x - Professor Danilo

NOTAS AULAS DE FÍSICA
CINEMÁTICA
05/2015
Professor Danilo Lima
Site: estudeadistancia.professordanilo.com
PREFÁCIO
Estas notas são divulgadas periodicamente no blog estudeadistancia.professordanilo.com
A data na folha de rosto representa o mês em que foi publicada as notas. Estas notas são publicadas
mensalmente em arquivo único em formato adequado para dispositivos móveis, como tablets de 7’’ (17 cm de
largura por 9 cm de altura).
A numeração dos tópicos seguem a sequência da numeração usada em aula e como primeiro conjunto de notas,
divulgo material para turma ITA. Se emplacar a ideia, notas para as minhas demais turmas serão lançadas.
Aceito sugestões e erros cometidos em minhas notas podem ser comunicados em comentário no próprio post
onde disponibilizo o arquivo coma as notas.
Caso lhe seja útil tais notas, tenha em mente que são apenas notas, ou seja, não há detalhamento da teoria e
haverá bastante lacuna de conteúdo, que são preenchidas durante o decorrer da aula, mas poderá ser útil como
complemento da aula.
Espero que estas notas sejam úteis não só aos meus alunos, mas também à todo e qualquer ser humano que
quer ou necessite aprender física em um nível um pouco acima do que é lecionado no ensino médio
brasileiro.
Danilo José de Lima, Campinas, maio de 2015
ÍNDICE
10 INTEGRAL
10.1 INTRODUÇÃO
10.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
10.3 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS
10.4 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
INTEGRAÇÃO POR PARTES
SUBSTITUIÇÃO
FRAÇÕES PARCIAIS
10.5 FUNÇÃO MÉDIA
11 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO CIRCULAR (M.C.)
11.1 GRANDEZAS DO M.C.
11.2 RELAÇÕES ENTRE AS GRANDEZAS DO M.C.
11.3 O MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
11.4 TRANSMISSÃO DO MOVIMENTO CIRCULAR
11.5 UNIDADES DE MEDIDAS
11.6 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V.)
11.7 ACELERAÇÃO VETORIAL NO M.C.
11.8 CINEMÁTICA VETORIAL NO M.C.
11.9 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE CORPOS
12 APLICAÇÃO DO CÁLCULO À FÍSICA
12.1 DEMONSTRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO M.U.V.
12.2 NÍVEL DA ÁGUA EM UM TANQUE
12.3 BARRA DESLIZANDO NA PAREDE
12.4 OBJETO SENDO PUXADO NO SOLO ATRAVÉS DE UMA POLIA NO TETO
12.5 CÁLCULO DA FORÇA MÉDIA EM UMA BARRAGEM
12.6 CÁLCULO DA RAIZ QUADRÁTICA MÉDIA
10 INTEGRAL
10.1 INTRODUÇÃO
Seja uma função f(x) qualquer. A integral desta função é definida como sendo a “área” da figura formada sob
a curva de f(x) com o eixo x, conforme representação abaixo.
Aqui usamos “área” entre aspas porque a integral pode ser negativa e porque a unidade da integral de uma
função não é necessariamente unidade de área.
Calcular a integral de uma função é tão fácil quanto calcular a área de uma figura plana quando a figura formada
no plano cartesiano forma uma figura conhecida, mas como proceder quando a figura formada for alguma que
não sabemos como proceder?
Para entender o processo, vamos começar com um exemplo simples que sabemos o resultado de antemão.
EXEMPLO 1
Seja a função f(x) = x. Determine a área sob a reta (integral) no
intervalo de 0 à 10 (a = 0 e b = 10).
Primeiro faremos o gráfico da função.
A figura formada é conhecida: um triângulo. Então basta
calcularmos a área da figura:
f ( x)  x x  x x 2
ÁREA 


 50
2
2
2
EXEMPLO 2
Para o exemplo 1, calcule a área usando retângulos.
Podemos calcular a área da figura anterior usando retângulos,
como se segue:
n
ÁREA   f ( xi )  x
i 1
Se fizermos n   , a área sob o gráfico tenderá à soma das
áreas dos retângulos. Assim:
n
n
ÁREA  lim  f ( xi )  x  lim  i  x  x
n 
n 
i 1
i 1
2
 x
 x
ÁREA  lim  i  x 2  lim  i     lim  
n 
n 
 n  n  n 
i 1
i 1
n
Para x = 10, ÁREA = 50.
n
x 2 1  1/ n 
 x  n  n  1
i

lim

lim

 
n  n
n 
2
2
 
i 1
2 n
ÁREA 
x2
2
2
Os dois resultados obtidos são iguais, assim podemos usar o método de baixo para calcular a área de qualquer
figura.
Símbolo da integral:
n
lim  f ( xi )   x   f ( x)dx  F ( x)
n 
i 1
F(x) é dita primitiva de f(x). A função f(x) é dita integrando por ser o argumento da integral.
Intervalo de integração (os limites a e b para se calcular a área da figura):

b
a
f ( x)dx  F (b)  F (a)
Leia-se integral de efe de xis dê xis no intervalo de a à b. Também podemos representar F(b) – F(a) usando
um colchete para representar o intervalo de integração:

b
a
f ( x)dx  F (b)  F (a)  F(x) a
b
EXEMPLO 3:
Usando a notação de integral, determine a integral da função dada no exemplo 1.
10

10
0
10
f ( x)dx   xdx 
0
x2 
102  02

 50

2 0
2
Usando notação de integral definida, poderíamos escrever genericamente:
b

b
a
f ( x)dx  
b
a
x2 
b2  a 2
xdx   
2 a
2
10.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
O teorema fundamental do cálculo diz que a integração é o processo inverso da derivação. Muitas vezes
aprendemos a integral como o inverso da derivada e a derivada como inverso da integral, mas na verdade elas
não foram criadas com este intuito: lembre-se que a derivada está relacionada com a inclinação de uma função
em torno de um ponto x0 enquanto que a integral está relacionada com a área.

f ( x)dx  F ( x) 
d
F ( x)  f ( x)
dx
Isto é conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo. A notação de integral sem os limites de integração
é chamada de integral indefinida, mas deve haver uma constante c chamada de constante de integração.
EXEMPLO 4
Mostre que para o caso do exemplo 1 vale o teorema fundamental do cálculo.
Fazendo uso da integral indefinida, digamos que vamos integrar a função f(x) de um valor inicial a à um valor
qualquer. F(a) = -c é uma constante, enquanto que b = x é uma variável, assim:

b
a
f ( x)dx  F ( x)a  F (b)  F (a) 
b
x2
c
2
Vamos verificar se o teorema fundamental do cálculo se aplica a este caso:

d
d  x2
F ( x)    c   x  0  f ( x)
dx
dx  2

Com uso do Teorema Fundamental do Cálculo, podemos então construir uma tabela de integrais tendo como
base o que já sabemos de derivada.
TABELA DE INTEGRAIS
f(x)
F(x) (primitiva de f(x)
0
c
1
xc
xn
x n 1
n 1
ex
ex  c
1
x
loge | x |  c  ln | x |  c
sen x
 cos x
cos x
sen x
EXEMPLO 5
Verifique a veracidade da tabela acima derivando a primitiva para ver se o que se obtém é a função f(x).
Para a primeira linha:
d
c0
dx
Para a segunda linha:
d
 x  c  1  0  1
dx
Para a terceira linha:
  n  1 x n
d  x n 1

c
 0  xn


dx  n  1 
n 1
As demais fica como exercício. Você deve se lembrar da (ou consultar uma) tabela de derivadas.
10.3 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS
b
1 -  f ( x)dx  F ( x)ba  F (b)  F (a)
a
2-

3-

f ( x)dx  F ( x)  c 
c
a
d
 F ( x)  c   f ( x)
dx
b
c
a
b
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Observe a figura ao lado: pensando em propriedade de áreas, não é difícil
entender esta propriedade, pois a área sob a curva no intervalo de a à c é a
área sob a curva no intervalo de a à b somada à área sob a curva no intervalo
de b à c.
4-

b
a
b
  f ( x)dx     f ( x)dx
a
Sendo  uma constante real.
b
b
b
5 -   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
a
a
6-

b
a
7-

b
a
a
f ( x)dx    f ( x)dx
b
b
f ( x)dx   f ( x) dx
a
Observe a figura ao lado. A função f ( x) está representada pela linha
tracejada e coincide com a função f (x) quando esta for positiva.
8-

f '( x)g(x)dx  f ( x) g ( x)   f ( x) g '( x)dx
Usaremos esta propriedade na integração por partes e demonstramos a seguir.
Pela regra da cadeia, temos:
d
 f ( x) g ( x)  f '( x)g(x)  f(x)g'(x)
dx
Integrando de ambos os lados, temos:

d
 f ( x) g ( x) dx  
dx
 f '( x) g ( x)  f '( x) g '( x)  dx
Como a operação de integração é a operação inversa da derivação e pela propriedade 5:
f ( x) g ( x)   f '( x) g ( x)dx   f '( x) g ( x)dx
Isolando uma das integrais, finalmente temos:

f '( x)g(x)dx  f ( x) g ( x)   f ( x) g '( x)dx
10.4 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
INTEGRAÇÃO POR PARTES
EXEMPLO 6
Calcule a integral indefinida

x cos xdx .
Usaremos a propriedade 8 para resolvermos isto. Para isso, escolheremos g ( x)  x e f '( x)  cos x . Com isso
teríamos:
Assim:
 g '( x)  1
 g ( x)  x

 f '( x)  cos x  f ( x)  sen x

f '( x)g(x)dx  f ( x) g ( x)   f ( x) g '( x)dx 


x cos xdx  x sen x   sen xdx 
x cos xdx  x sen x  cos x  c
SUBSTITUIÇÃO
EXEMPLO 7
Calcule a integral indefinida

x cos x 2 dx .
Se substituirmos x 2 por u, encontramos o resultado mais facilmente. Vejamos como:
Se u  x 2 então du  2 xdx  dx 

1
du . Substituindo estas informações na integral, temos:
2x
x cos x 2 dx   x cos u
1
1
1
du   cos udu  sen u  c
2x
2
2
Substituindo u  x 2 encontramos a integral:

1
x cos x 2 dx  sen x 2  c
2
FRAÇÕES PARCIAIS
As seguintes frações a seguir podem ser reescritas como se segue:
a)
mx  n
A
B


 x    x   x   x  
b)
mx 2  nx  p
A
B
C



 x    x   x    x   x   x  
A, B e C são constantes que tornam as igualdades acima verdadeiras.
Supondo que se queira calcular uma integral na forma
mx  n
  x    x   dx . Isto pode ser bastante trabalhoso,
mas se escrevermos o integrando na forma de frações parcial, o resultado é imediato.
mx  n
  x    x  dx  
A
B
dx  
dx
x
x 
Note que:

A
1
dx  A
dx
x
x
Substituindo u  x    du  dx :

A
1
dx  A du  A ln | u | A ln | x   |
x
u
Analogamente:

B
dx  B ln | x   | e
x 

C
dx  C ln | x   |
x 
EXEMPLO 8
Calcule a integral indefinida

x4  2 x  1
dx .
x3  x 2  2 x
Primeiro devemos escrever esta fração na forma de frações parciais. Ao dividir o polinômio de cima pelo de
baixo, obtemos quociente x + 1 e resto 3x2  4 x  1 . Assim:
3
2
2
x 4  2 x  1  x  1  x  x  2 x    3x  4 x  1
3x 2  4 x  1


x

1

x3  x 2  2 x
x3  x 2  2 x
x3  x 2  2 x
Vamos escrever o termo da direita em termos de frações parciais, mas antes temos que fatorar o denominador:
3x3  4 x  1
3x3  4 x  1
A
B
C

 


3
2
x  x  2 x x  x  1 x  2  x x  1 x  2
3x2  4 x  1  A x  1 x  2  Bx  x  2  Cx  x  1
Fazendo x  0 , x  1 e x  2 (as raízes do polinômio no denominador. Porque isto funciona?),
encontramos:
1
7
A , B0 e C 
2
2
Com isso nosso problema inicial pode ser reescrito:

x4  2 x  1
1
7 

dx    x  1 

 dx 
x3  x 2  2 x
2
x
2
x
4


x4  2 x  1
x2
1
7
dx

 x  ln | x |  ln | x  2 |
x3  x 2  2 x
2
2
2
10.5 FUNÇÃO MÉDIA
Seja uma função f(x), a função média <f(x)> desta função é uma função constante no intervalo [a, b] (x
variando de a à b) tal que
 f ( x)  
1 b
f ( x)dx
b  a a
Em outras palavras, a área sob a função f(x) é igual à área sob a função constante <f(x)>.
Assim, a velocidade média de um corpo é a função média da função velocidade do corpo, pois a área ( s ) de
ambas as funções é a mesma.
A força média é uma força constante que é capaz de produzir o mesmo impulso, ou seja, é também a função
média da força.
EXEMPLO 9
Calcule a função da velocidade entre os instantes t1 e t2 de um corpo em MUV, isto é, a função horária da
velocidade é dada por:
v  v0  at
t2
t2
v0t  at 2 / 2 
1
 v(t ) 
v

at
dt



 
0
t2  t1 t1
t2  t1  t
1
vM 
s  t2   s  t1 
t2  t1

s
 v(t ) 
t
EXEMPLO 10
Calcule a velocidade média entre os instantes 1 s e 5 s de um corpo com velocidade, com unidades no S.I.,
dada por:
v  t 2  et
5
1 5
t 2  et 
t
vM  v(t ) 
2
t

e
dt



 
5  1 1
4 1
vM 
52  e5 12  e1
e5  e1

6
m/s
4
4
4
11 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO CIRCULAR (M.C.)
11.1 GRANDEZAS DO M.C.
Velocidade escalar ou tangencial: v 
Espaço ângular: 
Velocidade angular:  
ds
dt
d
dt
Período T e frequência f: T  1
f
Período: intervalo de tempo para que um evento cíclico retorne às condições
iniciais.
Frequência: número de ciclos de um evento cíclico que ocorrem em uma
unidade de tempo.
11.2 RELAÇÕES ENTRE AS GRANDEZAS DO M.C.
Da figura ao lado e de propriedades geométricas:
ds  Rd 
Com isso:
ds
d
R
dt
dt
pois R é constante. Com isso:
v  R
Observe que esta é uma relação instantânea, ou seja, não é válida apenas
quando v e  forem constante, pois estas duas últimas grandezas foram
definidas instantaneamente.
11.3 O MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
A velocidade tangencial será constante:
v
ds
s
d v

e 
 cte  v 
  cte   
dt
t
dt R
t
Para uma volta completa, t  T  1 ;   2 e s  2R , assim:
f
v
2R
 2Rf
T
e

2
 2f
T
11.4 TRANSMISSÃO DO MOVIMENTO CIRCULAR
1 – POR EIXO COMUM
Dois discos conectados por eixo comum: ambos terão a mesma velocidade
angular  . Com isso:
 f  fB
A  B   A
TA  TB
E também:
A  B 
vA
v
 B
RA RB
Observe que um mesmo disco, dois pontos em posições com diferentes distâncias até o centro de rotação, terão
as mesmas propriedades que os pontos A e B descritos acima (é como se os discos acima ficassem colados).
2 – POR CONTATO SEM DESLIZAR OU POR ENGRENAGEM
Como não há deslizamento, a velocidade de dois pontos em contato, um em
uma polia e o outro em outra, devem ter a mesma velocidade. Assim, a
velocidade tangencial de pontos nas extremidades das duas polias (discos ou
engrenagens) são iguais:
 A RA  B RB


vA  vB   RA f A  RB f B
R
R
 A B
 TA TB
Observe que quando uma engrenagem gira no sentido horário (no caso a A) a outra gira no sentido anti-horário
(no caso a B).
3 – POR CORREIAS
Como não há deslizamento, então a velocidade de pontos
nos extremos das polias e da correia são iguais, sendo as
equações da situação anterior (engrenagens) iguais às de
agora:
 A RA  B RB


vA  vB   RA f A  RB f B
R
R
 A B
 TA TB
Observe agora que ambas as engrenagens giram no mesmo sentido (horário ou anti-horário).
As equações dos três casos tratados anteriormente são válidas para qualquer movimento circular, seja uniforme
ou não, assim as frequências e períodos são definidos como sendo instantâneos.
Assim, se

e
v
são instantâneas, temos:
finst 

v

2 2R
e
Tinst 
   
1
2 2R


finst

v
Observe também que f   , pois radianos (ou graus ou grados) é grandeza adimensional, por isso
vezes também é chamada de frequência angular.

muitas
11.5 UNIDADES DE MEDIDAS
No sistema internacional, as unidades usuais são:
v  m/s
  rad
  rad/s
T s
f  1/ s = Hz = r.p.s. (rotação por segundo)
Para a frequência também é usual a unidade r.p.m. (rotações por minuto).
11.6 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V.)
Neste caso, o corpo possui aceleração angular  constante.

d
 cte
dt
Podemos proceder como no m.u.v.:

d   dt   d    dt    0  R  t  0     0  t

0
t
0
Podemos integrar esta equação em dt para obtermos a posição angular:

t 2
t

d
t 2
dt    0  t  dt   d   0t 
   0  0t 
0
0
2
dt
2
Observe que as equações anteriores são semelhantes às equações do m.u.v.. De fato, toda equação do m.u.v.
terá uma equação equivalente em m.c.u.v. trocando a grandeza escalar pela sua grandeza angular
correspondente conforme tabela a seguir.
Grandeza escalar (ou linear)
s
v
a
Grandeza angular correspondente



Assim as duas últimas equações que faltavam são:
2  02  2
e
vmédia 
inicial   final
2


t
11.7 ACELERAÇÃO VETORIAL NO M.C.
Pelo teorema de Pitágoras:
a 2  at2  acp2
Sendo at a aceleração tangencial ou escalar que altera o módulo da velocidade,
ou seja, a que produz um m.u.v.
E a acp é a aceleração centrípeta responsável pela mudança apenas da direção
do vetor velocidade.
Para um movimento circular e uniforme, ou seja, com v = cte, iremos deduzir a aceleração centrípeta de duas
formas: uma geometricamente e a outra analiticamente.
1 – DEDUÇÃO GEOMÉTRICA DA ACELERAÇÃO CENTRÍPETA PARA O M.C.U.
Mesmo que a velocidade tenha módulo constante, o vetor velocidade varia. Logo, a aceleração do corpo é:
a
dv
dt
Sendo v0 a velocidade do móvel no instante t e v f no instante t + dt.
Sabemos que
dv  v f  v0
Por geometria (semelhança de triângulos entre as duas figuras ao lado):
Rd  dv
  dv  vd 
R
v
Assim, em módulo:
dv vd 
d
a

v
 a  v
dt
dt
dt
Usando v  R e  
Como
a
é perpendicular à v f (e v0 ) ela é centrípeta (aponta para o centro).
v
encontramos as outras formas comuns da aceleração centrípeta:
R
acp  v
acp  2 R
e
acp 
v2
R
O sub índice foi utilizado para indicar que a aceleração é centrípeta (aponta para o centro da circunferência).
2 – DEDUÇÃO ANALÍTICA DA ACELERAÇÃO CENTRÍPETA PARA O M.C.U.
Representando a trajetória de um corpo em m.c.u. no plano cartesiano:

 
         
2

 2
Podemos escrever o vetor velocidade como sendo:
v  v cos  iˆ  v sen  ˆj
Em termos de  temos:





cos   cos  2     cos 2 cos   sen 2 sen    sen 





sen   sen       sen  cos   sen  cos   cos 



2
2
2


v  v sen  iˆ  v cos  ˆj
Derivando este resultado obtemos a aceleração:
a
dv
d
d
 v
cos  iˆ  v
sen  ˆj  v  cos  iˆ  sen  ˆj
dt
dt
dt

O módulo desta aceleração nos fornece:
a  v   cos2   sen 2   a   v  2 R 
v2
R

Para mostrar que a aceleração possui direção radial, basta mostrar que o produto escalar a  v  0 :



a  v  v sen  iˆ  v cos  ˆj  v  cos  iˆ  v sen  ˆj 
a  v  v2sen  cos   v2cos  sen   0
Podemos mostrar que é centrípeta mostrando que o vetor unitário do vetor posição r̂ é o inverso aditivo do
vetor unitário da aceleração â :
r

rˆ   cos  iˆ  sen  ˆj

r



aˆ  a   v  cos  iˆ  sen  ˆj   cos  iˆ  sen  ˆj
v
v



Portanto a aceleração a é a aceleração centrípeta acp .



rˆ  aˆ
11.8 CINEMÁTICA VETORIAL NO M.C.
VELOCIDADE VETORIAL: RODA
Uma roda gira conforme figura ao lado. Um ponto na extremidade da roda
possui velocidade tangencial de módulo v.
Se esta roda rola sem deslizar em um chão horizontal, seu centro terá
velocidade de translação igual à velocidade tangencial v.
CARRETEL ROLANDO SEM DESLIZAR
Por semelhança de triângulos, temos:
u
u
v
 1  2
r Rr Rr
Portanto

R  r v
u1 
r

u   R  r  v
 2
r
Verifica-se também que a velocidade tangencial de um ponto externo é:
u
R
v
r
11.9 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE CORPOS
Dois corpos em movimentos circulares com períodos T1 e T2 , com T2  T1 , partindo do mesmo ponto se
cruzarão no ponto inicial a cada intervalo t, sendo:
t  MMC T1 ,T2 
Estes dois corpos se encontraram a cada t', em qualquer posição, a cada:
T1 T2
2
2
t'
t ' 2  t ' 
T2  T1
T1
T2
Os ponteiros de minutos e horas de um relógio se encontram 11 vezes a cada 12 horas, assim o intervalo de
tempo t entre dois encontros é de:
t 
11
h  55 min
12
12 APLICAÇÃO DO CÁLCULO À FÍSICA
12.1 DEMONSTRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO M.U.V.
Partindo da informação de que no MUV a aceleração do corpo é constante e igual à a, encontre todas as
equações do MUV.


adt  v  v0  v  at  v  v  v0  at
vdt  s  s0  s  s    v0  at  dt  v0t 
at 2
at 2
 s  s0  v0t 
2
2
Isolando o tempo na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos a equação de Torricelli.
v2  v02  2as
Falta agora a da velocidade média:
t2
t2
v0t  at 2 / 2 
v0t2  at2 2 / 2 v0t1  at12 / 2
1
vM 
v

at
dt






0
t2  t1 t1
t2  t1  t
t2  t1
t2  t1
1
Para simplificar, vamos falar que t1  t e t2  t  t :
v0  t  t   a  t  t  / 2
2
vM 
t
vM 

v0t  at 2 / 2 2v0 t  2at t  at 2


t
t
2v0 t  2at t  at 2  v0  at    v0  a(t  t ) 


2t
2
vM 
 v0  at1    v0  at2   v(t1 )  v(t2 )
2
2
12.2 NÍVEL DA ÁGUA EM UM TANQUE (INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA)
Um tanque em formato cônico, como representado na figura ao lado, é preenchido com
água através de uma mangueira com vazão constante de 0,1 m3/s.
Sabendo que o raio da base é R  10m e a altura do tanque é H  15 m , determine a
velocidade com que o nível da água h  5 m sobe.
Seja uma fina camada de água de espessura dh a uma altura x da base cujo raio é uma
função de x r(x). O volume deste cilindro será
dV  Adh
Assim a taxa de variação do volume (vazão Z) será:
dV
dh
 A  r 2 v  Z
dt
dt
Por semelhança de triângulos, descobrimos r(x):
tg  
r R
R
 r  h
h H
H
Substituindo na equação anterior:
Z H 
Z
v 2  v 

  Rh 
r
2
Substituindo os dados:
2
0,1  15  9
3
v

  10 m/s ou v  2,86 mm/s
  10  5  
12.3 BARRA DESLIZANDO NA PAREDE (DERIVAÇÃO IMPLÍCITA)
Uma barra de comprimento L está apoiada numa parede vertical como
indicado na figura ao lado. Sabendo que a base da escada se desloca para
a direita com velocidade v, determine a velocidade u do topo da escada.
Observe que:
x2  y 2  L2
Derivando implicitamente:
d 2
d
d ( x2 ) d ( y 2 )
x  y 2    L2  

0

dt
dt
dt
dt
2x
dx
dy
 2 y  0  xv  yu  0 
dt
dt
x
u v
y
12.4 OBJETO SENDO PUXADO NO SOLO ATRAVÉS DE UMA POLIA NO TETO
(INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA)
Um cavalo puxa uma caixa no plano horizontal através de uma polia conforme figura abaixo. Sabendo que a
velocidade horizontal do cavalo é v, determine a velocidade horizontal u da caixa.
Veja os vetores velocidade representados ao lado:
Com isso:
v
u
cos 
E pelo desenho do enunciado:
cos  
D
H D
2
2
1

2
H
  1
D
Portanto:
2
H
u  v    1
D
12.5 CÁLCULO DA FORÇA MÉDIA EM UMA BARRAGEM
CASO DA BARRAGEM SIMPLES
Determine a força que a água exerce sobre uma barragem simples de altura H
(altura da água), largura L, água com densidade  e gravidade local g, como
representado na figura ao lado.
Sobre uma estreita faixa de altura dh sofre uma força dF devido à ação da pressão
hidrostática dada por:
dF  p dA  p L dh  ghLdh
Integrando a equação temos:

H
H
dF   ghLdh  gL  hdh 
0
0
F
gLh 2
2
Observe que uma placa triangular horizontal com densidade
superficial de massa constante sofre ação do próprio peso de
maneira análoga à situação anterior.
Uma discussão mais detalhada permite verificar que o ponto
de ação da resultante das forças é no baricentro de um
triângulo de altura H (igual à do nível da água).
O perfil ao lado representa a atuação de forças infinitesimais
sobre a barragem. Por conta deste perfil, a resultante atua no
baricentro do triângulo de forças representado ao lado, ou
seja:
hF 
2
H
3
A pressão atmosférica é ignorada pois ela atua na barragem tanto para dentro como para fora da com a
mesma intensidade.
CASO DA BARRAGEM SUBMERSA
Se a barragem estiver submersa conforme desenho ao lado, determine a força
que a água exerce na barragem. Determine também a altura de aplicação da
força, em relação ao fundo da água. Sabe-se que a densidade da água é  , a
altura da barragem é h e a profundidade do lago no qual é construída a
barragem é H, a gravidade local é g e a largura da barragem é L.
A força pode ser feita como no caso anterior, mudando apenas os limites de
integração. Assim:
H
H
0
H h
dF  p dA  p L dh  ghLdh   dF   ghLdh  gL 
F
hdh 
gLh(2H  h)
gL 2
H  ( H  h) 2   F 

2
2
O cálculo da posição da força resultante é mais complicado e pode ser feito com análogo ao centro de massa:
A seguir, vamos calcular a altura do centro de
massa de um trapézio. Diremos que a massa
total do triângulo é M, a massa do trapézio é
m2 e a massa do pequeno triângulo restante é
m1. O tamanho da base do triângulo é B.
Calculando cada massa, temos:

B  H  h
M
1

 ( H  h) 
m1 
BH / 2
H
2

m  M  m
1
 2
2

M  H  h
m1 

H2

Mh  2 H  h 

m2 
H2
Foi escolhido como referencial positivo e para cima, assim, pela equação do centro de massa:
H h
H

m1  h 
  m1 x   m1  m2 
3
3


Substituindo as massas e efetuando as operações corretamente, se obtém:
x
h  3H  2 h 
3 2H  h 
12.6 CÁLCULO DA RAIZ QUADRÁTICA MÉDIA
A d.d.p. entre os terminais da tomada das residências brasileiras oscilam seguindo uma função senoidal:
U  U pico sen  t 
Mostre que a U rms 
U pico
2
.
A função média de uma função periódica é, por definição, calculada em um intervalo igual ao período:
 f 
1 t T
f (t )dt
T t
Para a função seno ou cosseno isso da zero:
 U 
t T
1 t T
1
1
sen(t )dt    cos  t      cos    t  T   cos  t    0

t
T t
T
T
Por isso devemos mudar a definição de “média” para uma função periódica e é aqui que entra a raiz quadrática
média (root mean square ou rms):
U rms 
1 t T
2
U (t ) dt

t
T
Assim:
U rms 
Temos que calcular

2
1 t T
1 t T
U pico sen  t   dt  U pico
sen 2  t  dt


T t
T t
sen 2 d  e para isso usamos substituição.
sendo U pico  0
Usaremos para isso o arco duplo: sen 2  

sen 2 d   
1  cos  2 
2
1  cos  2 
d 
2
1
2
Para 2  u e 2d   du  d   du / 2 a integral

cos  u 
  d   cos  2 d  12    cos  2 d

cos  2  d  fica:
du 1
1
 senu  sen  2 
2 2
2
Com isso:

1
1

sen 2 d      sen  2  
2
2

Foram feitas integrais indefinidas e omiti as constantes de integração.
Mas estávamos trabalhando com


sen 2  t  dt , assim fazendo t   , então d   dt  dt  d  /  :
sen 2  t  dt   sen 2 
d 1
1 
1

  sen 2 d  
 t  sen  2t  
 
2 
2

Fazendo a integral definida:

t T
t
sen 2  t  dt 
1 
1
1
T
 
 1
 T 
 t  sen  2t       t  T   sen  2  t  T     

2 
2
2
2
 
  2
Agora calculamos a integral tão desejada (ufa!!! Até que enfim...):
U rms  U pico
1 t T
1T
sen 2  t  dt  U pico


t
T
T 2
U rms 
U pico
2
Fim