Função seno - MASCENA CORDEIRO

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função seno
Chamamos de função seno a função f(x) = sen x
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela
definição do seno, –1 ≤ sen x ≤ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = sen x; Dom(sen x) = R.
Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .
Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do
arco:
f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)
f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)
Observe que esse gráfico é razoável, Pois:
Quando
, 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.
Quando
, 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.
Quando
, 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.
Quando
, 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]
Função cosseno
Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x.
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela
definição do cosseno, –1 ≤ cos x ≤ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.
Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .
Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)
f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)
Observe que esse gráfico é razoável, Pois:
Quando
, 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.
Quando
, 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.
Quando
, 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.
Quando ,
4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.
Função tangente
Chamamos de função tangente a função f(x) = tg x.
Domínio de f(x) = O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cosx
=0
Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R ou
.
Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência
trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva)
f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa)
Função secante
Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x.
Sinal da função: Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos
da função cosseno.
Definição:
.
Logo, o domínio da função secante é
.
Função cossecante
Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x.
Sinal da função: Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos
da função seno.
Definição:
.
Logo, o domínio da função cossecante é
Função cotangente
Denomina-se função cotangente a função f(x) = 1/tg x ou f(x) = cos x/ sen x
Sinal da função: Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais da função cotangente são os
mesmos da função tangente.
Definição:
Domínio:
Como a função seno se anula para arcos da forma
+k
, onde k em Z, temos:
Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1)
Identidades trigonométricas
}
Fórmulas da adição
Fórmulas da multiplicação
EXERCÍCIOS:
1) Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos, em reais, de
acordo com a lei C(t) = 200 + 120 . sen (  . t)/2, com t medido em horas de trabalho. Assim, os custos máximos e mínimo
desse produto são
a) 320 e 200
b) 200 e 120
c) 200 e 80
d) 320 e 80
e) 120 e 80
 sen80º   sen20º   sen130º 


 , encontraremos:
 cos10º   cos 70º   cos 40º 
2) Calculando o valor da expressão E  
a) -1
b) 1
c) sen 10°
d) cos 20°
e) sen 30°
3) Sabendo que x é do 4º quadrante e que cos x = 1/3 , calcule o valor da expressão y 
4) O menor valor de y 
a) 1/6
1  senx
.
1  cos x
1
com x real é
3  cos x
b) 1/5
c) 1/4
d) 1/2
5) Dois ângulos distintos, menores que 360°, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses ângulos é igual a:
a) 45°.
b) 90°.
c) 180°.
d) 270°.
e) 360°.
6) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com
base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica
 x
f  x   900  800sen 
 12

 , onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0  x  24

). Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do
supermercado, em um dia completo, é igual a
a) 600.
b) 800.
c) 900.
d) 1 500.
e) 1 600.
7) Observe o gráfico da função trigonométrica y = 1 + 2 sen x, a seguir.
Pode-se afirmar que o seu conjunto imagem é o intervalo
a) [-2, 1]
b) [-2, 2]
c) [-1, 2]
d) [-1, 3]
e) [-1, 4]
8) Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é dada pela
  

   t  26   , onde o tempo t é dado em segundos e a medida angular em radianos.
 12 

expressão h  t   11,5  10.sen 
a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t = 0).
b) Determine as alturas mínima e máxima que seu amigo alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período).
9) O valor de (cos60° + tg45°)/sen90° é:
a) 3/2
b) 2
c)
2
d) ( 2 +1)/2
e) 0
10) O PIB (Produto Interno Bruto, que representa a soma das riquezas e dos serviços produzidos por uma nação) de certo
país, no ano 2000 + x, é dado, em bilhões de dólares, por P(x) = 500 + 0,5x + 20cos(
x
), onde x é um inteiro não negativo.
6
Em períodos de 12 anos, o PIB do país aumenta do mesmo valor, ou seja, P(x + 12) - P(x) é constante. Determine esta
constante (em bilhões de dólares).
11) Na figura abaixo tem-se parte do gráfico de uma função f, de R em R, dada por f(x) = a.cos (bx), com a e b constantes
reais.
Nessas condições, é verdade que a.b é igual a:
a) – 4
b) – 2
c) 1
d) 2
e) 4
12) Vê-se, ao lado, o gráfico da função y = f(x), para 0  x  2 .
Essa função é:
a) y = 2 sen x
b) y = sen 2x
c) y = 1 – sen x
d) y = sen² x
e) y = - sen (x + 1)
13) Observe o gráfico.
Sabe-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y(x) é:
a) – 2 cos (3x)
b) – 2 sen (3x)
c) 2 cos (3x)
d) 3 sen (2x)
e) 3 cos (2x)
14) f é a função real de variável real definida por f(x) = 3 + 2 cos (3x). Analise as afirmativas:
a) ( ) A imagem de f é {–3, 3}.
2
b) ( ) O período de f é igual a 3 .
c) ( ) No intervalo ]0, 2  [, a equação f(x) = 0 apresenta três soluções.
d) ( ) f(x) > 0 para todo x real.
e) ( ) f(x) < 0 se x pertence ao segundo e ao terceiro quadrantes.
15) Determine o menor arco formado pelos ponteiros (horas e minutos) de um relógio quando este marcar:
a) 5 h 15 min
b) 9 h 20 min
c) 11 h 40 min
d) 7 h 35 min
16) Determine as medidas correspondentes em graus ou radianos, em cada caso:
a) 135º
b) 225º
c) 40º
d)

rad
9
e)
3
rad
5
f)

18
rad
17) Dê a primeira determinação positiva e a primeira determinação negativa do arco de:
b) – 3.840º
a) 4.260º
c)
52
rad
3
d) 
47
rad
4
18) Calcule estas expressões:
3

 cos sec
4
6

 
2
2 

b)  sec  cos . sen
 cos sec

6
6 
3
3 

2  

3  
5

 
c)  tg  cot g
 cos 
. sen  cos sec
. sen
3 
4
2 
6
3
 6
5
5
5  
7
7
7 

d)  sen
 tg
 sec
 cot g
 cos sec
   cos

3
3
3  
6
6
6 

a) sec
19) Resolva as equações:
a) sen x =

2
b)
cos x = 
2
2
c) sen x = 
3
2
d)
tg x =  3



e) tg x =  1
20) Resolvas as equações sofisticadas abaixo:
a) 2 . sen2 x + 5 . sen x = 3
 5 
. = 0
 4 
d) sen (3x) – sen 
b) 2 . sen x =
c) sen  x 
3
e) 2 . sen2 x + sen x = 0
g) 4 . cos2 x + 12 . cos x + 5 = 0
2
. =
2
6
f) (2 . sen x + 1) . (2 . sen x – 1) = 0
h) 2 . cos (5x) = 1
21) Resolva as Inequações Trigonométricas.
a) cos x ≤ 0
f) tg x >
3
2
2
g) 3 . tg x ≥ 3
b) cos x > 
c) 2 . cos x >
2
d) sen < 
h) tg x < 1
22) Esboce o gráfico das funções abaixo, dando o domínio, imagem e período
1
2
e) sen x ≥
3
2
x
2
a) y = 3 . sen  
b) y = - 2 + sen ( x + π )
e) y = 2 – cos x
f) y = cos  
x
2
 2x 

 3 
c) sen 
g) y = tg x


23) (FGV – SP) O período da função dada por y = 3 . sen  2x 
a)
1
2
b)
d) 2 . sen 3x

2


2
c) 2π
d) 1
e)

4
e)
3
3
24) (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos?
a)
16
9
b)
5
3
c)
4
3
d)
4
2
25) (FUVEST – SP) O ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 12 minutos é:
a) 27º
b) 30º
c) 36º
1

x  3  é:
4

d) 42º
e) 72º
d) 3 
e) 2 
26) (UFES) – o período da função f (x) = 4 . cos 
a) 8

c) 6 
b) 7 
27) (UFRGS) O gráfico na figura é o da função F: [0; 4  ]
a) f (x) = 2 sen 3x
b) f (x) = 2 sen
x
3
c) f (x) = 3 sen
 definida por:
x
2
d) f (x) = 3 sen 2x
e) f (x) = 4 sen 3x
28) (UCSal – BA) Na figura abaixo tem-se um esboço gráfico da função definida por f (x) = a . cos bx
Os valores de a e b são, respectivamente:
a) 1 e 2
b) 1 e
1
2
c) – 1 e
1
2
d) – 1 e 1
e) – 1 e 2
29) (UFSE) A função cujo gráfico está representado na figura abaixo é definido por:
a) y = sen 2x
b) y = cos
x
2
c) y = 2 . sen
x
2
d) y = 2 . cos
x
2
e) y = 2 . sen 2x
30) O período da função trigonométrica representada no gráfico é:
31) O conjunto – imagem da função trigonométrica representada abaixo é:
a) 
b) [ 0; 1 ]
c) [ 0; 2 ]
d) [ - 2; 2 ]
e) [ - 1; 1]
32) (PUC – SP) A figura abaixo é parte do gráfico da função:
a) f (x) = 2 sen
x
2
b) f (x) = 2 sen 2x
c) f (x) = 1 + sen 2x
d) f (x) = 2 cos
x
2
e) f( x) = 2 cos 2x