Aula 03.1 - Exercicios de Funcao Exponencial

EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
1. Seja f : R → R uma função definida por f(x) = a * 3bx, em que a e b são constantes reais. Dado que f(0) = 900 e
f(10) = 300, calcule k tal que f(k) = 100.
f(0) = 900,
f(x) = a * 3bx, f(0) = a * 3b*0
900 = a * 1,
900 = a,
f(10) = 300,
f(x) = a * 3bx, f(10) = a * 310b
a = 900
300 = 900 * 310b
300/900 = 310b,
b = –1/10,
1/3 = 310b,
3–1 = 310b,
10b = – 1
b = – 0,1
f(k) = 100
f(x) = a * 3bx,
f(k) = 900 * 3–0,1k
100 = 900 * 3–0,1k,
100/900 = 3–0,1k,
3–2 = 3–0,1k,
–0,1k = – 2,
0,1k = 2,
1/9 = 3–0,1k,
9–1 = 3–0,1k
k = 20
O valor de k na função exponencial de acordo com as condições fornecidas é 20.
2. Em determinadas condições, o número de bactérias de uma cultura cresce em função do tempo,
obedecendo à seguinte função
bactérias nessa colônia após 2 dias.
. Considerando t medido em horas, determine a quantidade de
2 dias = 48 horas
Após dois dias a colônia terá 6561 bactérias.
3. Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a x anos,
por
. Determine a população referente ao terceiro ano.
1
A população referente ao 3 ano é de 19 875 habitantes.
4. Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r jm a partir do seu centro é dado por P(r) =
k * 23r, em que k é constante e r > 0. Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos
habitantes há num raio de 3 km do centro?
P(r) = k * 23r
98 304 = k * 2 3*5,
98 304 = k * 215,
k =98 304 / 32 768,
k=3
98 304 = k * 32 768
Calculando o número de habitantes num raio de 3 km
P (r) = k * 23r
P (3) = 3 * 23*3,
P (3) = 3 * 29,
P (3) = 3 * 512,
P(3) = 1536
O número de habitantes num raio de 3 km é igual a 1536.
5. Dadas as funções f(x) = 2 x² – 4 e g(x) = 4 x² – 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é:
Como queremos que x satisfaça a igualdade f(x) = g(x), vamos substituir cada uma das funções na
igualdade:
f(x) = g(x)
2 x² – 4 = 4 x² – 2x
Utilizando as propriedades de potenciação, podemos reescrever o segundo membro da equação:
2 x² – 4 = (22)x² – 2x,
2 x² – 4 = 22(x² – 2x),
2 x² – 4 = 22x² – 4x
2
Fazendo uso do princípio básico de resolução de equação exponencial, se as bases são iguais, podemos
estabelecer uma nova igualdade apenas com os expoentes. Teremos então:
x² – 4 = 2x² – 4x,
x² – 4x + 4 = 0
Utilizando a Fórmula de Bhaskara, faremos:
∆ = b² – 4.a.c
∆ = (– 4)² – 4.1.4,
∆ = 16 – 16, ∆ = 0
x = – b ± √∆
2.a
x = – (– 4) ± √0
2.1
x=4±0
2
x=2
O exercício pede que encontremos o valor de 2x, como x = 2, temos que 2x = 22 = 4.
6. Dadas as funções definidas por f(x) = (4/5)x e g(x) = (5/4)x, é correto afirmar:
(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)
(08) f [g(0)] = f(1)
(16) f(– 1) + g(1) = 5
2
Para resolver questões desse tipo, nós devemos verificar se cada afirmativa é verdadeira. Feito isso, nós
somamos os números das afirmativas corretas. Vamos então analisar cada uma das afirmativas
propostas:
(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
Precisamos saber se existe algum valor de f(x) que seja igual ao de g(x). Devemos então ter algum valor
de x para que a igualdade a seguir seja verdadeira:
f (x) = g (x)
3
x=–x
O único valor em que temos x = – x é x = 0. Sendo assim:
f(0) = 1
g(0) = 1
As duas funções interceptam-se quando x = 0. Portanto, a afirmativa é falsa.
(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
Para saber se a função logarítmica é crescente ou decrescente, devemos analisar a base da potência. Se
ela for maior do que 1, então a função será crescente; se for algum valor entre 0 e 1, a função será
decrescente. A base da função f(x) é 4/5, valor que equivale ao decimal 0,8, o que nos garante que a
função f(x) é decrescente. Já a base da função g(x) é 5/4, que corresponde ao decimal 1,25, através disso
afirmamos que a função g(x) é crescente. Essas análises contrariam a afirmativa, portanto, ela é falsa.
(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)
Substituindo cada valor nas funções, temos:
g(– 2) . f(– 1) = f(1)
Essa afirmativa é verdadeira.
(08) f [g(0)] = f(1)
Nesse caso, estamos lidando com uma função composta. Primeiramente, precisamos verificar o valor de
g(0), temos então:
g(0) = 1
Sendo assim:
f [g(0)] = f [1] = f(1)
Portanto, a afirmativa é verdadeira.
4
(16) f(– 1) + g(1) = 5
2
Vamos substituir os valores de x nessas funções para calcular o valor da soma
f(– 1) + g(1) = 5 + 5
4 4
f(– 1) + g(1) = 10 = 5
4 2
Essa afirmativa também é verdadeira.
Somando os números correspondentes às afirmativas verdadeiras, temos: 04 + 08 + 16 = 28.
7. Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere uma função crescente.
g(x) = (3k + 16)x
Para que a função seja crescente, é necessário que o valor da base seja maior do que 1. Faremos então:
3k + 16 > 1,
k > – 15
3
k> – 5
3k > 1 – 16,
3k > – 15,
3k > – 15
Então a função g(x) = (3k + 16)x é crescente para k > – 5.
8. Considerando que f(x) = 49x, determine o valor de f(1,5).
Para facilitar os cálculos na resolução desse exercício, vamos escrever o 1,5 como fração, isto é:
1,5 = 15 = 3
10 2
Vamos então calcular f(1,5):
f(1,5) = 491.5
f(1,5) = 493/2
Por conveniência, vamos aplicar as propriedades de potenciação e escrever 49 como 72. Temos então:
f(1,5) = √493,
f(1,5) = 73
f(1,5) = 343
f(1,5) = √(72)3,
f(2,5) = √76,
f(1,5) = √(73)2
5
Portanto, para x = 1,5, a função vale 343.
9. Determine o conjunto solução da seguinte equação exponencial:
10. Qual o valor de x na equação exponencial
6
11. Calcule o conjunto solução do seguinte sistema de equações exponenciais:
12. Determine o valor de x para que a expressão se torne verdadeira:
13. Resolva a seguinte equação exponencial:
7
14. Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela expressão:
N(t) = 1200*20,4t
Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 bactérias?
N(t) = 1200*20,4t
N(t) = 19200
1200*20,4t = 19200
20,4t = 19200/1200
20,4t = 16
20,4t = 24
0,4t = 4
t = 4/0,4
t = 10 h
A cultura terá 19200 bactérias após 10 h.
15. A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição bancária a uma taxa de
1,5% ao mês, no sistema de juros compostos.
a) Qual será o saldo no final de 12 meses?
b) Qual será o montante final?
8
M = C(1+i)t (Fórmula dos juros compostos) onde:
C = capital
M = montante final
i = taxa unitária
t = tempo de aplicação
a) Após 12 meses.
Resolução
M=?
C = 1200
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)
t = 12 meses
M = 1200(1+0,015)12,
M = 1200(1,015) 12,
M = 1.434,74
Após 12 meses ele terá um saldo de R$ 1.434,74.
M = 1200*(1,195618)
b) Montante final
Resolução
M=?
C = 1200
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)
t = 6 anos = 72 meses
M = 1200(1+ 0,015)72,
M = 1200(1,015) 72,
M = 3.505,39
Após 6 anos ele terá um saldo de R$ 3.505,39
M = 1200(2,921158)
16. Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura , em função do temo t, medido em
horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a hora zero?
6 dias = 6 * 24 = 144 horas
B(t) = 2t/12
B(144) = 2144/12,
B(144) = 212
B(144) = 4096 bactérias
A cultura terá 4096 bactérias.
17. Num depósito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo tempo é dado
pela fórmula C = D * (1 + i)t, onde C representa o capital acumulado, D o valor do depósito, i a taxa de
juros ao mês e t o tempo de meses em que o dinheiro está aplicado. Nesse sistema, ao final de cada mês
os juros capitalizados são incorporados ao depósito.
a) Para um depósito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao mês, qual o capital acumulado ao fim de 6
meses? E de 1 ano?
6 meses
C = D * (1 + i)t
C = 1000 * (1 + 0,02)6
9
C = 1000 * 1,026
C = 1000 * 1,126162419264
C = 1 126,16
O capital acumulado será de R$ 1.126,16.
1 ano = 12 meses
C = D * (1 + i)t
C = 1000 * 1,0212
C = 1000 * 1,268241794562545318301696
C = 1 268,24
O capital acumulado será de R$ 1.268,24.
b) Para um depósito de R$ 5 000,00, a uma taxa de 5% ao mês, qual o capital acumulado durante 4
meses?
C = D * (1 + i)t
C = 5000 * (1 + 0,05)4 ,
C = 5000 * 1,054 ,
C = 6 077,53
O capital acumulado será de R$ 6.077,53.
C = 5000 * 1,21550625
c) Para um depósito de R$ 2 500,00, a uma taxa de juros de 10% ao ano, qual será o capital acumulado
durante 10 anos?
C = D * (1 + i)t
C = 2500 * (1 + 0,1)10 ,
C = 2500 * 1,0110 , C = 2500 * 2,5937424601
C = 6484,36
O capital acumulado em 10 anos será de R$ 6.484,36.
10