Lista de Exercícios 16 - Derivadas de Funções

UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso
Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Lista de Exercícios - Derivadas de Funções Trigonométricas
1) Nos exercícios abaixo, ache a derivada da função.
a) y = x 2 − cos x
y = x 2 − cos x
y ' = 2 x − ( −sen x )
y ' = 2 x + sen x
b) y =
1
− 3sen x
2
1
− 3sen x
2
y ' = 0 − 3cos x
y=
y ' = −3cos x
c) f (t ) = t 2 cos t
f (t ) = t 2 cos t
d
d
f ' (t ) = t 2 ⋅ [cos t ] + cos t ⋅ t 2 
dt
dt
'
2
f (t ) = −sen t ⋅ t + 2t ⋅ cos t
f ' (t ) = t ⋅ ( 2 ⋅ cos t − t ⋅ sen t )
d) g (t ) =
cos t
t
cos t
t
d
d
t ⋅ [cos t ] − cos t ⋅ [t ]
dt
g ' (t ) = dt
2
t
t
⋅
(
−
sen
t
)
−
cos t
g ' (t ) =
2
t
t
⋅
sen
t + cos t
g ' (t ) = −
t2
g (t ) =
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e) y = tg x + x 2
y = tg x + x 2
y ' = sec 2 x + 2 x
f) y = 5 x sec x
y = 5 x sec x
d
d
y ' = 5 x ⋅ [ sec x ] + sec x ⋅ [ 5 x ]
dx
dx
'
y = 5 x ⋅ sec x ⋅ tg x + 5 ⋅ sec x
y ' = 5 sec x ( x ⋅ tg x + 1)
g) y = sen 4 x
y = sen 4 x
d
[4x ]
dx
y ' = 4 cos 4 x
y ' = cos 4 x ⋅
h) y = cos sec x 2
y = cos sec x 2
d
x2 
dx  
y ' = −2 x ⋅ cos sec x 2 ⋅ co tg x 2
y ' = − cos sec x 2 ⋅ co tg x 2 ⋅
2) Nos exercícios abaixo, ache a derivada da função e simplifique a
resposta utilizando as identidades trigonométricas.
a) y = cos2 x
y = cos2 x
y = ( cos x )
2
d
[cos x ]
dx
y ' = 2 ⋅ cos x ⋅ ( −sen x )
y ' = 2 ⋅ cos x ⋅
y ' = −2 ⋅ sen x ⋅ cos x
y ' = −sen2 x
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b) y = cos2 x − sen2 x
y = ( cos x ) − ( sen x )
2
2
y ' = 2 ⋅ cos x ⋅ ( −sen x ) − 2 ⋅ sen x ⋅ cos x
y ' = −2 ⋅ cos x ⋅ sen x − 2 ⋅ sen x ⋅ cos x
y ' = −sen 2 x − sen 2 x
y ' = −2sen 2 x
c) y =
y=
y' =
y' =
y' =
cos x
sen x
cos x
sen x
sen x ⋅
d
d
cos x ] − cos x ⋅ [ sen x ]
[
dx
dx
2
( sen x )
sen x ⋅ ( −sen x ) − cos x ⋅ cos x
sen2 x
−sen2 x − cos2 x
sen2 x
sen2 x + cos2 x
sen2 x
1
y' = −
sen2 x
y ' = − cos sec 2 x
y' = −
d) y = ln sen x
y = ln sen x
1
d
⋅ [ sen x ]
sen x dx
cos x
y' =
sen x
'
y = cotg x
y' =
e) y = ln cos sec x 2 − co tg x 2
y = ln cos sec x 2 − co tg x 2
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1
y' =
⋅
d
cos sec x 2 − co tg x 2 
dx
cos sec x − co tg x
1
y' =
⋅  − cos sec x 2 ⋅ cotg x 2 ⋅ 2 x − ( − cos sec 2 x 2 ) ⋅ 2 x 
2
cos sec x − co tg x 2 
1
y' =
⋅  − cos sec x 2 ⋅ cotg x 2 ⋅ 2 x + cos sec 2 x 2 ⋅ 2 x 
2
2 
cos sec x − co tg x
1
y' =
⋅ 2 x ⋅ cos sec x 2 cos sec x 2 − cotg x 2 
2
2
cos sec x − co tg x
2
2
y ' = 2 x ⋅ cos sec x 2
f) y = tg x − x
y = tg x − x
y ' = sec 2 x − 1
y ' = tg2 x
g) y = sen x
y = sen x
y = ( sen x )
1
2
−1
1
d
⋅ ( sen x ) 2 ⋅ [ sen x ]
2
dx
−1
1
y ' = ⋅ ( sen x ) 2 ⋅ cos x
2
cos x
y' =
2 sen x
y' =
h) y =
1
( xtg x − sec x )
2
1
( xtg x − sec x )
2
d
d
1

y ' =  x ⋅ [ tg x ] + tg x ⋅ [ x ] − sec x ⋅ tg x 
2  dx
dx

1
y' =
x ⋅ sec 2 x + tg x − sec x ⋅ tg x
2
y=
(
)
3) Utilize a diferenciação implícita para achar dy/dx e calcule a
π π 
derivada no ponto de coordenadas  ,  .
2 4
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a) sen x + cos 2y = 1
sen x + cos 2y = 1
dy 

cos x +  −sen 2y ⋅ 2 ⋅
=0
dx 

dy
cos x − sen2y ⋅ 2
=0
dx
dy
sen2y ⋅ 2
= cos x
dx
dy
cos x
=
dx 2 ⋅ sen2y
( ) = 0 =0
( 4) 2 ⋅1
cos π
dy
2
=
dx 2 ⋅ sen 2 ⋅ π
4) Ache uma equação da tangente ao gráfico da função f ( x ) = tg x no
 π

ponto de coordenadas  − , − 1 .
 4

f ( x ) = tg x
f ' ( x ) = sec 2 x =
1
=
cos2 x
1
1
1
1
=
=
= =2
2
1
 π
π 
cos2  −  cos2    2 
2
 4
 4   2 


y − y 0 = m( x − x 0 )

 π 
y − ( −1) = 2 ⋅  x −  −  
 4 

y + 1 = 2x +
y = 2x +
π
2
π
2
−1
5) Nos exercícios abaixo, determine os extremos relativos da função
no intervalo (0, 2π ) .
a) y = 2sen x + sen 2 x
y = 2sen x + sen 2 x
y ' = 2cos x + 2 ⋅ cos 2 x
2cos x + 2 ⋅ cos 2 x = 0
cos x + cos 2 x = 0
( ÷2)
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cos x + 2cos2 x − 1 = 0
2cos2 x + cos x − 1 = 0
Façamos cos x = y
2y 2 + y − 1 = 0
∆ = b 2 − 4ac
∆ = ( +1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −1)
∆ = 1+ 8
∆=9
y=
−1 ± 3
1
⇒ y' =
4
2
e
y '' = −1
Assim sendo:
cos x =
1
π
⇒x=
2
3
ou
x=
5π
3
cos x = −1 ⇒ x = π
Intervalo
Valor de teste
Sinal de f’(x)
Conclusão
(0, π/3)
π/4
+
Crescente
(π/3, π)
(π, 5π/3)
π/2
5π/4
Decrescente Decrescente
Extremos relativos:
 5π
3 3
Mínimo: 
,−

 3
2 

π 3 3 
Máximo:  ,
 3 2 


b) y = x − 2sen x
y = x − 2sen x
y ' = 1 − 2cos x
1 − 2cos x = 0
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(5π/3, 2π)
7π/4
+
Crescente
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cos x =
1
π
⇒x=
2
3
Intervalo
Valor de teste
Sinal de f’(x)
Conclusão
ou
x=
5π
3
(0, π/3)
π/4
Decrescente
(π/3, 5π/3)
π/2
+
Crescente
(5π/3, 2π)
7π/4
Decrescente
Extremos relativos:
π π

Mínimo:  , − 3 
3 3

 5π 5π

Máximo: 
,
+ 3
 3 3

c) y = e − x cos x
y = e − x cos x
d
d
e − x 
y ' = e − x ⋅ [cos x ] + cos x ⋅
dx
dx  
y ' = e − x ⋅ ( −sen x ) + cos x ⋅ ( −e − x )
y ' = −e − x ⋅ (sen x + cos x )
−e − x ⋅ (sen x + cos x ) = 0
Como −e − x ≠ 0 , temos que:
sen x + cos x = 0
sen x = − cos x
x ∈ (2o e 4o ) Quadrantes ⇒ x =
Intervalo
Valor de teste
Sinal de f’(x)
Conclusão
3π
7π
ou x =
4
4
(0, 3π/4)
π/4
Decrescente
(3π/4, 7π/4)
π
+
Crescente
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(7π/4, 2π)
11π/6
Decrescente
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Extremos relativos:
 3π

Mínimo: 
, − 0,06694 
 4

 7π

Máximo: 
, 0,002893 
 4

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