lateralmente do

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1)INTEGRAIS DUPLAS: RESUMO
Exemplo 4
4 2
Exemplo 1
Calcule

 2x  6x 2 y dydx


1 1
Exemplo 2

Calcule integral dupla
 2x 2  3y dA  , sendo R a região que


R
consiste de todos os pontos ( x,y) tais que
1 x  2 e 1 y  3.
Calcule
2
 
4
Exemplo 5
 2x  6x 2 y dxdy

1 1 

Calcule a integral
y 2 xdA , no retângulo
R
R  x , y  : 3  x  2,0  y  1 .
O fato das integrais resolvidas nos exemplos 1 e
2 serem iguais Não é acidental. Se f é contínua,
então as duas integrais iteradas são sempre
iguais. Dizemos que a ordem é irrelevante.
Entretanto, uma boa escolha da ordem pode
simplificar os cálculos. Em alguns casos, pode
não ser possível calcular a integral dupla para
uma escolha e ser possível para outra. Veremos
isso mais tarde com exemplos.
Exemplo 3
Obs:
Freqüentemente
o
retângulo
R  x, y  : a  x  b, c  y  d é expresso como
a , bxc, d  por simplificação.
Exemplo 6
Determine o volume do sólido limitado acima
pelo plano z  4  x  y e abaixo pelo retângulo
R  0,2x0,2.
Calcule as integrais abaixo:
Exemplo 7
3
a)
b)
 0  1 x 2 ydydx
2 2x
xy 3dydx
1  0
3
c)
2
 
1
y2

Calcule
R
ysen( xy )dA , onde R  1,2x0, 
R
4.2
Integrais
genéricas
duplas
sobre
regiões
2 y cos x dxdy
4.2.1
6
4.1 Teorema:
Seja R o retângulo definido pelas desigualdades
a  x  b , c  y  d . Se f(x,y) for contínua
neste retângulo, então:
b d
d b


f ( x, y)dA 

a c
f ( x, y)dydx 

c a
f ( x, y)dxdy
Definição 1
a) Uma região do tipo I é limitada à esquerda e à
direita por retas verticais x=a e x = b e é
limitada abaixo e acima por curvas contínuas
y=g1(x) e y = g2(x) , onde g1(x)  g2(x) para
a  x b .
b) Uma região do tipo II é limitada abaixo e
acima por retas horizontais y =c e y = d e é
limitada à esquerda e à direita por curvas
contínuas x=h1(y)
e
x = h2(t) , onde
h1(y)  h2(x) para c  x d
Veja Fig 1 e Fig. 2.
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Resolução:
Representamos na Fig. 3 a região R (base deste
sólido):
Figura 1
Tipo I
Figura 3
Região R
1
1
x  , logo a
4
2
região é do Tipo I e podemos integrar deste
modo:
e
2
1
1
x
4
2
V
Figura 2
4.2.2
Tipo II
a) Se R é uma região do tipo I então:
b
g 2 (x)
R f (x, y)dA   a  g 1 (x)
f ( x, y)dydx
b) Se R é uma região do Tipo II, então:
R
f ( x, y)dA 


0
0
Resultado: V 
Teorema
d
h 2 ( y)
 c  h 1 ( y)
f ( x, y)dxdy
Exemplo 8
Calcular o volume do sólido delimitado
superiormente pelo gráfico de z  4  x  y ,
inferiormente pela região delimitada por x=0 ,
1
1
x= 2 , y =0 e y  x  e lateralmente pelo
4
2
cilindro vertical cuja base é o contorno de R.
0 y
Assim, 0  x  2
4  x  y dydx
15
u.v
4
Exemplo 9
Calcule a integral I 

( x  y)dA , onde R é a
R
região limitada por y  x 2 y 2  2x
1
Solução
A região R está representada na Fig. 4.
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Solução
Região R representada graficamente na Fig. 5
y


2
Figura 4
Podemos ver que a região R pode ser enquadrada
nos dois tipos:
y

 x x
0  x  2
ou R :  2
R:
2

0  y  4
x  y  2 x
Figura 5
Logo, podemos resolver a integral I pelos dois
tipos:
2
2x
R (x  y)dA   0  x 2 x  ydydx
ou

( x  y)dA 
 
0
R
Resposta: I 
Exemplo 10
Calcular I 
4
x
y
2
x  y dxdy
52
15

0  x  1

Podemos ter R1   
 2  y  
Daí I 
I
I
ysen ( xy )dA onde R é o

1
 2  0
ysen ( xy )dxdy
Integramos primeiramente em relação à x, e
obtemos:
I

1
 

1


y
.

cos
xy
 dy
  y
0
2


1
 cos xy   dy
 0
 
2

 2 - cosy  1 dy
Agora, integrando em relação à y, obtemos:
R


π  π
2  2
retângulo de vértices  0, , 1,  ,
0, π .
1
0
1, π ,
I  seny  y


2
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 

I   sen      sen  
2 2


I   1
2

I 1
2
I
I

1
 0  2
ysen ( xy ) dy dx . Porém esta


Esta integral podemos resolver por substituição
de variáveis. Assim temos:
escolha necessitaria de integração por partes.
Exemplo 11
I
Calcular
1

0
4 
2
 e y

4x 
a
Integral

dy dx .


y
 4

dy

 0
4 
2
 1 y.e  y dy


0 4

4
2
1
 y.e  y dy
I

4 0 

I
Também poderíamos escolher a mesma região
porém integrar de forma invertida:

4 
2
 x.e  y

0 
2
1
I  e y
8
4
0
1
1
I   e 16  e 0
8
8
1
I  1  e 16 

8 
Resolução:
Verificamos que não seria possível resolver a
primeira integral

4 
2
 e y

4x 

dy


pois a
2
função f ( y)  e  y
não possui primitiva
elementar. Assim, é necessário mudar os limites
de integração.
A região está representada graficamente na Fig.
6, onde vemos que a região R1 é dada por:
0  x  1
R1  
4 x  y  4
Calcule
Assim,
I
temos:
4
 
0
y
2
4  e  y

0 

dx dy


A qual é possível resolver.
Assim temos:
I
4
 
0
y
2
4  e  y

0 
Figura 6
Exemplo 12

dx dy



 2x  y 2 dA , na região triangular


R
R compreendida entre as retas
y1  x 1 e y 2  3 .
y  x  1 ,
Resolução:
Consideramos R como uma região do Tipo II. A
região R e a reta horizontal correspondente ao
ponto fixo y são mostradas na Fig. 7.
Para integrar numa região do tipo II, os limites
esquerdo e direito devem ser expressos sob a
forma x=h1(y) e x = h2(y). Por isso, devemos
reescrever as equações dos limites y = x+1 e
y = x+1 como x = 1 y e
x = y  1
respectivamente.
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Assim, a solução da integral deveria ser:
  2x  y
R

2 dA 


  2x  y
2 dA 


R1
0
R2

Figura 7
A reta intercepta a região R na fronteira à
esquerda x = 1 y e na fronteira à direita
x = y  1. Esses são os limites de integração de
x. Agora, movendo a reta primeiro para baixo e
depois para cima ela gera os limites de y, sendo
y = 1 e y = 3. Assim,

 2x  y 2 dA 


R

3
 
1

 2 x  y 2 dA 


R


y 1
 2x  y 2 dx dy

1 y 

y 1
x 2  y 2 x 
dy

1 y
1
3
3
Figura 8
O resultado desta integração é o mesmo
mostrado anteriormente.
Inversão da ordem de integração
Às vezes, o cálculo da integral iterada pode ser
1 - 2y  2y 2  y 3   1  2 y  y 3 simplificado
invertendo-se a ordem de

 
 dy




integração.
Este
próximo exemplo ilustra esta

1
situação.
3
 2 y 2  2 y 3 dy
Exemplo 13



Calcule
1
3
2
1
2
 2y3 y 4 
68
e x dx dy
 


y
2 
3
0
 3
2
1
 
Neste exemplo poderíamos ter tratado R como
uma região do Tipo I, entretanto neste caso a
fronteira superior R é a reta y = 3 ( Veja Fig 8) e
a fronteira inferior consiste em duas partes, a reta
y = -x + 1 à esquerda e a reta y = x +1 à direita
da origem. Para fazer esta integração devemos
separar a região R em duas partes conforme
mostra a Fig. 8.
2 dA


2 3
 2x  y 2 dy dx 
 2x  y 2 dy dx



 2  x 1
0 x 1
 
3
  2x  y
Como não existe antiderivada elementar de
2
e x , a integral não pode ser resolvida
integrando-se primeiro em relação a x. Para
solucionar este problema devemos calcular essa
integral expressando-a com a ordem inversa de
integração.
Na integração interna, x está variando entre as
retas y/2 e x = 1. Veja Fig 9.
Invertendo a ordem de integração devemos
definir os limites.
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Observando a Fig. 9, podemos ver que fixando x
de 0 à 1, y irá variar de zero à 2x.
0  y  2

Ry
 x 1

2
Solução: A Fig 10 apresenta o gráfico desta
região R.
0  x  1
ou R  
0  y  2 x
Figura 10
Verificamos que a região R pode ser escrita das
duas formas, sendo:
Figura 9
Assim, essa integral deve ser escrita como se
segue:
2
1
0
y
 
ex
2
dx dy 
1
 
0


Utilizando a região R1, temos:

( x  y)dA 

2x
2
e x dy dx
0
2xe x
2
dx
4
 
0
0
1  2  2x
x
e y dx
 0
0 
1

R
( x  y)dA 
2
2x
 0  x 2  x3  4y dydx
Verificamos que ambas as integrais possuem o
32
mesmo resultado, isto é, I 
3
 e -1
Exemplo 15
Exemplo 14
Seja R a região do plano x-y delimitada pelos
gráficos de y1  x 2 e y2 = 2x. Calcule
R
 x 3  4 y dxdy


y
2
2 1
x
e 
 0
Dada I =

x
e utilizando a região R2, temos:
4
I
0  x  2
ou R 2  
x 2  y  2x
R
2

0  y  4

R1   y
 2  x  y
( x 3  4 y)dA .
0 
2
y cos x 5 dx dy ,
y
inverta a ordem de integração e calcule a integral
resultante.
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Solução:
EXERCÍCIOS DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Observamos que da maneira como está definida
esta integral, fica difícil a sua resolução. Assim,
uma mudança na ordem de integração poderá nos
facilitar o trabalho.
E.1
Observamos pela Fig.11 que a região R está
definida com as fronteiras esquerda e direita
x  y e x = 2,
pelos gráficos de
respectivamente com 0  y  4
x y
Calcule as integrais duplas abaixo:
3
5
 

 
3
 
 

xydydx
b)
 
 
 
Figura 11
E.2
Notamos que R também pode ser definida pelas
fronteiras inferior e superior dadas por
respectivamente,
com
y  0 e y  x2
0  x  2 . Assim, a integral pode ser calculada
como sendo:
4
I=
0 
2
I=
2
y cos x 5dx dy
y
x2
0 0
y cos x 5dy dx
x2
I=
I=

2 2

y

cos x 5 

0  2
0

2
I = 0.055
Calcule

f ( x, y)dxdy onde:
R
a )f ( x, y)  xe xy ,
b)f ( x, y)  ye xy ,
1  x  3
R é o retângulo 
0  y  1
0  x  3
R é o retângulo 
0  y  1
0  x  2

c)f (x, y)  x cos(xy) , R é retângulo 

0  y  2
2  x  3
d)f (x, y)  y ln x , R é o retângulo 
1  y  2
1
,
xy
dx
Esta integral pode ser resolvida com uma simples
substituição de variáveis. (u).
Assim, temos que:
 
e)f ( x, y) 
x4
cos x 5dx
2
0
2
(2 x 2  3y)dxdy
1 2
1 1
1 2
2 4
c)
( x  y)dydx d )
( x 2  2 y 2  1)dxdy
0 0
1
0
1
2
1 2y
e)
dydx
f)
(1  2 x 2  2 y 2 )dxdy
0 0
0 y
2
2y  y 2
2
x
g)
3ydxdy
h)
dydx
0
3y 2  6 y
0
0
3y
2
1
1
i)
dydx
j)
dxdy
x
0
0
y2
2
a)
1  x  2
R é o retângulo 
1  y  2
 
x  2 y dA ,
E.3
Calcule
E.4
D
2
D : y  2x
e y 1 x2
Determine o volume do sólido que está
contido
abaixo
do
parabolóide
z  x 2  y 2 e acima da região D do

onde

plano xy limitada pela reta y = 2x e pela
parábola y = x2.
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Respostas
E.5
Calcule
1
a
1
0 x
E.6
integral
sen (y 2 ) dy dx
 
x  4 dx dy , onde R é o
Calcular
R
retângulo 0  x  2 , 0  y  6 .
E.7
 
8  x  y dx dy , onde R é
Calcular
R
região
a
delimitada
por
y  x2 e y  4.
E.8

Calcular
 
x sen y x dx dy , onde
E.1.
a) 42
b) –24 c) 3 d)20/3 e)2
f)13/6 g) 16 h)2
i)1
j)5/12
E2.
1
4
a )e 3  e  2
b) e 3  4 c)



3

3
d) 3 ln 3  2 ln 2  1 e)10 ln 2  6 ln 3
2
216
32
1
E3.
E4.
E5. 1  cos 1
35
15
2

 1 E9.
2
1728
1533
E10. 0 E11.
E12.
20
35
2) INTEGRAIS TRIPLAS
E6. 60
E7.
896
15
E8.
1
R
R
é
a
região
y0 , x
E.9
Calcular
delimitada

e y x .
2

senx sen y dx dy , onde
R
R é o retângulo 0  x 
E.10 Calcular

por


, 0 y
2
2
y ln x
dy dx , onde R é o
x
R
retângulo 1  x  2 , - 1  y  1
E.11 Calcular

 x 2  y 2 dx dy , onde R


R
é
a
região
delimitada
y0 , x4 e y x .
E.12 Calcular
a

R
região
2x  y dx dy
por
Teorema
Se f
é contínua em uma caixa retangular
B  a , bxc, d xr, s , então:
s d b
f ( x , y, z)dV 
f ( x , y, z)dxdydz
r c a
B


Exemplo 16
Calcule

f ( x, y, z)dV,
G
nos seguintes itens, sendo:
a )f ( x, y, z)  12 xy 2 z 3  , com - 1  x  2


0 y3 e 0z2
Resp: 648
b)f ( x , y, z)  xyz 2 , com 0  x  1 ,
-1 y  2 e 0  z  3
, onde R é
delimitada
x  y2 -1 , x  5 , y  -1 e y  2 .
Resp:
por
27
4
c)f ( x, y, z)  xyz 2 , com T : 0,1x0,2x1,3
26
Resp:
3
b)f ( x , y, z)  ( y  x 2 ) z , com 1  x  2 ,
0  y 1 e - 3  z  5
Resp:
68
3
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EXERCÍCIOS
E.13 Calcule as seguintes integrais triplas:
1
1 y
xy
2
x2
y
4
2
y
 0  0  0 dzdxdy
1
x
2 x  y
b)
x. dzdydx
 0  x2  0
a)
 0  0  0 y dzdydx
  
2
2x
xy
e)
 1  x  0 z dzdydx
c)
d)
f)
y dzdxdy
0
y
0
2
x2
1
x
  
1
2
g)
 
0
3
h ))
 
3
Respostas:
1
a)
b)
6
95
e)
f)
8
x 2 y 2 z dz dy dx
0
0
1
4 x 2
2

0
9 y 2
 9 y 2
31
120
127
42
x 2  4y 2
dz dy dx
0
3x 2  3y 2

c)
4x 2  4 y 2  9
128
21
g) 
128
21
81
h)
2
d)
dz dx dy