LÓGICA E ORDEM DE GRANDEZA - Física – Prof. Rhafael Roger

FíSICA
GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Prof.: Rhafael Roger
TEORIAS PLANETÁRIAS
Desde a época do homem das cavernas o ser humano
foi, é e sempre será fascinado pelo universo, seus mistérios,
suas peculiaridades, seus fenômenos e seu misticismo. Em
todas as civilizações e por muitos séculos, filósofos, astrônomos
e astrólogos procuraram explicar o modo como o Sol, a Lua, os
planetas, as estrelas, os cometas e a Terra deveriam, de alguma
forma, se organizar no céu, pois seus movimentos eram
sabidamente periódicos e dessa forma, previsíveis.
Por séculos elaboraram-se muitas teorias sobre essa
organização dos astros e era inevitável que por muito tempo
prevalecesse a idéia de que giravam ao redor da Terra. O Sol e a
Lua cruzando o céu, desaparecendo de um lado e surgindo no
lado oposto e as estrelas em trajetórias circulares não intrigaram
tanto ao homem quanto o movimento dos planetas que, em
determinadas épocas do ano, pareciam recuar, para depois
seguirem em frente na sua trajetória pelo céu.
+ qd +
Esse modelo recebeu o nome de Sistema
Heliocêntrico, pois propunha ser o Sol o centro do universo
(idéia já proposta, antigamente, por Aristarco e rejeitada pelos
outros astrônomos gregos), em torno do qual circulam todos os
planetas e a Terra, que também é um planeta. Ao redor da Terra
circula a Lua, que é seu satélite.
No sistema de Copérnico havia ainda uma esfera
imóvel, na qual situavam-se as estrelas “fixas”, já que ele não
conseguira perceber que se movimentam, pois estão muito
distantes da Terra.
TEORIA GEOCÊNTRICA
No início da era cristã (século II), Cláudio Ptolomeu
propôs, como tantos outros o haviam feito, um sistema que era
capaz de explicar e prever esses movimentos com razoável
precisão.
Esse sistema recebeu o nome de Sistema Geocêntrico
e situava a Terra como centro do universo, em torno da qual se
moviam em trajetórias circulares: a Lua, Mercúrio, Vênus, o Sol,
Marte, Júpiter e Saturno, nessa ordem.
Para explicar o retrocesso de alguns planetas durante
seu movimento, Ptolomeu justificava que o movimento dos
planetas era circular em torno de um ponto C (movimento
denominado: “epiciclo”), e este é que girava ao redor da Terra,
conforme a figura.
Tycho Brahe (1546-1601), um astrônomo dinamarquês
que passou a maior parte de sua vida observando o céu noturno,
propôs em 1585 um modelo que, em parte, conciliava os
modelos de Ptolomeu e Copérnico.
Seu sistema também era geocêntrico, tendo a Terra
como centro, os planetas girando ao redor do Sol e este ao redor
da Terra, tudo num mesmo plano.
Em 1600, Tycho Brahe recebeu Johannes Kepler (15711630), um jovem astrônomo alemão, a quem encarregou de
estudar a órbita de Marte e ajudá-lo a organizar dados coletados
durante vinte anos de observações.
LEIS DE KEPLER
Após analisar dados obtidos por Tycho Brahe, que viera
a falecer um ano após a sua chegada, Kepler formulou três leis,
baseadas no modelo heliocêntrico de Copérnico.
A
1 LEI: LEI DAS ÓRBITAS
Os planetas descrevem, ao redor do Sol, órbitas elípticas
pouco excêntricas, das quais o Sol ocupa um dos focos.
Tal lei era coerente com o sistema de Copérnico, só
discordando deste quanto à forma da órbita dos planetas ao
redor do Sol, pois para que houvesse coerência com os dados
encontrados, a órbita de Marte só poderia ser uma elipse e não
uma circunferência.
Apesar da complexidade e imprecisão, pois os
calendários e as cartas de navegação, nele baseados,
precisavam ser corrigidos de tempos em tempos, o sistema de
Ptolomeu prevaleceu por catorze séculos.
TEORIA HELIOCÊNTRICA
No século XVI, surge um astrônomo polonês de nome
Nicolau Copérnico (1473-1543), propondo um novo modelo para
explicar a organização do universo.
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+ qd +
Na elipse da figura, o segmento AA’ é denominado
semi-eixo maior e a medida f do segmento F1C é a distância
focal. Pela definição de elipse tem-se que, para qualquer ponto
da elipse:
(constante)
A excentricidade e da elipse é definida por:
Quando e = 0 temos uma circunferência e não uma
elipse; e quando e = 1 temos um segmento de reta.
Assim, a trajetória dos planetas é quase uma
circunferência, ou seja, os dois focos encontram-se muito
próximos um do outro.
A
2 LEI: LEI DAS ÁREAS
A
3 LEI: LEI DOS PERÍODOS
O quadrado do período de translação de um planeta é
diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua
órbita.
Esta lei pode ser enunciada de três modos diferentes:
o
1 modo
O segmento de reta imaginário que une o planeta ao Sol
varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
Sendo T o intervalo de tempo gasto pelo planeta para
completar uma volta ao redor do Sol, denominado “período de
translação”e R o “raio médio” de sua órbita, tal que :
podemos escrever:
Sendo
para 2, e
,
o intervalo de tempo para o planeta ir de 1
o intervalo de tempo para ir de 3 para 4, então:
Para os planetas do sistema solar, temos:
implica
o
2 modo
As áreas varridas pelo segmento imaginário que une o
planeta ao Sol são proporcionais aos tempos gastos em
varrê-las.
Nesse caso, temos
proporcionalidade.
onde K é uma constante de
o
3 modo
A velocidade areolar de um planeta é constante.
Define-se velocidade areolar como sendo o quociente
entre a área varrida A e o tempo gasto em varrê-la t.
O período de translação do planeta Mercúrio é o menor
de todos, pois é o planeta que se encontra mais próximo do Sol,
já o período de translação de Plutão é o maior de todos, pois é o
planeta que está mais distante do Sol.
LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
A partir dos estudos de Galileu Galilei, começou-se a
acreditar que os movimentos dos corpos na Terra e dos corpos
celestes (planetas) obedeciam a leis universais. Isaac Newton,
baseando-se no estudo dos movimentos da Lua e dos planetas,
elaborou a base teórica que deu origem à Lei da Gravitação
Universal:
“Matéria atrai matéria na razão direta do produto das massas
e na razão inversa do quadrado da distância”
a
Pela 2 lei de Kepler observamos que o planeta, no
mesmo intervalo de tempo, percorre o arco de elipse entre as
posições 1 e 2 com uma velocidade média maior do que aquela
que tem entre as posições 3 e 4.
Assim, na posição de periélio (mais próximo do Sol) a
velocidade linear do planeta é máxima, e na posição afélio (mais
distante do Sol) sua velocidade linear é mínima.
que podemos entender assim:
Dois corpos quaisquer se atraem com forças cuja
intensidade é diretamente proporcional ao produto de suas
massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre seus centros de massa.
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+ qd +
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Pela Lei da Gravitação Universal, sabemos que:
e, sendo
A intensidade da força de atração é a mesma em ambos
os corpos, independente dos valores de suas massas e pode ser
determinada pela expressão:
ou seja, F=m·g, podemos
escrever:
Dessa forma, obtemos a intensidade do campo
gravitacional da Terra
num ponto situado a uma distância d
de seu centro:
em que G tem um valor constante e é denominada: constante
da gravitação universal.
Seu valor, medido experimentalmente, é: G = 6,67 · 10
2
2
N·m /kg
–11
Nas proximidades da superfície da Terra (d = R), o valor
2
médio do campo gravitacional é: 9,8m/s .
APLICAÇÃO: FENÔMENO DA MARÉS
À medida que nos afastamos da Terra, esse valor vai
diminuindo e podemos determiná-lo para uma certa altitude h,
lembrando que a distância d do ponto ao centro do planeta é:
d=R+h, onde R é o raio da Terra, considerada esférica.
Assim, num ponto X, a uma altitude h:
GRÁFICO: F = F(d)
Variando-se somente a distância d entre os dois corpos,
observamos uma variação na intensidade F da força
2
gravitacional.Como: F · d = G · M · m (constante), então a curva
correspondente ao gráfico F x d é uma hipérbole quadrática.
SATÉLITE EM ÓRBITA CIRCULAR
CAMPO GRAVITACIONAL DA TERRA
Como já vimos, as forças gravitacionais entre corpos só
são perceptíveis caso a massa de pelo menos um deles seja
muito grande.
Todo corpo material causa campo gravitacional ao seu
redor, pois qualquer massa será atraída por ele.
A Terra (massa M) causa no espaço ao seu redor um
campo gravitacional, facilmente perceptível, pois qualquer corpo
(massa m) abandonado próximo a ela fica sujeito à força
gravitacional
Ao redor da Terra existem vários satélites artificiais em
órbita, lançados pelo homem, para a comunicação, meteorologia,
astronomia e pesquisas científicas quer do espaço, quer da
Terra. Suas órbitas são elípticas, mas de excentricidade tão
pequena que podemos considerá-las praticamente circulares. Em
decorrência desse fato, a pequena variação apresentada pela
sua velocidade linear será desconsiderada e assim seu
movimento será uniforme. Dessa forma estaremos estudando os
satélites descrevendo Movimento Circular Uniforme ao redor da
Terra.
VELOCIDADE LINEAR DE TRANSLAÇÃO
Sendo m a massa do satélite, M a massa da Terra, r o
raio de sua órbita e G a constante de gravitação universal,
podemos escrever:
(Lei da gravitação universal)
Acontece que essa força gravitacional pode ser
considerada única, tendo em vista serem desprezíveis as demais
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+ qd +
e, assim, ela atuará como resultante centrípeta sobre o satélite.
01. (EEAR) Segundo Johannes Kepler (1571-1630), as órbitas
descritas pelos planetas em torno do Sol são ___________,
sendo que este ocupa um dos ____________ desta figura
geométrica.
A) circulares - focos
B) elípticas - vértices
C) elípticas - focos
D) circulares - vértices
Observamos que a velocidade linear de translação do
satélite só depende da massa M do planeta e do raio r de sua
órbita já que G é a constante de gravitação universal.
Assim, quanto mais baixa for a órbita, do satélite (menor
r), maior deverá ser a velocidade linear v para que ele se
mantenha em órbita.
02. (PUC-MG) Na figura, que representa esquematicamente o
movimento de um planeta em torno do sol, a velocidade do
planeta é maior em:
PERÍODO (T) DE TRANSLAÇÃO
Como a velocidade linear é constante, então:
A) A
C) C
E) E
B) B
D) D
03. Na figura abaixo está representada a órbita de um planeta
em torno do Sol. Os arcos AB e A’B’ são percorridos em iguais
intervalos de tempo. Qual a relação entre as áreas S e S’?
Da mesma forma, o período T de translação de um
satélite só depende da massa M do planeta e do raio r de sua
órbita.
SATÉLITES GEO-ESTACIONÁRIOS
São satélites utilizados para comunicação e necessitam
estar sempre no mesmo ponto do céu, para o qual estão voltadas
as antenas parabólicas de emissão e recepção de sinais de
rádio, televisão e microondas (telefonia).
Acontece que a Terra gira em torno de seu eixo,
completando uma volta a cada 24 horas e, assim sendo, esses
satélites devem girar no mesmo sentido de rotação da Terra e
pelo mesmo período, ou seja, 24 horas.
Eles estão localizados de tal modo que suas órbitas e a
linha do equador estão no mesmo plano.
Tsatélite = TTerra = 24 h
04. (MACKENZIE-SP) Dois satélites de um planeta têm períodos
de revolução 32 dias e 256 dias, respectivamente. Se o raio da
órbita do primeiro satélite vale 1 unidade então o raio da órbita do
segundo será:
A) 4 unidades
B) 8 unidades.
C) 16 unidades
D) 64 unidades.
E) 128 unidades.
05. A lei da gravitação Universal de Newton diz que:
A) Os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na
razão direta do quadrado de suas distâncias.
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B) Os corpos se atraem na razão direta de suas massas
razão inversa do quadrado de suas distâncias.
C) Os corpos se atraem na razão direta de suas massas
inverso de suas distâncias.
D) Os corpos se atraem na razão inversa de suas massas
razão direta de suas distâncias.
E) Os corpos se atraem na razão direta do quadrado de
massas e na razão inversa de suas distâncias.
+ qd +
e na
e no
e na
suas
06. (UFMA) Seja F a força de atração do Sol sobre um planeta.
Se a massa do Sol se tornasse três vezes maior, a do planeta,
cinco vezes maior, e a distância entre eles fosse reduzida à
metade, a força de atração entre o Sol e o planeta passaria a ser:
A) 3 F
B) 15 F
C) 7,5 F
D) 60 F
Podemos afirmar em relação ao satélite que:
A) Sua energia cinética é maior quando está em B;
B) Sua energia potencial é maior quando está em A;
C) Sua energia mecânica total é maior quando está em B;
D) sua energia mecânica total é maior quando está em A;
E) Quando o satélite vai de A para B sua energia cinética
inicialmente aumenta e em seguida diminui.
07. Sendo a massa da Terra oitenta vezes a massa da Lua, e a
distância entre a Lua e a Terra igual a 60R, onde R é o raio da
Terra, determine a que distância do centro da Terra localiza-se o
ponto no qual é nulo o campo gravitacional resultante dos
campos da Lua e da Terra.
01. Associe a primeira coluna de acordo com a segunda, e a
seguir, marque a opção que contiver a ordem correta.
A) 3 - 2 – 1
B) 1 - 3 - 2
C) 3 - 1 – 2
D) 2 - 3 - 1
08. Sendo g0 a intensidade do campo gravitacional na superfície
da Terra, suposta esférica, de raio R, determine a que altitude
situa-se o ponto no qual a intensidade do campo é a metade da
intensidade do campo na superfície.
02. (UNICAP-PE/89)
Na figura abaixo, temse a trajetória de um
planeta em torno do
Sol.
As
áreas
hachuriadas
são
iguais.
(
) Os planetas movem-se em
círculos cujos centros giram em
torno da Terra.
(
) O Sol está em repouso. Os
planetas (inclusive a Terra) giram
em torno dele em órbitas circulares.
(
) A Terra ocupa o centro do
universo. O Sol, a Lua e as estrelas
estão incrustados em esferas que
giram em torno dela.
09. Julgue as afirmativas abaixo:
I - II
0 - 0 Um satélite artificial deve ser colocado em órbita em regiões
fora da atmosfera terrestre, para que a força de resistência do ar
não interfira no movimento do satélite.
1 - 1 A força de atração da Terra sobre um satélite em órbita
circular faz variar a direção do seu movimento.
(A informação a seguir é para as proposições 2-2 e 3-3)
I - II
Três satélites A, B e C estão em órbitas circulares, em torno da
Terra. O raio da órbita de A é igual ao raio da órbita de B e
menor que o raio da órbita de C.
2 - 2 A velocidade do satélite A é igual à velocidade do satélite B.
3 - 3 O período do satélite A é menor que o período do satélite C.
4 - 4 À distância de 5280Km da superfície da Terra, a aceleração
da gravidade é igual à metade do seu valor no nível do mar. (RT
6
= 6,37x10 m)
10. Um satélite da Terra está descrevendo uma órbita elíptica
estável, como se mostra na figura abaixo: (A e B são pontos da
trajetória)
0 - 0 No afélio, a velocidade do planeta é maior do que no
periélio.
1 - 1 O tempo gasto pelo planeta para ir de A até B é maior que
para ir de D até E.
2 - 2 O movimento de D para A é retardado e o movimento de
B para C é acelerado.
3 - 3 O período de revolução de qualquer planeta do sistema
solar é proporcional à raiz quadrada do cubo de sua distância
média ao Sol.
4 - 4 A velocidade angular de um satélite da Terra pode ser
ajustada de modo que ele permaneça parado em relação a um
ponto fixo na Terra.
03. (CESESP-PE) Ao ser argüido sobre movimento dos planetas,
um aluno escreveu os seguintes enunciados para as leis de
Kepler:
I - Todos os planetas movem-se em órbitas elípticas, com o Sol
ocupando sempre um dos seus focos (lei das órbitas).
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II - Uma reta ligando qualquer planeta ao Sol "varre" áreas iguais
em tempos iguais (lei das áreas).
2 3
III - A razão R /T , na qual R é a distância média entre o planeta
e o Sol, e T, seu período de revolução em redor do Sol, é a
mesma para todos os planetas (lei dos períodos).
Dos enunciados acima:
a) apenas o I está correto
b) apenas o II está correto
c) I e II estão corretos.
d) II e III estão corretos.
e) todos estão corretos
04. (CESCEM-SP) De acordo com uma das leis de Kepler, cada
planeta completa ("varre") áreas iguais em tempos iguais em
torno do Sol. Como as órbitas são elípticas e o Sol ocupa um dos
focos, conclui-se:
I - Quando o planeta está mais próximo do Sol, sua velocidade
aumenta.
II - Quando o planeta está mais distante do Sol, sua velocidade
aumenta.
III - A velocidade do planeta em sua órbita elíptica independe da
sua posição relativa ao Sol.
a) I está correta.
b) II está correta.
c) II e III estão corretas.
d) Todas as proposições estão corretas.
1. Modelo dos
e) Nenhuma das respostas anteriores está correta.
gregos (século
III a.C.)
05. (COVEST/93-F-3) Um satélite descreve uma
2. Sistema de
órbita circular em torno da Terra com período T 1. O
Ptolomeu
satélite, então, aciona os foguetes propulsores e
(século II d.C.)
passa a descrever uma outra órbita circular, com
período T2 e raio quatro vezes maior que o
3. Sistema de
anterior. Calcule a relação T2/T1.
Copérnico
(século XVI)
06. Um planeta de massa M tem dois satélites de
massas m1 e m2 = 2 m1, em órbitas circulares de
raios R1 e R2 = 3R1. Sejam respectivamente, F1 e F2 as
intensidades das forças gravitacionais que o planeta exerce
sobre os satélites. Determine a razão
F1
F2
.
07. (STA.CASA/SP) No gráfico está representado o módulo da
força (F) de atração gravitacional entre um planeta esférico e
homogêneo e um corpo, em função da distância (D) entre o
centro de massa do corpo e a superfície do planeta. Qual é, em
metros, o raio do planeta?
+ qd +
08. (VUNESP/SP) Um planeta de massa mp possui dois satélites
de massas m1 e m2, em órbitas circulares de raios r1 e r2 tal que
r2 = 3r1. Se o planeta exerce sobre os satélites forças F1 e F2, tais
que F1 = 2F2, obtenha a relação entre as massas dos satélites
(m2/m1) e a relação entre suas acelerações centrípetas (a2/a1).
09. (SANTA CASA/SP) A razão entre os diâmetros dos planetas
Marte e Terra é 1/2 e entre suas respectivas massas é 1/10.
Sendo de 160 N o peso de um garoto na Terra, pode-se concluir
que seu peso em Marte será:
A) 160 N
B) 80 N
C) 60 N
D) 32 N
E) 64 N
10. (MACKENZIE/SP) Que alteração sofreria o módulo da
aceleração da gravidade, se a massa da Terra fosse reduzida à
metade e seu raio diminuído de 1/4 do seu valor real?
11. (F.M.ABC/SP) Admita que o raio da Terra é R = 6400 km.
Um astronauta terá seu peso reduzido a 4/9 do peso que tem na
superfície da Terra, quando o mesmo estiver a uma altitude de:
A) 6400 km
B) 12800 km
C) 3200 km
D) 1600 km
E) 5000 km
12. (COVEST/03-F-3) Dois satélites artificiais A e B, em órbitas
circulares em torno da Terra, têm raios orbitais satisfazendo a
relação RA/RB = 1/4. Qual é a razão vA/vB entre as suas
velocidades escalares orbitais?
13. (MED.ABC/SP) Se a Lua tivesse o triplo da massa que tem e
sua órbita fosse a mesma, o seu período de revolução em torno
da Terra seria:
A) duplicado
B) 1/3 do valor atual.
C) 9 vezes o valor atual.
D) 1/9 do valor atual.
E) o mesmo valor atual.
14. (PUC-MG) Um satélite artificial está em órbita circular em
torno da Terra, no plano do Equador, a uma certa distância d em
relação ao centro do planeta. Em relação a esse satélite, é
incorreto afirmar que:
A) para fazê-lo alcançar uma órbita mais externa, é necessário,
inicialmente, aumentar sua velocidade tangencial e, em seguida,
reduzi-la.
B) se a velocidade tangencial do satélite tem módulo constante,
não existe aceleração atuando sobre ele.
C) se o satélite é estacionário, seu período de translação é igual
a 24 horas.
D) sua velocidade tangencial tem um módulo que pode ser
calculado pela relação v =
, na qual g é a constante
de gravitação universal e m, a massa da terra.
E) a força centrípeta que o mantém em órbita é a força de
atração gravitacional que a terra exerce sobre ele.
A) 3000
B) 2500
C) 2000
D) 1500
E) 1000
15. (PUC/MG) Um satélite da Terra está descrevendo uma órbita
elíptica como se mostra. É correto afirmar que:
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A) não há variação de energia cinética do satélite.
B) não há variação de energia potencial do satélite.
C) sua energia cinética é maior em a.
D) sua energia potencial é maior em c.
E) sua energia total é maior em b.
16. (COVEST/98-F-3) Uma estação espacial de massa igual a 20
7
toneladas descreve uma órbita de raio 6,0 x 10 m em torno da
Terra. Após o lançamento de um satélite a massa da estação se
reduz para 15 toneladas. Qual deve ser o raio da nova órbita da
6
estação, em unidades de 10 m, se sua energia potencial
gravitacional se mantiver a mesma de antes do lançamento do
satélite?
17. (RUMO 2006) Considere que a Terra seja uma esfera
perfeita e homogênea, de raio R. Seja g a aceleração da
gravidade na superfície terrestre. Uma massa M encontra-se a
uma distância D > 2R do centro da Terra. Nessa situação, caso
se desprezem os movimentos da Terra, é verdadeiro afirmar que
o módulo da energia potencial gravitacional do sistema formado
pela Terra e pela massa M é igual a:
A) MgD, em relação ao centro da Terra.
2
B) MgD /R em relação à superfície da Terra.
2
C) MgR /D, em relação ao infinito.
D) MgD, em relação à superfície da Terra.
2
E) MgR /D, em relação ao centro da Terra.
18. Estima-se que, em alguns bilhões de anos, o raio médio da
órbita da Lua está 50% maior do que é atualmente. Nessa época
seu período que hoje é 27 dias, seria aproximadamente:
A) 14,1 dias
B) 18,2 dias.
C) 27,3 dias
D) 41 dias.
E) 50 dias.
GABARITO:
01. D
02. FFFVV
03. C
04. A
07. E
08. m2/m1 = 4,5 ; a2/a1 = 0,11
a ter 8/9 do seu valor atual
11. C
14. B
15. C
16. 45 17. C
18. E
05. 08
09. E
12. 02
06. 4,5
10. Passaria
13. E
57