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Estudo DG Paralelogramos Paralelogramos são quadriláteros que têm os lados opostos paralelos. Tipos principais de paralelogramos: Retângulos: são paralelogramos que têm quatro ângulos congruentes e retos. Losangos: são paralelogramos que têm quatro lados congruentes. Quadrados: são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes e quatro ângulos congruentes e retos. Obs: - todo quadrado é um retângulo; - todo quadrado é um losango. Propriedade de paralelogramos 1a propriedade: os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. Hipótese: ABCD é um paralelogramo Tese: ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐶𝐷𝐴 pelo caso A.L.A Traçando a diagonal ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 , o paralelogramo fica decomposto nos triângulos ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐶𝐷𝐴. - 𝐵𝐴̂𝐶 ≅ 𝐷𝐶̂ 𝐴 (ângulos alternos internos) - ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 (lado comum) - 𝐴𝐶̂ 𝐵 ≅ 𝐶𝐴̂𝐷 (ângulos alterno internos) Logo, ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐶𝐷𝐴 pelo caso A.L.A ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ ∴ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 e 𝐵𝐶 𝐴𝐷 2a propriedade: os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. Hipótese: ABCD é um paralelogramo ̂ Tese: 𝐵̂ ≅ 𝐷 𝐴̂ ≅ 𝐶̂ ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐶𝐷𝐴 pelo caso A.L.A ̅̅̅̅ , o paralelogramo fica decomposto nos triângulos Traçando a diagonal 𝐴𝐶 ABC e CDA. Comparando esses triângulos temos o caso de congruência A.L.A (que nem foi explicado na 1a propriedade). ̂ e 𝐴̂ ≅ 𝐶̂ ∴ 𝐵̂ ≅ 𝐷 3a propriedade: as diagonais de um paralelogramo se cruzam nos respectivos pontos médios. Hipótese: ABCD é um paralelogramo Tese: ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐵𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐷 ∆𝐵𝑀𝐶 ≅ ∆𝐷𝑀𝐴 pelo caso A.L.A Comparando os triângulos BMC e DMA, podemos ver que: - 𝑀𝐶̂ 𝐵 ≅ 𝑀𝐴̂𝐷 (ângulos alternos internos) ̅̅̅̅ (lados opostos de um paralelogramo) - ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 ≅ 𝐵𝐶 ̂ 𝐴 (ângulos alternos internos) - 𝑀𝐵̂ 𝐶 ≅ 𝑀𝐷 ∆𝐵𝑀𝐶 ≅ ∆𝐷𝑀𝐴 pelo caso A.L.A ∴ ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐶 e ̅̅̅̅̅ 𝐵𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐷 Propriedade dos retângulos Propriedade: as diagonais de um retângulo são congruentes. Hipótese: ABCD é um retângulo ̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ Tese: 𝐴𝐶 ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐵𝐴𝐶 pelo caso L.A.L. ̅̅̅̅ (lados opostos de um paralelogramo) - ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 ≅ 𝐵𝐶 - 𝐴̂ ≅ 𝐵̂ (ângulos retos) - ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 (lado comum) ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐵𝐴𝐶 pelo caso L.A.L. ̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ ∴ 𝐴𝐶 Propriedade de losangos Propriedade: as diagonais de um losango são perpendiculares entre e si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos. Hipótese: ABCD é um losango Tese: ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 1̂ ≅ 2̂ 3̂ ≅ 4̂ ∆𝐴𝑀𝐵 ≅ ∆𝐴𝑀𝐷 pelo caso L.L.L. ̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ (lados de um losango) - 𝐴𝐵 - ̅̅̅̅̅ 𝐵𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐷 (M é o ponto médio de ̅̅̅̅ 𝐵𝐷) ̅̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝑀 ̅̅̅̅̅ (lado comum) - 𝐴𝑀 ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐵𝐴𝐶 pelo caso L.A.L. ∴ 1̂ ≅ 2̂, o que prova que ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 é bissetriz do ângulo 𝐴̂ ̅̅̅̅ ̂1 ≅ 𝑀 ̂ 2 , que, por serem suplementares, são retos, o que prova que 𝐴𝐶 ∴ 𝑀 ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 Propriedade de quadrado Propriedade: as diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares entre si no ponto médio e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos. Como o quadrado é um losango e um retângulo, possui as propriedades dessas paralelogramos. Trapézio Trapézios são quadriláteros que têm apenas dois de seus lados paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são chamados de bases, e a distância entre as duas bases chama-se altura. No trapézio acima, verifica-se que: ̂ (colateral interno) - 𝐴̂ ≅ 𝐷 - 𝐵̂ ≅ 𝐶̂ (colaterais internos) ̂ ) = 180° ∴ 𝑚(𝐴̂) + 𝑚(𝐷 𝑚(𝐵̂ ) + 𝑚(𝐶̂ ) = 180° Tipos de trapézios: Trapézios isósceles: são aqueles em que os lados opostos não paralelos são congruentes. Trapézios retângulos: são aqueles que possuem dois ângulos internos retos. Trapézios escalenos: são aqueles em que os lados opostos não paralelos não são congruentes. Propriedades de trapézio isósceles 1a propriedade: em um trapézio isósceles, os ângulos adjacentes a uma mesma base são congruentes. Hipótese: ABCD é um trapézio isósceles ̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 Tese: 𝐴̂ ≅ 𝐵̂ ̂ 𝐶̂ ≅ 𝐷 E * Se ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐷𝐸 (lados opostos de um paralelogramo) e ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 ≅ ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 (trapézio ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ . isósceles/por hipótese), então ̅̅̅̅ 𝐷𝐸 ≅ 𝐴𝐵 * Se ̅̅̅̅ 𝐷𝐸 ≅ ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 , EDC é um triângulo isósceles. Portanto, 𝐵̂ ≅ 𝐸̂ . * 𝐵̂ ≅ 𝐸̂ pois eles são ângulos correspondentes. * Se 𝐵̂ ≅ 𝐸̂ e 𝐶̂ ≅ 𝐸̂ , concluímos que 𝐶̂ ≅ 𝐵̂ . 2ª propriedade: em um trapézio isósceles, as diagonais são congruentes. Hipótese: ABCD é um trapézio isósceles ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 ≅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ Tese: 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ e 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ são as diagonais do trapézio a cima. Ao serem traçadas é possível * 𝐴𝐶 distinguir dois triângulos: ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ (trapézio isósceles/por hipótese) * 𝐵𝐴 ̂ (ângulos adjacentes à base ̅̅̅̅ * 𝐴̂ ≅ 𝐷 𝐴𝐷 do trapézio isósceles) ̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ (lado comum) * 𝐴𝐷 ∆𝐵𝐴𝐷 ≅ ∆𝐶𝐷𝐴 pelo caso L.A.L. ̅̅̅̅ ∴ ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ 𝐵𝐷 Propriedades da base média do triângulo O segmento que une os pontos de dois lados de um triângulo: - é chamado de base média; - é paralelo ao terceiro lado; - tem medida igual à metade da medida do terceiro lado. Hipótese: ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵 ̅̅̅̅ ≅ 𝑁𝐶 ̅̅̅̅ 𝐴𝑁 Tese: ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 // ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑁 = ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 2 ∆𝐴𝑀𝑁 ≅ ∆𝐶𝐷𝑁 pelo caso A.L.A. ̅̅̅̅ , que Construção auxiliar: traçamos pelo vértice C um segmento paralelo a 𝐴𝐵 cruza ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑁 no ponto D. ̂1 (ângulos alternos internos) - 𝐴̂ ≅ 𝐶 - ̅̅̅̅ 𝐴𝑁 ≅ ̅̅̅̅ 𝑁𝐶 (por hipótese) ̂1 ≅ 𝑁 ̂2 (ângulos o.p.v.) -𝑁 ∴ ∆𝐴𝑀𝑁 ≅ ∆𝐶𝐷𝑁 pelo caso A.L.A. ̅̅̅̅̅ ≅ 𝑁𝐷 ̅̅̅̅ (lados correspondentes de triângulo congruentes) * 𝑀𝑁 * ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 (lados correspondentes de triângulo congruentes) * ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵 (por hipótese) ̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐵 ̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝑀 ̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐵 ̅̅̅̅̅ (𝐶𝐷 ̅̅̅̅̅) * 𝐶𝐷 ∴ BCDM é um paralelogramo ̅̅̅̅ ou ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Se BCDM é um paralelogramo, ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐷 // 𝐵𝐶 𝑀𝑁 // 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ou, ainda, ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Além disso, ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐷 ≅ 𝐵𝐶 𝑀𝑁 + ̅̅̅̅ 𝑁𝐷 = 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝑁 ̅̅̅̅̅ , temos: 2 ∙ 𝑀𝑁 ̅̅̅̅̅ = 𝐵𝐶 Como 𝑁𝐷 ∴ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑁 = ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 2 Propriedades da base média do trapézio O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio: - é chamado de base média; - é paralelo às bases; - tem medida igual à metade da soma das medidas das bases. Hipótese: ABCD é trapézio ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝐵𝑀 ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝑁 ̅̅̅̅ 𝐶𝑁 ̅̅̅̅ Tese: ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑁 // 𝐵𝐶 ̅̅̅̅̅ = 𝑀𝑁 ̅̅̅̅ + 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 2 ∆𝐴𝐷𝑁 ≅ ∆𝐸𝐶𝑁 pelo caso A.L.A. ̅̅̅̅ e 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ , que se cruzam no ponto E. Construção auxiliar: traçamos 𝐴𝑁 ̂1 (ângulos alternos internos) - 𝐶̂ ≅ 𝐶 ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝑁 ̅̅̅̅ (por hipótese) - 𝐶𝑁 ̂1 ≅ 𝑁 ̂2 (ângulos o.p.v.) -𝑁 ∆𝐴𝐷𝑁 ≅ ∆𝐸𝐶𝑁 pelo caso A.L.A. ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐸 ̅̅̅̅ ∴ 𝐴𝑁 𝑁𝐸 e 𝐴𝐷 Além disso, 𝑀𝑁 = 𝐵𝐸 2 ̅̅̅̅ (propriedade da base média do triângulo) e ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑁 // 𝐵𝐶 Pela construção da figura: BE = BC + CE. Como ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 , podemos escrever: BE = BC + AD. Substituindo BE por (BC + AD) em 𝑀𝑁 = 𝐵𝐸 2 , temos: 𝑀𝑁 = 𝐵𝐶+𝐴𝐷 2
