Apostila 2 - Portal do aluno RUMO

Função composta
Observe o esquema abaixo:
Sendo 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑔: 𝐵 → 𝐶, a função
composta de g com f é a função ℎ: 𝐴 → 𝐶,
definida por ℎ(𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)]. Essa função
será representada por ℎ(𝑥) = (𝑔 ∘ f)(x).
("lê-se g bola f").
Exemplo: Sejam 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 3. Temos que:


𝑓(2) = 5(2) + 2 = 12.
𝑔(3) = (3)2 − 3 = 6.

(𝑔 ∘ f)(−1) = g[f(−1)] . Primeiro, calculamos 𝑓(−1) = 5(−1) + 2 = −3 . Em
seguida, calculamos g[f(−1)] = g(−3) = (−3)2 − 3 = 9 − 3 = 6.
(f ∘ g)(x) = f[g(x)]. Na função f, substituímos x por 𝑔(𝑥):
f[g(x)] = 5[g(x)] + 2 = 5(x 2 − 3) + 2 = 5x 2 − 15 + 2 = 5x 2 − 13.
(g ∘ f)(x) = g[f(x)]. Da mesma forma, em g, substituímos x por 𝑓(𝑥):
𝑔[𝑓(𝑥)] = (5𝑥 + 2)2 − 3 = 25𝑥 2 + 20𝑥 + 4 − 3 = 25𝑥 2 + 20𝑥 + 1.




𝑔[𝑓(2)] = 𝑔(12) = (12)2 − 3 = 141.
𝑓[𝑔(3)] = 𝑓(6) = 5(6) + 2 = 32.
Exercício
1) (PUC-SP) Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2, então 𝑔(𝑓(0)) é igual a:
Função inversa
Observe a representação, em diagramas,
de uma função bijetora 𝑓: 𝐴 → 𝐵 :
Note que, invertendo os sentidos das
flechas, continuamos com a representação
de uma função, agora de B em A:
Esta nova função é chamada função inversa de f e representada como 𝑓 −1 . Note, ainda, que o
domínio de f é o conjunto imagem de 𝑓 −1, e vice-versa.
Determinação da função inversa
Para determinarmos a inversa de uma função f, quando existir, usamos uma regra prática:
1. Substituímos x por y e y por x.
2. Isolamos y.
Exemplo: Vamos calcular a inversa de
Primeiro, trocamos x por y e y por x. Então,
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2.
𝑦 = 3𝑥 + 2 fica 𝑥 = 3𝑦 + 2.
𝑥−2
Agora isolamos o y. Assim, 𝑥 = 3𝑦 + 2 ⇔ 𝑥 − 2 = 3𝑦 ⇔ 3 = 𝑦.
Logo, 𝑓 −1 (𝑥) =
𝑥−2
3
.
Exercício
1
1) (Iesville-SC) Se 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥 é a função real de variável real, definida para 𝑥 ≠ 0 e 𝑥 ≠ 2,
sua função inversa é:
Função exponencial
Definição: Sendo 𝑏 um número real positivo e 𝑏 ≠ 1, chama-se função exponencial toda
função 𝑓: ℝ → ℝ∗+ , definida por 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑥 .
Gráficos da função exponencial
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente, dependendo do valor de b. Vamos
construir, como exemplo, os gráficos das funções:
1 𝑥
𝑓(𝑥) = 2𝑥
g(𝑥) = (2)
Propriedades
a) Se 𝑏 > 0, então 𝑏 𝑥 > 0
b) Se 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑏 ≠ 1 𝑒 𝑏 𝑛 = 𝑏 𝑚 , então 𝑛 =
𝑚.
c) Se 𝑏 > 1, temos que a função será
crescente.
d) Se 0 < 𝑏 < 1, a função será
decrescente.
Exemplo: Após t anos, um capital de 100 reais aplicado à uma taxa de 44% ao ano resultará em
um montante (capital somado ao juros) de 𝑀𝑡 = 100(1,44)𝑡 .
Vamos calcular o montante após meio ano.
1
144 2
144
12
𝑀1 =
= 100 (
) = 100√
= 100
= 120
100
100
10
2
Logo, o montante será de R$120,00.
1
100(1,44)2
Exercício
1) (UFAM) Em pesquisa realizada, constatou-se que a população p de determinada bactéria
cresce segundo a expressão 𝑝(𝑡) = 25 ∙ 2𝑡 , em que t representa o tempo em horas.
Determine o tempo necessário para se atingir uma população de 400 bactérias.
Equação exponencial
Definição: Uma equação é chamada exponencial quando houver incógnita num expoente.
Raízes da equação
Raízes são valores que tornam a sentença verdadeira. Também são denominadas zeros da
função.
Exemplo: a raiz da equação 3𝑥 = 9 é 𝑥 = 2, pois 3𝑥 = 9 ⇔ 3𝑥 = 32 ⇔ 𝑥 = 2.
Conjunto Solução
Em ℝ, o conjunto solução é o conjunto formado pelas raízes da equação.
Exemplo: Para 3𝑥 = 9, o conjunto solução é 𝑆 = {2}.
Resolver uma equação significa encontrar seu conjunto solução.
Exercício
2
1
1) (Unatec-MG) A soma dos valores de x que satisfazem a equação 2𝑥 −3𝑥 = é:
4
Inequação exponencial
Vimos que:


Se 𝑏 > 1, então 𝑏 𝑛 > 𝑏 𝑚 ⟺ 𝑛 > 𝑚
Se 0 < 𝑏 < 1, então 𝑏 𝑛 > 𝑏 𝑚 ⟺ 𝑛 < 𝑚
Podemos fazer a seguinte generalização:


Se 𝑏 ∈ 𝑅 𝑒 𝑏 > 1, então 𝑏 𝑓(𝑥1 ) > 𝑏 𝑓(𝑥2 ) ⟺ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )
Se 𝑏 ∈ 𝑅 𝑒 0 < 𝑏 < 1, então 𝑏 𝑓(𝑥1 ) > 𝑏 𝑓(𝑥2 ) ⟺ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )
Exemplo: Se quisermos saber quais valores de x tornam a sentença 3𝑥 > 9 verdadeira,
fazemos 3𝑥 > 9 ⇔ 3𝑥 > 32 . Como a base 3 é maior que 1, temos que 𝑥 > 2 . Logo, o
conjunto solução de 3𝑥 > 9 é o conjunto 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 2}.
Exercício
1) (UEM-PR) O conjunto dos valores reais de x que satisfazem a inequação 2𝑥 − 2 ≤ 8 ∙ 2−𝑥 é:
Logaritmo
Vimos que para resolver a equação exponencial 2𝑥 = 16 devemos igualar as bases e, em
seguida, fazemos a potência do primeiro membro igual à potência do segundo. Então, 2𝑥 =
16 ⇔ 2𝑥 = 24 ⇔ 𝑥 = 4.
Mas, e quando não conseguirmos trabalhar com bases iguais?
Por exemplo, 2𝑥 = 3. Devemos então aplicar a teoria de logaritmos que veremos a seguir.
Definição Sejam a e b dois números reais positivos, sendo que 𝑎 ≠ 1. Chama-se logaritmo de b
na base a o número a que se deve elevar a para que essa potência seja igual à b.
Notação: log 𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥 = 𝑏
Exemplo: log 2 8 = 𝑥 ⇔ 2𝑥 = 8 ⇔ 2𝑥 = 23 ⇔ 𝑥 = 3
Definimos também:
 o cologaritmo como sendo colog𝑎 𝑏 = − log 𝑎 𝑏 .
 o antilogaritmo como sendo antilog 𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎𝑏 = 𝑥 .
Propriedades
 log 𝑎 (𝑛 ∙ 𝑚) = log 𝑎 𝑛 + log 𝑎 𝑚
𝑛
log 𝑎 (𝑚)

Observe que:


log 𝑎 𝑏 𝑛 = 𝑛 ∙ log 𝑎 𝑏

log 𝑎𝑛 𝑏 = ∙ log 𝑎 𝑏
= log 𝑎 𝑛 − log 𝑎 𝑚
𝑚
𝑛
log 𝑎 √𝑏 𝑚 = log 𝑎 (𝑏) 𝑛 =
𝑚
𝑛
∙ log 𝑎 𝑏
1
𝑛
Logaritmo natural
O logaritmo natural de b é o logaritmo de b na base e. Ou seja, escrevemos ln 𝑏 = log 𝑒 𝑏 .
O número e é chamado de número de Euler, e podemos encontrar esse número com a
1 𝑛
𝑛
expressão 𝑒 = (1 + ) . Quanto maior o valor de n, mais nos aproximamos do valor de 𝑒 =
2,7182805 ⋯
Mudança de Base
Para mudarmos a base de um logaritmo de
a para c, fazemos a seguinte operação:

log 𝑏
log 𝑎 𝑏 = log𝑐 𝑎
𝑐
Observações

log 𝑏
1
log 𝑎 𝑏 = log𝑏 𝑎 ⇔ log 𝑎 𝑏 = log
𝑏
𝑏𝑎

log 𝑏
log 𝑎 𝑏 = log𝑐 𝑎 ⇔ log 𝑎 𝑏 ∙ log 𝑐 𝑎 = log 𝑐 𝑏
𝑐
Função logarítmica
Definição: Uma função é logarítmica quando há variável no logaritmando.
Notação: 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , sendo 𝑥 > 0, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 .
Observação: As funções logarítmica e exponencial são inversas uma da outra.
Gráfico
Observe os gráficos das funções:
𝑓(𝑥) = log 2 𝑥
𝑔(𝑥) = log
1 𝑥
( )
2
Em relação à base a, temos que quando:
 𝑎 > 1, a função será crescente

0 < 𝑎 < 1, a função será
decrescente
Equação Logarítmica
Para resolvermos uma equação que envolve logaritmos, vamos usar a definição de logaritmo e
as propriedades vistas anteriormente e encontrar os valores possíveis para x.
Em seguida, vamos verificar quais dos valores encontrados respeitam as condições de
existência de todos os logaritmos da equação.
Exemplo: Vamos resolver log 𝑥 + log(𝑥 + 2) = log 8. Aplicando as propriedades, temos
log 𝑥 + log(𝑥 + 2) = log 8 ⇔ log[𝑥(𝑥 + 2)] = log 8 ⇔ 𝑥(𝑥 + 2) = 8 ⇔ 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 0 .
Resolvendo a equação do 2º grau, temos 𝑥 = 2 ou 𝑥 = −4 . Veja que o valor 𝑥 = −4 não
respeita as condições de existência dos logaritmos. Portanto, o conjunto solução é 𝑆 = {2}.
Exercício
1)(Ufersa-RN) Se log 5 = 0,69897, então 6,9897 equivale a:
Inequação logarítmica
Para resolvermos uma inequação que envolve logaritmos, vamos utilizar as propriedades já
vistas para chegar a uma desigualdade entre logaritmos de mesma base.
A diferença é que agora vamos impor as condições de existência dos logaritmos já no começo
da resolução.
Lembre que, quando a base for um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente.
 Assim, temos que se 0 < 𝑎 < 1, então log 𝑎 𝑛 > log 𝑎 𝑚 ⇔ 𝑛 < 𝑚 .
Já quando a base for maior que 1, a função logarítmica é crescente.
 Dessa forma, se 𝑎 > 1, temos que log 𝑎 𝑛 > log 𝑎 𝑚 ⇔ 𝑛 > 𝑚 .
Exemplo: Para resolver a inequação log 1 (2𝑥 − 1) > log 1 (𝑥 + 1) .
5
5
Primeiro, devemos considerar as condições de existência dos logaritmos.
1
 𝑥 + 1 > 0 ⇔ 𝑥 > −1
 2𝑥 − 1 > 0 ⇔ 𝑥 > 2
1
Logo, devemos ter 𝑥 > 2 .
Agora, como a base esta entre 0 e 1, temos que 2𝑥 − 1 < 𝑥 + 1 ⇔ 𝑥 < 2 .
Juntando as duas informações, o conjunto solução da inequação é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |
1
2
< 𝑥 < 2}.
Exercícios
1)(Fabrai-MG) A condição de existência da função 𝑓(𝑥) = log 𝑥−1 (𝑥 2 − 2𝑥 − 3) é:
2)(Emescam-ES) Uma pesquisa determinou que a população de uma certa alga marinha, em
certa região aquosa, é dada por 𝑃(𝑡) = 𝑃0 ∙ 3𝑡 , sendo 𝑃0 a população inicial e t o tempo, dado
em horas. Quanto tempo é necessário para que a população fique 400 vezes maior que a
inicial? (Considere log 2 = 0,3 ; log 3 = 0,5 ; log 5 = 0,7)
3)(Unifor-CE) A única solução real da equação log 2 2𝑥 = log 4 8𝑥 é um número:
4)(Mackenzie-SP) A solução de log 𝑥 (2𝑥 − 1) ≤ 2 é: