Apostila de Revisão de G.A. – Prof. Maluf 01

Apostila de Revisão de G.A. – Prof. Maluf
01 - (FUVEST SP)
05 - (MACK SP)
Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices
consecutivos de um paralelogramo ABCD situado
no primeiro quadrante. O lado AD é
perpendicular à reta y = - 2x e o ponto D pertence
à circunferência de centro na origem e raio
A melhor representação gráfica dos pontos (x, y)
tais que x  3  1  y² é:
a.
y
5.
Então, as coordenadas de C são:
a)
(6, 2)
b)
(6, 1)
c)
(5, 3)
d)
(5, 2)
e)
(5, 1)
-3
0
x
b.
y
0
x
02 - (PUC RJ)
Qual a área do triângulo delimitado pelos pontos
(0, 0), (2, 2), e (1, 3)?
-3
c.
y
03 - (MACK SP)
-3
A reta que passa pelo centro da circunferência x2
+ y2 + 6x + 4y + 12 = 0 e é paralela à bissetriz
dos quadrantes pares tem equação:
a)
x+y+5=0
b)
x+y–5=0
c)
5x + 5y + 1 = 0
d)
x + y –1 = 0
0
d.
x
y
-3
0
x
e) x + y + 1 = 0
e.
y
04 - (MACK SP)
O raio da circunferência que passa pelos pontos
(1,3) e (3,1) e que tem centro na reta x – 4 = 0, é:
a)
5
b)
2
c)
10
d)
2 2
e)
2 5
-3
0
x
06 - (MACK SP)
O círculo de centro A e tangente à reta r da figura
tem área:
y
A
r
b)
3
2
c)
–1
d)
1
2
2
e)
1
x
-1
09 - (UFU MG)
a)
4π
5
b)
5π
4
c)
3π
5
d)
π
5
e)
3π
4
Considere, no plano cartesiano com origem O,
um triângulo cujos vértices A, B e C têm
coordenadas
(-1,0),
(0,4)
e
(2,0),
respectivamente. Se M e N são pontos médios
de AB e BC , respectivamente, a área do
triângulo OMN será igual a
a)
5 u.a
3
b)
8 u.a
5
c)
d)
1 u.a
3 u.a
2
07 - (PUCCampinas SP)
10 - (UFU MG)
São dadas a reta r, de equação
y  33x , e a
circunferência , de equação x2 + y2 – 4x = 0
centro de  e as intersecções de r e 
determinam um triângulo cuja área é
b)
c)
d)
e)
conjunto C = {Q   tal que
3
a)
Em um plano cartesiano , Q = (x, y) é um ponto
arbitrário e P = (1,0) é um ponto fixo. Denotamos
por d(A,B) a distância entre quaisquer dois
pontos A e B pertencentes a . Considere o
2 d(G,Q) =
d(Q,P)}, em que G = (0,0) é a origem de . Então,
3
2 3
a)
C é a parábola de equação y   x 2  1 x .
2
b)
C é a parábola de equação y = x2 + 2.
c)
C é a reta de equação
d)
C é o círculo de centro em (1,0) e raio 1.
e)
C é o círculo de centro em (-1,0) e raio
.
6
y 1x1 .
2
4
3 3
08 - (PUC MG)
2
O raio da circunferência de equação x2 + y2 – x +
y + c = 0 mede 3 unidades de comprimento.
2
Nessas condições, o valor da constante c é igual
a:
a)
7
4
11 - (UFU MG)
Considere a reta r de equação dada por y = 100x
+ (100)2. Dessa forma, o número de retas de
equações do tipo y = ax, com a  IN, que
interceptam r em pontos de coordenadas (x,y)
em que x, y  IN é igual a
16 - (UFJF MG)
Sejam r e s as retas cujas equações são,
a)
50
respectivamente, y = -x + 3 e y = 3 x + 3. A área
b)
25
sombreada na figura abaixo, em unidade de
área, é: y
c)
75
d)
100
2
1
12 - (EFEI MG)
-1
Uma reta r1 tem inclinação de 135o e passa pelo
ponto P(3,5). Determine a equação da reta r2 que
é perpendicular à reta r1 e passa pelo ponto
Q(5,3).
1
x
s
r
a)
5,5
b)
3,5
c)
11
d)
7
13 - (EFEI MG)
Um paisagista necessita colocar um poste de luz
em uma área de jardim triangular e esse ponto
deve ser de tal forma que ilumine os vértices
dessa área com a mesma intensidade. Admitindo
que, num plano cartesiano xy, os vértices do
triângulo que delimita essa área sejam os pontos
A(10,9), B(-4,-5) e C(-6,9), em que ponto P do
plano deve ser colocado o poste?
17 - (UNICAMP SP)
As curvas de equações y = x² - 3x + 4 e y = 3x +
1 interceptam-se nos pontos A e B. O ponto M,
médio do segmento
a)
3 
b)
3;10  3 6 
c)
(3; 10)
d)
(3; 8)
e)
(3; 4)
14 - (UFJF MG)
Consideremos as circunferências C1 e C2 de
equações x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0 e x2 + y2 – 4x
– 2y – 4 = 0, respectivamente. É correto afirmar
que:
a)
C1 é tangente ao eixo das abscissas.
b)
C1 e C2 se interceptam em um único ponto.
c)
C1 e C2 se interceptam em dois pontos.
d)
C1 e C2 não se interceptam.
6 ;10
AB , é

18 - (FGV )
15 - (UFJF MG)
Consideramos a reta y = 2x + 2. Se P0 = (x0, y0) é
o ponto dessa reta mais próximo da origem dos
eixos coordenados, então podemos afirmar que:
a)
x0 = 2/5
b)
y0 = 4/5
c)
x20 + y20 = 2/5
d)
x20 + y20 = 4/5
A reta de equação y = x – 1 determina, na
circunferência de equação x² + y²= 13, uma corda
de comprimento:
a)
4 2
b)
5 2
c)
6 2
d)
7 2
e)
Os vértices de um triângulo ABC no plano
8 2
cartesiano são: A=(1, 0), B=(0, 1) e C=(0,
3 ).
Então, o ângulo BÂC mede:
19 - (FGV )
a)
60º
No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1,
2), B(m, 4) e C(0, 6) é retângulo em A. O valor de
m é igual a:
b)
45º
c)
30º
a)
7
d)
18º
b)
8
e)
15º
c)
9
d)
50
e)
51
23 - (FUVEST SP)
O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano,
cujas coordenadas satisfazem a equação (x2 + y2
+ 1)(2x + 3y – 1) (3x – 2y + 3) = 0, pode ser
representado, graficamente, por:
20 - (UFU MG)
a.
y
A equação da parábola cujos pontos de
coordenadas (x,y) são eqüidistantes da reta y = 1 e do ponto (1,0) é
a)
y = x2
b)
y = x2 – 1
c)
y = 1 – x2
x
b.
y
2
d)
y  1 x
e)
2
y x x
2
x
2
21 - (UFMG)
c.
y
A reta r passa pelo ponto (16, 11) e não
intercepta
a
reta
e
equação
y  x 5.
2
Considerando-se os seguintes pontos, o único
que pertence à reta r é:
a)
(7, 6)
b)
(7, 13 )
c)
(7, 7)
d)
(7, 15 )
2
x
d.
y
x
2
22 - (FUVEST SP)
24 - (FUVEST SP)
y2
x 2  2  94
e a reta y = 2x + 1, do
b)
3
plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e
B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do
c)
4
  23 , 13 
d)
5

e)
6
A elipse
segmento
a)
b)
AB
2 , 7
3
3
é:

c)
 13 , 53 
d)
  13 , 13 
e)
  14 , 12 
28 - (FUVEST SP)
Das regiões hachuradas na seqüência, a que
melhor representa o conjunto dos pontos (x, y),
do plano cartesiano, satisfazendo ao conjunto de
desigualdades x  0; y  0; x – y + 1  0; x² + y² 
9, é:
a. y
25 - (FUVEST SP)
x
Sendo P = (a,b) um ponto qualquer da
circunferência de centro na origem e raio 1, que
satisfaça b > 0 e a  b, pode-se afirmar que
log

b3
a b2
2
a)
0
b)
1
c)
–log b
d)
log b
e)
2 log b
 a 4  1 

 b4

b. y
vale:
x
c.
y
x
d. y
x
26 - (FUVEST SP)
A hipotenusa de um triângulo está contida na reta
r:y = 5x – 13, e um de seus catetos está contido
na reta s:y = x – 1. Se o vértice onde está o
ângulo reto é um ponto da forma (k,5) sobre a
reta s, determine
a)
todos os vértices do triângulo;
b)
a área do triângulo
27 - (FUVEST SP)
Uma circunferência passa pelos pontos (2, 0) (2,
4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa
circunferência à origem é:
a)
2
29 - (FUVEST SP)
Uma reta r determina, no primeiro quadrante do
plano cartesiano, um triângulo isósceles cujos
vértices são a origem e os pontos onde a reta
intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área desse
triângulo é 18, a equação de r é:
a)
x–y=4
b)
x – y = 16
c)
x+y=2
d)
x+y=4
e)
x+y=6
e)
1 m 
30 - (VUNESP SP)
Os vértices da base de um triângulo isósceles
são os pontos (1, –1) e (–3, 4) de um sistema de
coordenadas cartesianas retangulares. Qual a
ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao
eixo das ordenadas?
31 - (FUVEST SP)
Uma reta passa pelo ponto P(1, 3) e é tangente à
circunferência de centro C (1, 1) e raio 1 num
ponto T. Então a medida do segmento PT é:
33 - (FUVEST SP)
As retas r e s são perpendiculares e interceptamse no ponto (2,4). A reta s passa pelo ponto (0,5).
Uma equação da reta r é
a)
2y + x = 10
b)
y=x+2
c)
2y – x = 6
d)
2x + y = 8
e)
y = 2x
3
a)
b)
5
3
2
c)
5
d)
6
e)
7
34 - (FUVEST SP)
Na figura ao lado, A é um ponto do plano
cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo
que A está localizado abaixo da reta r e acima da
reta s, tem-se
y
s
32 - (FUVEST SP)
A
1
-2
Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo
ponto (2, 0) e é tangente à circunferência inscrita
no quadrado de vértices (1, 1), (5, 5) e (1, 5).
Então:
-1
0 1
-1
2
x
r
5
a)
y < x e y < -x + 1
2
b)
y < x ou y > -x + 1
2
c)
x < y e y > -x + 1
2
4
3
2
1
1
a)
0m
b)
m
c)
d)
1
3
1
3
1
 m 1
3
m=1
2
3
4
5
d)
–x + 1 < y < x
2
e)
x < y < -x + 1
2
35 - (FUVEST SP)
Considere, no plano cartesiano, os pontos P = (0,
-5) e Q = (0,5). Seja X = (x, y) um ponto qualquer
com x > 0.
a)
Quais são os coeficientes angulares das
retas PX e QX?
b)
Calcule, em função de x e y, a tangente do
ângulo
c)
PX̂Q .
Descreva o lugar geométrico dos pontos X =
(x, y) tais que x > PX̂Q =  radianos.
4
36 - (FUVEST SP)
Sejam A = (0,0), B = (0,5) e C = (4,3) pontos do
plano cartesiano.
a)
Determine o coeficiente angular da reta BC.
b)
Determine a equação da mediatriz do
segmento BC. O ponto A pertence a esta
mediatriz?
A área da região formada pelos pontos (x, y) tais
que x2 + y2  9 é igual a:
a)
3
b)
5
c)
6
d)
8
e)
9
40 - (ITA SP)
c)
Considere a circunferência que passa por A,
B e C. Determine a equação da reta
tangente a esta circunferência no ponto A.
Seja m  R tal que a reta x – 3y – m = 0
determina, na circunferência (x – 1)2 + (y – 3)2 =
25, um corda de comprimento 6. O valor de m é:
a)
10  4 10
b)
2 3
c)
5 2
d)
6  10
e)
3
37 - (FUVEST SP)
A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular
à reta AB onde A = (0,0) e B é o centro da
circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Então a
equação de s é:
a)
x - 2y = -6
b)
x + 2y = 6
c)
x+y=3
d)
y-x=3
e)
2x + y = 6
41 - (ITA SP)
Seja A o ponto de intersecção das retas r e s
dadas, respectivamente, pelas equações x + y =
3 e x – y = –3 . Sejam B e C pontos situados no
primeiro quadrante com B  r e C  s. Sabendo
2 , então a reta
que d(A,B) = d(A,C) =
passando por B e C é dada pela equação.
38 - (Gama Filho RJ)
A reta que contém o ponto A (1,2) e é
perpendicular a reta r, cuja equação é x + y - 7 =
0, intercepta r no ponto cujas coordenadas são:
a)
a)
2x + 3y =1
b)
y=1
c)
y=2
d)
x=1
e)
x=2
(1, 6)
b)
(2, 5)
c)
(3, 4)
d)
(4, 3)
e)
(5, 2)
39 - (Gama Filho RJ)
42 - (ITA SP)
Considere os pontos A: (0, 0), B: (2, 0) e C: (0,
3). Seja P: (x, y) o ponto de intersecção da
bissetrizes internas do triângulo ABC. Então x + y
é igual a:
12
a)
b)
S = r2 sen (2x)
c)
S
1 2
r sen (2x)
2
d)
S
1 2
r cos 2 x
2
e)
S
1 2
r sen 2 x
2
5  13
8
b)
2  11
10
c)
6  13
d)
5
e)
2
46 - (ITA SP)
Calculando-se a área da região limitada por: y 
3 (x + 2) e x2 + (y – 3)2  13 obtém-se:
2
43 - (ITA SP)
Duas retas r e s são dadas, respectivamente,
pelas equações 3x – 4y = 3 e 2x + y = 2. Um
ponto P pertencente à reta s tem abcissa positiva
e dista 22 unidades de medida da reta r. Se ax +
by + c = 0 é a equação da reta que contém P e é
paralela a r, então a + b + c é igual a:
a)
- 132
b)
- 126
c)
- 118
d)
- 114
e)
- 112
a)
2 13
b)
13 
c)
(13  )/2
d)
(3 13) / 2
e)
13 
47 - (ITA SP)
44 - (ITA SP)
Um triângulo equilátero ABC é tal que A: (0, 3),
B:
3
3, 0
 e a abcissa do ponto C é maior que
2. A circunferência circunscrita a este triângulo
tem raio r e centro em O: (a, b). Então a2 + b2 + r2
é igual a:
Dadas as retas (r1):x + 2y – 5 = 0, (r2):x – y – 2 =
0 e (r3):x – 2y – 1 = 0 podemos afirmar que:
a)
são 2 a 2 paralelas
b)
(r1) e (r2) são paralelas
c)
(r1) é perpendicular a (r3)
a)
31.
d)
(r2) é perpendicular a (r3)
b)
32.
e)
c)
33.
as três retas são concorrentes num mesmo
ponto.
d)
34.
e)
35.
45 - (ITA SP)
Um triângulo ABC, retângulo em A, possui área
S. Se x = ABC e r é o raio da circunferência
circunscrita a este triângulo, então:
a)
S = r2 cos (2x)
48 - (ITA SP)
Sendo (r) uma reta dada pela equação x – 2y + 2
= 0, então, a equação da reta (s) simétrica à reta
r em relação ao eixo das abscissas é descrita
por:
a)
x + 2y = 0
b)
3x – y + 3 = 0
c)
2x + 3y + 1 = 0
d)
x + 2y + 2 = 0
e)
x – 2y – 2 = 0
52 - (ITA SP)
49 - (ITA SP)
Uma das circunferências que passa pelo ponto P:
(0, 0) e tangencia as retas (r1):x – y = 0 e (r2):x +
y – 2 = 0 tem sua equação dada por:
a)
(x – 1) + (y + 1) =
b)
(x – 1) + (y + 1) = 2
c)
(x – 1) + (y – 1) = 2
d)
(x + 1)2 + (y – 1)2 =
e)
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 2
2
2
2
2
Dados os pontos A: (0,8), B: (-4,0) e C: (4, 0),
sejam r e s as retas tais que A, B  r, B, C  s.
Considere P1 e P2 os pés das retas
perpendiculares traçadas de P: (5,3) às retas r e
s, respectivamente. Então a equação da reta que
passa por P1 e P2 é:
a)
y+x=5
b)
y + 2x = 5
c)
3y – x = 15
d)
x+y=2
e)
n.d.a.
2
2
2
2
53 - (ITA SP)
Considere as afirmações:
50 - (ITA SP)
A equação da reta bissetriz do ângulo agudo que
a reta y = mx, m > 0 forma com o eixo dos x, é:
I.
a)
y  1
1 m 2
m
x
b)
y  1
1 m 2
m
x
c)
y
1 1 m 2
m
d)
y
1 1 m 2
m
e)
n.d.a.
Uma elipse tem como focos os pontos F 1: (2,0), F2: (2,0) e o eixo maior 12. Sua
2
equação é x
36
II.
y2
 32  1 .
Os focos de uma hipérbole são F1: (  5 ,0),
F2: ( 5 ;0 ) e sua excentricidade é
x
x
10
.
2
Sua equação é 3x2 – 2y2 = 6.
III.
A parábola 2y = x2 – 10x – 100 tem como
vértice o ponto P: (5, 125 ).
2
Então:
51 - (ITA SP)
Seja C a circunferência x + y – 2x – 6y + 5 = 0.
Considere em C a corda AB cujo ponto médio é
M: (2, 2). O comprimento de AB (em unidade de
comprimento) é igual a:
2
a)
2 6
b)
3
c)
2
a)
Todas as afirmações são falsas.
b)
Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas.
c)
Apenas as
verdadeiras.
d)
Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
e)
n.d.a.
afirmações
(I)
e
(II)
são
2
54 - (ITA SP)
d)
2 3
e)
n.d.a.
Seja r a mediatriz do segmento de reta de
extremo: M = (-4, -6) e N = (8, -2). Seja R o raio
da circunferência com centro na origem e que
tangencia a reta r. Então:
a)
Seja
2
7
3
R
C
2
o
centro
x  y 6 2 y  0.
da
circunferência
Considere A e B os
pontos de intersecção desta circunferência com a
y 2x.
R
15
3
reta
c)
R
10
3
a)
6 2 3
b)
4 3 2
d)
10
R
5
c)
2 3
d)
5 3 2
e)
n.d.a.
b)
e)
Nestas condições o perímetro
do triângulo de vértices A, B e C é:
n.d.a.
55 - (ITA SP)
Seja C a circunferência dada pela equação x2 +
y2 + 2x + 6y + 9 = 0. Se P = (a, b) é o ponto em C
mais próximo da origem, então:
a)
a
3
e 4b2 + 24b + 15 = 0
2
58 - (ITA SP)
Considere a reta (r) mediatriz do segmento cujo
extremos são os pontos em que a reta 2x – 3y +
7 = 0 intercepta os eixos coordenados. Então a
distância do ponto
b)
c)
a
a
1
e 4b2 + 24b + 33 = 0
2
10
 1 e b = 3a
10
a)
5 3
2
4
b)
d)
a  1 
e)
n.d.a.
13
10
e b = 3a
10
c)
3 13
d)
2 3
7
56 - (ITA SP)
Sejam as retas (r) e (s) dadas respectivamentes
pelas equações 3x - 4y + 12 = 0 e 3x – 4y + 4 =
0. Considere (L) o lugar geométrico dos centros
das
circunferências
que
tangenciam
simultaneamente (r) e (s). Uma equação que
descreve (L) é dada por:
a)
3x – 4y + 8 = 0.
b)
3x + 4y + 8 = 0.
c)
x – y + 1 = 0.
d)
x + y = 0.
e)
3x – 4y – 8 = 0.
57 - (ITA SP)
1 1
 ,  à reta (r) é:
4 6
2
e)
3
59 - (PUC RJ)
Os pontos A(3,1), B(4,-2) e C(x,7) são colineares.
O valor de x é igual a:
a)
1
b)
2
c)
5
d)
6
e)
7
63 - (PUC SP)
60 - (PUC RJ)
As retas r1 e r2 têm coeficientes angulares
respectivamente iguais a 2 e 3. Uma das
bissetrizes de r1 e r2 tem coeficiente angular
Sejam A, B, C, D vértices consecutivos de um
quadrado tais que A = (1, 3) e B e D pertencem
à reta de equação x – y – 4 = 0. A área desse
quadrado, em unidade de superfície, é igual a
igual a:
a)
36 2
a)
6
b)
32
b)
2 +1
c)
32 2
d)
32
e)
24 2
c)
2,5
d)
3 +1
e)
10 -1
64 - (FGV )
A equação da reta que passa pelo centro da
61 - (PUC RJ)
circunferência
a xb  v
Se
,
o
produto
vetorial
x 2  y 2  x  4y 
9
0
4
e
é
(2a  b ) x (a  3 b ) é igual a:
perpendicular à reta x  k (k é um número real)
é:
a)
4v
a)
y=2
b)
5v
b)
x+y=k
c)
x=2
c)
6 v
d)
x
d)
7v
1
2
e)
12 v
e)
y
1
2
62 - (PUC RJ)
65 - (UNIUBE MG)
Sejam R e S as regiões do plano delimitadas
pelos círculos de equações x2 + y2 = 1 e (x – 1)2 +
y2 = 1, respectivamente. A área de R  S é:
a)
b)
2 3 




2

c)
1 
2 4
d)
2 4 

e)
3
4

8

 3
3
3



Sejam A e B pontos distintos da reta de equação
x = -3 que distam duas unidades da reta de
equação x – 2y + 3. O produto das ordenadas de
AeBé
a)
-5
b)
 5
c)
0
5
d)
e)
5
3
3
66 - (UNIUBE MG)
Um poliedro convexo é formado por 6 faces
quadrangulares e 8 triangulares. O número de
vértices desse polímero é
b)
y – 2x + 3 = 0
c)
2y + x + 3 = 0
a)
8
d)
y + 2x + 9 = 0
b)
10
e)
2y + x – 9 = 0
c)
12
d)
16
e)
24
67 - (UERJ)
Considere a circunferência cuja equação é x2 + y²
- 2x + 4y - 5 = 0.
a)
Calcule o raio da circunferência.
b)
determine a equação da tangente à
circunferência no ponto (2, 1).
68 - (UERJ)
Considere os pontos A (0,0,0), B (1,2,3) e C
(3,2,1) do R3. Utilizando esses pontos, determine:
a)
b)
71 - (UERJ)
São dadas as coordenadas de três pontos no R3 :
A (1, 0, 0); B (-1, 2, 0) e C (2, 0, -1). Baseado
nessas informações:
a)
prove que esses três pontos não pertencem
à mesma linha reta.
b)
escreva a equação cartesiana do plano que
contém esses pontos.
72 - (UERJ)
A superfície de uma antena parabólica pode ser
gerada pela rotação completa de uma parábola
ao redor do seu eixo. A interseção dessa
superfície com qualquer plano perpendicular ao
eixo é um círculo. Observe a figura abaixo:
as coordenadas de um vetor não nulo, do
R³, perpendicular ao plano que contém os
pontos A, B e C;
a equação cartesiana do plano que contém
os pontos A, B E C.
B
onda
.
C
D
A
69 - (UERJ)
O ponto de coordenadas (0,0) pertence às retas r
e s, que são tangentes à circunferência de
equação:
E
x2 + y2 - 12x - 16y + 75 = 0
Considere um círculo de centro (E) e diâmetro
(CD) de 4 metros de comprimento, cuja medida
da distância do centro (E) ao vértice (A) do
parabolóide é 0,5 metro.
a)
Determine as coordenadas do centro e a
medida do raio da circunferência.
a)
b)
Calcule a medida do menor ângulo formado
entre n e s.
Escreva a equação cartesiana da parábola
de foco (B) contida no plano CAD, sendo o
vértice (A) a origem do sistema cartesiano e
o eixo das abscissas paralelo ao diâmetro
CD, como mostra a figura abaixo:
y
C
E
D
70 - (FGV )
Considere os pontos A = (1, –2); B = (–2, 4) e C =
(3, 3).
A
x
A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem
equação:
a)
2y – x – 3 = 0
b) Calcule a distância do vértice (A) ao foco (B).
73 - (UERJ)
75 - (UERJ)
Observe as regiões hachuradas do plano
cartesiano, que correspondem aos pontos que
satisfazem o sistema de inequações abaixo.
y
r
Considere os pontos A, B e C nas condições
mencionadas na tirinha.
s
x
Unidades em cm
a)
 y  x 1
y x
x 2  y 2  4
 x .y  0

Se A, B e C pertencem a uma mesma reta,
calcule a distância entre A e C quando:
· A está situado entre B e C;
· A está situado fora do segmento BC.
b)
Calcule:
a)
o ângulo formado entre as retas r e s.
b)
a área total das regiões hachuradas.
Se A, B e C estiverem no plano cartesiano,
sendo A um ponto móvel, B um ponto do
semi-eixo positivo das abscissas (x) e C a
origem (0,0), determine a equação da linha
descrita pelo ponto A e identifique a curva
correspondente.
74 - (UERJ)
76 - (UERJ)
A figura do R3 abaixo representa uma pirâmide
de base quadrada ABCD em que as
coordenadas são A (0, 0, 0), B (4, 2, 4) e C (0, 6,
6), e o vértice V é eqüidistante dos demais.
Para calcular
3 12
 ,
2 5
Paulo subtraiu os
numeradores e dividiu o resultado por 10
obtendo:
V
3 12 3  12


  0,9
2 5
10
D
a)
A
H
Determine de forma correta o valor da
expressão
C
B
A partir da análise dos dados fornecidos,
determine:
a)
as coordenadas do vértice D e a medida de
cada aresta de base;
b)
as coordenadas cartesianas do ponto V,
considerando que o volume da pirâmide é
igual a 72.
b)
3 12

2 5
.
Considerando que Paulo tenha calculado
com base na fórmula
x y x-y
 
2 5 10
,
onde x e y são reais, identifique o lugar
geométrico dos pontos ( x, y ) do plano
cartesiano que tornam essa igualdade
verdadeira. Esboce, também, o gráfico
cartesiano.
xt


 y  1 t
z  2 2 , t  R

77 - (UERJ)
ABC é um triângulo equilátero de lado 1, cuja
altura relativa ao lado BC é AH. Pode-se afirmar
que
a)
AB  AC.
Essa reta intercepta a superfície esférica de
equação X² + Y² + Z² = 9, nos pontos P e Q. A
distância entre esses pontos é igual a:
b)
(AB, AC)  60.
a)
2
AB  AC  2AH.
b)
2 2
c)
c)
3
d)
4
e)
5
d)
e)
AB  AC  BC.
| AB  AC | 2
81 - (FGV )
78 - (UERJ)
Os pontos A, B e C pertencem a uma mesma
reta. B está entre A e C três vezes mais distante
de C do que de A. Se
valor de t é:
a)
-3
b)
3
c)
–3/4
d)
3/4
e)
1/3
BC  t CA o
79 - (UERJ)
A área do triângulo formado pela reta 3x + 4y - 12
= 0 com os eixos coordenados vale:
a)
6
b)
8
c)
9
d)
10
e)
12
A circunferência  da figura seguinte é tangente
aos eixos x e y e tem equação x2 + y2 – 6x – 6y +
9 = 0. A área da superfície sombreada é
a)
9(  1)
b)
81  9
c)
9(4  )
4
d)
9(9  4)
4
e)
6(6  )
4
82 - (UERJ)
80 - (UERJ)
Considere a reta do R³, representada pelas
equações paramétricas abaixo.
Ao observar, em seu computador, um desenho
como o apresentado abaixo, um estudante
pensou tratar-se de uma curva.
y
Se (p, q) são as coordenadas de um ponto da
elipse, com q² – q  0, então
5
2
1
8
x
Porém, após aumentar muito a figura, verificou
que a tal "curva" era, de fato, um polígono, com o
menor perímetro possível, formado por uma
quantidade finita de lados, todos paralelos ao
eixo x ou ao eixo y. Verificou ainda que esse
polígono possuía um lado em cada uma das
seguintes retas: x = 1, x = 8, y = 2 e y = 5.
Se foi utilizada a mesma unidade de
comprimento em ambos os eixos, a medida do
perímetro desse polígono é:
a)
2 5
b)
2 5 .
c)
2 3
d)
2 3
e)
2.
pp²
é igual a
q ² q
85 - (ITA SP)
a)
10
b)
13
c)
18
ponto A  a , a
20
seja perpendicular à reta tangente à curva em A,
então x = a é raiz dupla da equação em x que se
obtém da intersecção da curva com a
circunferência.”
d)
Considere o seguinte raciocínio de cunho
cartesiano: se a circunferência de centro C = (h,
0) e raio r intercepta a curva y   x , x > 0, no

 de forma que o segmento AC
83 - (ITA SP)
Num sistema de coordenadas cartesianas, duas
retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1 ,
2
Use este raciocínio para mostrar que o
coeficiente angular dessa reta tangente em A é
1 .
2 a
respectivamente, se interceptam na origem 0. Se
B  r e C  s são dois pontos no primeiro
quadrante tais que o segmento BC é
perpendicular a r e a área do triângulo OBC é
igual a 1210–1 , então a distância de B ao eixo
das ordenadas vale
a)
8.
5
b)
4.
5
c)
2.
5
d)
e)
86 - (FGV )
No plano cartesiano, a reta de equação y = x + 1
corta o lado AC do triângulo de vértices A=
(1,7), B = (1,1) e C = (10,1), no ponto
a)
(3,4).
b)
(4,5).
c)
(5,6).
d)
 117 117 

,
1
 2

2


e)
(5,5 ; 4).
1.
5
1.
87 - (CEFET RJ)
84 - (ITA SP)
Seja k > 0 tal que a equação (x2 – x) + k (y2 – y) =
0 define uma elipse com distância focal igual a 2.
São dados os vetores
e

a  (m  2) î  (m  p)ĵ

b  (2p  3m) î  (p - 2) ĵ . Se os dois
vetores
tiverem os mesmos módulo, direção e sentido, o
valor de mp é:
GABARITO:
a)
–9
b)
–8
c)
1
d)
8
e)
9
1) Gab: E
2) Gab: 2
3) Gab: A
4) Gab: C
5) Gab: E
6) Gab: A
7) Gab: A
8) Gab: A
9) Gab: D
10) Gab: E
11) Gab: B
12) Gab: y = x – 2 13) Gab: P(2,3)
14) Gab: D
15) Gab: D
16) Gab: A
17) Gab: C
18) Gab: B
19) Gab: C
20) Gab: E
21) Gab: B
22) Gab: E
23) Gab: D
24) Gab: D
25) Gab: C
88 - (CEFET RJ)
Considere a parábola y = x² - 4x + 6. A equação
da reta que passa pelo vértice da parábola e pelo
ponto onde ela intercepta o eixo 0y é:
a)
2y = x – 6
b)
2x + 3y = 6
c)
y = 2x + 3
d)
2x + y = 6
e)
y = 2x – 6
26) Gab:
89 - (UFF RJ)
Duas circunferências de mesmo raio são
secantes. A reta y = x contém os pontos em que
elas se cortam. Sabendo-se que uma das
circunferências tem por equação x2 + y2 - 6x - 4y
+ 9 = 0, determine a equação da outra.
90 - (UFF RJ)
a)
(6, 5), (3, 2) e (4, 7);
b)
6
27) Gab: D
28) Gab: A
29) Gab: E
30) Gab: 23
10
31) Gab: A
32) Gab: C
33) Gab: E
34) Gab: E
35) Gab:
a)
m PX 
y 5
,x 0,
x
mQX 
y 5
,x 0
x
;
b)
tg 
c)
é o arco da circunferência de centro (5, 0) e
10x
;
x 2  y 2  25
raio 5
positiva
Considere o paralelepípedo retângulo da figura
abaixo:
2
cujos pontos têm abscissa
36) Gab:
y
M
5
N
P
Q
4
a)
–1/2
b)
2x - y = 0. Sim.
c)
x + 2y = 0.
S
x
O
U
z
37) Gab: B
38) Gab: C
39) Gab: E
40) Gab: E
41) Gab: D
42) Gab: A
43) Gab: D
44) Gab: C
45) Gab: C
46) Gab: C
47) Gab: E
48) Gab: D
49) Gab: B
50) Gab: D
51) Gab: D
52) Gab: A
53) Gab: C
54) Gab: D
6
T
Determine:
a)
o produto interno QN . PT .
b)
a equação do plano definido por O, P e N.
55) Gab: C
56) Gab: A
57) Gab: E
58) Gab: B
59) Gab: A
60) Gab: B
61) Gab: B
62) Gab: A
63) Gab: B
64) Gab: A
65) Gab: A
66) Gab: C
67) Gab:
H = (2, 7, -1) ou H = (-2, -1, 7)
75) Gab:
a)
A situa–se entre BC  AC  3,3cm
A situa-se fora de BC 10cm
b)
3x2 + 3y2 -40x + 100 = 0. circunferência .
76) Gab:
10
a)
b)
b)
x = 3y – 5 = 0
68) Gab:
a)

n  α.(1,2, 1), α  R *
b)
x – 2y + z = 0
a)
– 0,9
b)
Reta
y
4
69) Gab:
a)
centro é C (6 . 8) e o raio igual a 5.
b)
60 graus.
70) Gab: A
71) Gab:
a)
78) Gab: C
79) Gab: A
80) Gab: A
81) Gab: C
82) Gab: D
AC  (1, 0,  1)
84) Gab: sem resposta. Se a condição dada fosse k >
1, a resposta seria a alternativa A.
logo A, B e C não estão
alinhados.
  
i j k
AB x AC  - 2 2 0
1 0 -1

= - 2i
 
- 2 j - 2k
72) Gab:
y = 1/8x2
b) a distância é 2.
73) Gab:
a)
O ângulo é de 90o
b)
A
1  2π
u.a
4
74) Gab:

a medida de cada lado |
85) Gab: demonstração
86) Gab: B
87) Gab: B
89) Gab: x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0
equação do plano -2x - 2y -2z + D = 0.
Substituindo A ( 1, 0, 0) obtém D = 2, daí x +
y + z -1 = 0.
a)
77) Gab: C
83) Gab: B
AB  k.AC ,
a)
x
AB  (2,2,0)
não existe k pertencente ao reais tal que
b)
1
AB | é igual a 6
90) Gab:
PT
a)
QN .
b)
5z – 4y = 0
88) Gab: D