dt dy . yz dt dx . xz dt dz ∂ ∂ + ∂ ∂ = dt dz dt dy . yz ∂ ∂ sy . yzsx

Resumo de Regra da Cadeia e Derivadas Totais –
Prof. M.Sc. Armando P. Silva - UTFPR – Campus Cornélio Procópio
Regra da cadeia e derivada total
Em muitas situações práticas, uma quantidade é
dada como funções de duas ou mais variáveis,
cada variável sendo função de outra variável, e o
objetivo é calcular a taxa de variação da
quantidade em relação a esta outra variável. A
demanda de um certo produto, por exemplo,
pode depender do preço do produto e do preço de
um produto competitivo, ambos os preços
aumentando com o tempo, e o objetivo é calcular
a taxa de variação da demanda em relação ao
tempo. Esse tipo de problema pode ser resolvido
usando uma generalização da regra da cadeia
introduzida no Cálculo1.
Regra da Cadeia para funções de uma
variável.
Recordemos que, se z é função de x e x é função
de t, então, z pode ser representado como função
de t e a taxa de variação de z em relação a t é
dada pela regra da cadeia:
dz dz dx

.
dt dx dt
sendo y fixo.
z dy
. = taxa de variação de z em relação a t,
y dt
sendo x fixo.
ii) a regra da cadeia para derivadas parciais
mostra que a taxa de variação total de z em
relação a t é a soma dessas taxas de variação
“parciais”.
Caso 2
Suponha que
i) z seja função de x e y;
ii) x e y sejam funções de s e t.
Então, z pode ser representado como função
de s e t:
z z x z y
 .  .
s x s y s
z z x z y
 .  .
 t x t y t
Se z  x 2 y  3xy 4 , onde x =
Exemplo 1
Solução
Regra da Cadeia para derivadas parciais
Para funções de mais de uma variável, a Regra
da Cadeia tem muitas versões, cada uma delas
fornecendo uma regra de diferenciação de uma
função composta. Apresentaremos a seguir 2
casos que usaremos neste curso.
Caso 1 :
Suponha que
i)
z seja função de x e y;
ii)
x e y sejam funções de t.
Então, z pode ser representado como função
de t e
dz z dx z dy
 .  .
dt x dt y dt
Observe que:
i) a expressão
z dx
= taxa de variação de z em relação a t,
.
x dt
sen2t e y = cos t. Determine
Agora, temos as regras correspondentes para
funções de mais de uma variável:
dz
é uma adição de duas
dt
parcelas, cada uma podendo ser interpretada pelo
uso da regra da cadeia para função de uma
variável. Temos:
1
Temos que
dz
para t = 0
dt
dz z dx z dy
 .  . .
dt x dt y dt
Calculando cada um separadamente temos:
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
 2xy  3y 4
 2 cos(2t )
 x 2  12xy 3
 sent
Agora, substituindo na fórmula da Regra da
Cadeia, teremos:
dz 
  2xy  3y 4 2 cos t    x 2  12xy3  sent 



dt 
Neste caso não é necessário substituir as
expressões de x e y em função de t. Como neste
exemplo t = 0 e x = sen2t e y = cos t então
temos:
x = sen0 = 0 e y = cos 0 = 1 , daí, substituindo
na derivada parcial temos:
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dz 
  2.0.1  3.14 2.1   0 2  12.0.13  0



dt 
dz
6
dt
Exemplo 2
Se z  e x seny , onde x  s.t 2 e y  s 2 t ,
z
z
determine
.
e
s
t
2
z z x z y
 .  .
 t x t y t
z  x
  e seny 2st    e x cos y  s 2 


 
t 
substituindo x por st2 e y por s2t , temos:
 
 
2
2
z
 2stest sen s 2 t  s 2 e st cos s 2 t
t
Solução:
Temos que calcular
z z x z y
e
 .  .
s x s y s
z z x z y
 .  .
 t x t y t
Exemplo 3
z
Primeiramente determinamos
. Calculando
s
valor de
u  x 4 y  y 2 z 3 , onde
y  rs 2e  t e z  r 2s sent ,
Se
x  rs 2 e t
,
determine
o
u
quando r = 2, s = 1 e t = 0.
s
cada parte separadamente, temos:
Solução
Vemos que neste exemplo poderíamos calcular
z  x
x
  e seny 
 t2
 s
x 
y
z
 2st
 e x cos y
s
y
u u u
u
.
, e , porém o autor pede apenas
s  r  t
s
Agora, substituindo na primeira equação
temos:
z z x z y
 .  .
s x s y s
z  x
  e seny .t 2   e x cos y .2st



s 
z
falta encontrar
t
x
 2st
Temos que:
t
z
substituindo em
, temos:
t
u u x u y u z
 .  .  .
s x s y s z s
Quando r = 2, s = 1 e t = 0, temos x =2 , y = 2 e
z = 0. Daí:
2
2
z
 t 2 .e st sen s 2 t   2stest . cos s 2 t 




s
x
y
e
t
t
e x, y e z
u
 4x 3 yret  ( x 4  yz3 )rse t  3y 2 z 2 r 2sent
s
substituindo x por st2 e y por s2t , temos:
Agora, para encontrar
Como u depende de x , y e z
dependem de s, temos:
u
 64.2  16.2  0.0 = 160
s
Generalização da Regra da Cadeia
A regra da cadeia pode ser generalizada. Os
exemplos que apresentamos a seguir mostram a
sistemática usada.
Exemplo 4
e
y
 s2 ,
t
Dada a função w  x 2  y 2  z 2 , onde
x  r cos sen
y  rsensen
z  r cos 
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calcular as derivadas parciais de w em relação a
r,  e  .
Solução:
A regra da cadeia para este caso pode ser escrita
como:
w w x w y w z

. 
. 
.
 r x r y r z r
w w x w y w z

. 
. 
.
  x  y  z 
w w x w y w z

.

.

.
  x  y  z 
Efetuando-se todos os cálculos, teremos:
w
w
 2r ,
0 e
r

w
 2r 2 cos 2 cos   sen  r 2sen 2

Exemplo 5
Determine
df
, sendo f ( x, y)  xy  x 2 ,
dt
x= t +1 , y = t + 4
Solução:
df
=4 t +7
dt
Exemplo 6
Dada f ( x, y)  x 2 y  ln( xy 2 ) ,
y = t, determine
com x = t2 e
df
.
dt
Solução:
4
df
= 5t 4 
t
dt
Exemplo 7
Dada a função
f (u, v)  u 2  v  4 , com
e v(x, y)  x 2 y  1 ,
u(x, y)  x  y
f
f
determine
e
x
y
Solução:
f
 2x 2x  2 y  2xy
x
f
 2x  2 y  x 2
y
3
Exemplo 8
com
f (x, y)  x 2 y  x 2  y 2 ,
determine
x  r cos  e y  r sen  ,
f
f
e
r

Sejam
Solução:
f
 2xy  2x  cos    x 2  2 y sen


r
f
 2xy  2x  rsen   x 2  2 y r. cos 



substituindo x e y, temos:
f
 3r 2 cos2 sen  2r ( cos2   sen 2 )
r
f
 2r 3sen 2  cos   4r 2 sen cos   r 3 cos3 

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EXERCICIOS
f
, para as funções:
t
a )f ( x, y)  ln x 2  y 2 


E.1
E2
Determine
com
a) 10 t sec 2 5 t 2 


b) cos2 t  sen 2 t
x  2t  1 y  4t 2  5
b) f (x, y)  sen2x  5y , x = cost e y = sen t.
2
c) f ( x, y)  x.e 2xy , x = 2t e y = 3t 1
d) f (x, y)  lnxy , x  2t 2 e y  t 2  2
E.2
Determine
dz
, em cada item abaixo:
dt
a ) z  tg x 2  y  , com x = 2 t e y = t2.


b) z = x cos y , com x = sent e y = t .
x
E.3 Dada a função f ( x, y)   e xy , com
y
1
df
.
x  e y  t , encontre
t
dt
E.4
Dada a função
z  x 2  y 3 , com
3
calcule
x  u 2  1 e y  v2 ,
z
z
e
u
v
Nos ítens a seguir determine as
z
z
derivadas parciais
.
e
x y
E.5
a) z 
r2  s
, r 1 x , s  x  y
s
b) z  uv 2  v ln u, u  2x - y, v  2x  y
Dada a função w  x 2  2y 2  z 2 com
x  2uv
e
determine
yuv
w w
e
u
v
RESPOSTAS
E.6
E1.
a)
32t 3  36t  2
8t 4  18t 2  2t  13
b) cos(2 cos t  5sent). 2sent  5 cos t 
3
2
c) 216t 3  96t 2  8t  2.e 36t  24t  4t


d)
4t 2  4
t 3  2t
, t0
E3.
3
2 t2 t

t
2 t2
t
.e t
E4.
z

u
z

v
2u 3  2u
2
 u 2  1  v 2




v
2
 u 2  1  v 2




E.5
a)
 z x 2  2xy  2 y  1

x
x  y 2
1  x 2
z

y
x  y 2
E5 b)
 2x  y 
z
 22x  y 2  2

x
 2x  y 
4 4x 2  y 2   2 ln 2x  y 


2
xy
z
 2x  y 2 

y
2x  y
4 4x 2  y 2   ln 2x  y 


E6
w
 8uv 2  2u  6v
u
w
 8u 2 v  6u  2v
v
4