Universidade Federal Rural do Semiárido Departamento

Universidade Federal Rural do Semiárido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Prof. Luiza Helena
Lista de Exercícios - Matrizes
1. Se A e B são matrizes n×n inversíveis, então o produto AB é invertível e (AB)−1 =
B −1 A−1 .
2. Se A é uma matriz inversível e AB = AC , então B = C .
3. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfazer A2 − 3A + I = O, então A−1 =
3I − A.
4. Mostre que se A e B são matrizes simétricas n × n e x ∈ R, então A + B e xA são
matrizes simétricas.
5. Mostre que se A é uma matriz quadrada, então:
a) AAt é uma matriz simétrica;
b) A − At é uma matriz anti-simétrica.
6. Prove: Se At A = A, então A é simétrica e A = A2 .
7. Sejam A e B quadradas de mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre que
(ABA−1 )3 = AB 3 A−1 .
8. Duas matrizes quadardas de mesma ordem A e B são ditas semelhantes se existe
uma matriz inversível P tal que A = P BP −1 . Sendo A e B matrizes semalhantes
prove que An = P B n P −1
9. Demonstre que toda matriz triangular superior e simétrica é diagonal.
10. Se A é uma matriz anti-simétrica, mostre A2 é simétrica.
11. Se A é uma matriz quadrada e A4 = O, mostre que
(I − A)−1 = I + A + A2 + A3 .
12. Uma matriz quadrada
A chama-se
matriz ortogonal se AAt = At A = I . Verique
cos θ −sen θ
que a matriz
é ortogonal.
sen θ cos θ
13. Mostre que se A e B são matrizes ortogonais então AB e B −1 AB também o são.
14. Prove que se A é inversível, então At é inversível e (At )−1 = (A−1 )t .
15. Seja A uma matriz simétrica inversível. Demonstre que A−1 é simétrica.
16. Se A é uma matriz simétrica, mostre que a matriz 2A2 −3A+I também é simétrica.
17. Sejam A e B matrizes n × n quaisquer. Mostre que se I − AB é inversível, então
I − BA também o é e que:
(I − BA)−1 = I + B(I − AB)−1 A
18. Calcule o posto das matrizes abaixo:

0
 0
1) 
 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0 

1 
0
2)
2 1 5
6 3 15

0 2 0
1
2 1 0
 1 1 0
3)  −1 0 3 5  4) 
 3 −4 0
1 −2 1 1
2 −3 0


19. Para cada uma das matrizes abaixo, analisando pelo posto, diga se o sistema linear
correspondente possui uma única solução, innitas soluções ou é impossível.

1 0 0 −2
1)  0 1 0 5 
0 0 1
3



1 4 0 2
2)  0 0 1 3 
0 0 0 1

4)
1 2 0 1 5
0 0 1 3 4
1
 0
5) 
 0
0

5 −2 0 3
0 0 1 6 

0 0 0 0 
0 0 0 0


1 −3 0
2
3)  0 0 1 −2 
0 0 0
0


0 1 0
2
6)  0 0 1 −1 
0 0 0
0

2
3 

2 
1
20. Considere o sistema linear cuja matriz ampliada tem a forma


1
2 1 1
 −1 4 3 2 
2 −2 x 3
Para que valores de x o sistema tem uma única solução?
21. Considere o sistema linear cuja matriz ampliada tem a forma

1 2 1 0
 2 5 3 0 
−1 1 α 0

(a) O sistema pode ser impossível? Explique.
(b) Para que valores de α o sistema tem innitas soluções?
22. Considere o sistema linear cuja matriz ampliada tem a forma


1 1 3 2
 1 2 4 3 
1 3 α β
(a) Para que valores de α e β o sistema tem uma innidade de soluções?
(b) Para que valores de α e β o sistema é impossível?


5 −2
6 −1
 0
3 −8
0 

23. Seja a matriz A = 
 0
0
5
4 
0
0
0
1
a) Calcule det (A − λI4 ), onde I4 é matriz identidade de ordem 4.
b) Se det (A − λI4 ) = 0, encontre os valores de λ.
1 1 1
24. Mostre que a b c
a2 b 2 c 2
Nota:
= (b − a)(c − a)(c − b).
Este determinante é chamado de determinante de Vandermonde.
25. Sejam as matrizes

A=

2 0
3
0 3
2 
−2 0 −4


2 −3
5

0
1 −3 
B=
0
0
2

1
 2
C=
 1
1
3
5
3
3
1
2
8
2

1
2 

9 
2
a) Prove que as matrizes são invertíveis.
b) Determine A−1 , B −1 e C −1 .
OBS:
Nas questões seguintes, consideraremos
A
e
B
matrizes quadradas de ordem
n.
26. Prove que det (AB) = det (BA).
27. Se AB = In , mostre que det (A) 6= 0 e det (B) 6= 0.
28. Prove que:
a) Se A = A−1 , então det (A) = ±1.
b) Se At = A−1 então det (A) = ±1.
29. Mostre que, se A é uma matriz invertível e A2 = A, então det (A) = 1.
30. Se B é uma matriz invertível, mostre que det (B −1 AB) = det (A).
31. Mostre que, se Ak = 0, para algum número inteiro positivo k , então det (A) = 0.