Técnicas de Integração - Continuação Aula 34 - ICMC

Substituição trigonométrica
Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
Técnicas de Integração - Continuação
Aula 34
Alexandre Nolasco de Carvalho
Universidade de São Paulo
São Carlos SP, Brazil
03 de Junho de 2014
Primeiro Semestre de 2014
Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Substituição trigonométrica
Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
Substituição inversa
Recorde que, x = g (t) usando a Regra da Substituição.
Z
Z
f (x) dx = f (g (t))g ′ (t) dt.
Esta formulação permite modificar o integrando de maneira a
encontrar primitivas mais facilmente.
Quando g é uma função trigonométrica esta regra é chamada
substituição trigonométrica.
Alexandre Nolasco de Carvalho
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Substituição trigonométrica
Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
ExemploZ
Calcule
p
1 − x 2 dx.
π
π
Como 1 − sen2 t = cos2 t, a mudança x = sen t , − < t < ,
2
2
elimina a raiz do integrando. Temos dx = cos t dt. Então,
Z p
Z √
Z p
2
2
1 − x dx =
1 − sen t cos t dt =
cos2 t cos t dt
Z
Z
= | cos t| cos t dt = cos2 t dt,
π
π
pois cos t ≥ 0 se − ≤ t ≤ . Assim,
2Z
2
Z Z p
1 1
2
2
+ cos(2t) dt
1 − x dx = cos t dt =
2 2
1
1
1
1
= t + sen(2t) + k = t + sen t cos t + k.
2
4
2
2
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Substituição trigonométrica
Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
Devemos retornar à variável x original. Como x = sen t para
√
π
π
− < t < , segue que t = arcsenx e que cos t = 1 − x 2 ; logo
2
2
Z p
1
1 p
1 − x 2 dx = arcsenx + x 1 − x 2 + k, −1 < x < 1.
2
2
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A Substituição u = tg(x/2)
ExemploZ
Calcule
√
x 2 x + 1 dx.
Fazendo u = x + 1, temos x = u − 1 e du = dx. Então,
Z
Z
Z
√
2√
2
x x + 1 dx = (u − 1) u du = (u 2 − 2u + 1)u 1/2 du
Z u 5/2 − 2u 3/2 + u 1/2 du
=
2
2
2
= u 7/2 − 2 u 5/2 + u 3/2 + k
7
5
3
2
4
2
= (x + 1)7/2 − (x + 1)5/2 + (x + 1)3/2 + k.
7
5
3
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Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
ExemploZ
Calcule
p
1 + x 2 dx.
π
π
Como 1 + tg2 t = sec2 t, a mudança x = tg t , − < t < ,
2
2
elimina a raiz do integrando. Temos dx = sec t dt. Então,
Z p
Z p
1 + x 2 dx =
1 + tg2 t sec2 t dt
Z
Z
2
= | sec t| sec t dt = sec3 t dt,
π
π
pois sec t ≥ 0 se − < t < . Agora,
2
2
Z
Z
Z
2
dt
=
sec
t
sec3 t dt = sec
t
−
sec t tg t tg t
sec
t
tg
t
|{z} |{z}
|{z} | {z }
| {z } |{z}
f
f
g′
g
g
f′
Z
= sec t tg t − sec t(sec2 t − 1) dt.
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Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
Portanto,
2
Z
3
sec t dt = sec t tg t +
Z
sec t dt
= sec t tg t + ln | sec t + tgt| + k.
Devemos retornar à variável x original. Como
√ x = tg t, segue
2
2
1 + x = sec t e como sec t > 0, sec t = 1 + x 2 ; logo
Z p
1
1 + x 2 dx = (sec t tg t + ln | sec t + tgt| + k)
2
p
1 p
=
x 1 + x 2 + ln | 1 + x 2 + x| + k.
2
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A Substituição u = tg(x/2)
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Primitivas de Funções Racionais
Nesta seção mostraremos como integrar qualquer função racional
expressando-a como soma de frações parciais. Seja
P(x)
f (x) =
Q(x)
onde P e Q são polinômios. É possı́vel expressar f como soma de
frações mais simples se o grau de P seja menor que o grau de Q.
Se o grau de P for maior ou igual ao grau de Q, então primeiro
dividimos os polinômios,
R(x)
P(x)
= S(x) +
,
Q(x)
Q(x)
onde S, R, Q são polinômios e R tem grau menor que o grau de Q.
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Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
ExemploZ
x3 + x
dx.
x −1
Dividindo obtemos
Z 3
Z x +x
2
dx =
x2 + x + 2 +
dx
x −1
x −1
x3 x2
+
+ 2x + 2 ln |x − 1| + k.
=
3
2
Calcule
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A Substituição u = tg(x/2)
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Uma segunda etapa consiste em fatorar o denominador Q(x) o
máximo possı́vel. Pode ser mostrado que qualquer polinômio Q
pode ser fatorado como produto de fatores lineares e de fatores
quadráticos irredutı́veis.
Exemplo
x 4 − 16 = (x − 2)(x + 2)(x 2 + 4).
Finalmente, devemos expressar a função racional como uma soma
de frações parciais. Explicamos os detalhes dos diferentes casos
que ocorrem.
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A Substituição u = tg(x/2)
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Teorema
Sejam α, β, m, n ∈ R, com α 6= β. Então existem A, B ∈ R tais
que
mx + n
A
B
(i)
=
+
;
(x − α)(x − β)
x −α x −β
A
B
mx + n
=
+
.
(ii)
(x − α)2
x − α (x − α)2
Observação: Note que, para aplicarmos o teorema, o grau do
numerador deve ser estritamente menor do que o grau do
denominador do lado esquerdo das igualdades em (i) e (ii) do
Teorema 1.
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A Substituição u = tg(x/2)
Procedimento para calcular
P < 2.
◮
Z
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
P(x)
dx , onde grau
(x − α)(x − β)
Se α 6= β , então o Teorema 1 (i) implica que existem A,
B ∈ R tais que
A
B
P(x)
=
+
.
(x − α)(x − β)
x −α x −β
Portanto
Z
Z
Z
A
B
P(x)
dx =
dx +
dx
(x − α)(x − β)
x −α
x −β
= A ln |x − α| + B ln |x − β| + k .
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A Substituição u = tg(x/2)
◮
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Se α = β, então o Teorema 1 (ii) implica que existem A,
B ∈ R tais que
P(x)
A
B
=
+
.
(x − α)2
(x − α) (x − α)2
Logo
Z
Z
1
1
dx + B
dx
x −α
(x − α)2
B
= A ln |x − α| −
+k.
(x − α)
P(x)
dx = A
(x − α)2
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Z
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ExemploZ
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
x +3
dx.
− 3x + 2
Observe que x 2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). O método de frações
parciais dá
A
B
x +3
=
+
x 2 − 3x + 2
x −1 x −2
Calcule
x2
e portanto A(x − 2) + B(x − 1) = x + 3 ou
(A + B)x − 2A − B = x + 3. Como os polinômios são idênticos,
seus coeficientes devem ser iguais. Logo, A + B = 1 e
−2A − B = 3. Resolvendo, obtemos A = −4 e B = 5 e assim
Z Z
−4
5
x +3
dx =
+
dx
x 2 − 3x + 2
x −1 x −2
= −4 ln |x − 1| + 5 ln |x − 2| + k.
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Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
ExemploZ
x3 + 2
dx.
(x − 1)2
Neste caso é melhor fazer uma mudança de variáveis. Seja
u = x − 1 ou x = u + 1 e du = dx. Assim,
Z
Z 3
Z
(u + 1)3
u + 3u 2 + 3u + 3
x3 + 2
dx
=
du
=
du
(x − 1)2
u2
u2
u2
3
=
+ 3u + 3 ln |u| − + k
2
u
3
(x − 1)2
+ 3(x − 1) + 3 ln |x − 1| −
+ k.
=
2
x −1
Calcule
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Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Teorema
Sejam α, β, γ, m, n, p ∈ R, com α , β , γ 6= 0. Então existem
A, B, C ∈ R tais que
A
B
C
mx 2 + nx + p
(i)
=
+
+
;
(x − α)(x − β)(x − γ)
x −α x −β x −γ
mx 2 + nx + p
A
B
C
=
+
+
;
(ii)
2
(x − α)(x − β)
x − α x − β (x − β)2
mx 2 + nx + p
B
A
C
(iii)
+
=
+
.
(x − α)3
x − α (x − α)2 (x − α)3
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ExemploZ
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
2x + 1
dx.
− x2 − x + 1
Como 1 é raiz de x 3 − x 2 − x + 1, sabemos que (x − 1) é um fator
e obtemos x 3 − x 2 − x + 1 = (x − 1)(x 2 − 1) = (x − 1)2 (x + 1). A
decomposição em frações parciais é
Calcule
x3
2x + 1
A
B
C
=
+
+
.
x3 − x2 − x + 1
x + 1 (x − 1) (x − 1)2
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Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Então, 2x + 1 = A(x − 1)2 + B(x + 1)(x − 1) + C (x + 1). Fazendo
3
x = 1 obtemos 3 = 2C ou C = . Fazendo x = −1, obtemos
2
1
1
3
−1 = 4A ou A = − . Fazendo x = 0, obtemos 1 = − − B +
4
4
2
1
ou B = . Assim,
4
Z
2x + 1
dx
3
x − x2 − x + 1
Z
Z
Z
1
1
3
1
1
1
=−
dx +
dx +
dx
4
x +1
4
x −1
2
(x − 1)2
1
1
3 1
= − ln |x + 1| + ln |x − 1| −
+ k.
4
4
2x −1
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Substituição trigonométrica
Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Queremos calcular integrais do tipo
Z
P(x)
dx ,
2
ax + bx + c
onde P é um polinômio e ∆ = b 2 − 4ac < 0. Então devemos
reescrever o denominador como soma de quadrados. Em seguida,
fazemos uma mudança de variável e calculamos a integral.
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Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
ExemploZ
2x + 1
dx.
x 2 + 2x + 2
Escrevamos o denominador como soma de quadrados
x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1. Fazendo u = x + 1,
temos du = dx;
Z
Z
Z
2x + 1
2x + 1
2(u − 1) + 1
dx =
dx =
du
2
2
x + 2x + 2
(x + 1) + 1
u2 + 1
Z
Z
−1
2u
du +
du
=
2
2
u +1
u +1
= ln(1 + u 2 ) − arctg u + k
Calcule
= ln(1 + (x + 1)2 ) − arctg (x + 1) + k.
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Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
ExemploZ
4x 2 − 3x + 2
dx.
4x 2 − 4x + 3
Como o grau do denominador é igual ao grau do denominador,
primeiro vamos dividir os polinômios,
Calcule
x −1
x −1
4x 2 − 3x + 2
=1+ 2
=1+
.
2
4x − 4x + 3
4x − 4x + 3
(2x − 1)2 + 2
Fazendo u = 2x − 1 ou x =
Alexandre Nolasco de Carvalho
u+1
, temos du = 2 dx, assim
2
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A Substituição u = tg(x/2)
Z
4x 2 − 3x + 2
dx =
4x 2 − 4x + 3
Z 1+
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
x −1
(2x − 1)2 + 2
dx
Z u+1
Z
1
1
u−1
2 −1
du
=
x
+
du
2
u2 + 2
4
u2 + 2
Z
Z
1
1
u
1
=x+
du
−
du
4
u2 + 2
4
u2 + 2
u
1 1
1
2
= x + ln |u + 1| − √ arctg √
+k
8
4 2
2
2x −1
1
1
= x + ln |(2x −1)2 +1|− √ arctg √ +k.
8
4 2
2
=x+
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A Substituição u = tg(x/2)
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Agora, vamos considerar integrais do tipo
Z
P(x)
dx ,
(x − α)(ax 2 + bx + c)
onde P é um polinômio e ∆ = b 2 − 4ac < 0.
Teorema
Sejam m, n, p, a, b, c, α ∈ R tais que ∆ = b 2 − 4ac < 0 . Então
existem A, B, D ∈ R tais que
A
Bx + D
mx 2 + nx + p
=
+
.
(x − α)(ax 2 + bx + c)
x − α ax 2 + bx + c
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A Substituição u = tg(x/2)
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Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
ExemploZ
x5 + x + 1
dx .
x3 − 8
Observe que x 3 − 8 = (x − 2)(x 2 + 2x + 4). Dividindo obtemos
Calcule
x5 + x + 1
8x 2 + x + 1
8x 2 + x + 1
2
2
=
x
+
=
x
+
.
x3 − 8
x3 − 8
(x − 2)(x 2 + 2x + 4)
Pelo método de frações parciais,
A
Bx + C
8x 2 + x + 1
=
+ 2
.
2
(x − 2)(x + 2x + 4)
x − 2 x + 2x + 4
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Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Então, 8x 2 + x + 1 = A(x 2 + 2x + 4) + (Bx + C )(x − 2). Fazendo
35
. Fazendo x = 0, obtemos
x = 2 obtemos 35 = 12A ou A =
12
16
. Fazendo x = 1, obtemos
1 = 4A − 2C ou C =
3
61
10 = 7A − B − C ou B = . Assim,
12
Z
Z 61
Z
16
8x 2 + x + 1
35
1
12 x + 3
dx
=
dx
+
dx
(x − 2)(x 2 + 2x + 4)
12
x −2
x 2 + 2x + 4
Z
35
1
61x + 64
=
ln |x − 2| +
dx.
2
12
12
x + 2x + 4
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Substituição trigonométrica
Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
Denominadores Redutı́veis do 2o Grau
Denominadores Redutı́veis do 3o Grau
Denominadores Irredutı́veis do 2o Grau
Para calcular a última integral, escrevemos
x 2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 e fazemos u = x + 1 ou x = u − 1 e
du = dx; portanto,
Z
Z
Z
61x + 64
61(u − 1) + 64
61x + 64
dx
=
dx
=
du
x 2 + 2x + 4
(x + 1)2 + 3
u2 + 3
Z
Z
u
1
61
3
u
= 61
du +3
du = ln(u 2 + 3)+ √ arctg √ +k
2
2
u +3
u +3
2
3
3
3
x
+
1
61
ln((x + 1)2 + 3) + √ arctg √ + k.
=
2
3
3
Finalmente,
Z 5
x +x +1
dx
x3 − 8
61
3
x +1
x 3 35
+
ln |x − 2| +
ln((x + 1)2 + 3) + √ arctg √ + k.
=
3
12
24
12 3
3
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Substituição trigonométrica
Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
A Substituição u = tg (x/2)
A substituição u = tg(x/2) transforma qualquer função racional
envolvendo seno e cosseno em uma função racional de polinômios.
Observemos que
sen(x/2)
cos2 (x/2).
sen x = 2sen(x/2) cos(x/2) = 2
cos(x/2)
Assim,
sen x =
2tg(x/2)
2u
.
=
2
1 + u2
1 + tg (x/2)
Também temos que
cos x = 1 − 2sen2 (x/2) = cos2 (x/2) sec2 (x/2) − 2 cos2 (x/2)tg2 (x/2),
logo,
cos x =
Alexandre Nolasco de Carvalho
1 − tg2 (x/2)
1 − u2
=
.
1 + u2
1 + tg2 (x/2)
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Substituição trigonométrica
Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
ExemploZ
Calcule
1
dx.
cos x + senx
1
Fazendo u = tg(x/2), temos que du = (1 + tg2 (x/2))dx, então
2
2
dx =
du. Utilizando as identidades trigonométricas
1 + u2
anteriores,
cos x + senx =
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
1 − u 2 + 2u
.
1 + u2
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Substituição trigonométrica
Primitivas de Funções Racionais - Fraçoes Parciais
A Substituição u = tg(x/2)
Assim,
Z
1
dx = 2
cos x + senx
Z
1
du,
1 − u 2 + 2u
a qual pode ser integrada utilizando frações parciais. Note que
1
1
1
1
1
=
= √
−
,
u 2 − 2u − 1
(u − a)(u − b)
2 2 u−a u−b
√
√
onde a = 1 + 2 e b = 1 − 2. Portanto,
Z
1
1
dx = √ (ln |u − b| − ln |u − a|) + k
cos x + senx
2
√
√ 1
= √ ln |tg(x/2) − 1 + 2| − ln |tg(x/2) − 1 − 2| + k.
2
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
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