Ficha 2

Álgebra Linear – 2013/2014 – 2º semestre
Exercícios suplementares
Ficha 2 –Capítulos 2 e 3: sistemas de equações lineares e determinantes
1. Seja A uma matriz de ordem n. Mostre que se A é invertível, então o seu
determinante é não nulo.
 1 1 2
 1


2. Considere A   1 0 0 ,   R e B   0  ,   R .


 
 2 0  
  
a) Determine os valores de  para os quais A é invertível.
b) Considere  = 4. Calcule o determinante da matriz C  2 A 1 .
c) Discuta, em função de  e de  , o sistema AX  B .
3. Considere o sistema:
 x1  2 x2

( S )  x1
 3x3
x  2x
2
 1
 kx4
 a
 0 , com a, b, k  R .
 b
a) Determine os valores de a, b e k para os quais o sistema (S) é possível.
b) Determine as soluções do sistema homogéneo associado a (S) para k = 2.
 2 2 2
0 


4. Considere A   2 5 a , a  R e B  1  , k  R .


 
 8 1 4
k 
a) Discuta o sistema AX  B em função dos valores de a e de k.
b) Resolva o sistema AX  B para a = 2 e k  1.
5. Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n. Sabendo que: A  B  2 , C  3
e XA  XB  C , determine a matriz X e calcule X .
6. Indique, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
a) Um sistema de equações lineares com igual número de equações e de
incógnitas tem uma única solução.
b) Um sistema de equações lineares com igual número de equações e
incógnitas tem pelo menos uma solução.
c) Um sistema de equações lineares com mais equações do que incógnitas
pode ter uma infinidade de soluções.
c) Um sistema de equações lineares com menos equações do que incógnitas
pode não ter solução.
 A11 A12 A13 
7. Considere a matriz A   A21 A22 A23  , tal que A  4 . Indique, justificando, o


 A31 A32 A33 
valor dos seguintes determinantes:
A11
a) A12
A13
A21
A22
A23
A31
A32 ;
A33
b) 2 A ;
2 A11
c) 2 A21
2 A31
A12
A22
A32
A13
A23 ;
A33
A11
d) A31
A21
A12
A32
A22
A13
A33 .
A23