Determine de modo que o número complexo seja imaginário puro

1. Determine 𝑘 de modo que o número complexo 𝑧 = (𝑘 + 5) − 4𝑖 seja imaginário puro.
2. Ache 𝑚 para que o número complexo 𝑧 = 1 + (𝑚2 − 81)𝑖 seja um número real.
3. Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.
4. Dê o conjugado de cada um dos complexos a seguir:
5.
a) 𝑧 = 7 + 3𝑖
c) 𝑧 = 5𝑖
b) 𝑧 = √2 − √3𝑖
d) 𝑧 = −𝑖 − 4
Os números 𝑥 e 𝑦 são reais. Os complexos 3𝑥 − 2 + 𝑦𝑖 − 5𝑖 e 4𝑦 + 1 − 𝑥𝑖 + 3𝑖 são iguais.
Assim sendo, calcule 𝑥 − 3𝑦.
6. (UFMT) O número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é representado geometricamente por um ponto
𝑃(𝑎, 𝑏) no plano de Argand-Gauss que se denomina de afixo. Seja 𝑧 = 2 + 3𝑖 e 𝑧̅ seu
conjuado. Os afixos de 𝑧, 𝑧̅, −𝑧 e − 𝑧̅, representados no plano de Argand-Gauss, são os vértices
de um quadrilátero 𝑄. Determine o perímetro de Q.
7. Dados 𝑧1 = 4 + 𝑖, 𝑧2 = −1 + 2𝑖 e 𝑧3 = 5 − 3𝑖, calcule:
a) 𝑧1 + 𝑧2 − 𝑧3
c) 𝑧̅1 + 𝑧̅2 − 𝑧̅3
1
d) 2(𝑧1 + 𝑧̅2 ) + 5𝑧̅3
b) 2𝑧1 − 4𝑧2 + 2 𝑧3
8. Determine o número complexo 𝑧 tal que 2𝑧 + 3𝑧̅ = 4 − 𝑖.
9. Determine 𝑎 e 𝑏 pertencentes ao conjunto ℝ, de modo que (𝑎 + 8𝑎𝑖) + (−4 + 𝑏𝑖) seja uma
imaginário puro.
10. Efetue:
1
1
a) (2 + 𝑖)(2 − 𝑖)
b) (1 + 𝑖)(2 − 𝑖)(3 + 2𝑖)
c) (−1 + 3𝑖)(1 − 𝑖) − 2𝑖(5 + 2𝑖)
d) (2𝑖 − 1)(1 − 𝑖)2 (2 − 3𝑖)
11. (UFPR) Na função 𝑓(𝑎 + 𝑏𝑖) = det [
𝑎 + 𝑏𝑖
−𝑖
1+𝑖
], 𝑎 e 𝑏 são números reais e i é a unidade
1 − 2𝑖
imaginária. Considerando que para calcular o determinante acima usa-se a mesma regra de
determinantes de matrizes de números reais:
a) Calcule 𝑓(1 + 𝑖) e 𝑓(0).
b) Encontre números reais 𝑎 e 𝑏 tais que 𝑓(𝑎 + 𝑏𝑖) = 0.
12. Sabendo que 𝑧 2 = −8 + 6𝑖, calcule 𝑧.
𝑧
13. Sendo 𝑧 = 1 − 3𝑖 e 𝑤 = 1 − 𝑖, calcule 𝑤.
14. Calcule
(2+3𝑖)(2−4𝑖)
1+𝑖
.
15. Se 3𝑧 + 𝑖𝑧̅ = 3 − 7𝑖, onde i é a unidade imaginária e 𝑧 é um número complexo, calcule
𝑧
1−2𝑖
.
16. Ache os valores reais de 𝑚 e 𝑛 (𝑚 ≠ 0 e 𝑛 ≠ 0) que tornam verdadeira a igualdade: 4 +
3𝑖
𝑚+𝑛𝑖
= 1 + 2𝑖
2
2
𝑥
17. Determine 𝑥 real de modo que o número complexo 𝑧 = 𝑖 + 3−𝑖 − 3+𝑖 seja:
a) Imaginário puro
b) Real