REVIS˜AO 1 Matrizes - Imecc

DMA – IMECC – UNICAMP
1o Sem / 2009
MATRIZES
Prof. ROBERTO ANDREANI
Sala 110
REVISÃO
1
Matrizes
1.1
Definição
• Uma matriz real com m linhas e n colunas, A ∈ IRm×n é definida por




A=



1.2
a11
a12
···
a1n
a21
..
.
a22
..
.
···
a2n
..
.
am1
am2
· · · amn




 .



Operações com Matrizes
Seja α ∈ IR, A ∈ IRm×n e B ∈ IRp×q .
• Soma e Subtração: C = A ± B
Se m = p e n = q então cij = aij ± bij e C ∈ IRm×n .
• Multiplicação por Escalar: C = α · A
Se m = p e n = q então cij = α · aij e C ∈ IRm×n .
• Multiplicação: C = A · B
Se n = p então cij =
n
X
aik · bkj e C ∈ IRm×q .
k=1
• Matriz Transposta: C = AT
cij = aji e C ∈ IRn×m .
• Matriz Inversa: C = A−1
Se m = n então C · A = A · C = I (Identidade) e C ∈ IRn×n .
1
1.3
Operações por Blocos

A11

..
• Seja A ∈ IRm×n decomposta por blocos da seguinte forma: A = 
 .
onde Aij ∈ IRni ×nj para i = 1, . . . , p, e j = 1, . . . , q com
p
X
Ap1
mi = m e
i=1
···
..
.

A1q
.. 
. 
 ,
· · · Apq
q
X
mj = n.
j=1
• Todas as operações realizadas na seção anterior podem ser efetuadas por blocos,
desde que as dimensões dos blocos sejam compatı́veis com a operação escolhida.
1.4
Matrizes Especiais
• Linha: m = 1.
• Coluna: n = 1.
• Nula: aij = 0.
• Quadrada: m = n.
• Diagonal: aij = 0 para i 6= j.
• Identidade: m = n e aij = 0 se i 6= j e aij = 1 se i = j (aij = δij ).
• Triangular Inferior: aij = 0 se i < j.
• Triangular Superior: aij = 0 se i > j.
• Simétrica: m = n e aij = aji .
• Anti-Simétrica: m = n e aij = −aji .
• Idempotente: m = n e A2 = A.
• Nilpotente: m = n e Ak = 0 para algum inteiro positivo k.
• Auto-Reflexiva: m = n e A2 = I.
• Ortogonal: m = n e A−1 = AT .
• Normal: m = n e AT A = AAT .
2
1.5
Posto
• O posto linha (coluna) de uma matriz A ∈ IRm×n é o número de linhas (colunas)
linearmente independentes.
• Pode-se mostrar que o posto linha é igual ao posto coluna. Denotamos então o posto
da matriz A por posto(A).
• Uma matriz tem posto completo se posto(A) = mı́nimo{m, n}, isto é, se o posto é o
maior valor possı́vel.
• Uma matriz quadrada é singular se o seu posto não é completo.
1.6
Subespaços Associados
Seja A ∈ IRm×n . Definimos,
• Núcleo de A: N (A) = {x ∈ IRn | Ax = 0}.
• Imagem de A: I(A) = {y ∈ IRm | y = Ax para algum x ∈ IRn }.
2
Determinantes
2.1
Definição
• Definimos o determinante de A ∈ Rn×n por
X
det(A) =
(−1)o(i1 i2 ···in ) · a1i1 a2i2 · · · anin ,
{i1 ,i2 ,...,in }∈σ
onde σ é o conjunto das permutações de {1, 2, . . . , n} e o(i1 i2 · · · in ) é a ordem da
permutação, isto é, o número de pares (ip , iq ) tais que p < q e ip > iq .
2.2
Propriedades
• det(AT ) = det(A).
• det(A · B) = det(A) · det(B).
3
2.3
Regra de Laplace
• Para quaisquer 1 ≤ k, ` ≤ n temos que
det(A) =
n
X
(−1)k+j · akj · det(Akj ) =
n
X
(−1)i+` · ai` · det(Ai` ) ,
i=1
j=1
onde Apq é a matriz que se obtém ao retirarmos a linha p e a coluna q da matriz A.
3
Autovalores e autovetores
• Definição Dada a Matriz A ∈ IRn×n dizemos que λ e um autovalor associado com
o autovetor x 6= 0 se se cumpre que
Ax = λx
• Resultado Dada a Matriz A ∈ IRn×n dizemos que λ e um autovalor se cumpre que
λ é um zero do seguinte polinomio, chamado de polinomio caracteristico:
P (λ) = Det(A − λI)
4
Resolução de um sistema Geral
• Teorema de Rouché e Frobenius Dada uma matriz A ∈ IRm×n é o sistema Ax = b o
sistema tem solução se e somente se P osto(A) = P osto(A, b) onde (A, b) ∈ IRm×n+1
e chamada dee matriz ampliada.
• Solução geral de um sistema Ax = b
5
Exercı́cios
1. Mostre que toda matriz quadrada pode ser escrita como a soma de uma matriz
simétrica com uma matriz anti-simétrica.
2. Sob que condições (A + B)(A − B) = A2 − B 2 ?
4


 1
3. Seja P = 
1 
0 1
 . Calcule P 2 e P 3 . Qual a expressão geral para P n ?
4. Seja a ∈ IRm×n , m ≤ n e posto(A) = m. Mostre que AAT é não singular.
5. Sejam A e B matrizes para as quais o produto de A por B esteja definido. A
primeira linha de AB é uma combinação linear de todas as linhas de B. Quais são
os coeficientes desta combinação linear e qual é a primeira linha de AB?
6. Invente um sistema linear com 6 equações e 4 variáveis em cada um dos seguintes
casos: sem solução, com solução única, com infinitas soluções. Justifique.
7. Seja Ax = 0 um sistema homogêneo de equações lineares, com 2 equações e 3
incógnitas. Mostre que o conjunto solução desse sistema é um subespaço vetorial de
IR3 .
8. Mostre que a união de dois subespaços de um mesmo espaço vetorial é também um
subespaço vetorial se, e somente se, um dos espaços está contido no outro.
9. Se V e W são subespaços vetoriais de IR3 tais que dim(V ) = 1, dim(W ) = 2 e V
não está contido em W , mostre que IR3 = V ⊕ W .
10. Seja V um espaço vetorial de dimensão n e B = {u1 , u2 , . . . , un } uma base ordenada de V . Demonstre que cada w ∈ V pode ser escrito de forma única como
combinação linear dos vetores de B.
11. Seja {e1 , e2 , . . . , en } a base canônica de IRn e seja f : IRn → IRn o operador linear
dado por f (e1 ) = e2 , f (e2 ) = e3 , . . . , f (en ) = e1 .
a) Determine f (x), x ∈ IRn e verifique se f é um automorfismo.
b) Se for, encontre o automorfismo inverso.
12. Mostre que os operadores F , G e H ∈ L(IR2 ), definidos por F (x, y) = (x, 2y), G(x, y) =
(y, x + y), H(x, y) = (0, x) formam um conjunto LI em L(IR2 ).
13. Mostre que o operador F ∈ L(V ) é idempotente se, e somente se, I − F é idempotente.
5
14. Sendo A e B matrizes inversı́veis, calcule a matriz X tal que:
(a) AX = B
(c) ABX = B T
(b) AXB = I
(d) ABA−1 X = AT .
i−1
15. Seja A ∈ IRn×n , definida por aij = Cj−1
para i ≥ j e aij = 0 para i < j. Mostre
que existe B = A−1 com bij = (−1)(i+j) aij .
16. Mostre que o posto linha é igual ao posto coluna.
17. Seja A ∈ IRm×n . Mostre que:
(a) Se B ∈ IRn×p , então posto(AB) ≤ mı́nimo{posto(A),postoB}.
(b) Se B ∈ IRm×n então posto(A + B) ≤ posto(A)+posto(B).
18. Seja A ∈ IRm×n . Mostre que:
(a) N (A) e Im(AT ) são subespaços vetoriais de IRn e são ortogonais.
(b) N (A) ⊕ Im(AT ) = IRn .
(c) Dim(Im(A)) = Dim(Im(AT )) = n− Dim(N (A)) = posto(A).
19. Sejam A e B matrizes não singulares. Mostre que:
(a) (AT )−1 = (A−1 )T ≡ A−T .
(b) (AB)−1 = B −1 A−1 .
(c) B −1 = A−1 − B −1 (B − A)A−1 .
20. Encontre fórmulas explı́citas para os determinantes das matrizes de ordens 1, 2 e 3.
21. Seja α ∈ IR e A ∈ IRn×n . Mostre que:
(a) Se A é inversı́vel, então det(A−1 ) = det(A)−1 .
(b) det(αA) = αn . det(A).
(c) A é singular se, e somente se, det(A) = 0.
(d) A é não singular se, e somente se, N (A) = {0}.
22. Seja fn (x) o determinante da matriz quadrada de ordem n, definida por



x, | i − j | =



aij =
1,




 0,
0
|i − j | = 1 .
|i − j | >
6
1
É fácil ver que f1 (x) = x. Tomando f0 (x) = 1, mostre que para todo n ≥ 1:
(a) fn+1 (x) = x.fn (x) − fn−1 (x);
(b) f2n−1 (0) = f3n−1 (1) = 0;
(c) f2n (0) = f3n (1) = (−1)n .
23. Seja Q uma matriz quadrada de ordem n. Sabendo que Q3 + 2Q2 = 0, calcule o
valor de detQ.
24. Mostre que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos de sua diagonal principal.



25. Para que valores de a a matriz 



3
1
0 

1 |a| −3 
 é não singular?
−2
0

−3
26. Seja A uma matriz idempotente. Mostre que det(I + A) 6= 0.
27. Seja A uma matriz anti-simétrica. Mostre que I + A é não singular e que, se A for
de ordem ı́mpar, então A é singular.
28. Seja A uma matriz auto-reflexiva de ordem n. Mostre que det(I ± A) = 0 ou 2n e
|det(A)| = 1.
29. Seja A ∈ IRn×n tal que xT Ax ≤ 0 para todo x ∈ IRn . Mostre que (I − A) é não
singular.


 B
30. Sob que condição a matriz quadrada de ordem n + 1, A = 
vT
u 
a
 onde B ∈
IRn×n é não singular, u, v ∈ IRn e a ∈ IR, é não singular? Assumindo a condição anterior, compute A−1 .
31. Se u, ev ∈ IRn×1 ≡ IR são vetores não nulos e A = uv T , mostre que:
(a) a matriz A tem posto(A) = 1;
(b) para todo α ∈ IR, det(I + αA) = 1 + αuT v.
7
32. Seja A ∈ IRm×n com posto(A) = k, A = [a1 a2 . . . an ] (por colunas) e sejam
a1 , a2 , . . . , ak as colunas Linearmente Independetes de A. Como tem que ser o
vetor b para que o sistema Ax = b tenha solução? Escreva a solução geral do
sistema Ax = b.
33. Seja A ∈ IRn×n . Mostre que:
(a) tr(A) =
n
X
λi , onde os λi são os auto-valores de A;
i=1
n
Y
(b) det(A) =
λi .
i=1
34. Mostre que se A = AH , então
(a) todos seus auto-valores são reais;
(b) se dois auto-valores são distintos, então seus correspondentes auto-vetores são
ortogonais.
35. Seja A ∈ IRn×n . Mostre que, se A é definida positiva (semi-definida positiva), seus
auto-valores são positivos (não negativos).
8
DMA – IMECC – UNICAMP
MATRIZES
Prof Roberto Andreani
1o Sem / 2009
DMA – Sala 110
• Terças, das 8:00hs as 10:00 hs, Sala 151– IMECC.
• Quintas, das 8:00hs as 10:00 hs, Sala 151– IMECC.
Ementa:
• Norma de vetores e matrizes.
• Análise de Sistemas Lineares. Descompocição de Cholesky, Fatoração LU, Eliminação Gaussiana.
• Projeção - Ortogonalidade - Descomposição QR- Quadrados Mı́nimos Lineares.
• Decomposição em Valores Singulares.
• Autovalores e Autovetores.
• Métodos Iterativos.
• Métodos de Gradientes Conjugados
Bibliografia:
• J.W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
• G.H. Golub e C.F. Van Loan, Matrix Computations, 3ed., John Hopkins,
2001.
• E.L. Lima, Álgebra Lineal, terceira edição Coleção matematica universitaria,
IMPA, 1998.
• Carl D. Mayer, Matrix analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000.
• L.N. Trefethen e D. Bau, Numerical Linear Algebra ,SIAM, 1997.
• D.W. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, John Wiley & Sons,
2nd edition 2002.
• David S. Watkins , The Matrix Eigenvalues Problems, SIAM, 2008.
Avaliação:
Prova Um
23.04
Prova Dois
25.06
Sub I- II
02.07
Oral
07.07
O Aluno aprovara a disciplina se seu conceito nas provas 1 e prova 2 for maior que 5.
O Aluno podera subtituir com exame escrito somente de uma das duas provas (Isto significa
que se o aluno reprova as duas provas esta reprovado na disciplina).
O conceito será a media aritmetica das provas 1 e prova 2 (considerando a prova substitutiva).
O conceito mı́nimo para aprovação é C.
A prova oral é opcional para os alunos que tenham aprovado as duas provas e sua media
esteja 0,50 do proxı́mo conceito: o conceito aumenta um nı́vel ou se mantém.
A
8,50 - 10,00
B
7,00 - 8,49
10
C
5,00 - 6,99
D
0,00- 4,99