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LIMITES
1- INTRODUÇÃO
Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente
atingido mas que jamais pode ser ultrapassado.
Exemplos:
a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso
porque existe o limite de elasticidade da borracha.
b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o limite de carga que ele suporta.
É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode-se
aproximar tanto quanto se desejar.
2- NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Seja a função f(x) = 2x +1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que
1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x  1), y
tende para 3 (y  3), ou seja:
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x  1). Nem é preciso que x assuma o valor 1.
Se f(x) tende para 3 (f(x)  3), dizemos que o limite de f(x) quando x  1 é 3, embora possam ocorrer casos em
que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
se, quando x se aproxima de a (x  a), f(x) se aproxima de b (f(x)  b).
Seja agora a função:
f(x) =
x2  x  2
, se x  1

 x 1
2, se x  1

,
temos:
f(x) =
 ( x  1)( x  2)
, se x  1

x 1

2, se x  1
Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x  1), f(x) se aproxima de 3, embora para x = 1 tenhamos f(x) = 2.
0 que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x  1. E, no caso, y  3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:
( x  1)( x  2)

x 1
 lim ( x  2)  1  2  3
lim f ( x)  lim
x1
x 1
x1
Exemplos:
( x  3)( x  1)
 lim

x 3 ( x  3)( x  3)
x2  9
x 1 2 1
 lim
 
x 1 x  3
6 3
2
a) lim x  4  lim ( x  2)  2  2  4
x 2
x2
b) lim
x 2  4x  3
x 3
x 2
3- PROPRIEDADES
3.1- Limite de uma constante
O limite de uma constante é a própria constante.
lim k  k
x 0
Ex: lim 3  3
x 2
3.2- Limite de uma soma
O limite de uma soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções.
lim f ( x )  g( x )  lim f ( x )  lim g( x )
x x 0
x x 0
x x 0
Ex: lim (x  3)  lim x  lim 3  2  3  5
x 2
x 2
x 2
3.3- Limite de uma diferença
O limite de uma diferença de duas funções é igual à diferença dos limites dessas funções.
lim f ( x )  g( x )  lim f ( x )  lim g( x )
x x 0
x x 0
x x 0
Ex: lim (4x 2  x )  lim 4x 2  lim x  16  2  14
x 2
x 2
x 2
3.4- Limite do produto
O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções.
lim f ( x ).g( x )  lim f ( x ). lim g( x )
x x 0
x x 0
x x 0
Ex: lim 4x 2  lim 4. lim x 2  4.9  36
x 3
x 3
x 3
3.5- Limite do quociente
O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções, desde que o denominador seja
diferente de zero.
lim
x x 0
lim f ( x )
f ( x ) x x 0

g( x ) lim g( x )
x x 0
x3 23 5
Ex: lim x  3  xlim
2


x 2
x4
lim x  4
x 2
24
6
3.6- Limite de uma potência
O limite de uma potência de uma função é igual à potência do limite dessa função.


lim f ( x )n   lim f ( x )
x x 0
x x 0

n
2
Ex: lim (5x) 2  lim 5x   52  25


 x 1
x 1

3.7- Limite de uma raiz
O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função.
lim
x x 0
n
f ( x )  n lim f ( x )
x x 0
Ex: lim 5 3x 4  5 lim 3x 4  5 48
x 2
x 2