int_por_partes - MAT 140 - 2015-II

MAT140 - Cálculo I - Integração por Partes
29 de setembro de 2015
MAT140 - Cálculo I - Integração por Partes
UFV
Método de Integração por Partes
Mesmo que a antiderivada de uma função exista, nem sempre é possı́vel
expressá-la em termos das funções elementares. Um exemplo é mostrado
abaixo:
Z
2
e −x dx
Nesse tópico estudaremos um método que permite encontrar a antiderivada
de algumas funções. Esse método é chamado Integração por Partes e
é particularmente útil para integrandos que envolvem produtos de funções
algébricas e transcedentes.
Integrando é a função para a qual se busca a antiderivada.
Z
f (x) dx
|{z}
integrando
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Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo I. A regra do produto
estabelece que
(fg )0 (x) = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x)
Se as funções f 0 e g 0 são contı́nuas, podemos integrar ambos os membros
da equação e obter
Z
Z
(fg )0 (x)dx = (f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x))dx
⇓
Z
f (x)g (x) =
Daı́ obtemos
Z
f (x)g (x)dx +
f (x)g 0 (x)dx = f (x)g (x) −
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Z
0
Z
f (x)g 0 (x)dx
f 0 (x)g (x)dx
(1)
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Teorema de Integração por Partes
Colocando
u = f (x) e v = g (x)
obtemos
du = f 0 (x)dx e v 0 (x) = g 0 (x)dx
Substituindo na equação (1), obtemos o seguinte resultado
Teorema (1)
Se u e v são funções deriváveis e suas derivadas são contı́nuas, então
Z
Z
udv = uv − vdu
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Observação (1)
Este método não funciona para todas as funções. As escolhas de u e de
dv são fundamentais no processo de integração por partes. Os seguintes
procedimentos podem facilitar o uso do método.
1. Coloque, se possı́vel, dv como o fator mais complicado do
integrando, que se possa integrar diretamente.
2. Coloque u como a função mais simples, cuja derivada seja uma
função mais simples do que u.
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Exemplos
Exemplo (1)
Calcule
Z
xe x dx
Solução: Seguindo as sugestões anteriores, coloque
u = x e dv = e x dx
Assim
u = x ⇒ dx = du
dv = e x dx ⇒ v = e x
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Aplicando o teorema (1), obtemos
Z
Z
udv = uv − vdu
Z
x
x
xe dx = xe −
Z
e x dx = xe x − e x + c
O resultado acima pode ser verificado, basta derivarmos xe x − e x + c,
vejamos:
(xe x − e x + c)0 = (xe x )0 − (e x )0 + (c)0 =
e x + xe x − e x + 0 = xe x
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Exemplo (2)
Calcule
Z
x 2 ln(x)dx
Neste caso, observe que a derivada de ln(x) é mais simples do que ln(x).
Assim, colocamos
Z
x3
2
dv = x dx ⇒ v = x 2 dx =
3
u = ln(x) ⇒ du =
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1
dx
x
UFV
Pela integração por partes obtemos
Z
Z
udv = uv − vdu
Z
Z 3
x3
x 1
2
x ln(x)dx = ln(x) −
dx
3
3 x
Z
x3
1
x3
1 x3
=
ln(x) −
x 2 dx =
ln(x) −
+c
3
3
3
3 3
x3
x3
=
ln(x) −
+c
3
9
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Exemplo (3) ( Integrando com um único termo)
Calcule
Z
arcsen(x)dx
Neste caso temos somente a seguinte escolha para aplicar o teorema (1).
dv = dx ⇒ v = x
u = arcsen(x) ⇒ du = √
1
dx
1 − x2
Aplicando integração por partes
Z
Z
udv = uv − vdu
Z
Z
x
√
arcsen(x)dx = xarcsen(x) −
dx
1 − x2
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Note que
Z
√
x
1
dx =
2
1 − x2
Z
√
2x
dx
1 − x2
Fazendo a substituição
1 − x 2 = z, onde − 2xdx = dz
Obtemos
1
2
Assim,
Z
Z
√
2x
1
dx = −
2
1 − x2
Z
p
√
dz
√ = − z = − 1 − x2
z
p
arcsen(x)dx = xarcsen(x) − (− 1 − x 2 ) + c
= xarcsen(x) +
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p
1 − x2 + c
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Exemplo (4)
Calcule
Z
sec 3 (x)dx
Neste caso, o procedimento usado no exemplo 3 não seria conveniente.
(Verifique!)
Façamos o seguinte, coloque
Z
Z
3
sec (x)dx = sec(x)sec 2 (x)dx
Seguindo a observação 1, coloque
dv = sec 2 (x)dx ⇒ v =
Z
sec 2 (x)dx = tg (x)
u = sec(x) ⇒ du = sec(x)tg (x)dx
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Aplicando o teorema 1 obtemos
Z
Z
udv = uv − vdu
Z
Z
3
sec (x)dx =
sec(x)sec 2 (x)dx
Z
= sec(x)tg (x) − tg (x)sec(x)tg (x)dx
{z
}
{z
}
|
|
uv
vdu
Z
= sec(x)tg (x) − sec(x)tg 2 (x)dx
Z
= sec(x)tg (x) − sec(x)(sec 2 (x) − 1)dx
Z
Z
= sec(x)tg (x) − sec 3 (x)dx + sec(x)dx
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Daı́,
Z
2
Z
3
Z
sec (x)dx
=
sec(x)tg (x) +
sec(x)dx
sec 3 (x)dx
=
1
1
sec(x)tg (x) + ln |sec(x) + tg (x)| + c
2
2
Onde usamos o fato que
Z
sec(x)dx = ln |sec(x) + tg (x)| + c
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Exemplo (5) (Uso repetido de integração por partes)
Calcule
Z
x 2 sen(x)dx
Usando a observação 1 coloque
u = x 2 ⇒ du = 2xdx
dv = sen(x)dx ⇒ v = −cos(x)
Novamente aplicando o teorema 1 obtemos
Z
Z
udv = uv − vdu
Z
Z
2
2
x sen(x)dx = −x cos(x) − 2x(−cos(x))dx
Z
= −x 2 cos(x) + 2 xcos(x)dx
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Aplicamos novamente o teorema 1 para a integral
Z
xcos(x)dx
coloque
u = x ⇒ du = dx
dv = cos(x)dx ⇒ v = sen(x)
Z
Z
xcos(x)dx
= xsen(x) −
sen(x)dx
= xsen(x) + cos(x)
Assim obtemos
Z
x 2 sen(x)dx = −x 2 cos(x) + 2(xsen(x) + cos(x)) + c
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