MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Método de Integração por Partes Mesmo que a antiderivada de uma função exista, nem sempre é possı́vel expressá-la em termos das funções elementares. Um exemplo é mostrado abaixo: Z 2 e −x dx Nesse tópico estudaremos um método que permite encontrar a antiderivada de algumas funções. Esse método é chamado Integração por Partes e é particularmente útil para integrandos que envolvem produtos de funções algébricas e transcedentes. Integrando é a função para a qual se busca a antiderivada. Z f (x) dx |{z} integrando MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo I. A regra do produto estabelece que (fg )0 (x) = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x) Se as funções f 0 e g 0 são contı́nuas, podemos integrar ambos os membros da equação e obter Z Z (fg )0 (x)dx = (f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x))dx ⇓ Z f (x)g (x) = Daı́ obtemos Z f (x)g (x)dx + f (x)g 0 (x)dx = f (x)g (x) − MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes Z 0 Z f (x)g 0 (x)dx f 0 (x)g (x)dx (1) UFV Teorema de Integração por Partes Colocando u = f (x) e v = g (x) obtemos du = f 0 (x)dx e v 0 (x) = g 0 (x)dx Substituindo na equação (1), obtemos o seguinte resultado Teorema (1) Se u e v são funções deriváveis e suas derivadas são contı́nuas, então Z Z udv = uv − vdu MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Observação (1) Este método não funciona para todas as funções. As escolhas de u e de dv são fundamentais no processo de integração por partes. Os seguintes procedimentos podem facilitar o uso do método. 1. Coloque, se possı́vel, dv como o fator mais complicado do integrando, que se possa integrar diretamente. 2. Coloque u como a função mais simples, cuja derivada seja uma função mais simples do que u. MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Exemplos Exemplo (1) Calcule Z xe x dx Solução: Seguindo as sugestões anteriores, coloque u = x e dv = e x dx Assim u = x ⇒ dx = du dv = e x dx ⇒ v = e x MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Aplicando o teorema (1), obtemos Z Z udv = uv − vdu Z x x xe dx = xe − Z e x dx = xe x − e x + c O resultado acima pode ser verificado, basta derivarmos xe x − e x + c, vejamos: (xe x − e x + c)0 = (xe x )0 − (e x )0 + (c)0 = e x + xe x − e x + 0 = xe x MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Exemplo (2) Calcule Z x 2 ln(x)dx Neste caso, observe que a derivada de ln(x) é mais simples do que ln(x). Assim, colocamos Z x3 2 dv = x dx ⇒ v = x 2 dx = 3 u = ln(x) ⇒ du = MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes 1 dx x UFV Pela integração por partes obtemos Z Z udv = uv − vdu Z Z 3 x3 x 1 2 x ln(x)dx = ln(x) − dx 3 3 x Z x3 1 x3 1 x3 = ln(x) − x 2 dx = ln(x) − +c 3 3 3 3 3 x3 x3 = ln(x) − +c 3 9 MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Exemplo (3) ( Integrando com um único termo) Calcule Z arcsen(x)dx Neste caso temos somente a seguinte escolha para aplicar o teorema (1). dv = dx ⇒ v = x u = arcsen(x) ⇒ du = √ 1 dx 1 − x2 Aplicando integração por partes Z Z udv = uv − vdu Z Z x √ arcsen(x)dx = xarcsen(x) − dx 1 − x2 MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Note que Z √ x 1 dx = 2 1 − x2 Z √ 2x dx 1 − x2 Fazendo a substituição 1 − x 2 = z, onde − 2xdx = dz Obtemos 1 2 Assim, Z Z √ 2x 1 dx = − 2 1 − x2 Z p √ dz √ = − z = − 1 − x2 z p arcsen(x)dx = xarcsen(x) − (− 1 − x 2 ) + c = xarcsen(x) + MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes p 1 − x2 + c UFV Exemplo (4) Calcule Z sec 3 (x)dx Neste caso, o procedimento usado no exemplo 3 não seria conveniente. (Verifique!) Façamos o seguinte, coloque Z Z 3 sec (x)dx = sec(x)sec 2 (x)dx Seguindo a observação 1, coloque dv = sec 2 (x)dx ⇒ v = Z sec 2 (x)dx = tg (x) u = sec(x) ⇒ du = sec(x)tg (x)dx MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Aplicando o teorema 1 obtemos Z Z udv = uv − vdu Z Z 3 sec (x)dx = sec(x)sec 2 (x)dx Z = sec(x)tg (x) − tg (x)sec(x)tg (x)dx {z } {z } | | uv vdu Z = sec(x)tg (x) − sec(x)tg 2 (x)dx Z = sec(x)tg (x) − sec(x)(sec 2 (x) − 1)dx Z Z = sec(x)tg (x) − sec 3 (x)dx + sec(x)dx MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Daı́, Z 2 Z 3 Z sec (x)dx = sec(x)tg (x) + sec(x)dx sec 3 (x)dx = 1 1 sec(x)tg (x) + ln |sec(x) + tg (x)| + c 2 2 Onde usamos o fato que Z sec(x)dx = ln |sec(x) + tg (x)| + c MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Exemplo (5) (Uso repetido de integração por partes) Calcule Z x 2 sen(x)dx Usando a observação 1 coloque u = x 2 ⇒ du = 2xdx dv = sen(x)dx ⇒ v = −cos(x) Novamente aplicando o teorema 1 obtemos Z Z udv = uv − vdu Z Z 2 2 x sen(x)dx = −x cos(x) − 2x(−cos(x))dx Z = −x 2 cos(x) + 2 xcos(x)dx MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV Aplicamos novamente o teorema 1 para a integral Z xcos(x)dx coloque u = x ⇒ du = dx dv = cos(x)dx ⇒ v = sen(x) Z Z xcos(x)dx = xsen(x) − sen(x)dx = xsen(x) + cos(x) Assim obtemos Z x 2 sen(x)dx = −x 2 cos(x) + 2(xsen(x) + cos(x)) + c MAT146 - Cálculo I - Integração por Partes UFV