Integrais Multiplas

Centro Federal de Educação Tecnológica
Unidade de Nova Iguaçu
Ensino de Graduação
Matemática
Exercícios de Cálculo 2
Integrais Multiplas
Lista 1
1) Calcule as integrais iteradas:
a)
Z 3Z
e)
1
Z 2Z
1
(2x + y)8 dxdy
(1 + 4xy) dxdy
1
b)
Z πZ
π
2
2
0
c)
0
0
f)
Z 1Z
(sen (x) cos(y)) dydx
0
0
Z 4Z
g)
1
2
−1
2
Z πZ
2
π
6
1
h)
5
2
1
Z 4Z
2
(x + y ) dydx
d)
0
2
1
Z 1Z
(cos(y)) dxdy
−1
0
xex
y
x y
+
y x
dydx
dydx
3
(ex+3y ) dxdx
0
2) Aplique o teorema de Fubini para calcular as integrais abaixo nas respectivas regiões.
a)
ZZ
D = {(x, y) ∈
(2y + x) dA ,
D
R2 ; 0 ≤ x ≤ 2
e 0 ≤ y ≤ 1}
Resp. (4)
b)
ZZZ
(xyz) dA ,
D = {(x, y, z) ∈
D
R ; −1 ≤ x ≤ 2,
3
9
0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2}Resp.
8
c)
ZZ
(xsen (y)−yex ) dA ,
D = {(x, y) ∈
D
R2; −1 ≤ x ≤ 1
e 0≤y≤
π
}
2
1
π2
Resp. ( − e)
e
8
d)
ZZZ
(xysen (yz)) dA ,
D = {(x, y, z) ∈
D
Resp.
π
2
4 (π
R3; 0 ≤ x ≤ π,
0≤y≤
π
2
e 0≤z≤
π
}
3
2
− 6sen ( π6 ))
3) Transforme em coordenadas cartesianas retangulares os seguintes pontos dados em coordenadas
polares:
a) (3, π)
c) (2, 47 π)
b) (4, 32 π)
d) ( 2, −3
4 π)
e) (2, −1
2 π)
√
f) (1, −7
6 π)
4) Transforme em coordenadas polares os seguintes pontos dados em coordenadas cartesianas retangulares: (Tome r > 0 e 0 ≤ θ < 2π )
1
a) (1, −1)
√
b) (− 3, 1)
c) (2, 2)
e) (0, −2)
d) (−5, 0)
f) (2, −2 3)
√
5) Transforme as equações abaixo, dadas em coordenadas cartesianas retangulares para equações
dadas em coordenadas polares.
a) x2 + y 2 = a2
c) (x2 + y 2 )2 = 4(x2 − y 2 )
e) x2 + y 2 − 2x = 0
b) y 2 = 4(x + 1)
d) x2 − y 2 = 16
f) x + y = 9
6) Transforme as equações abaixo, dadas em coordenadas polares para equações dadas em coordenadas cartesianas retangulares.
a) r2 = 2 sin(2θ)
c) r2 = 4cos(2θ)
e) θ = − π6
b) r2 = cosθ
d) r =
f) r2 − 3r + 2 = 0
6
2−3 sin θ
7) Esboce o gráco das funções:
a) r = sin(θ)
c) r = 2 + 2 cos(θ)
e) r = 2θ para θ ≥ 0
b) r = −4 sin(θ)
d) r = 2 sin 3(θ)
f) r =
10
θ
para θ > 0
8) Calcular por integrais duplas as áreas dadas pelas regiões:
a) Limitadas pelas curvas x2 + 2y = 16 e x + 2y = 4; Resp.
b) Limitadas pelas curvas y = x2 e y 2 = x; Resp.
343
12
1
3
c) Limitadas pelas curvas y 2 + x2 = 2x e y 2 + x2 = 4x e no primeiro quadrante; (Para saber a
resposta use geometria elementar.)
d) Limitada pelas curvas: y = e−2x+3 , y − ex = 0, y > 0 e x = e. (Para saber a resposta use cálculo
1.)
e) (Rosácea)Limitadas por − π4 ≤ θ ≤
π
4
e 0 ≤ r ≤ cos θ; Resp.
π
8
f) Limitadas pelas curvas x2 + (y − 1)2 = 1 e y 2 + (x − 1)2 = 1;
9) Esboce as regiões de integração e calcule as integrais triplas:
a)
Z 2 Z √4−y2 Z
−2 −
√
4−y 2
c)
2
√
Z 3Z
(xz) dzdxdy
x2 +y 2
0
b)
Z 3Z
−3 0
10) Calcule
√
9−x2
Z
9−x2 −y 2
√
1Z
0
1−z 2
(zey ) dxdzdy
0
d)
Z πZ
p
( x2 + y 2 ) dzdydx
2
0
0
ZZZ
y
Z
x
cos(x + y + z) dzdxdy
0
0
(x3 + xy 2 ) dV
W
onde W é o sólido no primeiro octante abaixo do paraboloide z = 1 − x2 − y 2 .
2
11) Calcule
ZZZ
(x2 ) dV
W
onde W é o sólido que está dentro do cilindro x2 + y 2 = 1, acima do plano z = 0 e abaixo do
cone z 2 = 4x2 + 4y 2 .
12) Encontre usando integrais triplas, o volume de um cilindro de altura h e raio da base r.
13) Esboce as regiões de integração e calcule as integrais triplas:
b)
a)
Z 4Z
2π
Z
4
Z πZ
2
(r) dzdθdr
0
0
r
0
3
2 Z 9−r2
(r) dzdrdθ
0
0