1. (Fuvest 2000) a) Esboce, para x real, o gráfico da função f(x)=|x

1. (Fuvest 2000) a) Esboce, para x real, o gráfico da função f(x)=|x-2|+|2x+1|-x-6. O símbolo |a| indica o valor absoluto de
um número real a e é definido por |a|=a, se aµ0 e |a|=-a, se a<0.
b) Para que valores reais de x, f(x) > 2x + 2?
2. (Ufscar 2002) Sejam as funções f(x) = |x - 1| e g(x) = (x£ + 4x - 4).
a) Calcule as raízes de f(g(x)) = 0.
b) Esboce o gráfico de f(g(x)), indicando os pontos em que o gráfico intercepta o eixo cartesiano.
3. (Unesp 98) Sejam a e b dois números reais positivos tais a<b e a+b=4. Se o gráfico da função y=|x-a|+|x-b| coincide com
a função y=2 no intervalo a ´x´b, calcule os valores de a e b.
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4. (Unirio 99) Sejam as funções
f : IR ë IR
x ë y= I x I
e
g : IR ë IR
x ë y = x£ - 2x - 8
Faça um esboço gráfico da função fog.
5. (Ufg 2006) Considere as funções f(x) = mx + 3 e g(x) = x£ - 2x + 2 , onde m Æ IR. Determine condições sobre m para
que a equação f(g(x)) = 0 tenha raiz real.
6. (Unesp 2006) Considere as funções f(x) = - 5 + log‚(1 - x), definida para x < 1, e g(x) = x£ - 4x - 4, definida para todo x
real.
a) Resolva a inequação f(x) ´ g(4) e a equação g(x) = f(7/8).
b) Determine o domínio da função composta fog, isto é, os valores de x Æ R para os quais fog está definida. Determine
também em qual valor de x a composta fog atinge seu valor máximo.
7. (Uff 2005) A relação entre o preço p de determinado produto e a quantidade q disponível no mercado obedece à seguinte
lei: 5q = p£ + 2p - 3 , sendo p e q quantidades positivas e q Æ [1, 9].
a) Determine uma expressão que defina p em função de q;
b) Na figura a seguir, faça um esboço da parte do gráfico de p em função de q que está contida na região quadriculada.
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8. (Ufrrj 2001) Determine o valor real de a para que f(x)=(x+1)/(2x+a) possua como inversa a função f¢(x)=(1-3x)/(2x-1).
9. (Ufrrj 2005) Seja a função f: Rë R, definida por f(x) = 3x + 4a£, onde a Æ R.
Encontre os possíveis valores de a de modo que seja satisfeita a desigualdade f¢(8) µ 0.
10. (Unirio 98) Considerando-se a função f:IRëIR, xëy=2x+1
a) determine a lei que define a função f¢;
b) calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f e f¢, o eixo dos y e a reta de equação x=1.
11. (Unifesp 2004) Considere os gráficos das funções definidas por
f(x) = log³(x) e g(x) = 10Ñ, conforme figura (fora de escala).
a) Dê as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB.
b) Mostre que (fog)(x) = x e (gof)(x) = x, para todo x > 0.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Ufsc 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.
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12. Considere a função f : IR ë IR dada por f(x)=|2x+5|.
Determine a soma dos números associados às proposições CORRETAS.
01. f é injetora.
02. O valor mínimo assumido por f é zero.
04. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,5).
08. O gráfico de f é uma reta.
16. f é uma função par.
soma (
)
13. (Ufba 96) Considerando-se a função real f(x)=x£ - 3|x|, é verdade:
(01) A imagem da função f é [-3, +¶[.
(02) A função f é bijetora, se xÆ]-¶, -2] e f(x)Æ[-2,+¶[.
(04) A função f é crescente, para todo x µ 0.
(08) O gráfico da função f intercepta os eixos coordenados em três pontos.
(16) Para todo xÆ{-1, 4}, tem-se f(x) = 4.
(32) O gráfico da função f é
Soma (
)
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES.
(Ufba 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.
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14. Sobre funções reais, é verdade que:
(01) O domínio de f(x) = 7x/(x+2) é IR.
(02) f(x) = 3x£+4x é uma função par.
(04) f(x) = (3x+2)/2x é a função inversa de g(x)=2/(2x-3).
(08) Sendo f(x) = 2x+4, então f(x)>0, para todo x>0.
(16) Sendo f(x) = 4x£-7x, então f(-1)=11.
Soma (
)
15. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) Se f(x) = 3x + a e a função inversa de f é g(x) = (x/3) +1, então a = -3.
(02) Se (aŠ) e (bŠ) são duas progressões aritméticas, então (aŠ + bŠ) é uma progressão aritmética.
(04) A equaçãoË(x£ + 1) = x - 1 não tem solução real.
(08) (4¤®Ñ - 4Ѥ)/(4Ñ + 4Ѥ) = 64 para todo x real.
(16) (n£ - 1)/(n + 1) = n - 1 para todo número inteiro n.
16. (Uepg 2001) Assinale o que for correto.
01) O domínio da função f(x) = log‚(x£-4x+4) é D=IR
02) A função f(x) = (2+5m)Ñ é crescente para m>-1/5
04) A função f(x) = x (x+2)(x-3) é quadrática.
08) O conjunto imagem da função f(x) = |2x - 1| é IRø
16) A função f(x) = (m£ -4)x£ + (m+1)x -3
é do 1Ž grau se m = -1
17. (Ufg 2000) Seja R o conjunto dos números reais. Considere a função f:IRëIR, definida por f(x)=|1-|x||. Assim,
(
) f(-4) = 5.
(
) f é crescente para x no intervalo [0,1].
(
(
) o valor mínimo de f é zero.
) a equação f(x) = 1 possui três soluções reais distintas.
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18. (Uem 2004) Considere as funções reais f e g definidas por f(x) = x+2 e g(x)=x£, para todo x real. Nessas condições,
assinale o que for correto.
01) As funções f e g são sobrejetoras.
02) Os domínios de (f . g)(x) e f(x)/g(x) diferem por um único número real.
04) f£(x) = (f o f)(x) = x£ + 4x + 4.
08) Os gráficos de f e de g se interceptam no ponto P(2,4).
16) As funções f e g são injetoras no intervalo [0,¶).
32) O único valor de x para o qual a função F(x) = (g o f)(x) se anula é zero.
64) (f o g)(x) = x£ + 2 e (g o f)(x) = x£ + 4x + 4.
19. (Ufsc 2000) Sejam as funções f(x) = (x + 1)/(x - 1) definida para todo x real e x·1 e g(x)=2x+3 definida para todo x
real.
Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. f(1/x) = -f(x) para todo x Æ IR - {0, 1}.
02. O valor de g(f(2)) é igual a 4/3.
04. O domínio da função fog (f composta com g) é D(fog) = IR - {-1}.
08. A função inversa da g é definida por g¢(x)=(x-3)/2.
16. A reta que representa a função g intercepta o eixo das abscissas em (-3/2, 0).
32. A função f assume valores estritamente positivos para x<-1 ou x>1.
20. (Ufsc 2006) Seja f uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine a
abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x.
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GABARITO
1. a) Observe o gráfico a seguir
b) S = {x Æ IR | x < -6/7}.
2. a) -5 ou 1
b) Observe o gráfico a seguir:
3. a) a = 1
b) b = 3
4. fog: IR ë IR
x ë | x£ - 2x - 8 |
Observe a figura a seguir
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5. - 3 ´ m < 0
6. a) f(x) ´ g(4) => - 1 ´ x < 1
g(x) = f(7/8) => x = 2
b) D (fog) = {x Æ R | - 1 < x < 5}
fog atinge um máximo para x = 2.
7. a) p = - 1 + Ë(4 + 5q), com q Æ [1, 9]
b) Observe o gráfico a seguir:
8. a = 3
9. -Ë2 ´ a ´ Ë2
10. a) f¢ (x) = (x - 1)/2
b) 9/4
11. a) (11/2, 11/2)
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12. 02 + 04 = 06
13. 32
14. 04 + 08 + 16 = 28
15. 01 + 02 + 04 = 07
16. 10
17. F V F V
18. itens corretos: 02, 08, 16 e 64
itens incorretos: 01, 04 e 32
19. 01 + 04 + 08 + 16 + 32 = 61
20. x = 5
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