Primitivas e a integral de Riemann Aula 26 - ICMC

Anti-derivadas ou Primitivas
A Integral de Riemann
Primitivas e a integral de Riemann
Aula 26
Alexandre Nolasco de Carvalho
Universidade de São Paulo
São Carlos SP, Brazil
13 de Maio de 2014
Primeiro Semestre de 2014
Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Anti-derivadas ou Primitivas
A Integral de Riemann
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Anti-derivadas ou Primitivas
Sabemos que a derivada de uma função constante é zero.
Entretanto, uma função pode ter derivada zero em todos os pontos
x
é tal
de seu domı́nio e não ser constante; por exemplo f (x) =
|x|
que f ′ (x) = 0 em todo ponto de seu domı́nio, mas não é constante.
No entanto vale o seguinte resultado
Corolário
Se f for contı́nua em [a, b] e diferenciável em (a, b) e f ′ (x) = 0
para todo x ∈ (a, b), então f será constante.
Alexandre Nolasco de Carvalho
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SMA 301 Cálculo I
Anti-derivadas ou Primitivas
A Integral de Riemann
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Prova: Seja x0 ∈ [a, b] fixo. Para todo x ∈ [a, b], x 6= x0 , pelo
Teorema do Valor Médio existe um x̄ pertence ao intervalo aberto
de extremos x e x0 tal que
f (x) − f (x0 ) = f ′ (x̄)(x − x0 ).
Como f ′ (x) = 0 para todo x ∈ (a, b), temos que f ′ (x̄) = 0, logo
f (x) − f (x0 ) = 0
=⇒
f (x) = f (x0 )
para todo x ∈ [a, b]. Portanto, f é constante.
Alexandre Nolasco de Carvalho
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Anti-derivadas ou Primitivas
A Integral de Riemann
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Corolário
Duas funções f , g : (a, b) → R tais que f ′ (x) = g ′ (x) para todo
x ∈ (a, b) diferem por uma constante.
Definição
Uma primitiva ou anti-derivada de f definida em um intervalo I é
uma função derivável F definida em I tal que
F ′ (x) = f (x), para todo x ∈ I .
Observação: Se F for uma primitiva de f , então F será contı́nua,
pois F é derivável. Duas primitivas de uma função definida em um
intervalo diferem por uma constante.
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Anti-derivadas ou Primitivas
A Integral de Riemann
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Segue que as primitivas de f são da forma F (x) + k, com k
constante. Denotamos por
Z
f (x) dx = F (x) + k, k constante
à famı́lia de primitivas ou integral indefinida de f .
Exemplo
Z
x 2 dx =
x3
+ k,
3
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Z
dx =
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Z
1 dx = x + k.
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Anti-derivadas ou Primitivas
A Integral de Riemann
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Das fórmulas de derivação já vistas
Z
(a) c dx = cx + k;
Z
x α+1
(c) x α dx =
, α 6= −1;
α+1
Z
1
(e)
dx = ln x + k, x > 0;
Z x
seguem as seguintes primitivas
Z
(b) e x dx = e x + k;
Z
(d) cos x dx = sen x + k;
Z
1
(f )
dx = ln(−x) + k, x < 0;
Z x
(g ) sen x dx = − cos x + k;
(h) sec2 x dx = tg x + k;
Z
Z
1
(i ) sec x tg x dx = sec x + k;
(j)
dx = arctg x + k;
Z
Z 1 + x2
(k) sec xdx = ln |sec x +tg x|+ k; (l ) tg x dx = − ln | cos x| + k;
Z
1
(m) √
dx = arcsen x +k.
1−x 2
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A Integral de Riemann
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Mudança de Variável ou Regra da Substituição
Sejam f e g tais que Im(g ) ⊂ Df . Suponhamos que F seja uma
primitiva de f .
Então F (g (x)) é uma primitiva de f (g (x))g ′ (x), de fato, pela
Regra da Cadeia,
[F (g (x))]′ = F ′ (g (x))g ′ (x) = f (g (x))g ′ (x).
Portanto,
Z
f (g (x))g ′ (x) dx = F (g (x)) + k ,
onde k é uma constante arbitrária.
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Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Se fizermos a mudança de variável ou substituição u = g (x) temos
Z
Z
′
′
F (g (x))g (x) dx = [F (g (x))]′ dx = F (g (x)) + k
Z
= F (u) + k = F ′ (u) du
ou, escrevendo F ′ = f , obtemos a Regra da Substituição:
Z
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′
f (g (x))g (x) dx =
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Z
f (u) du.
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(1)
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Exemplo Z
Encontre
2x
p
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
1 + x 2 dx.
Fazemos a substituição u = 1 + x 2 , então sua diferencial é
du = 2xdx. Pela Regra da Substituição,
Z
Z p
Z
p
√
2
2
2x 1 + x dx =
1 + x 2x dx =
u du
2
2
= u 3/2 + k = (1 + x 2 )3/2 + k.
3
3
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A Integral de Riemann
Exemplo Z
Encontre
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
x 3 cos(x 4 + 2) dx.
Fazemos a substituição u = x 4 + 2, então du = 4x 3 dx e
Z
Z
Z
1
1
3
4
x cos(x + 2) dx = cos(u) du =
cos u du
4
4
1
1
= senu + k = sen(x 4 + 2) + k.
4
4
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ExemploZ
Calcule
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
x
dx.
1 + x4
Se fizermos u = x 2 , teremos du = 2x dx, assim,
Z
Z
x
1 1
1
1
du = arctg(u) + k = arctg(x 2 ) + k.
dx =
4
2
1+x
1+u 2
2
2
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A Integral de Riemann
Exemplo Z
Encontre
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
tgx dx.
Fazemos a substituição u = cos x, então sua diferencial é
du = −sen x dx; portanto
Z
Z
Z
1
senx
dx = −
du = − ln |u| + k
tgx dx =
cos x
u
= − ln | cos x| + k = ln | sec x| + k.
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Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Integração por Partes
Sejam f , g : [a, b] → R diferenciáveis em (a, b). Então, para cada
x ∈ (a, b), vale
[f (x)g (x)]′ = f ′ (x)g (x) + f (x)g ′ (x),
ou seja,
f (x)g ′ (x) = [f (x)g (x)]′ − f ′ (x)g (x) .
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Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Como f (x)g (x) é uma primitiva de [f (x)g (x)]′ , se existir uma
primitiva de f ′ (x)g (x), então também existirá uma primitiva de
f (x)g ′ (x) e valerá a fórmula de integração por partes:
Z
′
f (x)g (x) dx = f (x)g (x) −
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Z
f ′ (x)g (x) dx .
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(2)
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Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Notação alternativa. Tomando u = f (x) e v = g (x) , temos
du = f ′ (x) dx
dv = g ′ (x) dx
e
e podemos re-escrever (2) como
Z
Alexandre Nolasco de Carvalho
u dv = uv −
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Z
v du .
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ExampleZ
Calcule
Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
x sen x dx.
Suponha f (x) = x e g ′ (x) = sen x. Então, f ′ (x) = 1 e
g (x) = − cos x. Assim
Z
Z
x sen x dx = x(− cos x)− 1(− cos x) dx = −x cos x+sen x+k.
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Mudança de Variável ou Substituição
Integração por Partes
Z
ZExample
1
1
dx = x arctg x− ln(1+x 2 )+k.
1 dx = (arctg x) x− x
arctg x |{z}
2
| {z }
1+x
2
u
dv
Example Z
x
2
2
x
x |{z}
e −
x |{z}
e dx = |{z}
|{z}
g′
f
f
g
Z
e x dx.
2x |{z}
|{z}
f′
g
Integrando por partes mais uma vez, obtemos
Z
Z
x
x
xe dx = xe − e x dx = xe x − e x + k.
Portanto,
Z
x 2 e x dx = x 2 e x − 2xe x + 2e x + k.
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A Integral de Riemann
A Integral de Riemann
Definição
Seja [a, b] ⊂ R um intervalo limitado e fechado. Dizemos que
P : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b ,
onde n ∈ N, é uma partição ou divisão de [a, b].
Uma partição P de [a, b] divide o intervalo em n intervalos.
✲
a = x0 x1
Alexandre Nolasco de Carvalho
x2 . . . xi −1 xi
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...
xn−1
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b = xn
x
Anti-derivadas ou Primitivas
A Integral de Riemann
Para cada i = 1, . . . , n, definimos
∆xi = xi − xi −1
que é o “tamanho” ou comprimento do intervalo [xi −1 , xi ].
Definimos, também a “malha da partição P”
kPk = max ∆xi
1≤i ≤n
que é o maior dos comprimentos dos intervalos [xi −1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n.
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A Integral de Riemann
Sejam f : [a, b] → R uma função limitada e
P = {a = x0 < x1 < · · · , xn−1 , xn = b} uma partição de [a, b].
Para cada ı́ndice i seja ci um número em [xi −1 , xi ] escolhido
arbitrariamente.
c1 c2
ci
...
•
•
•
a = x0 x1 x2
xi −1 xi
Alexandre Nolasco de Carvalho
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...
cn
•
xn−1
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✲
b = xn
x
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A Integral de Riemann
Consideremos a figura seguinte.
✻
f (c3 )
f (c2 )
f (ci ) ②
f
f (c1 )
cj
❑
•
•
a = x0 x1 x2
❄
f (cj )
c1
Alexandre Nolasco de Carvalho
❄
c2
•
x3
☛
c3
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•
xi−1 xi
❄
ci
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xj−1 xj
•
✲
b = xn
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Definição
A soma de Riemann de f relativamente à partição P é dada por
n
X
f (ci )∆xi .
i =1
Observação: Note que a soma de Riemann é igual à soma das
áreas dos retângulos que estão acima do eixo x menos a soma das
áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo x . Portanto a soma
de Riemann é a diferença entre a soma das áreas dos retângulos
que estão acima do eixo x e a soma das áreas dos retângulos que
estão abaixo do eixo x .
Alexandre Nolasco de Carvalho
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Consideremos a figura seguinte.
✻
A2 ✛
f
✲
a
b
✿ A1
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A Integral de Riemann
Sejam f uma função contı́nua definida em [a, b] e
P = {a = x0 < x1 < · · · , xn−1 , xn = b} uma partição tal que
kPk = max ∆xi seja suficientemente pequeno. Então a “área”
1≤i ≤n
A = A2 − A1 , “pode ser aproximada pela soma de Riemann”
n
X
f (ci )∆xi ,
i =1
ou seja, A ≈
Pn
i =1 f (ci )∆xi . Fazendo kPk −→ 0, temos
n
X
f (ci )∆xi −→ A
i =1
e, portanto,
lim
kPk→0
n
X
f (ci )∆xi = A.
i =1
Então podemos dar a definição seguinte.
Alexandre Nolasco de Carvalho
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A Integral de Riemann
Definição
Diremos que uma função limitada f : [a, b] → R é Riemann
integrável ou simplesmente integrável, se existir um número
A ∈ R tal que
n
X
f (ci )∆xi = A
lim
kPk→0
i =1
onde P = {a = x0 < x1 , · · · , xn−1 < xn = b} é uma partição de
[a, b] e ci ∈ [xi −1 , xi ].
Alexandre Nolasco de Carvalho
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A Integral de Riemann
Escrevendo o limite acima com ε’s e δ’s temos
Definição
Uma função f : [a, b] → R será dita integrável, se existir A ∈ R
tal que para todo ε > 0, exista δ > 0 tal que
n
X
f
(c
)∆x
−
A
<ε
i
i
i =1
para toda partição de [a, b] com kPk < δ, qualquer que seja a
escolha de ci ∈ [xi −1 , xi ]. Neste caso, escrevemos
Z b
f (x) dx
A=
a
que é chamada integral definida ou simplesmente integral de f
em relação à x no intervalo [a, b].
Observação: Note que, o limite independe da escolha dos ci .
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