∴ 16

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01 - Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir.
(
) Se m, n e p são números reais positivos e consecutivos
(
mn
n 2 − np
=
, então n = m − p
n+p
m
) Se a e b são números reais não nulos tais que
2
 n1 + n2 + ... + n35
= 7,5

150 + n16 + n17 + ... + n35
35

= 7,5
n + n + ... + n = 150 35
15
 1 2
tais que
a
(
+
b2
= −2 , então a é um número real negativo.
a
b2
o
) Os trinta e cinco alunos de uma turma do 1 ano do
CPCAR 2007 fizeram uma prova de matemática cuja nota
máxima é 10 pontos. A média aritmética das notas da
turma foi 7,5 e apenas 15 alunos conseguiram nota
máxima. A média das notas dos alunos que NÃO
obtiveram nota máxima foi menor que 5,6
A seqüência correta é
a) V, V, V.
b) F, F, F.
c) F, V, F.
d) V, F, V.
RESOLUÇÃO
(F) Analisando n = m – p, tem-se que:
m – p > 0 (pois n *+ )
m>p
n16 + n17 + ... + n35 = 112,5
∴
n16 + n17 + ... + n35 112,5
=
= 5,625
20
20
Portanto, a proposição é falsa.
RESPOSTA: opção c
02 - Dados
os
conjuntos
A,
B
e
C
tais
que
A ∩ B = {1, 3, 5}, B ∩ C = {3, 4, 5}, A ∩ C = {2, 3, 5},
A ∪ B = {x * | x ‹ 6} e [(A ∪ C) – (A ∪ B)] = {6}, é FALSO
afirmar que
a) o número de elementos de A é igual ao número de
elementos de B
b) a soma dos elementos do conjunto C é igual a 20
c) no conjunto A existem três elementos que são números
primos.
d) A – B tem dois elementos.
RESOLUÇÃO
Dessa forma, só é possível a seguinte ordem crescente para
m, n e p:
i) p, m e n
n=m
−p
1
n = 1 ⇒ m = 0 e p = −1 absurdo! pois p *+
Logo a proposição é falsa.
ii) n, p e m
n=m
−p
1
n =1
m=2 e p=3
A U B = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {1, 2, 3, 5}
B = {1, 3, 4, 5}
C = {2, 3, 4, 5, 6}
A U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a) Verdadeiro
n (A) = 4 
 ⇒ n (A) =n (B)
n (B) = 4 
b) Verdadeiro
2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20
c) Verdadeiro 2, 3 e 5 são números primos
d) Falso A – B = {1, 2, 3, 5} – {1, 3, 4, 5} = {2} ⇒ 1 elemento
RESPOSTA: opção d
iii) p, n e m
n=m
−p
2
n = 2 ⇒ p =1 e m = 3
03 - Considere a função real g: A → B representada pelo gráfico
abaixo.
Verificando os dois possíveis resultados na equação dada,
tem-se:
1º) n = 1, m = 2 e p = 3
2 ⋅ 1 12 − 1⋅ 3
=
⇒ 4 = –8 (absurdo!)
1+ 3
2
2º) n = 2, p = 1 e m = 3
3 ⋅ 2 22 − 2 ⋅ 1
=
⇒ 18 = 6 (absurdo!)
2 +1
3
Logo a proposição é falsa.
b2
(V)
+
⇒ a = −b2
2
a
b
a
Como b2 > 0 , a = −b2 nos leva a a < 0
Daí, a proposição é verdadeira.
(F) Sendo ni a nota de cada aluno, tem-se:
Analise as alternativas e marque a FALSA.
a)
b)
c)
d)
f(x) 0 {x | x = b ou b < x c ou x e}
∃I x A tal que g(x) = u
A = [a, +∞[ – {d} e Im(g) = ]t, p]
Se |s| |q|, então g(a) + g(q) 0
RESOLUÇÃO
a) Verdadeira, conforme análise gráfica.
b) Verdadeira g(x) = u ⇔ x ∈ [a, b]
c) Falsa
A = [a, +∞[ – {d}, mas Im(g) = ]t,q] ∪ {p}
d) Verdadeira
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05 - Considere as funções reais f, g, h e j definidas pela leis
g(a)=s e s < 0
g(q)=q e q > 0
como | s| |q| g(a) + g(q) 0
f(x) = ln x, g(x) = x , h(x) = sen x e j(x) = cos x
Sabendo-se que existe a função composta F: A → B, tal que
F(x) = (fogohoj)(x), é correto afirmar que F
RESPOSTA: opção c
04 - Considere as funções reais f, g, h e j e classifique em (V)
verdadeira ou (F) falsa cada proposição abaixo.
(
3
) Dentro de seu domínio mais amplo, se f e g são tais que
x+2
(gofog)( x ) =
e a representação gráfica de g é
x +1
a) não é função par nem ímpar.
b) é função injetora.
c) não admite raiz real.
π

d) pode ter domínio A = x |0 < x < π e x ≠ 
2


RESOLUÇÃO
F(x) = f(g(h(cos x))) = f(g(sen(cos x))) =
= f
(
)
sen(cos x) = ℓn sen(cos x)
 sen(cos x) > 0
Condição de existência: 
sen(cos x) > 0
0
sen(cos x) > 0 
⇒
sen(cos x) > 0 
–1
então (fofofo...of)(x) = x ou (fofofo...of)(x) = x
(
) Considere dois números reais k e m tais que m > k e a
função j: [0, 1] → B tal que j(x) = k + (m – k)x
Se B = [k, m], então j é função bijetora.
(
) A função h que associa cada ponto P de uma
semicircunferência de diâmetro MN à soma dos
quadrados das distâncias de P até M e de P até N é uma
função injetora.
π

 x ≠ + kπ
⇒ sen(cos x) > 0 ⇒ 
2
cos x > 0

a) Falsa F(-x) = ℓn sen(cos ( − x)) = ℓn sen(cos x) = F(x),
logo F é função par.
Assinale a alternativa com a seqüência correta.
b) Falsa Se F é função par, ela não é injetora.
a) V – F – V
b) F – V – V
c) Verdadeira ℓn sen(cos x) = 0 ⇒
c) F – F – F
d) V – V – F
⇒
sen(cos x) = 1 ⇒ sen (cos x) = 1 ⇒ cos x =
RESOLUÇÃO
I) Verdadeiro
g(x) = x+1 e D(g) = – {–1}
(gofog)(x) = g(f(g(x))) = g(f(g(x))) = g(f(x+1))) =
x+2
= f(x+1) +1 =
⇒
x +1
x+2
x + 2 − x −1
1
1
⇒ f(x+1) =
–1=⇒
=
⇒ f(x) =
x +1
x +1
x +1
x
1
f(x) = x, f(f(x)) =
, f(f(x)) = x
x
1
f(f(f(f(x)))) =
x
(fofo...of)(x) = x ou
1
(fofo...of)(x) =
x
II)Verdadeiro
j(0) = k+(m – k).0 ⇒ j(0) = k
j(1) = k+(m – k).1 ⇒ j(1) = m
Im(j) = [k, m] = B ⇒ j é sobrejetora 
 ⇒ j é bijetora
j(x) = k+ (m − k) x é injetora

III) Falso
P
2
2
π
⇒
2
3,14
⇒ cos x ≅ 1,57 e 1,57 ∉ [-1,1]
2
Conclusão: ∃ x  F(x) = 0
π
d) Falsa ∀ x ∈ ] , π [ e cos x < 0 ⇒ ∃ F(x)
2
RESPOSTA: opção c
06 - Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir.
(
(
(
) Seja g: → tal que g(x) = mx – 4, tal que g(g(–1)) < 0
e g uma função decrescente. O maior valor inteiro
possível para m é –1
2
) Seja f : → tal que f(x) = ax + bx + c
Sabe-se que f tem duas raízes reais e distintas e que
f(0) > 0
Se a < 0, então x = 0 está entre as raízes de f
) O gráfico abaixo é de uma função quadrática tal que
2
y = ax + bx + c, onde a, b e c * e o ponto A tem
abscissa nula. Se o segmento AB é paralelo ao eixo das
abscissas, é correto afirmar que a área S do quadrilátero
ab
ABCO é, necessariamente, S =
c
2
∆PMN retângulo ⇒ (PM) + (PN) = (MN)
2
Qualquer que seja o ponto P, a imagem é (MN)
Logo h não é injetora.
A seqüencia correta é: V V F
RESPOSTA: opção d
⇒ cos x =
0
sen(cos x) = e ⇒
A seqüência correta é
a) V, V, V.
b) V, V, F.
c) F, V, F.
d) F, V, V.
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RESOLUÇÃO
I) Verdadeiro
Se g é decrescente, então m < 0
g(–1) = –m – 4
2
g(g(–1)) = –m – 4m – 4
2
g(g(–1)) < 0 –m – 4m – 4 < 0
m ≠ –2
Se m < 0 e é o maior valor inteiro possível, então m = –1
II) Verdadeiro
2
f(x) = ax + bx + c
Se f tem duas raízes reais e distintas (∆ > 0), então
f(0) > 0 c > 0 e a < 0
Se b < 0
ou se b > 0
III) Falso
2
y = ax + bx + c
A(0, c) ∴ OA = c
2
Se B(xB, c) então a(xB) + bxB + c = c
Logo xB = 0 (não convém) ou
b
b
xB = − ∴ OC = −
a
a
S = |OC| . |OA|
b
S= − ⋅c
a
S=
4
Como antes da reforma o lucro diário do proprietário era de
R$ 120,00, se 50 < x < 60, o lucro será abaixo de
R$ 120,00, não sendo vantajoso fazer a reforma
c) Verdadeiro Se x > 60 ⇒ y < 0
2
d) Falso Para x = 20, y = 120 + 10.20 – 0,2.20 = 240
RESPOSTA: opção d
2
08 - Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = x – 2|x| + 1 e
g(x) = mx + 2m (m 0) e marque a alternativa correta.
a) Se m = 0, então g(x) < f(x), ∀x ∈ 1
b) Se 0 < m <
, então f(x) = g(x) para exatamente quatro
2
valores distintos de x, x 1
13
c) Se m = , então f(x).[g(x)] > 0, ∀x ∈ , tal que x > – 2
2
1
, g(x) – f(x) > 0 –1 < x < 1
d) Para m >
2
RESOLUÇÃO
 x 2 − 2x + 1, se x ≥ 0
f(x) = 
2
 x + 2x + 1, se x < 0
g(x) = mx + 2m (m ≥ 0)
bc
a
Logo, a seqüência correta é: V V F
RESPOSTA: opção b
07 - O proprietário de um restaurante verifica que com as 10 mesas
que o restaurante possui ele consegue ter um lucro diário de
R$ 12,00 por mesa. O restaurante foi reformado e foram
acrescentadas x mesas. Com isso, o lucro diário, por mesa,
tanto nova quanto antiga, diminuiu R$ 0,20 para cada mesa
acrescentada.
Chamando de y o lucro do proprietário, por dia, após a
reforma, é INCORRETO afirmar que
a) se esse lucro é máximo, então o número de mesas do
restaurante, após a reforma, é igual a 35
b) se 50 < x < 60, pode-se concluir que não foi vantajoso
fazer a reforma no restaurante.
c) se forem acrescentadas mais de 60 mesas o proprietário
terá prejuízo.
d) esse lucro, após a reforma, será de R$ 240,00, se, e
somente se, forem acrescentadas 30 mesas.
a) Falso. Se m = 0 ⇒ g(x) = 0
g(x) < f(x) ⇒ f(x) > 0 ⇒ x ≠ ±1
b) Verdadeiro. Se m = 0, então f(x) = g(x) para 2 valores
distintos de x
1
1
, então g ( x ) = x + 1
2
2
f(x) = g(x) para exatamente 3 valores distintos de x
Se m =
RESOLUÇÃO
Com 10 mesas, tem lucro diário de R$ 12,00 por mesa.
Depois da reforma:
com (10 + x) mesas, tem lucro diário de (12,00 – 0,2x) por
mesa.
y → lucro do proprietário por dia
Portanto, quando 0 < m <
2
y = (10 + x) (12,00 – 0,2x) = 120 + 10x – 0,2x
10
= 25
2( −0,2)
25 + 10 = 35 mesas
a) Verdadeiro x v = −
b) Verdadeiro 50 < x < 60 ⇒ 0 < y < 120
valores distintos de x
1
f(x) = g(x) para exatamente 4
2
EXAME DE ADMISSÃO AO 3 o ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A
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c) Falso. Se m =
5
1
1
, então g(x) = x + 1
2
2
S = {x ∈ | x > –2 e x ≠ –1 e x ≠ 1}
d) Falso.
g(x) = mx + 2m
RESPOSTA: opção b
09 - Sobre a função real g: A → B, definida por g(x) =
x −1
, é
2−x
correto afirmar que
a) se x < 4 , então −
3
< g( x ) < − 1
2
1
x<2
2
c) se B = – {2}, então g é inversível.
d) se a função real h é tal que h(x) = |g(x)| + 1, então
h(x) > 1, ∀x b) g(x) 0 –
RESOLUÇÃO
2 – x ≠ 0 ⇒ A = – {2}
x −1
2y − 1
⇒ 2y − xy = x − 1 ⇒ x + xy = 2y − 1 ⇒ x =
y=
(y ≠ 1)
2−x
1+ y
⇒ f −1 (x) =
2x − 1
1+ x
(x ≠ − 1)
3
3
e x< 4 − < g(x) < –1
2
2
b) Falso, pois g(x) ≥ 0 ⇔ 1≤ x ≤ 2
c) Falso, pois g é inversível se B = – {1}
d) Falso, pois h(x) ≥ 1
a) Verdadeiro, pois g(4) = −
RESPOSTA: opção a
* é
10 - Considere as funções reais f, g, h e v tais que f: → +
x
dada por f(x) = a (0 < a < 1), g é a inversa de f, h é definida
por h(x) = f(g(x)) e v é definida por v(x) = h(x) + 1 e, a seguir,
assinale a alternativa FALSA.
a) A função v tem conjunto imagem Im = ]1, + ∞[
b) O gráfico da função h é uma reta.
*
c) O domínio da função v é +
d) Os gráficos das funções f e g se interceptam num ponto de
abscissa menor que 1
RESOLUÇÃO
h(x) = f(g(x)) ⇒ h(x) = f(loga x) ⇒ h(x) = aloga x ⇒
⇒ h(x) = x (x >0)
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6
12 - O numerador de uma fração é formado pela diferença entre os
cossenos do sêxtuplo do arco x e do quádruplo deste mesmo
arco; e o seu denominador é formado pela soma entre os
senos do sêxtuplo do arco x e do quádruplo deste mesmo
arco. Simplificando-se a fração citada, pode-se obter
a) –cotg x
b) –tg x
c) cotg x
d) tg x
RESOLUÇÃO
cos 6x − cos 4x
=
sen 6x + sen 4x
a) Verdadeira (vide gráfico I)
v(x) = h(x)+ 1 v(x) = x + 1 (x >0) e Im= ]1, + ∞[
b) Falsa (vide gráfico II)
c) Verdadeira (vide gráfico I)
d) Verdadeira (vide gráfico III)
f(a) = a, g ∩ f = P(a, a) e a < 1
=
11 - A população de certo tipo de bactéria triplica a cada meia hora.
Em uma experiência, colocou-se, inicialmente, uma amostra de
1000 bactérias. Com base nisso, é correto afirmar que se
Dado: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4
6
a) ao final da experiência, obtém-se um total de 6,561 × 10
bactérias, então, o tempo total do experimento foi maior
que 6 horas.
b) o tempo da experiência foi de 2 horas, então, o número de
4
bactérias obtidas foi menor que 7,5 ×10
c) a população de bactérias, ao final da experiência, chegou a
80.000, então, o tempo da experiência foi inferior a
2h30min.
d) um cientista deseja obter um número de bactérias entre
20.000 e 40.000, então, o tempo do experimento deverá
estar entre 3h25min e 4 horas.
13 - Resguardado seu respectivo domínio, o gráfico que representa
um
período
da
função
f
definida
por
π

sen  + x  ⋅ cos ( π − x )
2

f( x) =
é
 3π

2 cos 
+ x  ⋅ cotg ( π + x )
 2

a)
RESOLUÇÃO
Seja x tempo e y a quantidade de bactérias.
...
t
t
hora
2
quantidade de bactérias
y = 1000
1
y = 3.1000 = 3 .1000
2
y = 3.3.1000= 3 . 1000
3
y = 3.3.3.1000= 3 . 1000
b)
...
...
tempo(horas)
0
0,5 hora
1 hora
1,5 hora
t
y = 3 ..1000
a)
Falso
t
6
t
t
8
3 .1000 = 6,561 . 10 3 = 6561 3 = 3 t = 8 (4 horas)
b) Falso
Se o tempo de experiência é de 2 horas, então t = 4
4
3
4
4
y = 3 . 10 = 8,1 . 10 > 7,5 . 10
c) Verdadeiro
t
3 .1000 = 80000 t = log3 80 =
log80 1 + 3log2
=
=
= 4,75 = 2horas 22minutos e 30 segundos
log3
log3
d) Falso
t
t
20000 < 3 .1000 < 40000 20 < 3 < 40 1 + log 2
1 + 2log 2
log3 20< t < log3 40 <t<
log3
log3
3,25 < t < 4 1 hora, 37 min e 30 seg < t <2 horas
Portanto, o tempo deverá estar entre 1h 37’ 30” e 2 h
RESPOSTA: opção c
−senx
= −tg x
cos x
RESPOSTA: opção b
RESPOSTA: opção b
tempo t
0
1
2
3
 6x + 4x 
 6x − 4x 
−2 ⋅ sen 
 ⋅ sen 

2
2



=
 6x + 4x 
 6x − 4x 
2 ⋅ sen 
 ⋅ cos 

2
2




c)
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7
cos( − x)
cos x
=
= −cotg x
sen( − x) −senx
d) Verdadeira.
π

 3π

cotg x é negativa se x ∈  , π  ou x ∈ 
, 2π 
2

 2

d)
cotg( − x) =
RESPOSTA: opção c
15 - Os
valores reais de x que satisfazem
1+ x
1− x
π
arc tg
+ arc tg
=
são números
2
2
4
RESOLUÇÃO
a) Falso, pois esse é o gráfico da função definida por
π
f(x) = cos x, x ≠ k
2
b) Falso, pois esse é o gráfico da função definida por
f(x) = –2cos x
c) Falso, pois esse é o gráfico da função definida por
1
f(x) = cos x
2
d) Verdadeira, pois
π

sen  + x  ⋅ cos ( π − x )
cos x ⋅ ( − cos x )
2


=
=
f(x) =
 3π

2senx ⋅ cot gx
+ x  ⋅ cot g ( π + x )
2 cos 
 2

a)
b)
c)
d)
RESOLUÇÃO
1+ x
1− x π
arc tg
+ arc tg
=
2
2
4
a
b
π
a+b =
4
Œ
arc tg
1+ x
1+ x
π
π
= a ⇔ tg a =
e − <a<
2
2
2
2
arc tg
1− x
1− x
π
π
= b ⇔ tg b =
e − <b<
2
2
2
2
RESPOSTA: opção d
De Πvem:
 3π 
a) A função f, tal que f(x) = cos x , é crescente se x ∈ π,
2 

π

b) O período da função g, sendo g( x ) = 3 tg  x +  é o triplo
2

do período da função h, tal que h(x) = 3 + sen (6x – π)
c) A função j definida por j(x) = cotg x é par para todo x do
seu domínio.
π

d) A função j dada por j(x) = cotg x é negativa se x ∈  , π 
2

 3π

ou x ∈ 
, 2π 
 2

RESOLUÇÃO
a) Verdadeira.
∀ x1< x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
 3π 
se x ∈  π,
 , então
 2 
x
=
π
⇒
f(x)
3π
⇒ f(x) = 0
2
b) Verdadeira.
π

g(x) = 3tg  x +  tem período p = π
2

x=
h(x) = 3 + sen(6x – π) tem período p =
Logo: π = 3 ×
=
–1
e
equação
simétricos.
cuja soma é igual a 1
primos.
recíprocos.
cos2 x
cos x
1
=−
=−
⇒ f(x) = − cos x, tem imagem
2 cos x
2cos x
2
π
 1 1

 − 2 , 2  , D =  x ∈ ℝ | x ≠ k 2  e período 2π.




14 - Considerando as propriedades das funções trigonométricas,
analise cada alternativa a seguir e marque a INCORRETA.
a
1+ x 1 − x
+
π
π
2
2
a + b = ⇒ tg(a + b) = tg ⇒
= 1⇒
1+ x 1 − x
4
4
1−
⋅
2
2
1
1− x2
⇒
= 1 ⇒ 1 = 1−
⇒ 1− x2 = 0 ⇒
4
1− x2
1−
4
⇒ x = ±1 (são números simétricos)
RESPOSTA: opção a
16 - Um número racional m é tal que sua representação decimal é
m = xy,z. Sabe-se que x, y e z são algarismos do sistema
decimal tais que 1 x 9; 0 y 9 e 0 z 9. A parte
inteira de m é o quádruplo de z; se x, y e z, nesta ordem, são
os três primeiros termos de uma progressão aritmética e y é
múltiplo de 3, então a soma dos 100 primeiros termos dessa
progressão aritmética é um número
a)
b)
c)
d)
que divide 10.000, exatamente.
múltiplo de 5
divisor de 30.000
cuja soma dos algarismos é menor que 10
RESOLUÇÃO
1 x 9, 0 y 9 e 0 z 9
2π π
=
6
3
π
3
c) Falsa.
j(x) = cotg x é ímpar para todo x do seu domínio:
(1) P.A. (x, y, z) y =
x+z
2
(2) 10x + y = 4z
Substituindo (1) em (2), tem-se: z = 3x
Se y é múltiplo de 3, tem-se y ∈ {0, 3, 6. 9}.
Montando um quadro com os valores de x, z e z, tem-se:
EXAME DE ADMISSÃO AO 3 o ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A
EA CPCAR
y=
x
1
2
x+z
2
2 (NÃO CONVÉM
4 (NÃO CONVÉM)
BH =
y = 3z
3
6
3
9
9
4
-
∃
Assim, tem-se a P.A. (3, 6, 9, ...)
a100 = 300 e S100 = 15.150 que é múltiplo de 5
RESPOSTA: opção b
17 - Constrói-se um triângulo equilátero ABC cujo lado mede a
unidades. Nesse triângulo, traça-se a circunferência de centro
no encontro das alturas e tangente aos lados do triângulo. A
seguir, traça-se uma reta tangente à circunferência, paralela e
distinta ao lado
AB , interceptando
AC
e BC ,
respectivamente, nos pontos A’ e B’. Para o triângulo A’B’C,
traça-se a circunferência de centro no encontro das alturas e
tangente aos lados dos triângulos. A seguir, traça-se uma reta
tangente à circunferência, paralela e distinta ao lado A ' B' ,
interceptando A ' C e B' C , respectivamente, nos pontos A” e
B”. Esse processo de construção da circunferência é repetido
indefinidamente.
Com as circunferências traçadas, encontra-se uma seqüência
onde são representados seus comprimentos. Essa seqüência
a) tem termo geral representado por
aπ
2n −1
3 2
, com n *
1
9
c) tem por limite da soma de seus termos um número menor
que a
d) tem razão diferente da razão da seqüência formada pelos
raios das circunferências.
b) é uma progressão geométrica cuja razão é
RESOLUÇÃO
Considere a seguinte figura:
a 3
2
R1 = OH =
⇒ x = 3, y = 6 e z = 9
8
1 a 3 a 3
⋅
=
,
3 2
6
a 3
a 3
, R3 = O "H" =
,...
18
54

a 3π
C1 =
3

 a 3π a 3π a 3π 
a 3π

C = 2πR ⇒ C2 =
⇒
,
,
,...  ⇒
 3

9
9
27




a 3π
C3 =
27

R2 = O 'H' =
1
3
Logo a opção (B) é incorreta.
⇒ P.G. cuja razão é
O termo geral da P.G. será:
an = a1 ⋅ qn −1 =
an =
aπ
2n −1
a 3  1
π⋅ 
3
3
n −1
1
= a ⋅ 3 2.3−1 ⋅ 3 −n −1 ⋅ π ⇒ aπ3
1− 2n
2
alternativa correta
3 2
Para o caso da alternativa (C), FALSA; pois:
a 3π
a1
a 3π
S=
que é maior que a
= 3 =
1− q 1− 1
2
3
Na alternativa (D), FALSA, temos:
a 3 a 3 a 3 
Seqüência dos raios 
,
,
,...  que é uma P.G. de
 6

18 54


1
razão, também,
3
RESPOSTA: opção a
18 - Sejam x e y dois números reais, tais que x + y = π, 0 < x 2π
 2 sen x 1 + cos y 
e 0 y < 2π. Para que a matriz A = 

sen y 
1 + cos x
NÃO seja inversível, é necessário que x e y sejam tais que
a) sec x + cos y = 0
b) (tg x).( tg y) > 0
π
c) x – y =
2
d) x = y
RESOLUÇÃO
Para que A não seja inversível é necessário que det A = 0
Assim; se x = π – y, tem-se:
2sen( π − y)
1 + cos y
1 + cos( π − y)
seny
det A =
= 0 ⇒ y = 0 e x = π ou
y = π e x = 0 (Não convém)
Substituindo x = π e y = 0 nas opções, tem-se que:
a) Verdadeiro,pois sec π + cos 0 = 0
b) Falso, pois (tgπ) . (tg0) = 0
π
c) Falso, pois π − 0 = π ≠
2
d) Falso, pois π = 0 (absurdo!)
EXAME DE ADMISSÃO AO 3 o ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A
EA CPCAR
I)
RESPOSTA: opção a
II)
19 - Certo concurso teve três provas objetivas diferentes, todas
com o mesmo número de questões. As questões em uma
mesma prova tinham o mesmo valor, porém, as três provas
tinham valores distintos entre si. Todo candidato fez as três
provas. O número de questões acertadas bem como o total de
pontos obtidos pelos candidatos A, B e C foram dispostos na
tabela abaixo.
a
a
a
candidato
1
PROVA
2
PROVA
3
PROVA
A
B
C
6
3
2
5
6
7
4
6
5
TOTAL DE
PONTOS
OBTIDOS
47
54
50
III)
9
O jogo poderá se desenrolar de apenas 10 formas
distintas.
É única a possibilidade de o jogador vencer o jogo antes
a
da 5 pergunta.
Existe apenas uma possibilidade de o jogador perder o
a
jogo antes da 5 pergunta.
Pode-se afirmar que é(são) FALSO(S) apenas
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
RESOLUÇÃO
G → ganhar
P → perder
Se um outro candidato D acertar 5 questões na primeira prova,
8 na segunda e 3 na terceira, pode-se afirmar que o total de
pontos que esse candidato atingirá é
a) menor do que o total de pontos de cada um dos outros três
candidatos.
b) o segundo valor na ordem crescente dos pontos atingidos
pelos quatro candidatos.
c) maior do que os pontos de cada um dos outros três
candidatos.
d) o segundo valor na ordem decrescente dos pontos
atingidos pelos quatro candidatos.
I) Falso.
O jogo se desenrolará de 11 formas.
II) Verdadeiro.
A única possibilidade é se ocorrer GGG.
RESOLUÇÃO
III) Falso.
Existem duas possibilidades de perder o jogo antes da 5ª
pergunta: P ou GPP.
x → valor das questões da 1ª prova
y → valor das questões da 2ª prova
z → valor das questões da 3ª prova

6x + 5y + 4z = 47


3x + 6y + 6z = 54 (÷3) ∼ 

2x + 7y + 5z = 50


∼
 x + 2y + 2z = 18

0x + 3y + z = 14

0x − 7y − 8z = −61
RESPOSTA: opção d
∼
 x + 2y + 2z = 18 ⇒ x = 2

∼ 3y + z = 14 ⇒ z = 5

17y = 51 ⇒ y = 3
21 - Tomemos os números x e y pertencentes ao conjunto dos
números naturais não nulos de forma que x > y
Seja C a combinação desses números de forma que
C x, y = C x, y + 1

 C
 x, y
9
=

C
 x, y −1 7
Somando-se os algarismos do número x aos algarismos do
número y, encontra-se um número
Candidato D: 5x + 8y + 3y = 5.2 + 8.3 + 3.5 = 10 + 24 + 15 = 49
pontos
Candidato A: 47 pontos
Candidato B: 54 pontos
Candidato C: 50 pontos
a)
b)
c)
d)
Falso.
Verdadeiro, 47 < 49 < 50 < 54
Falso.
Falso, 54 < 50 < 49 < 47
RESPOSTA: opção b
a) primo.
b) par.
c) quadrado perfeito.
d) divisível por 11
RESOLUÇÃO
Seja Ca,b =
a!
, então:
b! ( a − b ) !
C x,y = Cx,y +1 ⇒
⇒ x − 2y = 1 (1) e
20 - Um jogo de pergunta e resposta tem as seguintes regras:
•
•
•
•
a cada pergunta respondida, o jogador ganha 1 ponto se
acertar ou perde 1 ponto se errar;
começará jogando com 1 ponto de crédito;
a
responderá até a 5 pergunta ou, deverá parar de jogar se
atingir um total de 4 pontos ou se perder todos os pontos; e
só vencerá se atingir os 4 pontos.
De acordo com as regras estabelecidas, analise os itens a
seguir, como VERDADEIROS ou FALSOS.
x!
x!
=
⇒
y!(x − y)! (y + 1)!(x − y − 1)!
C x,y
9
= ⇒
Cx,y −1 7
x!
9
y!(x − y)!
= ⇒ 7x − 16y = −7 (2)
x!
7
(y − 1)!(x − y + 1)!
Assim, de (1) e (2) tem-se o sistema equivalente:
 x − 2y = 1
⇒

7x − 16y = −7
x = 15 e y = 7
Somando-se os algarismos de x e y, encontra-se:
EXAME DE ADMISSÃO AO 3 o ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A
EA CPCAR
10
1 + 5 + 7 = 13 que é um número primo.
a) homem de olhos azuis ou castanhos é
RESPOSTA: opção a
b) mulher, se tem olhos azuis é
22 - Analise as proposições seguintes e classifique-as em (V)
verdadeiro ou (F) falso.
(
) O desenvolvimento binomial
 n n
n
n n
  –   +   – ... + (–1)   é igual a zero.
 0   1
 2
n
4
5
c) homem, se tem olhos castanhos é
d) olhos azuis é de
8
9
4
5
2
5
RESOLUÇÃO
Completando a tabela, temos:
n
(
(

1 
 , para que exista
) No desenvolvimento de  x 4 −

x8 

termo independente de x, é necessário que n seja
múltiplo de 3
n
 n + 1
) Dados os binomiais   = a e 
 = b, então o
p
 
 p + 1
 n 
binomial 
=a −b
 p + 1
20 2
=
30 3
8
2
=
b) Falso,
12 3
a) Falso,
16 8
=
18 9
12 2
d) Verdadeiro,
=
30 5
c) Falso,
Tem-se a seqüência correta em
a) V – V – F
b) F – F – V
c) V – V – V
d) F – V – F
RESOLUÇÃO
n  n n 
n n
n
n
( V )   −   +   − ⋯ + ( −1)   = ( a − b ) = (1 − 1) = 0
 0  1   2 
n
RESPOSTA: opção d
24 - Um aparelho, usado em laboratórios para decantação de
líquidos, foi construído, ligando-se um cone eqüilátero, um
cubo e uma esfera, por um tubo, como no esquema da figura
abaixo.
n

1 
( V )  x4 −

x8 

Usando a fórmula do termo geral, tem-se:
n−p
p
 1 
n 4 
n
p
. −
=   x 4n− 4p ( −1) .x −8p =
 x 
8
p
p


 
 
 x 
n
p 4n−12p
=   ( −1) .x
p
Para o termo independente:
n
x 4n−12p = x0 ⇒ 4n − 12p = 0 ⇒ p =
3
( F ) Pela relação de Stifel, tem-se:
 n   n   n + 1
 n 
 n 
 +
=
 ⇒ a+
=b ⇒ 
 = b−a
 p   p + 1  p + 1
 p + 1
 p + 1
RESPOSTA: opção a
23 - Num grupo de 30 pessoas estão apenas homens e mulheres,
com os dois olhos apenas azuis ou os dois olhos apenas
castanhos.
20 são homens; 12 pessoas têm olhos azuis e destas, 8 são
mulheres.
Completando a tabela seguinte de acordo com a situação
acima, se uma pessoa for escolhida ao acaso, é correto
afirmar que a probabilidade dela ser/ter
Na passagem de uma das formas a outra, pelo tubo, existe
uma torneira para liberar ou interromper a passagem do líquido
no sistema.
Num experimento, estando todas as torneiras fechadas,
coloca-se uma certa quantidade de líquido no cone, de modo a
enchê-lo por completo, sem desperdício. Logo após, abre-se a
primeira torneira, possibilitando a passagem do líquido do cone
para o cubo, o que acontece até que este encha e o cone
5
esteja com
da capacidade total, fechando-se a primeira
8
torneira. Com o cubo completamente cheio, abre-se a segunda
torneira para que o líquido possa fluir do cubo para a esfera, o
que acontece até que esta esteja completamente cheia e o
5
cubo com
de sua capacidade. Se não há desperdício de
6
líquido e o volume que resta no interior do tubo e das torneiras
é desprezível, e se o raio da esfera é 30π dm, o raio da base
do cone é, em dm, igual a
a) 180π 3
120π
b)
63
c) 30π 3
90π
d)
63
RESOLUÇÃO
1) VEsfera =
VCubo
1
4
⇒
VCubo ⇒ πR3 =
6
3
6
⇒ VCubo = 216.000π4
EXAME DE ADMISSÃO AO 3 o ANO DO CPCAR 2008 – MATEMÁTICA – VERSÃO A
EA CPCAR
2)
3
VCone = VCubo ⇒ VCone = 576.000π4 ⇒
8
⇒
πr 3 3
120π
= 576.000π4 ⇒ r =
63
3
RESPOSTA: opção b
25 - De um bloco de madeira, com formato de cubo de aresta
12 cm, são retiradas, exatamente, 4 pirâmides regulares cujas
bases são quadrados de lado 5 cm. As pirâmides são retiradas
de faces opostas, fazendo com que seus vértices coincidam
com o centro do bloco.
A área da superfície total do sólido, após a retirada das 4
2
pirâmides é, em cm , igual a
a) 1224
b) 1124
c) 1024
d) 1004
RESOLUÇÃO
Considere o seguinte esquema que ilustra a situação:
Dessa forma, a área da superfície total do sólido será dada
por:
S = área da superfície do cubo (1) + área lateral das quatro
pirâmides (2) – Área das bases das quatro pirâmides (3)
Representação de uma pirâmide:
H=
2
12
= 6 cm
2
2
2
h =H +a ⇒h=
13
2
(1) S1 = 6a2 ⇒ S1 = 6 ⋅ (12)2 ⇒ S1 = 864cm2
b⋅h
(2) S2 = 4 ⋅
⇒ S2 = 4 ⋅
2
13
2 ⇒ S = 260cm2
2
2
5⋅
(3) S3 = 4 ⋅ b2 ⇒ S3 = 4 ⋅ 52 ⇒ S3 = 100cm2
S = 864 + 260 – 100 S = 1024 cm2
RESPOSTA: opção c
11