Frações Parciais - Continuação e Integrais Imprópias Aula 35

Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Frações Parciais - Continuação e
Integrais Imprópias
Aula 35
Alexandre Nolasco de Carvalho
Universidade de São Paulo
São Carlos SP, Brazil
05 de Junho de 2013
Primeiro Semestre de 2013
Turma 2013104 - Engenharia de Computação
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Teorema
Sejam α, β, γ, m, n, p ∈ R, com α , β , γ distintos. Então existem
A, B, C ∈ R tais que
A
B
C
mx 2 + nx + p
=
+
+
;
(i)
(x − α)(x − β)(x − γ)
x −α x −β x −γ
mx 2 + nx + p
A
B
C
(ii)
=
+
+
;
2
(x − α)(x − β)
x − α x − β (x − β)2
mx 2 + nx + p
A
B
C
=
+
+
.
(iii)
(x − α)3
x − α (x − α)2 (x − α)3
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
ExemploZ
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
2x + 1
dx.
− x2 − x + 1
Como 1 é raiz de x 3 − x 2 − x + 1, sabemos que (x − 1) é um fator
e obtemos x 3 − x 2 − x + 1 = (x − 1)(x 2 − 1) = (x − 1)2 (x + 1). A
decomposição em frações parciais é
Calcule
x3
A
B
C
2x + 1
=
+
+
.
x3 − x2 − x + 1
x + 1 (x − 1) (x − 1)2
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Então, 2x + 1 = A(x − 1)2 + B(x + 1)(x − 1) + C (x + 1). Fazendo
3
x = 1 obtemos 3 = 2C ou C = . Fazendo x = −1, obtemos
2
1
3
1
−1 = 4A ou A = − . Fazendo x = 0, obtemos 1 = − − B +
4
4
2
1
ou B = . Assim,
4
Z
2x + 1
dx
3
x − x2 − x + 1
Z
Z
Z
1
3
1
1
1
1
dx +
dx +
dx
=−
4
x +1
4
x −1
2
(x − 1)2
1
3 1
1
+ k.
= − ln |x + 1| + ln |x − 1| −
4
4
2x −1
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Queremos calcular integrais do tipo
Z
P(x)
dx ,
2
ax + bx + c
onde P é um polinômio e ∆ = b 2 − 4ac < 0. Então devemos
reescrever o denominador como soma de quadrados. Em seguida,
fazemos uma mudança de variável e calculamos a integral.
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
ExemploZ
2x + 1
dx.
x 2 + 2x + 2
Escrevamos o denominador como soma de quadrados
x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1. Fazendo u = x + 1,
temos du = dx;
Z
Z
Z
2x + 1
2x + 1
2(u − 1) + 1
dx =
dx =
du
2
2
x + 2x + 2
(x + 1) + 1
u2 + 1
Z
Z
2u
−1
=
du +
du
2
2
u +1
u +1
= ln(1 + u 2 ) − arctg u + k
Calcule
= ln(1 + (x + 1)2 ) − arctg (x + 1) + k.
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
ExemploZ
4x 2 − 3x + 2
dx.
4x 2 − 4x + 3
Como o grau do denominador é igual ao grau do denominador,
primeiro vamos dividir os polinômios,
Calcule
x −1
x −1
4x 2 − 3x + 2
=1+ 2
=1+
.
2
4x − 4x + 3
4x − 4x + 3
(2x − 1)2 + 2
Fazendo u = 2x − 1 ou x =
Alexandre Nolasco de Carvalho
u+1
, temos du = 2 dx, assim
2
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Z
4x 2 − 3x + 2
dx =
4x 2 − 4x + 3
Alexandre Nolasco de Carvalho
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Z 1+
x −1
dx
(2x − 1)2 + 2
Z u+1
Z
1
1
u−1
2 −1
=x+
du
=
x
+
du
2
u2 + 2
4
u2 + 2
Z
Z
1
1
u
1
=x+
du
−
du
4
u2 + 2
4
u2 + 2
u
1 1
1
2
+k
= x + ln |u + 1| − √ arctg √
8
4 2
2
1
2x −1
1
= x + ln |(2x −1)2 +1|− √ arctg √ +k.
8
4 2
2
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Agora, vamos considerar integrais do tipo
Z
P(x)
dx ,
(x − α)(ax 2 + bx + c)
onde P é um polinômio e ∆ = b 2 − 4ac < 0.
Teorema
Sejam m, n, p, a, b, c, α ∈ R tais que ∆ = b 2 − 4ac < 0 . Então
existem A, B, D ∈ R tais que
A
Bx + D
mx 2 + nx + p
=
+
.
(x − α)(ax 2 + bx + c)
x − α ax 2 + bx + c
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
ExemploZ
x5 + x + 1
dx .
x3 − 8
Observe que x 3 − 8 = (x − 2)(x 2 + 2x + 4). Dividindo obtemos
Calcule
8x 2 + x + 1
8x 2 + x + 1
x5 + x + 1
2
2
=
x
+
=
x
+
.
x3 − 8
x3 − 8
(x − 2)(x 2 + 2x + 4)
Pelo método de frações parciais,
8x 2 + x + 1
A
Bx + C
=
+ 2
.
2
(x − 2)(x + 2x + 4)
x − 2 x + 2x + 4
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Então, 8x 2 + x + 1 = A(x 2 + 2x + 4) + (Bx + C )(x − 2). Fazendo
35
x = 2 obtemos 35 = 12A ou A =
. Fazendo x = 0, obtemos
12
16
1 = 4A − 2C ou C =
. Fazendo x = 1, obtemos
3
61
10 = 7A − B − C ou B = . Assim,
12
Z 61
Z
Z
16
35
1
8x 2 + x + 1
12 x + 3
dx
=
dx
+
dx
(x − 2)(x 2 + 2x + 4)
12
x −2
x 2 + 2x + 4
Z
35
1
61x + 64
=
ln |x − 2| +
dx.
12
12
x 2 + 2x + 4
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Para calcular a última integral, escrevemos
x 2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 e fazemos u = x + 1 ou x = u − 1 e
du = dx; portanto,
Z
Z
Z
61x + 64
61x + 64
61(u − 1) + 64
dx
=
dx
=
du
x 2 + 2x + 4
(x + 1)2 + 3
u2 + 3
Z
Z
1
61
3
u
u
du +3
du = ln(u 2 + 3)+ √ arctg √ +k
= 61
2
2
u +3
u +3
2
3
3
3
x
+
1
61
ln((x + 1)2 + 3) + √ arctg √ + k.
=
2
3
3
Finalmente,
Z 5
x +x +1
dx
x3 − 8
61
3
x 3 35
x +1
+
ln |x − 2| +
ln((x + 1)2 + 3) + √ arctg √ + k.
=
3
12
24
3
12 3
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Testes de Convergência
Integrais Impróprias
Na definição de integral definida
Z
b
f (x) dx exige-se que a função
a
f esteja definida num intervalo limitado e fechado [a, b] e que f
seja limitada nesse intervalo. A seguir estendemos o conceito de
integral definida para casos mais gerais.
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Testes de Convergência
Integrais Impróprias - Invervalos infinitos
1
Consideremos a função f (x) = 2 e calculemos a área A limitada
x
pelo gráfico de f e pelas retas y = 0, x = 1 e x = b, com b > 1.
Então
Z b
1
1 b
1
A=
dx = − = 1 − .
2
x 1
b
1 x
Fazendo b → +∞, temos A → 1. Isto quer dizer que a área A do
conjunto ilimitado
{(x, y ) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ f (x), x ≥ 1}
é finita e igual a 1.
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Testes de Convergência
Definição
Z (Integral Imprópria do Tipo 1)
t
◮
Se
a
f (x) dx existe para cada número t ≥ a, então definimos
Z
∞
f (x) dx = lim
t
t→∞ a
a
◮
Z
f (x) dx,
se o limite existir.
Z b
f (x) dx existe para cada número t ≤ b, então definimos
Se
t
Z
b
f (x) dx = lim
Z
t→−∞ t
−∞
b
f (x) dx
se o limite existir.
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Testes de Convergência
Quando uma das integrais impróprias acima existir e for finita,
diremos que ela é convergente. Caso contrário, ela será dita
divergente.
Exemplo
∞
1
dx é convergente ou divergente.
Determine se a integral
x
1
t
Z ∞
Z t
1
1
dx = lim
dx = lim ln |x| = lim ln t = ∞.
t→∞ 1 x
t→∞
t→∞
x
1
1
Z
Como o limite é infinito, a integral é divergente.
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Exemplo
Testes de Convergência
∞
1
dx é convergente ou divergente.
Determine se a integral
x3
1
Z ∞
Z t
1
1
1
1
1 t
1
dx = lim
dx = lim
+ = .
= lim
3
3
2
2
t→∞ 1 x
t→∞ −2x
t→∞ −2t
x
2
2
1
1
Z
Como o limite é finito, a integral é convergente.
Exemplo
Determine se a integral
Z
0
xe −x dx = lim
−∞
Z
Z
0
xe x dx é convergente ou divergente.
−∞
0
t→−∞ t
xe x dx = lim (−te t − 1 + e t ) = −1.
t→−∞
Como o limite é finito, a integral é convergente.
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Definição
Se as integrais
Z
a
f (x) dx,
Z
Testes de Convergência
∞
f (x) dx existem e são
a
−∞
convergentes, então definimos
Z
∞
f (x) dx =
−∞
Z
a
f (x) dx +
Z
∞
f (x) dx.
a
−∞
Z a
f (x) dx ou
Observação: Se uma das integrais impróprias
−∞
Z ∞
Z ∞
f (x) dx também o será.
f (x) dx for divergente, então
a
Alexandre Nolasco de Carvalho
−∞
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Exemplo
Z
Testes de Convergência
∞
1
dx. É conveniente escolher a = 0 na definição:
1
+
x2
−∞
Z 0
Z ∞
Z ∞
1
1
1
dx =
dx +
dx.
2
2
1 + x2
−∞ 1 + x
0
−∞ 1 + x
Avalie
Calculemos as integrais.
Z
0
Z
1
dx = lim
t→∞
1 + x2
Z
t
1
dx = lim
t→−∞
1 + x2
Z
0
∞
0
−∞
Portanto,
Z
∞
−∞
Alexandre Nolasco de Carvalho
0
t
t
1
π
dx = lim arctg x = .
2
t→∞
1+x
2
0
0
1
= π.
dx
=
lim
arctg
x
t→−∞
1 + x2
2
t
1
π π
dx = + = π.
1 + x2
2
2
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Frações Parciais - Continuação
Integrais Impróprias - Invervalos ilimitados
Testes de Convergência
Testes de Convergência
Algumas vezes não é possı́vel encontrar um valor exato para uma
integral imprópria, mas podemos saber se ela é convergente ou
divergente usando outras integrais conhecidas.
Teorema (Teste da Comparação)
Sejam f e g funções contı́nuas satisfazendo f (x) ≥ g (x) ≥ 0 para
todo x ≥ a. Então,
Z ∞
Z ∞
g (x) dx também é
f (x) dx é convergente, então
(i) Se
a
a
convergente.
Z
Z ∞
g (x) dx é divergente, então
(ii) Se
a
∞
f (x) dx também é
a
divergente.
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I