7ª Lista – Progressões aritméticas, geométricas e

Enem e Uesb
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Cursinho: Universidade para Todos
Professor: Cirlei Xavier
Lista: 7a Lista de Matemática
Aluno (a):
Matemática
Disciplina: Matemática
Conteúdo: PA, PG e A. Combinatória
Turma: A e B
Data: Dezembro de 2016
Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas
01. (Uesb 2015) Desde a inauguração, o faturamento de uma empresa tem aumentado um valor
constante a cada mês, com o faturamento total no segundo ano sendo o dobro do primeiro. Se o
faturamento no 12◦ mês foi de R$7.000, 00, então no 24◦ foi de? R$11.800, 00
02. (Uesb 2014) Verificou-se que o número de vendas eletrônicas de um aparelho celular, em um
portal de internet, aumentava diariamente segundo um P.A. de razão 4. Considerando-se que, no
1◦ dia, foram registradas 12 vendas e, no n dias que esse produto ficou disponível no portal, foram
registradas 352 transações, pode-se afirmar que n é igual a? n = 11
03. (Uesb 2016) Um serviço de telemarketing, ao longo do ano passado, efetuou um total de 8.430
atendimentos, sendo 609 no mês de dezembro. Se o número de atendimentos, a cada mês, variou segundo uma progressão aritmética, então, no mês de setembro, esse número foi igual a? a9 = 660
04. Solta-se uma bola de borracha de uma altura de 40 m. Devido à perde de energia, em cada
salto a altura diminui 3 metros. Em que salto essa bola alcançará 25 m? No quinto salto
05. Um estacionamento cobra R$1, 50 pela primeira hora. A partir da segunda hora o valor cai
para R$1, 00, até a décima segunda, quando chega a custar R$0, 40. Assim, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado cinco horas nesse local, quanto gastará seu
proprietário? R$5, 14
06. Um teatro tem 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim sucessivamente até a vigésima fila, que é a última. O número de poltronas desse teatro é? 1.500 poltronas
07. Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma certa distância x; no segundo dia,
percorre o dobro do que percorreu no primeiro dia; no terceiro dia, percorre o triplo do primeiro
dia; e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias, percorreu uma distância de 6.300 km. A distância
percorrida no primeiro dia foi de? 30 km
08. Ao comprar um terreno, uma pessoa paga R$1.750, 00 de entrada e o restante em prestações mensais consecutivas e de valores crescentes, durante três anos. Sendo a primeira prestação de
R$650, 00, a segunda de R$700, 00, e assim por diante, qual é o total pago pelo terreno? R$56.650, 00
09. Um esportista amador deseja participar de uma competição de marcha. Para isso, treina diariamente marchando 33 km. Na primeira hora, consegue percorrer 5 km, e em cada hora seguinte,
250 m menos que na anterior. O número de horas que emprega nesse treino é? 8 horas
10. (Uesb 2015) Uma rua foi pavimentada em 8 dias, sendo que o trecho feito a cada dia foi sempre 20% maior de que o dia anterior. Em comparação com o trecho pavimentado no primeiro dia,
essa rua é, aproximadamente? Sn /a1 16, 4, ou seja, o comprimento da rua é aproximadamente 16
vezes maior do que o trecho pavimentado no primeiro dia
11. (Uesb 2016) Em uma cultura bacteriana, há inicialmente 2.880 bactérias do tipo X e 360 do
tipo Y. A população de X dobra a cada 10 horas, enquanto a de Y quadruplica a cada 15 horas. O
tempo até que as populações se igualem é de? 3 dias e 18 horas
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Matemática
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12. (Fuvest-SP) A população humana de um conglomerado urbano é de 10 milhões de habitantes
e a de ratos é de 200 milhões. Admitindo-se que ambas as populações cresçam em progressão geométrica, de modo que a humana dobre a cada vinte√anos e a de ratos dobre a cada ano, dentro de dez
anos quantos ratos haverá por habitantes? 10.240 · 2 ratos por habitantes
13. (Cesgranrio) Um artigo custa hoje R$100, 00 e seu preço é aumentado, mensalmente, em 12%
sobre o preço anterior. Se fizermos uma tabela do preço desse artigo mês a mês, obteremos uma
progressão? geométrica de razão 1,12
14. (Fesp-SP) Em um triângulo equilátero de lado l, se unirmos os pontos médios de seus lados, obtemos um novo triângulo equilátero. Se procedermos assim sucessivamente, obteremos novos
triângulos
equiláteros, cada vez menores. A soma das áreas dos triângulos equiláteros formados é?
√
3
l2 ·
3
15. No primeiro dia do mês um frasco recebe 3 gotas de um remédio, no segundo dia ele recebe
9 gotas, no terceiro dia ele recebe 27 gotas, e assim por diante. No dia em que recebeu 2.187 gotas
ficou completamente cheio. Em que dia do mês isso aconteceu? No dia 7
16. (Unesp-SP) Os comprimentos das circunferências de uma sequência de círculos concêntricos
formam uma progressão aritmética de razão 2. Os raios desses círculos formam uma? progressão
aritmética de razão 1/π
Princípio Fundamental da Contagem: k1 · k2 · k3 · ... · kn
17. Uma pessoa dispõe de 6 calças, 4 paletós e 10 camisas distintas entre si. De quantas maneiras
diferentes ela pode se vestir? 240 maneiras diferentes
18. Em uma estante existem 13 livros distintos: 8 de química, 3 de matemática e 2 de física. De
quantas formas diferentes podemos escolher 3 livros, sendo um de cada matéria? 48 formas diferentes
19. Entre as cidades A e B, há 6 estradas, e entre B e a cidade C, há 4. Não há estrada ligando
diretamente A e C. De quantas maneiras pode-se ir e voltar de A a C, sem usar uma mesma estrada
mais de uma vez? 360 maneiras distintas
20. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os números 1, 2 e 3?
6 números distintos
21. Se um salão possui cinco portas, o número de possibilidades de se entrar por uma delas e sair
por outra porta diferente é: 20 possibilidades
22. Em uma biblioteca existem 7 portas. Calcule o número de modos de essa biblioteca estar
aberta. 127 possibilidades
23. Com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 6, quantos números de:
a) 3 algarismos podemos formar? 100 números
b) 3 algarismos distintos podemos formar? 48 números
24. Um teste contém 16 questões de múltipla escolha, cada uma das quais com 5 alternativas.
Quem faz o teste deve assinalar uma única questão em uma folha de respostas. De quantas maneiras
distintas a folha de respostas pode ser preenchia? 516 = 152.587.890.625 maneiras distintas
ÿ Boa Sorte!
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Arranjos Simples: An,p =
Matemática
n!
(n − p)!
25. (Uesb 2015) Para uma competição, 10 jovens serão separados em 2 times de 5 pessoas. O
número de maneiras distintas de fazer essa divisão é? 30.240/2=15.120
26. A senha de um cartão magnético bancário, usado para transações financeiras, é uma sequência de duas letras distintas (entre as 26 do alfabeto) seguida por uma sequência de três algarismos
distintos. Quantas senhas podem ser criadas? 468.000 senhas
27. Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 8, quantos números ímpares de:
a) 4 algarismos podemos formar? 432 números
b) 4 algarismos distintos podemos formar? 120 números
28. No sistema de numeração decimal, quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? 648 números inteiros de 3 algarismos distintos
29. (Enem 2015) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua
viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava
quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as
únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por
9!
= 181.440
2!
30. Em um grupo de amigos há o hábito de se presentearem por ocasião de seus aniversários. Durante o ano, forma trocados trinta presentes. Supondo que cada um tenha dado um único presente
aos demais, determine quantas pessoas formam o grupo. 6 pessoas no grupo
Permutações Simples: Pn = n!
31. Giba e Gina têm três filhos: Carla, Luís e Daniel. A família quer tirar uma foto de recordação
de uma viagem na qual todos aparecem lado a lado.
a) De quantas formas distintas os membros da família podem se distribuir? 120 posições possíveis
b) Em quantas possibilidades o casal aparece lado a lado? 48 possibilidades
32. Quantos números maiores do que 1.000 podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 0,
sem repetição? 18 números
33. Com relação aos anagramas da palavra ESTADO, qual é o número:
a) total deles? 720 anagramas
b) dos que começam com consoante? 360 anagramas
c) dos que começam e terminam com vogal? 144 anagramas
d) dos que mantêm as letras E, S, A juntas e nessa ordem? 24 anagramas
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e) dos que mantêm as vogais juntas? 144 anagramas
34. Deseja-se dispor em fila cinco pessoas: Marcelo, Rogério, Reginaldo, Daniele e Márcio. Calcule o número das distintas maneiras que elas podem ser dispostas, de modo que Rogério e Reginaldo
fiquem sempre vizinhos? 48 maneiras de dispor as 5 pessoas
35. Em um teste de múltipla escolha, com 5 alternativas distintas, sendo uma única correta, o
número de modos distintos de ordenar as alternativas de maneira que a única correta não seja nem a
primeira nem a última é? 72 modos distintos
Combinações Simples: Cn,p =
n!
p! · (n − p)!
36. Em uma sala estão 6 rapazes e 4 moças. Quantas comissões podemos formar, tendo cada uma
delas 4 rapazes e 2 moças? 90 comissões
37. Determine o número de comissões de 6 pessoas que podemos formar com 7 rapazes e 5 moças, de tal modo que em cada comissão existem pelo menos 3 moças? 462 comissões com pelo menos
3 moças
38. Quantas diagonais tem um octógono regular? O octógono regular tem 20 diagonais
39. Com 6 rapazes e 6 moças, quantas comissões de 5 pessoas podemos formar, tendo em cada
uma delas:
a) 2 rapazes e 3 moças? 300 comissões
b) pelo menos 3 moças? 396 comissões
40. Nove atletas olímpicos (5 mulheres e 4 homens) foram participar das gravações para uma
campanha publicitária. Chegando ao local da filmagem, foram informados de que, na cena que seria
gravada, deveriam aparecer apenas quatro atletas, sendo 2 homens e 2 mulheres. De quantas maneiras distintos poderão ser escolhidos os quatro atletas? 60 possibilidades
41. (ITA-SP) Uma urna contém 12 bolas das quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantos modos
podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 são brancas? 350 maneiras
42. Em um plano existem 7 pontos, dos quais apenas 3 estão alinhados. Quantas retas esses pontos determinam? 19 retas
43. (Uesb 2014) Um representante de laboratório tem oito amostras grátis de remédios distintos
para distribuir a três médicos I, II e III. Considerando-se que existem x maneiras distintas de fazer a
distribuição, dando 3 amostras ao médio I, 4 ao médico II e 1 amostra ao médico III, pode-se afirmar
que x é igual a? 280 maneiras distintas
44. (Enem 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre
outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo
que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre
dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de
10!
4!
escolha dos tenistas para a partida de exibição?
−
= 45 − 6 = 39 possibilidades
2! · 8! 2! · 2!
45. Um aluno deverá ser examinado em Matemática e Física com uma única prova de cinco questões. Sabendo-se que Matemática tem 10 tópicos e Física 8, e que qualquer tópico só poderá aparecer
no máximo em uma questão, determine o número de possíveis escolhas entre esses tópicos que o examinador terá para elaborar a prova com três questões de Matemática e duas de Física? 3.360 escolhas
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46. Num hospital há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e 2 na radioterapia.
Se 6 funcionários se candidatam para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a radioterapia, de
quantas maneiras distintas essas vagas podem ser preenchidas com esses candidatos? 11.200 maneiras distintas
47. (U. F. Fluminense-RJ) Cada pessoa presente a uma festa cumprimentou a outra, com um
aperto de mão, uma única vez. Sabendo-se que os cumprimentos totalizaram 66 apertos de mão,
pode-se afirmar que estiveram presentes à festa: 12 pessoas
48. Com 15 jogadores, quantos times de futebol de salão (5 jogadores) podem ser formados,
sabendo-se que:
a) há apenas 1 goleiro e ele não joga em outra posição? 1.001 times
b) há 3 goleiros e eles só jogam nessa posição? 1.485 times
49. Em uma festa comparecerem 12 alunos e 3 professores. Foram tiradas fotos de forma que
em cada uma figurassem 5 pessoas, cada vez usando grupos distintos de pessoas. Em quantas fotos
apareceram exatamente 2 professores? 660 fotos
50. (ITA-SP) Uma escola possui 18 professores, sendo 7 de matemática, 3 de física e 4 de química.
De quantas maneiras podemos formar comissões de 12 professores, de modo que cada uma contenha
exatamente 5 professores de matemática, no mínimo 2 de física e no máximo 2 de química? 2.877
maneiras
Arranjos com Repetição: ARn,p = np
51. Quantos números de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 5, 7 e 9 ? 64
números
52. As novas placas dos veículos motorizados contêm 3 (três) letras e 4 (quatro) algarismos.
Quantas placas deverão existir, cujas três letras sejam todas vogais? 1.250.000 placas com letras e
algarismos repetidos
53. Existem placas de automóveis formados por 2 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas placas
existem dessa forma com as letras A e B e com os algarismos pares e distintos? 1.024 placas
k1 ,k2 ,...,kp
Permutações com Repetição: Pn
=
n!
k1 ! · k2 ! · ... · kp !
54. Um casal tem três meninos e duas meninas. De quantos modos distintos poderia ter ocorrido
a ordem dos nascimentos das crianças? 10 possibilidades
55. Permutando os algarismos de 2.533.234, quantos números ímpares obtemos? 240 números
ímpares
56. (FEI-Mauá-SP) Num carro com 5 lugares e mais o lugar do motorista viajam 6 pessoas, das
quais 3 sabem dirigir. De quantas maneiras se podem dispor essas 6 pessoas em viagem? 360 maneiras
57. (Enem 2016) Para cadastrar-se um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por
quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os
algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e
seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. O número total de senhas
4!
possíveis para o cadastramento nesse site é dado por? 102 ·522 ·
= 102 ·522 ·6 = 1.622.400 senhas
2! · 2!
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58. Determine quantos anagramas podemos formar com a palavra MATEMÁTICA. Podemos formar 151.200 anagramas
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