Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de - ICEB-UFOP

Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Introdução à Álgebra Linear - MTM 112
Prof. Fabiana Fernandes
Lista 01 Matrizes
1. Dadas as matrizes A =
2
4
−1
−2
eB=
5
15
10
0
, calcule:
(a) A + B e 2A − 3B;
(b) AB e BA e, em seguida, conclua que o produto matricial
comutativo.
2. Sejam as matrizes A =
eD=
2
1
2
2
1
3
−1
−2
,B=
3
0
0
1
1
NÃO é


−1
,C= 2 
4
−1 . Calcule:
(a) A + B
(d) CD
(g) 3A
(b) AC
(e) DA
(h) −D
(c) BC
(f) DB
(i) (2A + 3B)C
3. Seja a matriz A = [aij ]2×2 tal que
1
aij =
(−1)ij
se i = j
.
se i =
6 j
Escreva a matriz A e calcule suas potências A2 = AA e A3 = AAA.




3
1 0
5
1
 0 1
 1 
3 −2 



4. Dadas as matrizes A = 
 0 0 −2 −4 , e B =  2 , resolva a
3
0 0
3
8
equação matricial AX = B; isto é, determine uma matriz X4×1 que satisfaça AX = B.
5. Seja a matriz A = [aij ]2×2 denida por
1
se j = 1
aij =
.
(−1)i+j se j = 2
Escreva A e resolva a equação matricial AX = I, em que I é a matriz
identidade de ordem 2.
3 −2
6. Seja A =
. Encontre B2×2 tal que B2 = A.
−4
3
1
7. Considere as matrizes

2
A =  −1
1
−3
4
−3


−1
−5
5 , B =  1
−1
−4


2
5
−5  e C =  −1
1
5
3
−3
3
−2
3
−2

−4
4 .
−3
(a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.
(b) Utilize o item (a) para mostrar que:
(i ) ACB = CBA;
(ii ) A2 − B2 = (A − B)(A + B);
(iii ) (A ± B)2 = A2 + B2 .
8. Sejam A e B matrizes n×n. Dizemos que A comuta com B se AB = BA.
Encontre todas as matrizes que comutam com a matriz
1 −1
A=
.
0
2
9. Sejam A =
1
−2
−2
3
eB=
−2
1
1
1
. Calcule At , Bt , AB, (AB)t
e Bt At .
10. Utilizando o exercício anterior, mostre que AB não é, necessariamente,
simétrica sempre que A e B forem simétricas.
11. Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Conhecendo-se
somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B + C), Bt At ,
Ct At e (ABA)C?
2
x2
12. Seja A =
. Se A = At , determine x.
2x − 1 2
13. Sejam as matrizes
D=
1
0
0
−1
e P=
cos x sen x
−sen x cos x
.
Calcule:
(a) PPt e Pt P.
(b) A = Pt DP.
14. Calcule os determinantes das matrizes a seguir pelo método do desenvolvimento em cofatores e determine quais são singulares.




1
2 3
5
0 0 0
0
 0
0 0 0 −4 
(a)  3 −1 0 ;


5
3 6
0
0
3 0
0 
(b) 

;
 0
0 0 1
0 
0 −2 0 0
0
2

3
 5
(c) 
 0
−1
4
0
0
0


2
1
−1 −2 
;
4
0 
3
3


(d) 


1
0
−1
0
1

0 0 1
1
−2 0 2
1 

0 0 1 −1 
.
1 1 2
0 
0 0 1
1
5
,B=
e AX = B, encontre X.
3


1 1 0
16. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A =  1 0 0 
1 2 a
é invertível.


1−λ 0
1
1
0 , determine λ para que A não
17. Dada a matriz A =  1
1
1 1−λ
seja invertível.
15. Sabendo que A−1 =
2
4
3
1
18. Mostre que as matrizes abaixo são invertíveis.



cos θ sen θ 0
k 0
 1 k
(a)  −sen θ cos θ 0 
(b) 
 0 1
0
0
1
0 0
4 2
19. Encontre a adjunta da matriz M =
−1 3
inversa.
0
0
k
1

0
0 
 , k ∈ R∗ .
0 
k
e use-a para obter sua
20. Dada uma matriz de ordem 2 qualquer, digamos A =
sua matriz adjunta e use-a para calcular a inversa A−1 .
verdadeiras
a
c
b
d
, encontre
falsas
21. Classique as armativas a seguir como
ou
. Se verdadeira, justique. Se falsa, explique ou dê um exemplo que invalide o
enunciado e tente consertá-la.
(a) (−A)t = −At .
(b) (A + B)t = Bt + At .
(c) (−A)(−B) = −(AB).
(d) Se podemos calcular AA, então A é uma matriz quadrada.
(e) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
(f) Se A e B são simétricas, então AB = BA.
(g) Se existe A−1 e AB = AC, então B = C.
(h) Se A for uma matriz diagonal com todos os elementos da diagonal
principal não nulos, então A é invertível.
(i) (At B−1 C)t = A(Bt )−1 Ct .
22. Sejam A e B matrizes quadradas n × n. Mostre que, se A e A + B forem
invertíveis, então (A + B)−1 = A−1 (I + BA−1 )−1 .
3
23. Mostre que, se B for invertível e AB = BA, então AB−1 = B−1 A.
24. Dizemos que as matrizes An×n e Bn×n são semelhantes (A ∼ B) se existe
uma matriz invertível Pn×n tal que B = P−1 AP. Prove que, se A for
invertível e A ∼ B, então B é invertível.
RESPOSTAS
1.
2.
3.
4.
5.
7
9
19 −2
−11 −32
2A − 3B =
−37
−4
−5 20
(b) AB =
−10 40
50 −25
BA =
30 −15
−1 2 4
(a)
5 1 0
15
(b)
−4
6
(c)
1


−2
1
4 −2 
(d) 
8 −4
0 3 7
(e)
−7 0 1
(f)
3 6
9
(g)
6 3 −3
−2 1
(h)
48
(i)
−5
1 −1
A=
−1
1
2 −2
2
A =
−2
2
4 −4
3
A =
−4
4


−2
 −2 

X=
 1 
0
1/2 1/2
X=
−1/2 1/2
(a)
6.
A+B=
B
=
− 21
2
−1
2
−1
−1
,
1
2
1
−2
2
ou
.
1 −2
1
−2
1
−1
−1
1
,
7.
a
0
b
a−b
8.
B=
9.
At = A, Bt = B, AB =
(AB)t
=
, a, b ∈ R.
−4
7
,
Bt At .
10.
11.
A(B + C) = AB + AC, Bt At = (AB)t ,
Ct At = (AC)t , (ABA)C = (AB)(AC).
12.
x=1
13.
14.
PPt = Pt P = I
cos2 x − sen 2 x
(b) A =
−2sen x cos x
(a)
(a) 0
(c) 208
(b) -120
(d) 0
19
23
15.
X=
16.
S = {a ∈ R | a 6= 0}
17.
λ=1
18.
19. Adj(M)
=
M−1 =
1
14
3
1
3
1
−2
4
−2
4
20.
21.
(a) V
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F
4
(f) F
(g) V
(h) V
(i) F
−2sen x cos x
sen 2 x − cos2 x