Limites

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
1
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
LIMITES
Noção intuitiva: Considere a função f ( x ) =
x2 −1
, cujo domínio é D( f ) = ℜ − {1} .
x −1
Sabemos que f(x) não está definida para x=1. Suponhamos que, por algum motivo,
desejássemos saber o que acontece com a função nas proximidades de x=1. Vamos
estudar o comportamento da função f(x), quando a variável x se aproxima cada vez mais
do valor 1, neste caso, dizemos que “x tende a 1”, denotado por x→1. Existem dois
“caminhos” pelos quais x pode tender ao valor 1:
- Por valores maiores que x: neste caso dizemos que “x tende a 1 pela direita”, e
denotamos por: x→1+.
- Por valores menores que x: neste caso dizemos que “x tende a 1 pela esquerda”, e
denotamos por: x→1–.
Se x→1+ a função tende para o valor 2 e se x→1– a função tende para o valor 2.
x
1,5
1,3
1,01
1,001
f(x)
2,5
2,3
2,01
2,001
x
0,5
0,8
0,9
0,999
f(x)
1,5
1,8
1,9
1,999
Dizemos que o limite da função f(x) quando “x tende a 1 pela direita” é igual a 2.
Este limite é chamado de Limite Lateral à Direita e representado por: Lim f ( x ) = 2 .
x →1+
Dizemos que o limite da função f(x) quando “x tende a 1 pela esquerda” é igual a 2.
Este limite é chamado de Limite Lateral à Esquerda e representado por: Lim f ( x ) = 2 .
x →1−
Quando os limites laterais são iguais, ou seja: Lim f ( x ) = Lim f ( x ) = 2 , dizemos que existe
x →1+
x →1−
o Limite da função f(x) para x tendo a 1 é igual 2 e escrevemos: Lim x→1f ( x ) = 2 . Portanto,
 x 2 − 1
 = 2.
Lim
x →1 x − 1 


2
(
1
)
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
2
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
Exemplos:
1) Considere a função f ( x ) = x . Vamos analisar o que ocorre quando x tende a zero.
Note que: Lim x = 0 , mas não existe Lim x
x →0 +
x →0 −
Pois, f(x) está definida somente para x ≥ 0
Como Lim x ≠ Lim x
x →0 +
x →0 −
(
–
x→0
Não existe Lim x
x→0
0 x→0+
)
x 2 + 3, se x ≤ 1
2) Considere a função f ( x ) = 
. Vamos analisar o que ocorre quando x
− x + 3, se x > 1
tende a 1.
4
Note que: Lim f ( x ) = 2 e Lim f ( x ) = 4
x →1+
x →1−
2
Como Lim f ( x ) ≠ Lim f ( x )
x →1+
x →1−
→ 1 ←
Não existe Lim f ( x )
x→1
3) Considere a função f ( x ) =
Lim
x →0
−
1
= −∞
x
Como Lim
x → 0−
Lim
x →0
+
1
. Determine o limite da f(x) para x tendendo a +∞, –∞ e 0.
x
1
= +∞
x
1
=0
x → −∞ x
1
=0
x → +∞ x
Lim
Lim
1
1
1
≠ Lim , então não existe o Lim .
+
x
→
0
x x →0 x
x
−∞
←
+∞
0−
→
0+
←
→
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
3
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
4) Considere a função f ( x ) =
Lim
x →0 −
1
x
2
= +∞
Como Lim
x →0 −
x2
Lim
x →0 +
1
x
1
2
= Lim
x →0
1
x
2
. Determine o limite da f(x) para x tendendo a +∞, –∞ e 0.
1
x
2
1
=0
x → −∞ x
= +∞
Lim
= +∞ , então existe o limite: Lim
x →0
−∞
←
0−
= +∞
x2
+∞
0+
→
1
1
=0
x → +∞ x
Lim
→
←
Definição: Seja f(x) definida num intervalo Ι, contendo a, exceto possivelmente no próprio
a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos Lim f ( x ) = L
x →a
L+ε
f(x)
f(a)=L
)
L‒ε
)
se, para todo ε > 0 , existe um δ > 0 , tal que f ( x ) − L < ε sempre que x − a < δ .
(
a-δ
a
x
)
a+δ
 f ( x) − L < ε ⇒ L − ε < f ( x) < L + ε
Note que: 
x −a < δ ⇒ a−δ < x < a+δ
Exemplos: Usando a definição de limite, mostre que:
1) Lim(3 x + 4) = 10
x →2
Temos que: f ( x ) = 3 x + 4 ; a = 2 e L = 10 .
 f ( x ) − L < ε ⇒ 3 x + 4 − 10 < ε ⇒ 3 x − 6 < ε
Então: Lim f ( x ) = L ⇒ 
x →a
x −a < δ ⇒ x −2 < δ
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
4
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
3x − 6 < ε ⇒ 3 x − 2 < ε ⇒ x − 2 <
ε
ε
= δ . Basta fazer δ = .
3
3
2) Lim( x 2 + 2x ) = 15
x →3
Temos que: f ( x ) = x 2 + 2x ; a = 3 e L = 15 .
 f ( x ) − L < ε ⇒ x 2 + 2x − 15 < ε ⇒ ( x − 3) ⋅ ( x + 5) < ε
Então: Lim f ( x ) = L ⇒ 
x →a
 x − a < δ ⇒ x − 3 < δ
Como ( x − 3) ⋅ ( x + 5) < ε ⇒ x − 3 ⋅ x + 5 < ε , neste caso, precisamos substituir x + 5 por
um valor constante. Suponhamos que 0 < δ < 1. Como 0 < x − 3 < 1 ⇒ x − 3 < 1 ⇒
−1< x − 3 < 1
⇒
− 1+ 8 < x − 3 + 8 < 1+ 8
⇒
7< x+5<9
⇒
x + 5 < 9.
Fazendo
ε
ε 
δ = min ,1 , se x − 3 < δ ⇒ x − 3 ⋅ x + 5 < δ ⋅ 9 ≤ ⋅ 9 = ε ⇒ x − 3 ⋅ x + 5 < ε .
9
9 
 3x − 2 
3) Lim
=2
x → 4 x + 1 
Temos que: f ( x ) =
3x − 2
;a = 4 e L = 2.
x +1

3x − 2
x−4
−2 < ε ⇒
<ε
 f ( x) − L < ε ⇒
Então: Lim f ( x ) = L ⇒ 
x +1
x +1
x →a
x −a < δ ⇒ x −4 < δ

Como
x−4
<ε ⇒
x +1
x−4
x +1
< ε , neste caso, precisamos substituir x + 1 por um valor
constante. Suponhamos que 0 < δ < 1. Como 0 < x − 4 < 1 ⇒ x − 4 < 1 ⇒ − 1 < x − 4 < 1 ⇒
− 1 + 5 < x − 4 + 5 < 1 + 5 ⇒ 4 < x + 1 < 6 ⇒ x + 1 < 6 . Fazendo δ = min(6ε,1) , se x − 4 < δ
⇒
x−4
x +1
<
x−3
δ 6ε
≤
=ε ⇒
< ε.
6 6
x +1
Proposição: Sejam a, b e c quaisquer números reais com b ≠ 0 e c ≠ 0 . Então
Lim(bx + c ) = b ⋅ a + c .
x →a
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
5
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
Conseqüências:
a) Se b = 0 e ∀c ∈ ℜ ⇒ Lim(c ) = c .
x →a
b) Se b = 1 e c = 0 ⇒ Lim( x ) = a .
x →a
Proposição: Sejam f : A → ℜ . Se existe o limite da f(x) quando x tende a um valor “a”,
então este limite é único.
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES
Se Lim f ( x ) e Lim g( x ) existem e k é um número real qualquer, então:
x →a
x →a
1) Lim(k ⋅ f ( x )) = k ⋅ Lim f ( x )
x →a
x →a
2) Lim[f ( x ) ± g( x )] = Lim f ( x ) ± Lim g( x )
x →a
x →a
x →a
Expressões Simbólicas:
a) k + ∞ = +∞
b) k − ∞ = −∞
c) ( +∞ ) + ( +∞ ) = +∞
d) ( −∞ ) + ( −∞ ) = −∞
Formas Indeterminadas:
a) ( +∞ ) − ( +∞ ) = ?
b) ( −∞ ) + ( +∞ ) = ?
c) ( +∞ ) + ( −∞ ) = ?
3) Lim[f ( x ) ⋅ g( x )] = Lim f ( x ) ⋅ Lim g( x )
x →a
x →a
x →a
k ⋅ ( +∞ ) = +∞, se k > 0
Expressões Simbólicas: a) 
k ⋅ ( −∞ ) = −∞, se k > 0
( +∞ ) ⋅ ( +∞ ) = +∞
( +∞ ) ⋅ ( −∞ ) = −∞

c) 
( −∞ ) ⋅ ( +∞ ) = −∞
( −∞ ) ⋅ ( −∞ ) = +∞
f ( x)
 f ( x )  Lim
x →a
4) Lim 
=
g( x ) ≠ 0
 Lim g( x ) se Lim
x →a g( x )
x →a

 x →a
Expressões Simbólicas:
k ⋅ ( +∞ ) = −∞, se k < 0
b) 
k ⋅ ( −∞ ) = +∞, se k < 0
Formas Indeterminadas: ( ±∞ ) ⋅ 0 = ?
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
6
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
 ( +∞ )
= +∞, se k > 0

b)  k
( −∞ )

= −∞, se k > 0
 k
k
a)
= 0 , ∀k ∈ ℜ
±∞
K
 + = +∞, se k > 0
d)  0
k

= −∞, se k > 0
 0 −
 ( +∞ )
 + = +∞
f)  0
( +∞ )

= −∞
 0 −
K
 + = −∞, se k < 0
e)  0
k

= +∞, se k < 0
 0 −
Formas Indeterminadas: a)
±∞
=?
±∞
b)
 ( +∞ )
= −∞, se k < 0

c)  k
( −∞ )

= +∞, se k < 0
 k
 ( −∞ )
 + = −∞
g)  0
( −∞ )

= +∞
 0 −
0
=?
0
n
n
5) Lim[f ( x )] = Lim f ( x ) , ∀n ∈ N
 x→a

x →a
( −∞ )n = +∞, se n for par
b) 
n
( −∞ ) = −∞, se n for ímpar
Expressões Simbólicas: a) ( +∞ ) = +∞
n
6) Lim n f ( x ) = n Lim f ( x ) , ∀n ∈ N
x →a
x →a
a) Se Lim f ( x ) > 0 e ∀n ∈ Z , com n ≠ 0 .
x →a
b) Se Lim f ( x ) < 0 e ∀n ∈ Z , com n positivo ímpar.
x →a
7) Lim[logb f ( x )] = logb Lim f ( x ) , desde que Lim f ( x ) > 0 e b > 0 com b ≠ 1 .
 x→a

x →a
x →a
8) Lim[sen(f ( x ))] = senLim f ( x ) e Lim[cos(f ( x ))] = cos Lim f ( x )
 x →a

 x →a

x →a
x →a
[ ]
9) Lim k f ( x ) = k
x →a
Limf ( x )
x →a
, com k > 0 e k ≠ 1
Expressões Simbólicas:
( +∞) +∞ = +∞
( +∞ ) −∞ = 0
0 +∞ = 0
k +∞ = +∞, se k > 1
k +∞ = 0, se 0 < k < 1
k −∞ = 0, se k > 1
k −∞ = +∞, se 0 < k < 1
0 −∞ = +∞
Formas Indeterminadas: ( ±∞ )0 = ? , 0 0 = ? , 1±∞ = ?
OBS: Se f(x) for uma função contínua podemos permutar os símbolos de "Lim" com "f".
[este fato justificaremos quando definirmos funções contínuas].
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
7
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
10) Lim[sen( x )] = sen Lim x  = sen(a) e Lim[cos( x )] = cos Lim x  = cos(a)
 x→a 
 x→a 
x →a
x →a
11) Lim[logb ( x )] = logb Lim x  = logb (a)
 x→a 
x →a
[ ]
12) Lim k x = k
x →a
13) Lim[f ( x )]
Lim( x )
g( x )
x →a
x →a
= k a , desde que k > 0 e k ≠ 1 .
= Lim f ( x )
 x→a

Limg( x )
x →a
= f (a) g(a ) , com Lim f ( x ) = k , desde que k > 0 e k ≠ 1 .
x →a
Exercícios: Resolver os seguintes limites:
01) Lim (2x 3 − 2x − 1)
x → −1
3
02) Lim (2x − 2x − 1)
 5 x( x − ⋅ cos( x ) 

08) Lim 
x → + ∞ 3 x 2 + sen( x ) 


x→ +∞
 3x 5 − x 2 

03) Lim 

x→ +∞
x


 3x 5 − x 2 

04) Lim

x→ 0
x


 5x 

05) Lim 

2
x → − ∞
 x +1
x 3 − 3x + 2
09) Lim
x 4 − 4x + 3
x →1
x 2 − (a + 1)x + a
10) Lim
x3 − a
x →a
x 2 − 5x + 1
x → +∞
3x + 7
11) Lim
3
15) Lim 4
x →1
16) Lim
x→4
1− 5 − x
x → +∞
 x5 − 1 

06) Lim 2
x →1 2x − x − 1 


13) Lim
 sen( x ) 
07) Lim 

x → + ∞
x 
14) Lim
3x + 2
x +1
x → +∞
x2 + 1
18) Lim
x +1
x→ −∞
19) Lim
2x 5 − 3 x 3 + 2
x → +∞
2x 2 − 3 x − 4
x → +∞
x →7
x2 + 1
17) Lim
2x + 3 x − 4
2
x4 +1
2− x−3
2
x − 49
x −1
3− 5+x
2
12) Lim
x −1
20) Lim
x→ −∞
− x2 + 7
2x 5 − 3 x 3 + 2
− x2 + 7
 3 x 2 − 23 x + 1

21) Lim
2

x →1 
( x − 1)


LIMITES LATERAIS
Limite Lateral à Direita: Seja f : A → B . O limite da função f(x) quando x tende ao valor
“a” pela direita, ou seja, quando x tende ao valor “a” por valores maiores que “a”, é
denotado por Lim f ( x ) = b .
x →a +
Limite Lateral à Esquerda: Seja f : A → B . O limite da função f(x) quando x tende ao
valor “a” pela esquerda, ou seja, quando x tende ao valor “a” por valores menores que “a”,
é denotado por Lim f ( x ) = b .
x →a −
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
8
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
Teorema: Seja f : A → B . Dizemos que existe o limite da função f(x) quando x tende ao
valor “a” e é igual a um valor b se, e somente se Lim f ( x ) = Lim f ( x ) = b . Neste caso
x →a +
x →a −
escrevemos: Lim f ( x ) = b .
x →a
Regra prática para cálculo dos limites laterais
)
x = a + h
Limite lateral à direita faça a mdv: Lim f ( x ) = b ⇒ 
x →a −
h > 0 e h → 0
f(x)
f(a)=b
x )
a a+h
h→0
x = a + h
Limite lateral à direita faça a mdv: Lim f ( x ) = b ⇒ 
x →a −
h > 0 e h → 0
f(a)=b
f(x)
)
(
a-h x
a
h→0
Exercícios: Verificar a existência dos seguintes limites:
 x+2 
a) Lim 2

x →1  x − 1 
 x 2 + 1

d) Lim 
x → −1 x + 1 


 x−3
b) Lim
x →3  x − 3





x + 4, se x < 4

c) Lim f ( x ) onde f ( x ) = 4, se x = 4
x→ 4
x − 4, se x > 4

 x−2 
e) Lim 2

x →3  x + x − 6 
 x−2 
f) Lim 2

x →2  x + x − 6 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
9
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Definição: Dizemos que uma função f : A → B é contínua num ponto a ∈ D( f ) se
Lim f ( x ) = f (a) .
x →a
OBS: Se uma função não é contínua num ponto a, dizemos que ela é descontínua em a.
Definição: Dizemos que uma função f : A → B é contínua no seu domínio D(f), se ela for
contínua em todos os pontos do seu domínio.
Exemplos de funções contínuas:
Função Linear
Função Quadrática
Função Exponencial
1
Função Seno
Função Cosseno
OBS: Podemos observar que as funções acima são contínuas em todo o seu domínio que
são o Conjunto dos Reais, ou seja, D(f) = ℜ.
Exemplos de funções descontínuas:
Função Tangente
-π/2
0
π/2
3π/2
5π/2
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
10
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
a
a
OBS: Como podemos observar as funções acima não são contínuas em todos os reais,
existem pontos onde as funções são descontínuas. No entanto, retirando os pontos de
descontinuidade ela passa a ser contínua num determinado domínio. Note que a função
f ( x) =
1
é descontínua em ℜ, mas é contínua em D( f ) = ℜ − {0} e f ( x ) = tg( x ) é
x
π


descontínua em ℜ, mas é contínua em D( f ) = ℜ − (2k + 1) ⋅ , ∀k ∈ Z .
2


Teorema: Se f : A → B é contínua num ponto a ∈ D( f ) , então os símbolos de limite (Lim)
e da função (f) podem ser permutados, ou seja: Lim f ( x ) = f (a) ⇒ f  Lim( x )  = f (a)
x →a
 x →a 
Proposição: Se f e g são funções contínuas num ponto a, então também são contínuas
neste ponto a:
a) f ± g
b) f ⋅ g
c)
f
, com g(a) ≠ 0
g
Proposição: Se f e g são funções tais que Lim f ( x ) = b e g é contínua em b, então
x →a
Lim(g o f )( x ) = g(b) , ou seja: Lim(g o f )( x ) = Lim g( f ( x )) = g Lim f ( x )  = g(b) .
x →a
x →a
x →a
 x →a

Proposição: Se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então g o f é contínua em a, ou
seja: Lim(g o f )( x ) = Lim g( f ( x )) = g Lim f ( x )  = g( f (a)) = (g o f )(a) .
x →a
x →a
 x →a

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
11
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
Proposição: Seja f(x) definida e contínua num intervalo Ι. Seja J = Im( f ) . Se f admite
f −1 : J → Ι, então f −1 é contínua em J.
Teorema do valor intermediário: Se f é uma função contínua no intervalo [a,b] e L é um
número tal que f(a) ≤ L ≤ f(b) ou f(b) ≤ L ≤ f(a), então existe pelo menos um x∈[a,b] tal
que f(x)=L.
OBS: De certo modo, este teorema diz que se no intervalo [a,b] a função apresenta
“buraco”, então ela não é contínua neste intervalo.
f(b)
f(b)
L
L
f(a)
f(a)
x
a
b
a
∌x
b
Corolário (do teorema do valor intermediário): Se f é uma função contínua no intervalo
[a,b] e se f(a) e f(b) tem sinais opostos, então existe pelo menos um número c∈[a,b] tal
que f(c)=0.
OBS: De certo modo, este corolário diz que se no intervalo [a,b] a função apresenta
“salto”, então ela não é contínua neste intervalo.
f(b)
f(b)
f(c)=0
a
a
b
c
f(a)
b
f(a)
∌ c∈[a,b] tal que f(c)=0
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
12
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
Exercícios: Verificar se as funções são contínuas nos pontos indicados:
a) f ( x ) = 2x − 1 em x = 2 .
c) f ( x ) =
1
( x − 2) 2
em x = 1 e x = 2 .
b) f ( x ) =
x2 + x − 6
em x = 1 e x = 2 .
x−2
x + 1, se x < 3

b) f ( x ) = 2, se x = 3
em x = 3 .
x − 2, se x > 3

LIMITES FUNDAMENTAIS
Existem alguns limites cujos valores, uma vez demonstrados, passam a ser
conhecidos e podemos usá-los sempre que for necessário. São eles:
 sen( x ) 
a) Lim
 =1
x →0 
x 
1,5
1
sen( x )
x
0,5
0
-0,5
Área do triângulo OMN = A1
Área do setor circular OMN = A2
P
Área do triângulo OPN = A3
M
Temos que A 1 < A 2 < A 3
A1 =
ON ⋅ MQ 1⋅ sen( x ) sen( x )
=
=
2
2
2
A3 =
ON ⋅ PN 1⋅ tg( x ) tg( x )
=
=
2
2
2
2πr → πr 2
πr 2 ⋅ MN π ⋅ 12 ⋅ MN MN
⇒ A2 =
=
=

2πr
2 ⋅ π ⋅1
2
MN → A 2
1
x
O
N
Q
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
13
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
Como: MN = x ⋅ r = x ⋅ 1 = x ⇒ A 2 =
Logo:
x
2
sen( x ) x tg( x )
sen( x )
< <
⇒ sen( x ) < x <
2
2
2
cos( x )
Dividindo tudo por sen(x):
cos( x ) <
sen( x )
x
sen( x )
x
1
<
<
⇒ 1<
<
⇒
sen( x ) sen( x ) cos( x ) ⋅ sen( x )
sen( x ) cos( x )
sen( x )
 sen( x ) 
 sen( x ) 
< 1 ⇒ Lim[cos( x )] < Lim 
< Lim(1) ⇒ 1 < Lim 
<1 ⇒

x →0
x →0 
x →0 
x
x  x →0
x 
 sen( x ) 
Lim
 = 1.
x →0 
x 
x
 1
b) Lim 1 +  = e
x → ±∞
x
e
1
–1
Proposição: Mostre que também são válidos os seguintes limites:
1
x
a) Lim(1 + x ) = e
x →0
b) Lim(x )
x →1
1
x −1
=e
 a x − 1
 = ln(a)
c) Lim

x →0
 x 
Demonstração:
1
1
1
1
 = t⇒ x =
 1 t
a) mdv:  x
⇒ Lim(1 + x ) x ⇒ Lim1 +  = e
t
x →0
t →∞ 
t
se x → 0 ⇒ t → ∞
1
1
x − 1 = t ⇒ x = 1 + t
b) mdv: 
⇒ Lim(x ) x −1 ⇒ Lim(1 + t ) t = e
x →1
t →0
se x → 1⇒ t → 0




 a x − 1
a x − 1 = t ⇒ x = loga (1 + t )


t
1

 =
 ⇒ Lim

c) mdv: 
⇒ Lim
=
Lim

t →0  log (1 + t ) 
t →0  log a (1 + t ) 
x →0
x
se
x
→
0
⇒
t
→
0
a







t








Lim1


1
1
1
1
t →0
 = Lim

=
=
=
= ln(a)
= Lim
1
1
t →0  1
t →0 
log e e
loga e



 log (1 + t ) t  log Lim(1 + t ) t 
 ⋅ loga (1 + t ) 
a


a
t

log e a
 t→0

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
14
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – UNESP/Bauru
Exercícios: Resolver os limites abaixo usando os limites fundamentais:
 sen( πx ) 
02) Lim

x →1  sen(3 πx ) 

 sen(3 x ) 
01) Lim

x →0 
x

 e ax − e bx
04) Lim
x →0
x





1 

05) Lim1 +

x →∞
ax + b 
x +2
 1− x 2 

07) Lim
x →1 sen( πx ) 


 x −1
08) Lim

x →∞ x + 3 
 1 − tgx 

10) Lim
π 
π
x→  x − 4 
4
 1− e x 

11) Lim
x →0 sen( x ) 


 a
03) Lim1 + 
x →∞
x
x
x
 arcsen( x ) 
06) Lim

x →0 
x

x −1


 3 4 −3 
09) Lim

x →5  sen(3 x − 15 ) 


 1
12) Lim1 + 
x → ∞
x
ax +b