Lista 4.5 – Derivada da Função Composta

Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa
Apontamentos Cálculo II
Lista 4.5 – Derivada da Função Composta
1.
Função composta de duas funções f e g, com o contradomínio de g contido ou
igual ao domínio de f (fog): Função que resulta da utilização de imagens da função g como objectos da função f e que, por isso, depende dos objectos da função g, tendo como imagens vectores do espaço de chegada de f. g: Dg
n
p
g x1 , … , xn
f: Df
; CDg
A g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn p
m
f a1 , … , ap
;A
Df f1 a1 , … , ap , … , fm a1 , … , ap n
fog: Dg
m
fog x1 , … , xn
f g x1 , … , xn
f1 g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn
, … , fm g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn
2.
Função composta de uma função f, de 2 em e uma função g, de
com o contradomínio de g contido ou igual ao domínio de f: 2
em
2
,
Função que resulta da utilização de imagens da função g, vectores de 2 , como objectos da função f, também vectores de 2 e que, por isso, depende dos objectos da função g, vectores de 2 e tem como imagens vectores do espaço de chegada de f, vectores de . 2
g x,y
g1 x,y , g2 x,y f: Df
2
; CDg
g: Dg
;A
2
A Df f a,b fog: Dg
fog x,y
2
f g x,y
f g1 x,y , g2 x,y 3.
Função composta de uma função f, de 2 em 2 e uma função g, de
com o contradomínio de g contido ou igual ao domínio de f: em
2
,
Função que resulta da utilização de imagens da função g, vectores de 2 , como objectos da função f, também vectores de 2 e que, por isso, depende dos objectos da função g, vectores de e tem como imagens vectores do espaço de chegada de f, vectores de 2 . g: Dg
g a
2
; CDg
A g1 a , g2 a 1
Apontamentos Cálculo II
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2
f: Df
2
;A
Df f1 x,y , f2 x,y f x,y
2
fog: Dg
fog a
f1 g1 a , g2 a
f g a
, f2 g1 a , g2 a
4.
Teorema da Derivada da Função Composta: Se: n
g: Dg
p
p
f: Df
m
; CDg
;A
A Df g é diferenciável em a f é diferenciável em g a Então: fog é diferenciável em a Jf g a . Jg a Jfog a
5.
Derivada parcial de 1ª ordem da função composta fog, com f uma função
escalar, em ordem a xk , num ponto a, interior do seu domínio ( fog xk a ): Taxa de variação fog quando há um desvio infinitesimal na coordenada xk a partir do ponto a. n
g: Dg
p
A g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn g x1 , … , xn
;A
p
f: Df
; CDg
Df f b1 , … , bp n
fog: Dg
fog x1 , … , xn
fog
xk
f g x1 , … , xn
f g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn fb1 g1 a1 , … , an , … , gp a1 , … , an
a
fbp g1 a1 , … , an , … , gp a1 , … , an
6.
. gp
xk
. g1 x a1 , … , an
k
a1 , … , an Derivada parcial de 1ª ordem da função composta fog, com f uma função de
em e g uma função de 2 em 2 , em ordem a x (y), num ponto a1 ,a2 , interior do
seu domínio: 2
2
g x,y
g1 x,y , g2 x,y 2
2
; CDg
g: Dg
A Apontamentos Cálculo II
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;A
2
f: Df
Df f b,c 2
fog: Dg
fog x,y
f g1 x,y , g2 x,y f g x,y
fog
x
a1 ,a2
fb g1 a1 ,a2 , g2 a1 ,a2
. g1 x a1 ,a2
fc g1 a1 ,a2 , g2 a1 ,a2
. g2 x a1 ,a2 fog
y
a1 ,a2
fb g1 a1 ,a2 , g2 a1 ,a2
. g1 y a1 ,a2
fc g1 a1 ,a2 , g2 a1 ,a2
. g2 y a1 ,a2 7.
Derivada parcial de 1ª ordem da função composta fog, com f uma função
vectorial, em ordem a xk , num ponto a, interior do seu domínio: Vector cujas coordenadas são as taxas de variação das funções coordenadas de fog quando há um desvio infinitesimal na coordenada xk a partir do ponto a. n
g: Dg
p
g x1 , … , xn
m
f b1 , … , bp
;A
Df f1 b1 , … , bp , … , fm b1 , … , bp n
fog: Dg
A g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn p
f: Df
; CDg
m
fog x1 , … , xn
,m
2 f g x1 , … , xn
f1 g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn
fog
xk
a
fog1
xk
a , … , fogm
f1 b g a . g1 x a
1
, … , fm g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn
xk
a
f1 b g a . gp
p
k
xk
a , … , fm b g a . g1 x a
1
k
fm b g a . gp
p
xk
a 8.
2
em
Derivada parcial de 1ª ordem da função composta fog, com f uma função de
e g uma função de em 2 , num ponto a, interior do seu domínio: 2
Vector cujas coordenadas são as taxas de variação de fog1 e fog2 quando há um desvio infinitesimal a partir do ponto a. 2
g: Dg
; CDg
A g b
g1 b , g2 b f: Df
2
f x,y
;A
Df f1 x,y , f2 x,y 2
fog: Dg
fog b
2
f g b
f1 g b , f2 g b
3
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fog
a
a , fog2
fog1
f1 x g a . g1 a
a
f1 y g a . g2 a , f2 x g a . g1 a
f2 y g a . g2 a 9.
Derivada parcial de 2ª ordem da função composta fog, com f uma função
escalar, em ordem a xi e xj , num ponto a, interior do seu domínio ( fog xi xj a ): Taxa de variação de fog xi quando há um desvio infinitesimal na coordenada xj a partir do ponto a. n
g: Dg
p
g x1 , … , xn
A g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn ;A
p
f: Df
; CDg
Df f b1 , … , bp n
fog: Dg
fog x1 , … , xn
fog
xi
f g x1 , … , xn
x1 , … , xn
f g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn fb1 g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn
fbp g1 x1 , … , xn , … , gp x1 , … , xn
fog
xi xj
fb1b1 g a . g1 x a
a
j
fb1 g a . g1 x x a
fbp g a . gp
xi xj
i
. gp x1 , … , xn xi
fb1bp g a . gp a . g1 x a xj
fbpb1 g a . g1 x a
i j
. g1 x x1 , … , xn
j
i
fbpbp g a . gp a . gp a xj
xi
a Derivada parcial de 2ª ordem da função composta fog, com f uma função de
10.
2
em e g uma função de 2 em 2 , em ordem a x e x, num ponto a1 ,a2 , interior do
seu domínio: Taxa de variação de fog x quando há um desvio infinitesimal na coordenada x a partir do ponto a1 ,a2 . 2
g x,y
g1 x,y , g2 x,y f: Df
2
; CDg
g: Dg
;A
2
A Df f b,c fog: Dg
fog x,y
4
2
f g x,y
f g1 x,y , g2 x,y Apontamentos Cálculo II
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fog
x
fog
xx
x,y
a1 ,a2
fb g1 x,y , g2 x,y
. g1 x x,y
fc g1 x,y , g2 x,y
. g2 x x,y fbb g1 a1 ,a2 , g2 a1 ,a2
. g1 x a1 ,a2
fbc g1 a1 ,a2 , g2 a1 ,a2
fb g1 a1 ,a2 , g2 a1 ,a2
. g1 xx a1 ,a2
fcb g1 a1 ,a2 , g2 a1 ,a2
. g1 x a1 ,a2
fcc g1 a1 ,a2 , g2 a1 ,a2
fc g1 a1 ,a2 , g2 a1 ,a2
. g2 x a1 ,a2 . g1 x a1 ,a2 . g2 x a1 ,a2 . g2 x a1 ,a2 . g2 xx a1 ,a2 5