unidade
Solução. Dividindo 253 por 4, temos:
Portanto, i 253 = i 1 = i.
EXERCÍCIOS 2.1
1. Calcule as seguintes potências da unidade imaginária:
(a) i 112
(b) i 245
(c) i 112
(d) i 1987
(e) i –127
2. Sendo n um número natural não nulo, calcule as seguintes potências da unidade
imaginária:
(a) i 4n
(b) i 4n+1
(c) i 4n–2
(d) i 8n+3
3. Se n é um número natural, encontre os possíveis valores para a soma
in +
1
in
4. Efetue as seguintes potenciações:
(a) (1 + i) 2
(c) (1 – i) 2
(e) (1 – i) 101
61
2
(b) (1 + i) 100
(d) (1 – i) 50
(f) (1 + i) 11
5. Lembrando que as propriedades operatórias de
seguintes equações quadráticas:
(a) x2 – 2x + 2 = 0
6. No conjunto
(a)
são assumidas em
(b) x2 + x + 1 = 0
, resolva as
(c) x2 – x + 1 = 0
, dê significado para os seguintes símbolos:
99
(b)
81
(c)
100
(d)
10.000
IGUALDADE EM
Decorre de (b), na definição de número complexo, que os complexos da forma a + 0i
são números reais.
Além disso, se
a + bi = c + di,
concluímos, a partir de (b), que a = c e b = d.
Isso quer dizer, portanto, que
62
unidade
se dois complexos são iguais, então, as suas partes reais e imaginárias são
iguais.
ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Usando as propriedades de (1) a (5), listadas anteriormente, podemos operar com
complexos de maneira análoga à que operamos com reais, com o cuidado de tomar i 2 =
–1.
Por exemplo:
(a) (5 + 3i) + (8 + 5i) = (5 + 8) + (3 + 5)i = 13 + 8i
(b) (8 + 7i) – (6 – 4i) = (8 – 6) + [7 – (–4)] i = 2 + 11i
(c) (7 + 2i)(4 + 3i) = 7(4 + 3i) + 2i(4 + 3i) = 28 + 21i + 8i + 6i 2 =
= 28 – 6 + (21 + 8)i = 22 + 29i.
EXERCÍCIOS 2.2
1. Efetue as seguintes adições:
(a) (3 – 2i) + (4 – 2i)
(b) (7 – 5i) + (0 + 0i)
(c) (2 + 0i) + (5 – 3i)
(d) (0 – 3i) + (8 + 6i)
63
2
2. Efetue as seguintes operações:
(a) (5 + 4i) + (2 + 7i) – (3 – 2i)
(c) 2(7 – 3i) + 5(4 – 2i) – 3(1 + 5i)
(b) (–3 – 2i) – (6 + i) – (5 – i)
(d) 5(3 + 7i) – 2(8 – i) – 7(–2 + 3i)
3. Em algumas situações, é conveniente usar uma letra (z, por exemplo) para indicar um
número complexo a + bi. Leia a seguinte definição:
Dado o número complexo z = a + bi, o número – z = –a – bi é
chamado de oposto de z.
Faça o que se pede: mostre que, se z
4. Se z1 e z2
, então, z + (–z) = 0.
são tais que z1 . z2 = 0, mostre que z1 = 0 ou z2 = 0.
[Sugestão: considere as duas possibilidades, (1ª) z1 = 0 e (2ª) z1 0, e faça a
demonstração em cada uma dessas possibilidades].
5. Determine um número complexo z tal que
(2 + 3i) z = 21 – i
6. Determine um número complexo z tal que
(1 – i) z = 14
64
unidade
7. Responda, com justificativa, se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) Não existem números reais b tais que (1 + bi)3 seja um número real.
(b) É igual a zero a soma dos números reais b para os quais (1 – bi)3 é um número
imaginário puro.
8. Determine os valores de a que fazem da potência (a + ai)3 um número:
(a) real
(b) imaginário puro
9. Considere a seguinte definição:
As raízes quadradas de um número complexo z são os números complexos w
tais que w.w = z.
Faça o que se pede: calcule as raízes quadradas dos seguintes complexos:
(a) i
(b) 3 + 4i
(c)
1
2
3
i
2
10. Defina o que é uma raiz cúbica de um número complexo e, em seguida, calcule a raiz
cúbica da unidade imaginária.
65
2
11. Para resolver uma equação do 2° grau com coeficientes complexos, utiliza-se um
procedimento análogo ao que se usa numa equação do mesmo grau com coeficientes
reais. Sabendo-se disso, resolva as seguintes equações quadráticas complexas:
(a) z2 = 5zi
(b) 5z2 = –2zi
(c) –3z2 = iz
(d) z2 – 4iz – 5 = 0
(d) z2 – 2iz – 2 = 0
(e) z2 + 4iz – 4 = 0
(f) z2 – (3 + i)z + 2 + 2i = 0
(g) z2 – (3 + 4i)z – 1 + 5i = 0
(h) z2 – (2 + i)z + 2i = 0
Vamos tratar, agora, de mais uma operação aritmética que pode ser definida em
.
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Sejam dados os complexos, z1 e z2, com z2
0. Para dividir z1 por z2, procuramos um
Portanto,
z1
complexo z3 tal que z1 = z2 . z3.
z1
z2
z3
Exemplo 2.3
Vamos efetuar a divisão
2 5i
.
3 4i
66
z 2 z3
unidade
Para isso, será necessário encontrar um complexo z = a + bi, a e b
2 5i = (3 4i ) (a + bi).
Portanto, devemos ter
isto é,
, tal que
2 5i = (3a – 4b) + (4a + 3b)i,
3a 4b
2
4a 3b
5
Resolvendo esse sistema de equações lineares reais, obtemos:
a=
14
25
e b=
23
.
25
Nesse caso, portanto, concluímos que
2 5i
=
3 4i
14
25
23
i.
25
Atenção. A divisão de números complexos pode ser facilitada através de um artifício.
Para estudá-lo, será necessário introduzir a seguinte definição.
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado o número complexo, z = a + bi, a e b
z ) ao número complexo
, chama-se conjugado de z (denotado por
z = a – bi, a e b
.
Exemplo 2.4
O conjugado do número complexo z = 5 + 3i é o número complexo z = 5 – 3i.
67
2
Se z = –2 + 7i, então, z = –2 – 7i.
Se z =
2 – 5,677i, então, z = 2 + 5,677i.
Se z = 0,37i, então, z = – 0,37i.
Se z = 1003,56, então, z = z.
De imediato, surgem duas propriedades do conjugado de um número complexo z = a +
bi, a e b
:
1ª) z + z é um número real.
De fato, z + z = a + bi + a – bi = 2a.
Como a
, então, 2a
.
2ª) z . z é um número real não negativo.
De fato, z . z = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2.
Como a e b
, então, a2 + b2
Além disso, a2 + b2 0.
.
Exemplo 2.5
(a) (3 + 2i) + (3 – 2i) = 6.
(b) (3 + 2i) (3 – 2i) = 32 – 6i + 6i – 4i2 = 9 + 4 = 13.
ARTIFÍCIO PARA EFETUAR A DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Por definição, o resultado da divisão de um número complexo z = a + bi, a e b
um número real c 0, é o número complexo w =
Em símbolos, escrevemos
a bi
c
a
c
68
a
c
b
i
c
b
i.
c
, por
unidade
Usando esse fato, e uma propriedade do conjugado, podemos reduzir uma divisão de
dois números complexos a uma divisão de um número complexo por um número real.
Acompanhe.
Sejam os números complexos, z = a + bi, a e b
e w = x + yi, x e y
, sendo w 0.
Multiplicando o numerador e o denominador do quociente
a bi
x yi
pelo conjugado do denominador, obtemos:
a bi
=
x yi
( a bi ) ( x
( x yi ) ( x
(ax by) ( xb ay)i
ax by
yi )
=
= 2
2
2
x
y
yi )
x
y2
xb ay
i.
x2 y2
Esse é, portanto, o artifício matemático que pode ser usado para efetuar a divisão
0, dos números complexos z e w.
Exemplo 2.6.
Retomemos a divisão proposta no Exemplo1:
2 5i
3 4i
Nesse caso, temos:
2 5i
3 4i
(2 5i ) (3 4i )
(3 4i ) (3 4i )
6 8i 15 i 20
32 4 2
69
14 23 i
=
25
14
25
23
i.
25
z
,w
w
2
EXERCÍCIOS 2.3
1. Mostre que
(a) Se z é real, então, z = z.
(b) Para qualquer número complexo z, tem-se que z  z
2. Se z e w são números complexos, prove que
(a) z  w  z  w
(b) z  w  z  w
(c) z . w  z . w
z
 
w
(d) se w  0, então,  
z
w
3. Use o método da indução finita para demonstrar a seguinte propriedade:
Se n é um número inteiro positivo, então, para qualquer número complexo z, temse
z 
n
 zn .
4. Usando o artifício matemático para efetuar divisões de números complexos, calcule:
(a)
(b)
3 i
2  3i
5  2i
3i
70
unidade
(c)
10  i
10  i
5. Considere a seguinte definição:
Dado um complexo z  0, chama-se o inverso de z ao número complexo z–1 tal
que
z . z–1 = 1.
Portanto, o número complexo z–1 é o resultado da divisão de 1 por z, ou seja,
1
z
z–1 =
6. Determine o inverso dos seguinte números complexos:
(a) z = 5 – 3i
(b) z = 7 + 5i
(c) z = i
7. Encontre números complexos w tais que
(a) w . w + 2(w – w ) = 5 – 8i
 
(b) w
2
w
(c) w3 = 2 w
(d) 2w – w = 1 + 6i
71
(d) z = – i
2
8. Analise o seguinte comentário:
Como
x2 + y2 = x2 – (–y2) = x2 – (y2 i2) = x2 – (y i)2 = (x + yi) (x – yi),
dizemos que a fatoração da soma de quadrados x2 + y2, no conjunto dos
complexos, é dada por
(x + yi) (x – yi).
9. Fatore, no conjunto dos complexos, as seguintes expressões, em que x e y são
números reais:
(a) 4x2 + 9y2
(b) x2 + 25
(c) 16x2 + 1
(d) x2 + 2y2
10. Fatore, no conjunto dos complexos, a expressão a4 – b4, em que a e b são números
reais.
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS: O PLANO DE GAUSS
Conforme definido inicialmente, um número complexo z pode ser escrito na forma
algébrica
z = a + bi (a, b
e i2 = –1).
Além disso, sabemos que
a é a parte real de z [em símbolos, a = Re(z)];
72
unidade

b é a parte imaginária de z [em símbolos, b = Im(z)].
Quando Re(z) = 0, z é denominado de imaginário puro. Portanto, um número
imaginário puro é um número escrito na forma
bi, (b 
e i2 = –1)
Quando Im(z) = 0, o número complexo z é um número real.
O conjunto dos números reais – que consta dos números racionais e dos irracionais –
pode ser representado geometricamente, numa correspondência biunívoca, pelo
conjunto de todos os pontos de uma reta, chamada de reta (eixo) real. Isso significa que
cada ponto da reta representa um único número real e que cada número real é
representado por um único ponto da reta, como ilustra a Figura 2.1, abaixo.
FIGURA 2.1 – Eixo real
As operações de adição, subtração e multiplicação podem ser efetuadas com quaisquer
números desse conjunto. A operação de divisão em
o divisor for igual a zero.
só não pode ser efetuada, quando
Raízes reais de números positivos podem ser representadas na reta real, mas a raiz
quadrada de um número negativo não existe em
.
A raiz quadrada de um número negativo é um número imaginário puro. De fato, se
fizermos i =
 1 , teremos, por exemplo:
73
2
2 =
2 i,
9 = –3 i,
4 = 2 i,
5 =
2,5 = – 2,5 i
5 i,
etc.
16 = 4 i,
16 = –4i,
Todos os números imaginários puros podem ser representados por pontos de uma reta,
chamada de reta (eixo) dos números imaginários puros, como ilustra a Figura 2.2,
abaixo.
FIGURA 2.2 – Eixo dos números imaginários puros
Não foi feliz a escolha da expressão “imaginário puro”, para designar os números da
forma bi, com i =
1 , pois dá a falsa impressão de que são números que não existem. É
preciso ressaltar, portanto, que essa expressão significa, simplesmente, que os números
imaginários puros não podem ser representados na reta real; eles estão situados, como
acabamos de ver, em uma outra reta: a reta dos números imaginários puros.
Se – como na Figura 3, dada a seguir – o eixo real for perpendicular, no ponto de
cruzamento O, ao eixo dos números imaginários puros (ou eixo dos i), cada ponto do
plano complexo resultante representa um único número complexo e vice-versa. A
Figura 2.3 mostra a representação geométrica de seis números complexos (z1, z2, ..., z6).
74
unidade
z1 = 4i
z2 = 3 + 3i
z3 = 4
z4 = 2 – i
z5 = –4 – 2i
z6 = –3 + 2i
FIGURA 2.3 – Plano complexo
O plano complexo também é denominado de Plano de Argand-Gauss ou, simplesmente,
Plano de Gauss.
O ponto P(a, b), correspondente ao número complexo z = a + bi, é denominado de afixo
de z.
75
2
MÓDULO, ARGUMENTO E FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
Na Figura 2.4, abaixo, representamos o número complexo z = a + bi, no Plano de Gauss.
FIGURA 2.4
Lembrando que o afixo de z é o ponto P(a, b), temos que
a = r cos θ ;
b = r sen θ ;
r =
a 2 b2 .
Os números r e
são as coordenadas polares do afixo de z.
Portanto, z = a + bi = r (cos θ + sen θ i) =
O número r =
a 2 b2 (cos θ + sen θ i).
a 2 b2 , chamado de módulo do número complexo z = a + bi, é indicado
por z . Assim, z significa, geometricamente, a distância do afixo de z à origem O do
plano complexo.
O número θ denomina-se argumento do número complexo z = a + bi. Chamando de P o
afixo de z, concluímos que θ é a medida do ângulo formado pelo segmento OP com o
semieixo positivo OX. Por convenção, mede-se θ , a partir de OX, no sentido anti-horário.
76
unidade
O número θ , tal que 0  θ  2 (ou 0  θ  360°), é chamado de argumento principal
de z.
Com essas definições e notações, podemos representar um número complexo z qualquer
do seguinte modo:
z = z (cos θ + sen θ i)
Essa é a chamada forma trigonométrica de z que se revelará muito útil nos cálculos
envolvendo potências e raízes complexas.
COMENTÁRIOS
Como vimos, se θ é o argumento principal de um número complexo z, então,
z = z (cos θ + sen θ i)
Observe que, substituindo θ nessa expressão por θ + 2k, em que k é um inteiro
positivo, negativo ou nulo, o complexo z não se altera. Em muitos casos, é conveniente
usar essa expressão mais geral:
z = z [cos θ  2kπ  + sen θ  2kπ  i]
e dizer que θ + 2k são os argumentos de z.
Exemplo 2.7.
Vamos determinar a forma trigonométrica do número complexo z =
77
2 2i.
2
Para esse fim, precisamos calcular o módulo e o argumento de z.
Nesse caso, a =
z =
cos θ
senθ
2 e b=
a 2 b2 =
a
z
2
2
b
z
2
2
2 . Portanto, temos:
2 2 = 2.
θ
π
é o argumento principal de z.
4
Portanto, a forma trigonométrica de z =
2
z = 2(cos
2i é
π
π
+ sen i)
4
4
que pode também ser escrita como
z = 2 [cos
π
4
2kπ + sen
π
4
2kπ i ]
EXERCÍCIOS 2.4.
1. Representar, na forma trigonométrica, os seguintes números complexos:
(a) 1 +
3i
(b) –1 + i
(c) –8
(d) – 3 – i
78
unidade
(e) 5
(f) cos θ – sen θ i
(g) –cos θ + sen θ i
(h) –sen θ + cos θ i
(i) sen θ – cos θ i
2. Represente, na forma trigonométrica, o conjugado do número complexo
z = z (cos θ + sen θ i)
3. Determine o afixo dos seguintes números complexos, representando-os num mesmo
plano complexo:
(a) 7 + 2i
(b) –5 – 3i
(c) –8 + i
(d) 6
(e) –9
(f) –7i
4. Em cada item abaixo, é dado um ponto que é o afixo de um número complexo.
Determine esse número.
(a) (0, 15)
(b) (15, 0)
(c) (–23, 0)
(d) ( 2,5 , –1,36)
(e) (3, –3)
5. Determine o módulo dos seguintes números complexos:
(a) –4 + 3i
(b) –4 – 3i
(c) –7i
(d) 6
(e) –9
(f) 10 – 7i
6. Determine o argumento principal de cada um dos seguintes números complexos:
79
2
(a) z = 3(cos 60° – sen 60° i)
(b) z = 7(cos 50° – sen 50° i)
(c) z = –7(cos 50° + sen 50° i)
(d) z = 7(cos 50° – sen 50° i)
(e) z = –7(cos 50° – sen 50° i)
7. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que z = 3.
2.
8. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que z
9. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que 1
z
10. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que 0 < z
5.
11. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que
1
2
z
Re( z )
1
2
1
12. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que
1
2
z
Im(z )
1
80
1
2
3.
unidade
13. Responda, apresentando justificativa: existe algum número complexo z que tenha
módulo simultaneamente igual ao módulo de
1
e ao módulo de 1 – z ?
z
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA OPERAÇÃO DE MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS
COMPLEXOS
Um número complexo z = a + bi pode ser pensado, também, como um vetor Oz , de
origem O e extremidade (a, b), como se pode ver na FIG 2.5.
FIGURA 2.5 – Número complexo como vetor Oz
Como veremos agora, a forma trigonométrica de dois números complexos z1 e z2
permite-nos obter uma interpretação geométrica para o produto z1. z2.
Primeiro, lembramos que, se x é um número real qualquer, então:
cos(x +
sen (x +
π
) = – sen x
2
π
) = cos x
2
Um número complexo unitário z qualquer, isto é, de módulo igual a 1, pode ser escrito
na seguinte forma:
z = cos
+ sen
81
i
2
Vamos encontrar o significado geométrico de multiplicar z pela unidade imaginária i.
i z = i (cos
+ sen
Concluímos, assim, que
i ) = – sen
+ cos
i = cos( +
π
π
) + sen ( + ) i
2
2
Multiplicar um número complexo unitário por i significa, geometricamente, dar a z
uma rotação positiva de ângulo igual a
π
.
2
Agora, vamos encontrar o significado geométrico de multiplicar dois números
complexos unitários quaisquer, z1 e z2.
z1. z2 = (cos θ1 + sen θ1 i) . (cos θ 2 + sen θ 2 i) =
= (cos θ1 cos θ 2 – sen θ1 sen θ 2 ) + (sen θ1 cos θ 2 + sen θ 2 cos θ1 ) i =
= cos ( θ1 + θ 2 ) + sen ( θ1 + θ 2 ) i
82
unidade
Concluímos, desse modo, que
Multiplicar dois números complexos unitários z1 e z2 significa, geometricamente, dar a
um deles uma rotação positiva de ângulo igual ao argumento principal do outro.
Finalmente, considere, agora, dois números complexos, z1 e z2, quaisquer, não unitários.
Nesse caso, são unitários os números complexos unitários, w1 e w2, dados por
w1 =
Portanto,
1
z1 e w2 =
z1
1
z2 .
z2
z1. z2 = z1 w1 z2 w2 = z1
z2 w1 w2
Isso nos leva a concluir o seguinte:
Multiplicar dois números complexos, z1 e z2, quaisquer, é equivalente a multiplicar os
complexos unitários correspondentes,
resultado pelo número real z1
z2 .
1
z1 e
z1
83
1
z 2 , e, em seguida, multiplicar o
z2
2
Conclusão:
Se z1 e z2 são dois complexos quaisquer tais que
z1 = z1 (cos θ1 + sen θ1 i)
então,
z1. z2 = z1
e
z2 = z2 (cos θ 2 + sen θ 2 i) e,
z2 [ cos ( θ1 + θ 2 ) + sen ( θ1 + θ 2 ) i ]
Exemplo 2.8.
Vamos obter o módulo e o argumento principal do número complexo z1. z2, sendo
z1 = 2,5 (cos 283° + sen 283° i ) e z2 = 4 (cos 149° + sen 149° i ).
Nesse caso, temos que
z1. z2 = 2,5 . 4 [ cos (283° + 149°) + sen (283° + 149°) i ] = 10 (cos 432° + sen 432° i)
O argumento principal θ é o resultado da “redução” de 432°, à primeira volta do ciclo
trigonométrico, isto é, 432° – 360° = 72°.
Portanto, o módulo e o argumento principal do produto z1. z2 são, respectivamente, 10 e
72°.
84
unidade
EXERCÍCIOS 2.5
1. Efetue a multiplicação de z1 = cos
π
π
π
π
+ sen i por z2 = cos + sen i.
5
5
7
7
2. Se z1 = 2(cos 12° + sen 12° i), z2 = 7(cos 9° + sen 9° i) e z3 = 5(cos 27° + sen 27° i),
efetue o produto z1. z2. z3.
3. Sendo z1 = 2,5(cos 283° + sen 283° i) e z3 = 4(cos 149° + sen 149° i), determine o
módulo e o argumento principal do número complexo z1. z2.
4. Sendo z1 = 7 (cos
π
π
11π
11π
+ sen
i ) e z2 = 3 (cos + sen i ), determine o módulo e
3
3
12
12
o argumento principal do número complexo z1. z2.
5. Se z1 = cos 320° + sen 320° i, z2 = cos 310° + sen 310° i e z3 = cos 200° + sen 200° i,
determine o módulo e o argumento principal do número complexo z1. z2. z3.
FÓRMULA DE “De Moivre”
Considere a seguinte questão:
Dado um número complexo unitário z = cos x + sen x i, determinar a potência zn, sendo n
um número inteiro positivo.
85
2
Obter zn = ( cos x + sen x i ) n equivale a multiplicar cos x + sen x i, por si próprio, n
vezes. Como uma consequência imediata da interpretação geométrica do produto de
números complexos, concluímos o seguinte:
Multiplicar cos x + sen x i ,por si próprio, n vezes equivale a dar-lhe n rotações
positivas e sucessivas de ângulo x.
Obtemos, desse modo, a seguinte fórmula:
( cos x + sen x i )n = cos (nx) + sen (nx) i
Em geral, se z = z (cos x + sen x i), então, para n inteiro positivo, temos:
zn =
z
n
( cos x + sen x i ) n ,
ou seja,
zn
=
z
positivo.
n
[ cos (nx) + sen (nx) i ],
Sendo n um inteiro positivo, vamos calcular z–n.
z–n =
1
=
zn
1
z
n
[cos (nθ ) sen (nθ ) i ]
=
86
para n inteiro
(*1)
unidade
=
=
1 [cos (nθ ) sen (nθ ) i ]
z
n
[cos (nθ ) sen (nθ ) i ] [cos (nθ ) sen (nθ ) i ]
=
cos (nθ ) sen (nθ ) i
z
n
[cos2 (nθ ) sen2 (nθ )]
=
cos ( nθ ) sen ( nθ ) i
n
z .1
Portanto,
z–n =
z
positivo.
–n
[ cos (–nx) + sen (–nx) i ],
para n inteiro
(*2)
De (*1) e (*2), temos que, se z = z (cos x + sen x i), então,
zn = z
n
[ cos (nx) + sen (nx) i ], para qualquer n inteiro.
Essa igualdade, conhecida como Fórmula de De Moivre, afirma o seguinte:
Elevar um número complexo, de módulo r e argumento x, à potência inteira n, resulta
no número complexo cujo módulo é igual a r n e cujo argumento é nx.
87
2
Exemplo 2.9.
Calcular (1 +
3 i )12.
Para calcular essa potência na forma algébrica, temos duas alternativas:
1ª) Multiplicar 1 +
3 i , por ele mesmo, 12 vezes;
2ª) Utilizar o desenvolvimento do binômio de Newton, obtendo, inicialmente, 13
parcelas.
Ambos os procedimentos exigem grande dose de paciência e atenção, ao passo que o
desenvolvimento trigonométrico possibilita uma considerável redução do trabalho de
cálculo.
Vamos obter, então, a forma trigonométrica de z = 1 +
z = 12
cosθ
a
z
senθ
b
z
( 3) 2
1
2
3
2
4
θ
3 i.
2.
60 é o argumento principal de z.
Portanto, podemos escrever
z = 2(cos 60° + sen 60° i)
Nesse caso, de acordo com a fórmula de De Moivre, temos:
88
unidade
(1 +
3 i )12 = [ 2(cos 60° + sen 60° i) ]12 = 212 [cos (12 . 60°) + sen (12 . 60°) i ] =
= 4.096 (cos 720° + sen 720° i) = 4.096.
EXERCÍCIOS 2.5.
1. Calcule z4, sendo z = 3(cos 15° + sen 15° i).
2. Calcule z10, sendo z = cos
π
π
+ sen
i).
10
10
3. Calcule z–5, sendo z = 2(cos 50° + sen 50° i).
4. Se z = 2(cos 70° + sen 70° i), encontre o módulo e o argumento principal de z7.
5. Se z = 5(cos 302° + sen 302° i), encontre o módulo e o argumento principal de z3.
9π
9π
6. Se z = 0,5(cos 5 + sen 5 i), encontre o módulo e o argumento principal de z–6.
7. Calcule o valor das seguintes potências:
1 
 1

i
(a) 
2 
 2
8
1 
 1

i
(b) 
2 
 2
6
1
3 
(c)  
i 
2 2 
246
1
3 
(d)  
i 
2
2


89
(e)
247

3i

9
2
8. Calcule o seguinte produto:
8
1
2
8
3
i
2
3
2
1
i
2
.
9. Determine o menor inteiro positivo n tal que o número complexo, a seguir, seja um
real positivo:
n
3
2
1
i
2
.
10. Determine o menor inteiro positivo n tal que o número complexo, a seguir, seja
imaginário puro, com coeficiente positivo:
n
3
2
1
i
2
11. Determine o menor inteiro positivo n tal que o número complexo, a seguir, seja real
negativo:
n
1
2
3
i
2
12. Determine o menor inteiro positivo n tal que o número complexo, a seguir, seja
imaginário puro, com coeficiente negativo.
1
2
n
3
i
2
90
unidade
13. Estude o exemplo a seguir:
Uma das utilidades da fórmula de De Moivre é permitir a determinação de cos nx e sen
nx, sem o uso das fórmulas trigonométricas de adição. Por exemplo, para calcular cos
3x e sen 3x, escrevemos:
cos 3x + sen 3x i = (cos x + sen x i)3 = cos3x + 3cos x i2 sen2x + 3cos2 x i sen x + i3 sen3x
= cos3x – 3cos x sen2x + (3cos2 x sen x – sen3x) i
Da igualdade de números complexos, concluímos que
cos 3x = cos3x – 3cos x sen2x
sen 3x = 3cos2 x sen x – sen3x
Usando a fórmula de De Moivre, calcule:
(a) sen 2 e cos 2
(b) sen 4 e cos 4
Vimos como se pode obter o produto de dois números complexos na forma
trigonométrica. Vamos tratar, agora, da divisão de números complexos em forma
trigonométrica.
91
2
FÓRMULA DA DIVISÃO
Considere os números complexos, z1 e z2, na forma trigonométrica:
z1 = r1 ( cos θ1  sen θ1 i )
z2 = r2 ( cos θ2  sen θ2 i )
Efetuando a divisão de z1 por z2, obtemos:
z1 r1 (cos θ1  sen θ1 i ) r1 cos θ1  sen θ1i cos θ 2  sen θ 2 i

 


z 2 r1 (cos θ 2  sen θ 2 i ) r2 cos θ 2  sen θ 2 i cos θ 2  sen θ 2 i

r1 (cos θ1  cos θ 2  sen θ1  sen θ 2 )  (sen θ1  cos θ 2  sen θ 2  cos θ1 )i


r2
cos 2 θ 2  sen 2 θ 2 i

r1
 cos (θ1  θ 2 )  sen (θ1  θ 2 ) i 
r2
Assim, concluímos que
Se z1 e z2 são números complexos, com módulos iguais a r1 e r2, respectivamente, r2  0,
z1
e com argumentos iguais a θ1 e θ 2 , respectivamente, então, o quociente z 2 é o número
r1
complexo cujo módulo é r2 e cujo argumento é igual a ( θ1 – θ 2 ).
92
unidade
Exemplo 2.10.
Se z1 = 12 (cos 49° + sen 49° i) e z2 = 4 (cos 26° + sen 26° i), então,


12
z1
  cos (49o  26o )  sen (49o  26o ) i = 3 (cos 23° + sen 23° i).
4
z2
Exemplo 2.11.
Se z = r ( cos θ  sen θ i ), então,
z–1 =
1
1
1
1 (cos 0  sen 0 i )
=
  cos (0  θ )  sen (0  θ ) i    cos (θ )  sen (θ ) i  .
r
r
z
r (cos θ  sen θ i )
Portanto, se zo =

2
(cos 73° + sen 73° i), então,
3

3
1
=  cos (73o )  sen (73o ) i .
2
zo
Para encontrar o argumento principal do número
1
é necessário “reduzir” –73o, à primeira
z0
volta positiva. Fazemos isso, somando 360o a –73o.
Portanto, o argumento principal do número
1
é 287o.
zo
93
2
EXERCÍCIOS 2.6
1. Divida z1 = 7 (cos
π
π
π
π
+ sen i) por z2 = 7 (cos + sen i).
4
6
6
4
2. Determine o inverso do número z = 2 (cos
2π
2π
+ sen
i).
7
7
3. Determine o módulo e o argumento principal do número
z1
, sendo
z2
4. Determine o módulo e o argumento principal do número
z1
, sendo
z2
z1 = 15 (cos 123° + sen 123° i) e z2 = 5 (cos 250° + sen 250° i).
z1 = cos
π
π
π
π
+ sen i) por z2 = 2 (cos + sen i).
5
5
3
3
5. Sendo z = 3 (cos 40° + sen 40° i), determine o módulo e o argumento principal do
número
1
.
z
6. Sendo z–1 = 2 (cos 45° + sen 45° i), determine o módulo e o argumento principal do
número z.
94
unidade
RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Considere o número complexo z = r ( cosθ sen θ i ). Sendo n um número inteiro
positivo, chamamos de raiz n-ésima de z a qualquer complexo w = s ( cos σ sen σ i ) tal
que
Mas
wn = z.
wn = [s ( cos σ sen σ i )]n = sn ( cos(nσ) sen (nσ) i )
de acordo com a fórmula de De Moivre
Portanto, wn = z se, e somente se,
sn ( cos(nσ) sen (nσ) i ) = r ( cosθ sen θ i )
A fim de que se possa estabelecer essa igualdade, devemos ter:
sn r
cos(nσ )
cos θ
sen(nσ ) sen θ
ou seja
s
nσ
n
r
θ
2kπ
Portanto, temos os seguintes argumentos para as raízes n-ésimas de z:
95
2
θ
n
σ
2kπ
n
(0
σ
2π )
Fazendo k assumir sucessivamente os valores 0, 1, 2, ... , (n – 1), obtemos os respectivos
argumentos σ 1 , σ 2 , ... , σ n das n raízes n-ésimas de z, a saber:
θ
n
σ1
σ3
σ2
θ
n
θ
n
2.
2π
n
2π
n
( )

σn
θ
n
(n 1) .
2π
n
Exemplo 2.12
Vamos determinar as raízes cúbicas de z =
2
2
2
i.
2
Primeiro, escrevemos z na forma trigonométrica:
z=
2
2
2
i = cos 45° + sen 45° i
2
Nesse caso, temos que
96
unidade
s =
σ1
σ2
σ3
Portanto,
3
2
2
45
3
2
i
2
2
45
3
360
3
360
3
15
cos15
3
1=1
45
3
15
15
120
135
2(120 ) 15
sen15 i
240
255
w1
cos135
sen135 i
w2
cos 255
sen 255 i
w3
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA RADICIAÇÃO
As expressões dadas em ( ) mostram que a sequência de argumentos das n raízes n-ésimas de um número complexo z constitui uma progressão aritmética de razão
360
), cujo primeiro elemento é σ1
n
θ
.
n
Como as n raízes n-ésimas de z têm o mesmo módulo, s
n
2π
(ou
n
r , concluímos que os afixos
de cada uma dessas raízes estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio
s
n
r , dividindo-a em n partes iguais.
Exemplo 2.13
A representação das três raízes cúbicas de z =
97
2
2
2
i é a seguinte:
2
2
P1 é o afixo de w1 = cos 15° + sen 15° i;
P2 é o afixo de w2 = cos 135° + sen 135° i;
P3 é o afixo de w3 = cos 255° + sen 255° i.
Exemplo 2.14
Vamos achar as raízes cúbicas de z =
3 1
 i.
2 2
É fácil ver que a forma trigonométrica de z é dada por
z = cos (30° + k 360°) + sen (30° + k 360°) i,
sendo k um inteiro (positivo, negativo ou nulo), tomando o cuidado de incluir todas as
determinações do argumento de z.
É claro que qualquer complexo da forma
 30  k 360 
 30  k 360 
wk = cos 
  sen 
i
3
3




é uma raiz cúbica de z. Afinal, pela fórmula de De Moivre, wk   z .
3
Os possíveis valores de wk são:
98
unidade
wo = cos 10° + sen 10° i
k = 0,
w1 = cos 130° + sen 130° i
k = 1,
w2 = cos 250° + sen 250° i
k = 2,
w3 = cos (10° + 360°) + sen (10° + 360°) i = wo
k = 3.
Observe que, a partir de w3 = wo, as raízes começam a se repetir. Além disso, usando os
valores negativos de k, verificamos facilmente que
para k = –1, obtemos w2;
para k = –2, obtemos w1.
A partir daí, recomeça a repetição.
Conclusão: existem exatamente três cúbicas de z, a saber, wo, w1 e
distribuem como ilustrado na figura abaixo.
99
w2, que se
2
EXERCÍCIOS 2.7
1. Determine as raízes sextas do número complexo z = 1 –
3i.
2. Encontre as raízes cúbicas dos números complexos:
(a) z =
3
i
(b) z = 1
3. Determine as raízes quartas do número complexo z = 1 – i.
4. Determine as raízes sextas do número complexo z = –1.
5. Determine as raízes quadradas dos números complexos:
3i
(a) z = 1 +
(b) z = –3 + 4i
6. Resolva as seguintes equações, sabendo que z
(a) z8 –
3
(b) z6 – 8 = 0
i = 0
:
(c) z6 + 64 = 0
(d) z8 + 1 + i = 0
7. Resolva as seguintes equações biquadradas, sabendo que z є
(a) z8 + 3z4 + 2 = 0
(b) z6 – 2z3 + 2 = 0
100
:
unidade
8. Leia o texto, a seguir.
Como sabemos, por volta da metade do século XVI, o italiano Gerônimo Cardano
publicou um trabalho que teve enormes repercussões nos meios matemáticos da
época. Nesse trabalho, ele mostrou que, sob certas condições, uma das raízes da
equação do 3° grau x3 + ax + b = 0 (sem o termo em x2) podia ser obtida através da
seguinte fórmula de radicais:
x
3
b2
4
b
2
a3
27
a
33
b2
4
b
2
(a)
a3
27
Utilizando essa fórmula, podemos determinar, por exemplo, uma das raízes da
equação
x3 – 6x – 9 = 0
(b)
De fato, nesse caso, temos a = –6 e b = –9 e, assim, de (@) vem que
x
3
9
2
49
4
( 6)
3
3
9
2
3
6
8
3
49
4
3
2
8
É fácil ver que x = 3 é mesmo uma das raízes da equação (b).
Resolva, agora, a seguinte situação-problema:
101
6
3.2
3
2
Sejam:
VC o volume do cubo de aresta x;
VP o volume de um paralelepípedo com área da base igual a 3 m 3 e altura igual
a x.
Caso exista, determine a aresta x tal que VC = VP + 1.
102
unidade
APÊNDICE
Por que (–1)(–1) = 1?
Não se pode demonstrar algo a partir do nada. Para provar um resultado, é preciso
admitir uns tantos outros fatos como conhecidos. Esta é a natureza da matemática.
Todas as proposições matemáticas são do tipo “se isto então aquilo”. Ou seja, admitindo
isto como verdadeiro, provamos aquilo como consequência.
Que fatos devem ser admitidos como verdadeiros para demonstrar, a partir deles, que
(–1)(–1) = 1?
De modo sucinto, podemos dizer que (–1)(–1) = 1 é uma consequência da lei distributiva
da multiplicação em relação à adição, conforme mostraremos, a seguir.
Uma primeira consequência da distributividade da multiplicação é o fato de que
a . 0 = 0, seja qual for o número a.
Com efeito, a + a . 0 = a . 1 + a . 0 = a (1 + 0) = a . 1 = a + 0.
Assim, a + a . 0 = a + 0.
Logo,
a . 0 = 0.
Agora podemos mostrar que (–1) . a = –a.
Com efeito, a + (–1) . a = 1 . a + (–1) . a = [1 + (–1)] . a = 0 . a = 0.
103
2
Logo, (–1) . a é o simétrico de a, ou seja, (–1) . a = –a.
Em particular, (–1)(–1) = –(–1) = 1.
OBSERVAÇÃO:
A demonstração acima nos permite concluir que, em geral, (–a)(–b) = ab , pois
(–a) . (–b) = (–1) . a . (–1) . b = (–1) . (–1) . a . b = ab.
104
unidade
UNIDADE 3
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Objetivos


Reconhecer quando uma expressão algébrica representa um polinômio;

divisão com polinômios, utilizando, quando houver, os dispositivos práticos;

divisão e multiplicação de polinômios;


Saber efetuar as quatro operações básicas: adição, subtração, multiplicação e
Determinar o grau de um polinômio, bem como o grau da soma, subtração,
Resolver equações do 1º, 2º e 3º graus;
Determinar o grau de uma equação a partir do número de raízes;
Relacionar os coeficientes de uma equação com suas raízes, sejam elas inteiras,
racionais ou complexas;
105
3
unidade
Nesta unidade, iniciaremos com o estudo de polinômios e suas propriedades e
operações. Em seguida, trataremos de um tipo especial de polinômio:
( )
, que
passará a ser chamado equação polinomial ou algébrica. A fim de fundamentar e
embasar nosso estudo, serão feitas importantes demonstrações, tais como do Teorema
de D’Alembert, que será amplamente utilizado ao longo de todo o capítulo, e
fundamental para tratarmos das raízes de uma equação algébrica.
Estudaremos, ainda, as relações entre coeficientes e raízes de uma equação.
NOÇÃO DE POLINÔMIO
Dado um número natural n, e os números complexos an, an-1, an-2, ..., a2, a1 e a0,
denominamos função polinomial ou polinômio em
𝑃𝑃(𝑥𝑥)
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛
definida para todo x
.
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛
à função
𝑎𝑎 𝑥𝑥
𝑎𝑎 𝑥𝑥
Os números an, an-1, an-2, ..., a2, a1 e a0 são chamados coeficientes,
são os termos do polinômio P e x é a variável.
Exemplo 3.1
São exemplos de polinômios em , na variável x:
( )
( )
( )
( )
(
√
)
(
.
)
Em contrapartida, não são exemplos de polinômios, na variável x:
( )
( )
107
√
𝑎𝑎
as parcelas
3
( )
Ocorre que, em alguns termos, n não é um número natural. Observe:
( )
( )
( )
√
(
)
VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO
Dado um polinômio
( )
,
e um número complexo α, denominamos valor numérico de P para x = α, e indicamos por
P(α), o resultado que obtemos, substituindo x por α e efetuando as operações indicadas.
Desse modo,
𝑃𝑃(α)
Exemplo 3.2
𝑎𝑎𝑛𝑛 α𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛 α𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛 α𝑛𝑛
Calcular o valor numérico do polinômio ( )
Exemplo 3.3
Dado
( )
( )
𝑎𝑎 α
𝑎𝑎
, para x = 5.
, calcular o coeficiente de m, de modo que se tenha
( ) = 1.
Temos
𝑎𝑎 α
()
108
unidade
RAIZ OU ZERO DE UM POLINÔMIO
Dizemos que um número complexo
somente se:
é raiz (ou um zero) de um polinômio ( ), se, e
𝑃𝑃(α)
Exemplo 3.4
Verifique se 1+ i é um zero do polinômio ( )
Fazendo
(
)
(
(
)
.
)
,
verifica-se que 1+ i é uma raiz (ou zero) de ( ).
Exemplo 3.5
Dê a condição sobre o natural n, para que (
) seja raiz de ( )
Primeiramente, queremos estabelecer valores de n
que (
)
= +1, pois 2n é par para todo n
( )
e queremos
então,
segue
, quando x=
(
)
Portanto, para que
,e
, de modo que (
. Assim sendo, ficamos com
.
. Agora, note que, se n é ímpar,(
não é raiz de ( ) Por outro lado, se n é par, (
(
. Observe
)
)
, e,
)
,e
.
)
é necessário que n seja par.
seja raiz de ( )
SOMA DOS COEFICIENTES
Dado o polinômio
( )
valor numérico de ( ) para x = 1 é igual a:
( )
109
,o
3
ou seja,
( ) representa a soma dos coeficientes de ( ).
A soma dos coeficientes e um polinômio 𝑃𝑃(𝑥𝑥) é igual a 𝑃𝑃( ).
Exemplo 3.6
Dado ( )
(
Ora, basta fazer
, encontrar a soma dos coeficientes de ( ).
)
( )
(
)
Note que encontramos a soma dos coeficientes sem explicitá-los, sendo que, como
( )
(
)
seus coeficientes são 10,
,
e 3.
GRAU DE UM POLINÔMIO
Considere um polinômio em x
( )
Definiremos o grau do polinômio P(x), e indicaremos por gr(P), considerando três casos:
1º) Se pelo menos um dos coeficientes
não for nulo, então gr(P)
será o maior dos expoentes de x nos termos com coeficientes não nulos. Por exemplo,
( )
2º) Se
3º) Se
gr(P) = 4
e
( )
, então, gr(P) = 0. Por exemplo,
gr(P) = 0
( ) tem todos os coeficientes nulos (que como veremos a seguir caracteriza um
polinômio identicamente nulo), então não se define gr(P). Por exemplo,
( )
não se define gr(P)
Exemplo 3.7
Discutir, para a
o grau de ( )
(
)
110
.
unidade
O maior expoente de x será 4, se o coeficiente de
Agora, se a=2, então, ( )
( )
=
Assim, conclui-se que
não for nulo, ou seja,
( )
, e nesse caso,
.
( )
( )
EXERCÍCIOS 3.1
1. Verifique se os complexos (1+i) e (1- i) são raízes de ( )
.
Determine os valores de m e n,
2. Considere o polinômio ( )
sabendo que Q(0)=Q(i).
3. Dê a condição sobre o natural n para que (-1) seja raiz de
( )
4. Determine a soma dos coeficientes do polinômio ( )
5. Discuta para k
o grau de ( )
)
(
(
.
(
)
)
.
6. Determine um polinômio P, de grau 2, que verifica as condições P(0)=8, P(1)=12 e
P(-1)=6.
7. Calcule os coeficientes a e b de modo que o polinômio
tenha uma raiz igual a 2 e outra igual a ( 1).
111
( )
3
POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO
Dizemos que um polinômio P é nulo ou identicamente nulo, quando o valor numérico de
P é igual a zero, para qualquer valor atribuído à variável. Nesse caso, indicamos
( )
, e temos
𝑃𝑃(𝑥𝑥)
𝑃𝑃(𝑥𝑥)
𝑥𝑥
Note que um polinômio identicamente nulo possui infinitas raízes.
Mais precisamente, um polinômio P é dito nulo quando todo número
complexo é raiz de P.
O teorema, a seguir, traz uma importante informação sobre os coeficientes de um
polinômio nulo.
Teorema 3.1
Um polinômio P é nulo, se, e somente se, todos os coeficientes de P forem nulos. Em
outras palavras, se ( )
𝑃𝑃(𝑥𝑥)
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑎𝑎
, então,
Demonstração
(⇐) Se
( )
, então, é fácil ver que
(⇒) Por outro lado, se P é nulo, então, existem n+1 números complexos
distintos dois a dois, que são raízes de P, isto é:
112
,
unidade
(
)
(
)
(
)
( )
Observe que estamos diante de um sistema linear homogêneo do tipo (n+1)x(n+1) cujas
incógnitas são
. O determinante desse sistema é dado por:
|
|
|
|
e por tratar-se de uma matriz de Vandermonde, cujos elementos característicos são
, todos distintos, segue que D ≠ 0 e o sistema é possível e determinado,
admitindo apenas a solução trivial:
⧠
POLINÔMIOS IDÊNTICOS
Dizemos que dois polinômios A e B são idênticos (ou iguais) quando os valores
numéricos de A e B são iguais para todo valor da variável. A igualdade de polinômios é
indicada por A≡B, de modo que
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐴𝐴(𝑥𝑥)
𝐵𝐵(𝑥𝑥)
𝑥𝑥
O teorema, a seguir, apresenta uma ferramenta muito útil para se verificar facilmente
quando ocorre a igualdade de polinômios.
Teorema 3.2
Dois polinômios A e B são iguais, se, e somente se, os coeficientes de A e B forem
ordenadamente iguais, ou seja,
se
113
3
e
( )
= ∑
( )
= ∑
então
𝐴𝐴
Demonstração
Para todo
𝐵𝐵
𝑎𝑎𝑖𝑖
𝑏𝑏𝑖𝑖
𝑖𝑖
*
)
=0
,
𝑛𝑛 +
, temos:
(
⬄∑
⬄∑
(
-∑
) =0
=∑
⬄∑
⬄A(x) = B(x)
⧠
Exemplo 3.8
Calcular a, b e c, de modo que se tenha para todo
)(
(
,
)
Essa igualdade se verifica para todo x complexo, se os polinômios indicados no 1º e 2º
membros forem idênticos, isto é:
(
(
EXERCÍCIOS 3.2
)(
{
)
)
(
)
⇒ {
1. Determine a, b, c, d, e para tornar identicamente nulo o polinômio:
( )
(
)
(
114
)
unidade
2. Se o polinômio ( )
possui mais do que duas raízes distintas, o que se
pode concluir a respeito dos coeficientes?
(
3. Verifique que, se vale a igualdade
tem-se que
( )
4. Dado
(
.
)
(
) , para todo
3
, então,
, calcule a, b e c, para que se tenha a identidade
)
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Inicialmente, trataremos de maneira breve das operações adição, subtração, e
multiplicação de polinômios. A divisão será abordada de maneira detalhada e cuidadosa
em função da variedade de métodos pelos quais pode ser efetuada e da sua aplicação, na
resolução de equações polinomiais, nosso próximo assunto.
ADIÇÃO DE POLINÔMIOS
Dados dois polinômios,
( )
que ( )
𝑆𝑆(𝑥𝑥)
(𝑎𝑎𝑛𝑛
( )
( )
e
, existe um único polinômio S, tal
( ) para todo
𝑏𝑏𝑛𝑛 )𝑥𝑥 𝑛𝑛
. Este polinômio é dado por:
𝑏𝑏𝑛𝑛 )𝑥𝑥 𝑛𝑛
(𝑎𝑎𝑛𝑛
(𝑎𝑎
e é denominado a soma de A e B, que indicamos por ( )
𝑏𝑏 )𝑥𝑥
Outra forma de expressar a soma de dois polinômios A e B é:
Exemplo 3.9
Dados
( )
.
𝐴𝐴
𝐵𝐵(𝑥𝑥)
e
∑𝑛𝑛𝑖𝑖 (𝑎𝑎𝑖𝑖
( )
(𝑎𝑎
𝑏𝑏 )𝑥𝑥
ou ( )
(𝑎𝑎
.
𝑏𝑏 )
𝑏𝑏𝑖𝑖 )𝑥𝑥 𝑖𝑖
, determinar o polinômio
115
Note que
Então,
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
As propriedades da adição de polinômios são as mesmas da adição de números
complexos. Isso se deve ao fato de que o conjunto dos polinômios P, munido da operação
de adição usual de polinômios, define um grupo abeliano (ou comutativo), bem como o
conjunto . O teorema, a seguir, deixa claro esse fato.
Teorema 3.3
A operação de adição define, em P, conjuntos dos polinômios de coeficientes complexos,
uma estrutura de grupo comutativo, isto é, para quaisquer polinômios A, B e C,
verificamos as seguintes propriedades:
A1) (
)
A2)
A3)
(
) (propriedade associativa)
(propriedade comutativa)
, em que 0 indica o polinômio identicamente nulo (elemento neutro da
adição)
A4) Existe o oposto de
aditivo)
(
indicado por – , tal que
)
(existência do inverso
Demonstração
A1) Fazendo ( )
((
)
)( )
A2) Fazendo ( )
∑
, temos :
∑
∑
(
∑
,
)
,
( )
e
( )
∑
(
(
(
∑
e ( )
)
,(
116
))( )
∑
∑
)( )
,
*
, temos:
+
∑
e(
)( )
unidade
*
A3) Fazendo ( )
∑
o que implica
*
,
A4) Fazendo
( )
,
daí
e ( )
( )
∑
e
(
, temos:
*
+,
+. Desse modo, 0(x) é o polinômio nulo.
∑
*
∑
+
( )
∑
, temos :
*
+, e, portanto,
)
+,
é o inverso aditivo de A, ou seja, é o polinômio que, somado com A’, resulta no polinômio
nulo.
⧠
SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS
A partir da propriedade A4) da adição, definimos a subtração ou diferença,
dois polinômios ( )
( )
(𝐴𝐴
𝐵𝐵)(𝑥𝑥)
(𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑏𝑏𝑛𝑛 )𝑥𝑥 𝑛𝑛
quaisquer por:
𝑏𝑏𝑛𝑛 )𝑥𝑥 𝑛𝑛
(𝑎𝑎𝑛𝑛
(𝑎𝑎
e
𝑏𝑏 )𝑥𝑥
(𝑎𝑎
, de
𝑏𝑏 )
O exemplo, a seguir, ilustra uma aplicação das propriedades e operações vistas até o
momento.
Exemplo 3.10
Dados ( )
Temos:
( )
( )
(
(
e ( )
)
(
)
(
e
)
determinar os polinômios
.
–
)
117
3
Já sabemos como somar e subtrair polinômio. Mas como determinar o grau da soma ou
da subtração de polinômios? Esse é o assunto que discutiremos a partir de agora.
GRAU DA ADIÇÃO E DA SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS
Sejam A e B dois polinômios. Se A e B possuem graus diferentes, então, o grau do
polinômio
subtração, para
é igual ao grau daquele que tiver o maior grau. O mesmo ocorre na
ou
.
Agora, se os polinômios A e B possuem o mesmo grau, então, os polinômios,
podem ter grau zero, no caso da soma ou subtração de A e B resultar em
ou
, ou apresentar grau menor ou igual ao grau de A e B.
um polinômio do tipo ( )
No caso em que a soma ou subtração dos polinômios A e B resultar no polinômio nulo,
então gr(A+B) não existe. O teorema, a seguir, deixa claros esses fatos.
Teorema 3.4
Se A e B são polinômios não nulos, então, o grau de A+B é menor ou igual ao maior dos
números gr(A) e gr(B), ou seja,
Demonstração.
Considere ( )
∑
Admita, por exemplo,
Portanto,
Agora, se
(
,
(
)
*
( )
∑
, com
, e sendo
)
*
temos:
(
( )
)
( )
( )+
( )
, temos:
( )
, com
.
e
( )+
pode ser nulo, daí
*
118
( )
( )+
⧠
unidade
Exemplo 3.11
Dados ( )
( )
e ( )
( )
, temos:
e
então, gr(A)= 2 = gr(B), gr(A+B) = 2 e gr(A-B) = 1.
( )
( )
,
Exemplo 3.12
Dados ( )
( )
e ( )
( )
, temos:
( )
e
( )
2,
então, gr(A)= 3 = gr(B), gr(A+B) não existe e gr(A-B) = 3.
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS
Dados dois polinômios,
( )
e
( )
existe um único polinômio P, tal que ( )
( )
( ) para todo x
,
. Esse polinômio
é obtido multiplicando cada termo de A por todos os termos de B, isto é, o produto de A
por B é dado por:
𝑃𝑃(𝑥𝑥)
(𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑚𝑚 )𝑥𝑥 𝑛𝑛
𝑚𝑚
e indicamos por
(𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑚𝑚
ou
Note que, se chamarmos
reescrever P(x) como
( )
em que cada coeficiente
. 𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑚𝑚 )𝑥𝑥
.
𝑚𝑚
,
é obtido da seguinte forma:
∑
(𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑎𝑎 𝑏𝑏 )𝑥𝑥
,...,
( 𝑎𝑎 𝑏𝑏 )
, podemos
,
Veremos que existe um dispositivo muito prático (Dispositivo prático 2) para
determinar cada um dos
.
119
3
Exemplo 3.13
Multiplicar ( )
por ( )
.
Conforme definimos, basta multiplicar cada termo de A por todos os termos de B.
Observe:
( )
( )
(
(
(
)(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
Existem dois dispositivos práticos para realizar multiplicação de polinômios. Vamos
conhecê-los, a seguir.
Dispositivo prático 1 – Multiplicação
Trata-se de realizar uma multiplicação como fazemos usualmente com números,
simplesmente olhando os termos do polinômio como se fossem as ordens dos números.
Vamos retomar o exemplo, a seguir, para visualizarmos melhor o funcionamento desse dispositivo:
( )
( )
( )
( )
120
( )
( )
unidade
Dispositivo prático 2 – Multiplicação
de ( ), e os coeficientes
Esse dispositivo consiste de colocarmos os coeficientes
, e, em seguida, somarmos as diagonais
( ) numa tabela, calcularmos os produtos
obtendo os valores
. Novamente, vamos retomar o Exemplo 3.12. Observe:
C0= 0
A(x)
C1= 4+0=4
C2= 8+5+0=13
C3= 12+10+6=28
B(x)
0
2
C5= 18
( )
4
5
6
4
5
6
0
1
C4= 15+12=27
Portanto, ( )
de
8
3
12
0
10
15
.
0
12
18
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
Como vimos, o conjunto P dos polinômios possuem as mesmas propriedades com respeito à
adição dos números complexos. O mesmo ocorre em relação à multiplicação, e valem as
propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e distributiva.
Assim, dados polinômios quaisquer, A, B e C, em P, a operação de multiplicação em P
(conjuntos dos polinômios de coeficientes complexos) verifica as seguintes propriedades:
M1) (
)
M2)
M3)
M4)
(
(
) (propriedade associativa)
(propriedade comutativa)
(elemento neutro da multiplicação)
)
(propriedade distributiva)
121
3
GRAU DA MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS
Dados dois polinômios, A e B. Se um deles for identicamente nulo, então, o produto
também será nulo. Reciprocamente, a condição para que o produto
pelo menos um dos polinômios, A ou B, seja nulo, isto é:
Caso o produto
𝐴𝐴 𝐵𝐵
⬚
𝐴𝐴
𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐵𝐵
não seja nulo, verificamos que o grau de
seja nulo é que
é igual à soma dos
graus de A e B. Esse resultado é verificado no próximo teorema:
Teorema 3.5
Se A e B são polinômios não nulos, então, o grau de
de B, ou seja,
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐴𝐴 𝐵𝐵)
𝑔𝑔𝑔𝑔( 𝐴𝐴)
A demonstração será deixada como exercício.
é igual à soma dos graus de A e
𝑔𝑔𝑔𝑔( 𝐵𝐵)
Exemplo 3.14
Sejam ( )
e ( )
Desse modo, como
( )
. Calcular
(
)
Poderíamos simplesmente utilizar o Teorema 3.5, pois ( ) e ( ) são ambos não nulos.
e
( )
seque que,
(
)
Outra alternativa, um pouco mais trabalhosa, seria encontrar o polinômio resultante do
produto de A por B e observar seu grau, isto é, fazendo
que possui grau 3.
(
)( )
122
unidade
EXERCÍCIOS 3.3
1) Demonstre o Teorema 3.5. (Sugestão: utilize o coeficiente
, genérico do produto de dois polinômios, para avaliar cada possibilidade,
assim como foi feito no Teorema 3.4).
2) Dados ( )
, ( )
3) Dados ( )
, ( )
e c, de modo que o polinômio
( )
nulo.
e ( )
, calcule o polinômio
e ( )
( )
, calcule os números a, b
( )
4) Sejam A e B polinômios não nulos, tais que
.
( ) seja identicamente
e
sejam também não
nulos. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa, exemplificando.
a) Existem polinômios A e B, ambos de grau 2, tais que
b)
(
d)
(
)
(
)
e)
(
)
g)
(
c)
f)
)
(
)
)
( )
( )
( )
( )
(
.
(
)
.
( )
)
h) Existem polinômios A e B, ambos de grau 2, tais que
5) Qual o grau do polinômio ( )
indeterminada x, quando
)
( )
( )
( )
(
?
)
(
(
)
(
)
na
6) Quantos elementos tem o conjunto dos polinômios P(x) de grau 3, tais que
( )
(
)
?
DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Ao tratar da divisão de polinômios, veremos que não existe uma única maneira para
efetuá-la. Apresentaremos o método de Descartes, que utiliza como principal ferramenta
o grau dos polinômios que estão sendo divididos. Em seguida, trataremos do método da
chave, que é muito parecido com uma divisão (euclidiana) de números inteiros, a não ser
123
3
pelo fato de que, na chave, podemos ter mais do que um termo. Em seguida, veremos
como é feita a divisão por binômios do 1º grau, a partir do dispositivo de Briot-Ruffini,
um dos métodos mais utilizados, graças a sua praticidade, principalmente para
determinados tipos de polinômios.
Primeiramente, sejam ( ) e ( ) dois polinômios, com ( )
( ) por
( ) equivale a encontrar dois polinômios
( ) e
( ), chamados,
respectivamente, quociente e resto, que satisfazem as seguintes condições:
( )
( )
( )
( )
( ) ou ( )
( )
Observações importantes:
a) Dados os polinômios ( ) e ( ), ( )
polinômios ( ) e ( ), tais que:
( )
( )
( )
( )
( ) ou ( )
, é único o par de
( )
b) Na divisão de ( ) por ( ), quando ( )
, dizemos que ( ) é
divisível por ( ), ou que a divisão de ( ) por ( ) é exata.
124
de
unidade
Antes de apresentarmos os métodos de divisão de polinômios mais utilizados, vamos
analisar qual o grau do quociente e do resto de uma divisão.
GRAU DA DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Em uma divisão, o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor ou o resto é nulo.
O grau do quociente Q, quando Q não é nulo, pode ser determinado observando-se a
identidade
(
)
(
. Como
)
( )
(
)
( )
( ) e
( )
( ), temos
( ), pois o grau da soma de polinômios é sempre
dado pelo grau do polinômio de maior grau, conforme o Teorema 3.4.
Desse modo,
Como
( )
( )
No caso em que
( )
( )
, segue que
( )
( )
( ), ou seja,
( )
( )
( ).
( ), podemos ter somente ( )
e ( )
Em resumo, ao dividir um polinômio A por um polinômio B não nulo:
 Se 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐀𝐀)
 Se 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐀𝐀)
𝐑𝐑(𝐱𝐱)
 Se 𝐀𝐀(𝐱𝐱)
𝟎𝟎
𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐁𝐁)
𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐁𝐁)
𝟎𝟎
𝐐𝐐(𝐱𝐱)
Q(𝐱𝐱)
𝟎𝟎 e 𝐑𝐑(𝐱𝐱)
𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐐𝐐)
𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐀𝐀)
𝟎𝟎 e 𝐑𝐑(𝐱𝐱)
𝐀𝐀(𝐱𝐱)
𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐁𝐁), e 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐑𝐑)
( ).
𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐁𝐁) ou
𝟎𝟎
Exemplo 3.15
Dividir o polinômio ( )
por ( )
1.
Mesmo sem ter apresentado os métodos para dividir polinômios, podemos encontrar
( ) e ( ), pois note que
Então,
Exemplo 3.16
( )
( )
( ).
e ( )
( )
.
Demonstre que, se A e B são polinômios divisíveis pelo polinômio C, então, o resto R da
divisão de A por B também é divisível por C.
125
3
Demonstração.
Seja
Seja
o quociente de A por C, então,
o quociente de B por C, então,
Sejam Q o quociente e R o resto da divisão de A por B, então,
) , e, portanto, R é divisível por
(
Temos, então:
C.
Método de Descartes
Esse método, também conhecido como método dos coeficientes a determinar, baseia-se
nos seguintes fatos, discutidos na seção sobre grau da divisão de um polinômio:
( )
I)
( )
( )
II)
( )
( ) ou ( )
O método de Descartes é aplicado da seguinte forma:
1º) calculam-se
( )e
( );
2º) constroem-se os polinômios ( ) e ( ), deixando incógnitos seus coeficientes;
3º) determinam-se os coeficientes, impondo a igualdade
.
Aplicação do Método de Descartes
Dividir ( )
por ( )
Temos:
( )
( )
( )
( )
(
)(
( )
Desenvolvendo, temos para todo x:
(
)
(
)
)
(
Assim, ficamos com:
126
(
)
)
(
)
unidade
de modo que ( )
{
e ( )
.
Método da chave
O método da chave com certeza, já conhecido, e conforme foi dito, aproxima-se muito da
divisão numérica. Faremos um exemplo sobre este método apenas para que você se
recorde.
Aplicação do Método da chave
Dividir o polinômio ( )
por ( )
Temos:
Primeiramente, dividimos
por
quanto falta para que o produto
Como o grau do resto
divisão:
.
⌊
+2, e multiplicamos
se iguale a
por
, e verificamos
1.
⌊
é maior do que o do quociente, continuamos a
⌊
127
3
Novamente, devemos continuar, pois o grau de
O grau de
é menor que o grau de
⌊
é igual ao grau de
.
, portanto, concluímos que
e ( )
( )
EXERCÍCIOS 3.4
1) Divida
Descartes.
2)
( )
Divida
por
( )
, empregando o método de
( )
por
empregando o método da chave.
3) Dividindo
por
a e b.
, encontra-se o resto igual a
4) O resto da divisão de ( )
por
.
5) O polinômio
calcule o valor de
6) Se
( )
é divisível por
(
e
)
. Calcule
é 3. Calcule o valor de
é divisível pelo polinômio
.
,
. Nesse caso,
, demonstre que
7) Mostre que, se A e B são polinômios divisíveis pelo polinômio C, então, o mesmo
ocorre com
e
.
128
unidade
DIVISÃO POR BINÔMIOS DO 1º GRAU
A divisão de um polinômio ( ) por um binômio da forma
apresenta um interesse
especial pela sua aplicação no estudo das Equações Algébricas, assunto esse que
trataremos logo mais.
Aqui, faremos um estudo sobre divisões, em que o dividendo é um polinômio ( ), com
( )
, e o divisor é um polinômio
também igual a 1.
( )
( ), com
( )
Observemos o que ocorre quando dividimos
( )
Como
:
, e coeficiente dominante
por
⌊
, R deve ser um polinômio constante, pois sabemos que em toda divisão
( )
( )
devemos ter
( ), então,
( )
ou
.
Note que o valor numérico de R não depende do número α substituído no lugar de x, isto
é, ( )
Finalmente, observe que
( )
.
O teorema, a seguir, formaliza esse fato que acabamos de constatar.
Teorema 3.6 (Teorema do Resto)
O resto da divisão de um polinômio ( ) por
Demonstração.
Segundo a definição de divisão, temos:
(
)
129
é igual ao valor numérico de A em .
3
em que Q e R são, respectivamente, o quociente e o resto. Como
tem grau 1, o resto
R tem grau zero ou é nulo. Portanto, R é um polinômio constante. Agora, calculemos os
valores dos polinômios da igualdade acima em
( ) (⏟
)
( )
⏟
( )
( )
⧠
Exemplo 3.17
Determinar o resto da divisão de ( )
por ( )
Fazemos, simplesmente:
.
( )
Note que a divisão de ( ) por um polinômio
será exata, se, e somente se,
raiz de ( ) Isso é o que afirma o Teorema de D’Alembert.
for
Teorema 3.7 (Teorema de D’Alembert)
Um polinômio ( ) é divisível por
, se, e somente se,
Demonstração.
De acordo com o Teorema do resto,
( ). Então:
⏟( )
⏟
raiz de
( )
⧠
Aplicações do Teorema de D’Alembert
1ª) Verificar que ( )
é divisível por
Fazemos:
( )
.
.
, o que implica que 3 é raiz de
( ). Logo, ( ) é divisível por
2ª) Determinar α, de modo que
( ).
(
( )
130
)
seja divisível por
unidade
( )
Devemos impor
( )
e, então:
(
)
.
FIQUE DE OLHO!
Devemos ficar atentos ao fato de que esses resultados vistos até
o presente momento tratam da divisão de polinômios por
binômios do tipo (𝒙𝒙 𝜶𝜶). Mas e se tivermos uma divisão por um
binômio (𝒙𝒙 𝟕𝟕)?
Basta considerar 𝜶𝜶
7!
ALGORITMO DE BRIOT-RUFFINI
Além do método da chave e do método de Descartes, podemos recorrer a um dispositivo
prático para divisão por binômios do tipo (
Ruffini. Vamos entender como ele funciona.
), conhecido como Algoritmo de Briot-
Dados os polinômios
( )
(
( )
) e
vamos determinar o quociente Q e o resto R da divisão de A por B.
Façamos:
( )
e apliquemos o método de Descartes:
(
Impomos
(
)
)
(
)
, e obtemos:
131
(
)
3
(
(
)
de onde vêm as igualdades:
)
)
(
Esses cálculos tornam-se bem mais fáceis com o seguinte dispositivo prático de Briot-
Ruffini:
⏞
⏟
⏟
no qual:
( )
⏟
⏟
⏟
e os coeficientes de ( );
3º) calculamos
: multiplicamos
4º) calculamos
⏟
( )
1º) colocamos
2º) colocamos
⏟
, que é igual a
: multiplicamos
;
Por último, calculamos R, multiplicando
por
e somamos o resultado com
por
e somando o resultado com
por
132
e somamos o resultado com
.
unidade
3
No exemplo, a seguir, fica claro como esse dispositivo facilita a obtenção do quociente e
resto de divisões de polinômios por binômios do 1º grau.
Exemplo 3.18
Obter, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, quociente e resto das seguintes divisões:
a) ( )
3
2
2
⏟
0
( )
⏟
-7
⏟
e ( )
Assim: ( )
b)
por ( )
9
⏟ (
5
1
(
⏟
)
Portanto: ( )
-1
⏟
.
por ( )
9
3
) (
e ( )
-11
)
⏟ (
)
.
Finalizaremos a seção sobre divisão de polinômios com um teorema já conhecido nas
divisões numéricas.
Teorema 3.8
Se um polinômio A é divisível separadamente por (
é divisível pelo produto (
) (
Demonstração.
Sejam Q o quociente e
(
)e(
).
o resto da divisão de A por (
) (
)
(
)
Calculando os valores numéricos desses polinômios em
( ) (⏟
), com
) (
)
(
133
)
.
( )
⏟
) (
, obtemos:
( )
, então, A
); então:
, pois A é divisível por
( )
em que
.
Calculando os valores numéricos desses polinômios em
( ) (
, pois A é divisível por
( )
em que
)⏟
(
)
(
.
De (1) e (2) resulta o seguinte sistema:
de onde vem que
)
{
e
, portanto, ( )
( )
⏟
, obtemos:
( )
.
EXERCÍCIOS 3.5
por
1) Qual o resto da divisão de
, de modo que o polinômio
2) Determine
(
divisão.
)
?
seja divisível por
( )
.
4) Os coeficientes
(
)
, e, em seguida , obtenha o quociente da
3) Determine , de modo que a divisão de
divisível por ( )
( )
(
( )
do polinômio
( )
)
seja
formam,
nessa ordem, uma P.G. de razão 1/2. Então, qual o resto da divisão de ( ) por
Obs.: n é ímpar.
?
5) Aplicando Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de
( )
por ( )
(
)(
).
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Desde muitos anos, um dos maiores desafios da Álgebra clássica para os matemáticos
era a procura por soluções de equações algébricas.
No século VII da era cristã, o matemático árabe Alkhowarizmi apresentou as principais
conclusões a respeito da resolução de equações do 1º e 2º graus. Em seu trabalho,
encontrou-se pela primeira vez a palavra álgebra, significando “trocar de membro um
termo de uma equação”.
134
unidade
Centenas de anos se passaram, até que, no século XVI, os algebristas Cardano, Tartaglia
e Ferrari propuseram fórmulas para resolver equações do 3º e 4º graus. No entanto, a
resolução de equações de grau maior que 4 continuou inquietando os matemáticos.
Em 1978, em sua tese de doutorado, Gauss demonstrou que “toda equação algébrica de
grau n,
, admite pelo menos uma raiz complexa”. Esse Teorema (chamado,
posteriormente, Teorema Fundamental da Álgebra) constitui-se em um novo estímulo à
pesquisa de soluções para as equações. Nessa época, Gauss já suspeitava da
impossibilidade de resolver equações com grau maior que 4 através de fórmulas
envolvendo os coeficientes.
Anos depois, essa hipótese foi demonstrada por dois jovens matemáticos. Em 1824,
Abel, então com 19 anos, mostrou que uma equação de grau 5 não podia ser resolvida
através de fórmulas de radicais. Alguns anos mais tarde, Galois mostrou que essa
impossibilidade se estendia para todas as equações de grau maior que 4, porém, tais
descobertas não implicam a impossibilidade de conhecerem-se raízes de uma equação
de grau maior que 4. Existem proposições e condições particulares que conduzem a
solução de uma equação algébrica.
CONCEITOS GERAIS
DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA
Denominamos equação polinomial ou equação algébrica na incógnita x a toda equação
redutível à forma:
em que
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛
é o grau da equação.
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛
𝑎𝑎 𝑥𝑥
𝑎𝑎 𝑥𝑥
𝑎𝑎
são coeficientes complexos constantes, com
Exemplo 3.19
São exemplos de equações:
135
,en
3
a)
, que é uma equação algébrica do 3º grau
b)
, que é uma equação algébrica do 1º grau
c)
, que é uma equação algébrica do 4º grau.
RAÍZ DE EQUAÇÃO POLINOMIAL
O número complexo
( )
é denominado raiz da equação
( é uma raiz ou um zero de ( )).
( )
, se, e somente se,
Exemplo 3.20
Por exemplo, dada a equação
, verificar se os números 2, 1 e i são
raízes.
Fazemos :
, logo, 2 é raiz;
, logo, 1 não é raiz;
, logo, i não é raiz.
CONJUNTO SOLUÇÃO
Chamamos conjunto solução de uma equação algébrica, no conjunto universo U, ao
conjunto de elementos de U que são raízes da equação. O conjunto universo aqui
considerado será
(
), quando não o citarmos.
Exemplo 3.21
Resolver a equação
Primeiramente, em
e de
, obtemos
e em U= .
, em
(
, temos:
)
.
Portanto, o conjunto solução em
é
*
0. Então, o conjunto solução em
é
* +.
Agora, em U= . Como a equação
+.
tem como raízes
136
, a única raiz real é
unidade
EQUAÇÕES EQUIVALENTES
Dizemos que duas equações são equivalentes em U, quando seus conjuntos soluções em
U são iguais.
e
Por exemplo, as equações
são equivalentes em
, pois a única
solução de ambas é 0. Todavia, não são equivalentes em , visto que a primeira equação
apresenta como raízes i e –i, além do 0, e a segunda não.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
As equações do 1º grau não têm uma história propriamente dita. A simbologia moderna
com que são escritas só começou a surgir no século 18. Do ponto de vista elementar,
equações são problemas do seguinte tipo: “Determinar certos valores desconhecidos,
sabendo que quando esses valores são manipulados algebricamente, de certa maneira,
são obtidos certos valores dados”.
As primeiras equações, na forma escrita, surgiram no antigo Egito, 3000 anos a.C. A
maior parte da matemática egípcia antiga, ou seja, do 3º milênio antes do início da era
cristã, encontrada, em alguns poucos papiros famosos, consiste de um compêndio de
tabelas e algoritmos aritméticos, visando à resolução de problemas úteis, tais como
problemas de medição de figuras geométricas.
Num desses papiros, o Papiro de Rhind, encontramos as primeiras equações do
primeiro grau, na forma de problemas "aha". Aha significava quantidade. Tais problemas
referem-se à determinação de quantidades desconhecidas.
Vamos analisar como se comporta uma equação do 1º grau com respeito a suas raízes
ou raiz.
Dada a equação
, com
Portanto, a única raiz é dada por
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑏𝑏
temos:
⬚
. Então, podemos afirmar:
𝑎𝑎𝑎𝑎
137
𝑏𝑏 ⬚
𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
3
Toda equação do 1º grau em
admite única raiz.
Exemplo 3.22
(
Resolver a equação
)
Observe que a equação em questão é do 1º grau, portanto, vamos encontrar uma única
raiz para tal equação. Fazemos:
Como
(
)
(
o conjunto solução é dado por
)( )
( )
{
}
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
O primeiro tratado a abordar sistematicamente as equações do 2º grau e suas soluções
foi Os Elementos de Euclides (séc. 3 a.C.). Em Os Elementos, Euclides nos dá soluções
geométricas da equação do segundo grau. Os métodos geométricos ali encontrados,
embora interessantes, não são práticos.
No início do século 9, o Califa Al Mamum, recebeu, através de um sonho, no qual teria
sido visitado pelo imortal Aristóteles, a instrução de fundar um centro de pesquisa e
divulgação científica. Tal instituição, a Casa de Sabedoria, foi fundada em Bagdá, hoje
capital do Iraque, nas margens do Rio Tigre. Lá, a convite do Califa, estabeleceu-se AlKhwarizmi, juntamente com outros filósofos e matemáticos do mundo árabe.
A pedido do Califa, Al-Khwarizmi escreveu um tratado popular sobre a ciência das
equações, chamado Hisab al-jabr wa'l muqabalah, ou seja, o Livro da Restauração e
Balanceamento.
Al-Khwarizmi introduziu simplificações que popularizaram, ou melhor, simplificaram a
álgebra das equações do 2º grau. Seu método de resolução da equação do 2º grau é
138
unidade
inspirado na interpretação de números por segmentos, introduzida por Euclides. AlKhwarizmi também popularizou o sistema de representação decimal posicional dos
números inteiros, criado pelos hindus, hoje de uso corrente.
De Al-Khwarizmi derivam-se as palavras algarismo e algoritmo, ambas latinizações de
Al-Khwarizmi. Do termo al-jabr, que significa restauração, deriva-se a palavra álgebra! O
termo al-muqabalah, que significa oposição ou balanceamento, é o que hoje entendemos
como cancelamento.
No seu trabalho, Al-Khwarizmi apresenta dois métodos geométricos de solução da
equação do 2º grau. Al-Khwarizmi não fazia uso de notações simbólicas em seu tratado.
Suas equações são escritas no estilo retórico, isto é, sem o emprego de símbolos.
Verifiquemos agora quantas são as raízes de uma equação do 2º grau e qual sua “forma”.
Dada a equação
, com
, fazendo
⇔
Como o número complexo
⬄(
)
⬄(
)
⬄
√
⬄
Assim, encontramos duas raízes para a equação, dadas por:
𝑥𝑥
Portanto, podemos afirmar que
𝑏𝑏
𝑎𝑎
√𝛥𝛥
Toda equação do 2º grau em
Caso
)
.
admite duas raízes quadradas, que são números opostos,
representado por √ segue que:
(
, temos:
√ .
admite duas raízes.
, as duas raízes são iguais e dizemos que a equação admite uma raiz dupla.
Exemplo 3.23
Resolver a equação
, em
e em
139
.
3
Em , temos:
(
Daí,
Portanto, em
Agora, note que
)
√
√
*
(
+.
)
(
√
√
)
, portanto, a equação não admite raízes reais, e em
,
EXERCÍCIOS 3.6
1) Calcule o coeficiente m, de modo que o número
seja raiz da equação
2) Dê o conjunto solução da equação
a) em
3) Resolva em
(Sugestão: faça
b)em
a equação (
)
)
(
)
.
EQUAÇÕES DO 3º GRAU
Por muitos séculos, desde o período áureo da Grécia antiga, matemáticos tentaram em
vão, deduzir um método geral de solução da equação do 3º grau ou equação cúbica:
𝑎𝑎𝑥𝑥
𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑑𝑑
Procurava-se uma fórmula geral da solução da cúbica, isto é, uma fórmula que desse
suas soluções como expressões algébricas, envolvendo os coeficientes
.
A conhecida fórmula de Bhaskara, creditada assim ao matemático hindu Bhaskara, do
século 12, conforme vimos, nos dá as soluções da equação quadrática
como expressões algébricas dos coeficientes
140
.
,
unidade
O primeiro matemático a desenvolver um método para resolver equações cúbicas da
forma
foi Scipione del Ferro, professor da Universidade de Bolonha,
Itália, na passagem do século 15 ao século 16. Antes de morrer, revelou seu método, que
mantivera em segredo, a Antonio Fiore.
Nicollo Tartaglia nasceu em Brescia, Itália, em 1499. Conta-se que era tão pobre, quando
criança, que estudava matemática escrevendo nas lápides de um cemitério. Em 1535, foi
desafiado por Antonio Fiore a uma competição matemática. Na época, disputas
acadêmicas eram comuns, muitas vezes, premiando o ganhador com o emprego do
perdedor.
Tartaglia sabia resolver as equações cúbicas de del Ferro, mas tinha descoberto também
um método para resolver cúbicas da forma
conhecimento, foi o vencedor na competição.
. De posse desse
Os últimos anos de Tartaglia foram amargurados por uma briga com Girolamo Cardano
(1501{1576), um matemático italiano que, além de médico famoso em Milão, foi
também astrônomo. Cardano é tido como o fundador da teoria das probabilidades, a
qual estudou por interesses pessoais (jogatina). Em 1570, Cardano foi preso por heresia,
por ter escrito um horóscopo de Jesus Cristo.
Em 1539, em sua casa, em Milão, Cardano persuadiu Tartaglia a contar-lhe seu método
secreto de solução das cúbicas, sob o juramento de jamais divulgá-lo. Alguns anos mais
tarde, porém, Cardano soube que parte do método constava de uma publicação póstuma
de del Ferro.
Resolveu, então, publicar um estudo completo das equações cúbicas em seu tratado Ars
Magna (1545), um trabalho que superou todos os livros de álgebra publicados até então.
Em Ars Magna, Cardano expõe um método para resolver a equação cúbica baseado em
argumentos geométricos. Lá, também, expõe a solução geral da equação quártica ou
equação do quarto grau,
,descoberta por Ludovico
Ferrari (1522{1565), discípulo de Cardano, que parece ter superado o mestre na álgebra
das equações polinomiais.
141
3
Em 1548, Tartaglia desafiou Cardano para uma competição matemática, a ser realizada
em Milão. Cardano não compareceu, tendo enviado Ferrari para representá-lo. Parece
que Ferrari venceu a disputa, o que causou a Tartaglia desemprego e morte na pobreza,
nove anos mais tarde.
A fórmula de Cardano para a equação cúbica
O método de Cardano para resolver equações cúbicas, ligeiramente modificado em
relação ao método historicamente original, é essencialmente o seguinte:
Consideremos a equação cúbica:
A substituição
transforma a equação dada numa equação cúbica, na forma reduzida, isto é, uma
equação cúbica sem o termo de 2o grau:
Cardano, então, “tenta” obter uma solução na forma
Ele nota que
ou seja,
(
(
)
,
(
)
)
(
)
Tendo em conta essa última identidade, Cardano observa que, para que
solução da cúbica
, é suficiente encontrar u e v satisfazendo
,
ou seja,
Ao estilo de Diofanto, fazendo, então,
142
seja
unidade
Teremos
Se
. /
, deduzimos, então,
em que
.
√
√
é o assim chamado discriminante da cúbica reduzida
Finalmente, assumindo que
, teremos, para
√
e então,
√
ou seja,
√
√ ,
√
√
√
√
√
O mesmo resultado é obtido, quando consideramos
√
√
√ , assumindo que as raízes
cúbicas calculadas são as raízes cúbicas reais de números reais.
Se o discriminante D é negativo, o uso da fórmula de Cardano requer um cálculo
cuidadoso de raízes cúbicas complexas de números complexos. Cardano simplesmente
afirmava que, no caso em que D < 0, sua fórmula não se aplicava. Na época de Cardano,
os números complexos não haviam sido inventados. A fórmula de Cardano, porém, foi a
gênese dos números complexos.
Exemplo 3.24
Aplique a fórmula de Cardano para encontrar uma solução para a cúbica
143
3
.
Usando
√
obtemos:
√
(
)
√
√
√
(
)
√
√
√
√
√
√
√
(
)
√
√
√
√
√
√
,
√
(
)
√ .
O método de Cardano não é o único, e nem sempre o mais prático para se obter soluções
de equações cúbicas. A seguir, daremos outras alternativas para resolução de equações
de grau 3 ou maior.
FORMA FATORADA E QUANTIDADE DE RAÍZES
Para tratarmos do número de raízes de determinados polinômios, é imprescindível
olharmos com cautela o Teorema Fundamental da Álgebra, demonstrado por Gauss em
1798.
Teorema 3.9 (Teorema Fundamental da Álgebra)
Toda equação algébrica de grau n (𝑛𝑛
) admite, pelo menos, uma raiz complexa.
144
unidade
Não faremos a demonstração de tal teorema, mas apenas o uso desse importantíssimo
resultado. Com base nele, podemos decompor um polinômio de grau n. É o que nos diz o
próximo teorema.
Teorema 3.10 (Teorema da decomposição)
Dado um polinômio
( )
, esse admite a decomposição em n fatores do 1º grau, isto é:
de grau
( )
em que
Demonstração.
(
)(
)
(
são as raízes da equação algébrica ( )
)
.
Aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra à equação algébrica ( )
que ela admite, pelo menos, uma raiz complexa, que denominaremos
seguida, o Teorema de D’Alembert, verificamos que:
sendo


( )
( ), um polinômio de grau
) ( ),
(
.
( )
. Logo, ( )
, então,
e
Se
, então,
. Aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra à
está demonstrado.
( )
D’Alembert, verificamos que
ou seja,
( )
, então,
teorema está demonstrado.
) e o teorema
. Aplicando, em seguida, o Teorema de
( )
(
( ), um polinômio de grau (
Se
(
, concluímos que ela admite ao menos uma raiz
complexa, que denominaremos

. Aplicando, em
Se
equação algébrica
sendo
, concluímos
e
(
)(
).
( )
145
) ( ),
) ( ),
. Logo ( )
(
)(
), e o
3

Se
, então
( )
equação algébrica
. Aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra à
, concluímos que ela admite ao menos uma raiz
complexa, que denominaremos
D’Alembert, verificamos que :
ou seja,
sendo
( )
( )
(
( ), um polinômio de grau (
)(
. Aplicando, em seguida, o Teorema de
) ( ),
(
)(
).
) ( ),
Após n aplicações sucessivas do Teorema Fundamental da Álgebra e do Teorema de
D’Alembert, concluímos que
sendo
( )
(
( ), um polinômio de grau
)(
)
(
)
( )
Se desenvolvermos esse produto, verificaremos que o coeficiente de
Identificando esse desenvolvimento ao polinômio original
. Logo:
( )
(
)(
)
(
é
.
( ), concluímos que
).
⧠
Observações importantes:
1ª) Essa decomposição é única.
2ª) Toda equação algébrica de grau n admite n, e somente n, raízes
complexas.
FIQUE DE OLHO!
Abaixamento do grau de uma equação
Observe que, quando conhecemos uma raiz
por
da equação
, encontramos o quociente Q(x), tal que ( )
( )
⬄(
) ( )
⬄ (
146
(
( )
, ao dividirmos ( )
) ( ) Então
ou ( )
)
unidade
Desse modo as demais raízes de ( )
( )
serão da equação
( ) é uma unidade a menos que o grau de
, e como grau de
( ), dizemos que abaixamos o grau da
equação. A partir desse método, é possível resolver certas equações de graus maiores
que 2, bastando conhecer alguma ou algumas raízes da equação.
Exemplo 3.25
Verificar que uma raiz da equação
raízes e fatorar
Para
:
( )
é o número 1. Obter as outras
.
Logo, 1 é raiz. Façamos a divisão do polinômio do 1º membro por
, utilizando o
dispositivo de Briot-Ruffini:
1
-3
1
4
2
-2
2
0
Assim, as demais raízes são as da equação
correspondem a
(
)
√(
, que, por sua vez,
)
√
Portanto, o conjunto solução da equação é dado por
( )
(
)(
)(
*
(
).
)
+ e temos:
EXERCÍCIOS 3.7
1) Resolva, em
raízes é -1.
, sabendo-se que uma de suas
, a equação
2) Calcule k, de modo que a equação
admita a raiz
depois, resolva-a.
147
e,
3
3) Obtenha o polinômio P(x) de grau 3 que possui uma raiz igual a
a -1, sendo ( )
.
e duas raízes iguais
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
Entre as n raízes de uma equação algébrica de grau n, podemos ter algumas raízes iguais
entre si. Quando exatamente r raízes são iguais a um mesmo número , dizemos que a
raiz é de multiplicidade r. Nesse caso, na forma fatorada, o fator (
exatamente r vezes. Desse modo:
𝛼𝛼 é raiz de multiplicidade r, r
de P(x) ⬄ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)
) aparece
𝛼𝛼)𝑟𝑟 𝑄𝑄(𝑥𝑥) e 𝑄𝑄(𝛼𝛼)
(𝑥𝑥
Observações importantes!
𝛼𝛼)𝑟𝑟 e não é divisível por (𝑥𝑥
 Se P(x) é divisível por (𝑥𝑥
𝛼𝛼)𝑟𝑟
 Se todas as raízes são distintas, cada uma delas terá multiplicidade 1.
Exemplo 3.26
(
Resolva a equação
)
(
raízes, sabendo que i é uma delas.
)
e indique a multiplicidade das
Para determinar as outras raízes, vamos efetuar a divisão de
(
)
(
)
por
equação em uma unidade.
, com a finalidade de diminuir o grau da
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, teremos:
1
1
2i
Logo, temos a seguinte equivalência:
(
)
(
2
)
(
148
),
0
(
)
-
unidade
Além de
, esta equação terá como raízes as soluções da equação
Efetuando os cálculos, encontramos
(
Assim, o conjunto solução é dado por
e
)
*
.
+, sendo que a raiz i tem multiplicidade 2.
EXERCÍCIOS 3.8
1) Forme uma equação polinomial cujas raízes são -2, -1, 1 e 4, cada uma delas com
multiplicidade 1.
2) Sabendo que -2 é uma raiz dupla da equação ( )
grau, o polinômio:
( )
2) Se na equação
, decomponha, em fatores do 1º
, m é uma raiz dupla e
ache m e n.
é outra raiz,
PESQUISA DE RAÍZES
Quando encontramos uma raiz
da equação
( )
, dividimos
( ) por
,
recaindo numa equação de grau menor (procedimento que chamamos de abaixamento
do grau de uma equação).
Por exemplo, verificar que 1 é raiz de uma equação não é difícil, basta verificar se a soma
de seus coeficientes é igual a zero.
A seguir, faremos um estudo sobre as relações entre raízes e coeficientes de uma
equação. Tais relações são conhecidas como Relações de Girard, como veremos, a seguir.
Raízes inteiras de equações com coeficientes inteiros
Suponha que
coeficientes
equação e que
seja uma equação do 3º grau em que os
e d são números inteiros,
é um número inteiro. Temos:
⬄
149
. Admita que
⬄
(
é uma raiz da
)
3
Se
também é um número inteiro, e como d é
são inteiros, então,
o produto de
por um inteiro, d é múltiplo de , ou seja,
é divisor de d.
Assim, podemos concluir que as possíveis raízes inteiras da equação são os divisores do
termo independente d.
Generalizando para uma equação de grau n,
, temos:
Se 𝛼𝛼 é uma raiz inteira da equação de coeficientes inteiros
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛
𝑎𝑎 𝑥𝑥
então, 𝛼𝛼 é um divisor de 𝑎𝑎 .
𝑎𝑎 𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑎𝑎
Desse modo, podemos descobrir se a equação tem ou não raízes inteiras, testando os
divisores de
Exemplo 3.27
, pois somente eles poderão assumir tal papel.
admite raízes inteiras.
Verificar se a equação
Note que todos os coeficientes da equação são inteiros, portanto as possíveis raízes são
os divisores do termo independente 8. Os divisores de 8 são 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8 e -8.
Então, substituindo -1 na equação, obtemos:
(
)
portanto -1 é raiz.
(
Também -2 é raiz:
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
,
)
Se verificarmos os outros divisores, veremos que nenhum outro é raiz da equação, mas
somente -1 e -2.
Raízes racionais de equações com coeficientes inteiros
Já vimos como encontrar raízes inteiras de equações com coeficientes inteiros. Mas e
quanto às raízes racionais de equações com coeficientes inteiros?
Para entender quando e como encontrá-las, considere a equação
, com coeficientes
e d inteiros,
. Suponha que
150
seja uma raiz
unidade
, onde p e q são inteiros primos entre si, ou seja, é a
racional da equação. Chame
forma irredutível de . De
Como
e
⏟
( )
(
a, e p é divisor de d.
vem :
( )
)
( )
e
(
)
e ⏟
são inteiros, p e q são primos entre si, concluímos que q é divisor de
Assim, as possíveis raízes racionais da equação dada são da forma , onde p é divisor do
termo independente d, e q é divisor do coeficiente dominante a.
Em geral, para uma equação algébrica de grau n,
resultado:
Se 𝛼𝛼
inteiros
𝑝𝑝
𝑞𝑞
, temos a validade do seguinte
, p e q, inteiros primos entre si, é uma raiz racional da equação de coeficientes
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛
𝑎𝑎 𝑥𝑥
então p é divisor de 𝑎𝑎 , e q é divisor de 𝑎𝑎𝑛𝑛 .
𝑎𝑎 𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑎𝑎
Exemplo 3.28
Verificar se a equação
admite raízes racionais.
Para responder esta questão, analisemos os divisores do termo independente e do
coeficiente dominante e suas respectivas razões.
Os divisores do termo independente -1 são: 1 e -1.
Os divisores do coeficiente dominante 2 são: 1, -1, 2 e -2.
Como todos os coeficientes são inteiros, as possíveis raízes racionais da equação são da
forma
Para
*
+
*
+
{
151
;
}
3
para
para
para
,
;
,
;
Portanto, a única raiz racional da equação é
.
FIQUE DE OLHO!
Note que, nas equações de coeficientes inteiros, o conjunto das
possíveis raízes racionais contém o conjunto das possíveis raízes
inteiras.
Até o dado momento, estabelecemos as relações entre raízes inteiras de equações com
coeficientes inteiros e entre raízes racionais de equações com coeficientes inteiros. Mas
e qual será a relação entre raízes complexas e os coeficientes reais de uma equação?
Esse é o nosso próximo assunto.
Raízes complexas de equações com coeficientes reais
Primeiramente, recordemos as propriedades dos números complexos e conjugados.
, chamamos de conjugado de z ao
Dado um número complexo,
.
complexo
Propriedades dos complexos conjugados
a)
b)
c)
d)
e) (
⬄
)
(
)
Com essas propriedades, demonstramos o teorema:
152
unidade
Teorema 3.11
é raiz de uma equação algébrica com coeficientes reais, então,
Se
equação.
também é raiz dessa
Demonstração.
Considere a equação algébrica em que
e
Se, por hipótese,
Sendo
.
é raiz dessa equação, então:
o conjugado de , temos:
Logo,
o que prova que
,
é raiz da equação dada.
Consequências do teorema



Se
é raiz de multiplicidade m de uma equação algébrica com coeficientes reais,
então,
também é raiz de multiplicidade m dessa equação.
Numa equação algébrica com coeficientes reais, o número de raízes imaginárias é
sempre par.
Uma equação algébrica com coeficientes reais e grau ímpar admite um número
ímpar de raízes reais (logo, admite ao menos uma raiz real).
153
3
Exemplo 3.29
Determine o menor grau possível de uma equação algébrica com coeficientes reais que
admite as raízes
.
Como os coeficientes da equação são reais, ela admite ao menos as raízes
.
Logo, o menor grau possível da equação é 7.
EXERCÍCIOS 3.9
1) Encontre as raízes inteiras da equação
2) Encontre as raízes racionais da equação
3) Resolva a equação
coeficientes é nula.
(
)
(
.
)
.
, observando que a soma dos
4) Determine o menor grau possível de uma equação algébrica com coeficientes reais
que admite 2, como raiz dupla;
como raiz dupla e
como raiz tripla.
RELAÇÕES DE GIRARD
Por volta de 1630, o matemático Albert Girard obteve informações gerais a respeito de
raízes de uma equação algébrica, relacionando-as com os coeficientes da equação.
Lembremos que, ao resolver uma equação do 2º grau, como por exemplo
, podemos estabelecer que
{
Em alguns casos, esse sistema nos leva as raízes da equação. Neste exemplo,
e
. Tais relações entre raízes e coeficientes de uma equação podem ser
generalizadas. Vamos analisar alguns casos.
1º) Equação do 2º grau
154
unidade
Considere a equação algébrica:
Utilizando o Teorema da decomposição, temos:
em que
(
e
)⇒
(
Assim,
),
são as raízes da equação dada. Desenvolvendo e identificando os
polinômios, chegamos a
onde
)(
(
e
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝛼𝛼 ) ⇒ 𝛼𝛼
𝑎𝑎(𝛼𝛼
𝑎𝑎𝛼𝛼 𝛼𝛼 ⇒ 𝛼𝛼
𝛼𝛼
⇒
𝛼𝛼
𝑐𝑐
𝑎𝑎
)
,
𝑏𝑏
𝑎𝑎
são conhecidas como relações de Girard, para uma equação do 2º grau.
1º) Equação do 3º grau
Considere a equação algébrica
Utilizando o Teorema da decomposição, obtemos:
em que
,
e
(
polinômios, teremos:
Logo,
)(
)
são as raízes da equação dada. Desenvolvendo e identificando os
(
(
)
𝑐𝑐
)(
𝑏𝑏
𝑎𝑎(𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝑎𝑎(𝛼𝛼
𝑑𝑑
𝛼𝛼 𝛼𝛼
)
𝛼𝛼
𝛼𝛼 ) ⇒ 𝛼𝛼
𝛼𝛼 𝛼𝛼 ) ⇒ 𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝑎𝑎𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 ⇒ 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼
155
𝛼𝛼
𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝑑𝑑
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝑐𝑐
𝑎𝑎
3
Essas três relações são chamadas relações de Girard, para uma equação de 3º grau.
Exemplo 3.30
Sejam
,
e
raízes da equação algébrica do 3º grau
.
Utilizando as relações de Girard, concluímos que
Exemplo 3.31
Vamos resolver a equação
Chamando de
,
e
, utilizando as relações de Girard.
, as raízes procuradas, podemos escrever:
(
(
Substituindo (1) e (3) em (2), resulta:
(
(
ou seja,
)
)
)
)
⇒
⇒
(
⇒
)
⬄6
(3)
(1)
(2)
,
Portanto, usando as relações de Girard recaímos em uma equação equivalente a inicial,
sem possibilidade de resolvê-la, utilizando somente as relações. Apesar disso, as
relações de Girard podem ser bastante úteis, quando a explicitação das mesmas não for
necessária.
Em geral, para uma equação algébrica de grau n, temos:
156
unidade
com raízes que
,
, podemos escrever:
𝛼𝛼
𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝑎𝑎𝑛𝑛−
𝛼𝛼𝑛𝑛
𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝛼𝛼𝑛𝑛 𝛼𝛼𝑛𝑛
𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝛼𝛼𝑛𝑛
(
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝛼𝛼𝑛𝑛 𝛼𝛼𝑛𝑛 𝛼𝛼𝑛𝑛
)𝑛𝑛
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛
Essas n igualdades são chamadas relações de Girard, para uma equação de grau n.
Assim, finalizamos nosso estudo sobre polinômios e equações algébricas.
EXERCÍCIOS 3.10
1) Escreva as relações de Girard para a equação
.
2) Obtenha a soma e o produto das raízes da equação
.
3) Calcule m, de modo que a equação
tenha uma raiz igual ao
inverso da outra. Depois, resolva a equação. (Sugestão: utilize as relações de Girard)
4) Calcule k, de modo que as raízes da equação
igual ao produto.
157
(
)
tenham soma
3
PARA FINAL DE CONVERSA...
Que bom que você chegou ao final de mais uma etapa. Essa chegada é fruto de sua
vontade, dedicação e persistência. Sabemos que não foi fácil essa caminhada.
Ao cursar essa disciplina, esperamos que você tenha experimentado um contato mais
profundo com a Trigonometria, com os Números Complexos e com as Equações
Polinomiais. Através dela, você revisou conteúdos, teve experiências com formas
diferentes de abordar alguns conceitos conhecidos e adquiriu novos conhecimentos.
Essa bagagem será importante para você continuar os estudos em Matemática, além de
lhe proporcionar formas diferentes para atuar em atividades relacionadas com o ensino.
Esperamos que esse texto tenha sido agradável e proveitoso para você. Foi assim que
nos sentimos ao escrevê-lo.
Desejamos-lhe sucesso em seus estudos e estamos muito felizes por termos percorrido
com você esse caminho.
Cordialmente,
Os autores.
159
REFERÊNCIAS
CARMO, M.P.; MORGADO, A.C.; WAGNER, E. Trigonometria e Números Complexos. Rio
de Janeiro: Ed. SBM, 2006.
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar, 6: complexos, polinômios,
equações. São Paulo: Atual, 1993.
MACHADO, A. S. Matemática: Geometria analítica e polinômios. São Paulo: Atual,
1986. Matemática, temas e metas.
MACHADO, A. S. Matemática: trigonometria e progressões. São Paulo: Atual, 1986.
Matemática, temas e metas.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Publicação quadrimestral da SBM -
Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro. (mais de 50 números publicados).
SAMPAIO, J. C. V. Ensino da Matemática Através da sua história: Equações do primeiro,
segundo
e
terceiro
graus.
UFSCar,
São
Carlos,
SP.
Disponível
http://www2.ufscar.br/interface_frames/index.php?link=http://www.dm.ufscar.br.
em:
Acesso em: 06 nov. 2011.
TROTTA, F. Matemática por assunto, 8: números complexos, polinômios e equações.
São Paulo: Scipione, 1988.
161