EXERCITANDO (AULA 1) - Instituto UFC Virtual

EXERCITANDO (AULA 1)
1. Determine o valor de x sabendo que a matriz
2
x2
2x − 1 0
é simétrica.
2. Dê exemplo de matrizes quadradas, de mesmo tamanho, A e B, não nulas, tais que AB = O.
3. Dê exemplo de matrizes quadradas, de mesmo tamanho, A e B, tais que AB = BA.
1 0
4. Sendo A =
, calcule as potências A2 , A3 , A4 e An para um inteiro positivo n qualquer.
1 1
5. Sejam A, B, C e X matrizes de mesmo tamanho. Sabendo que 2(X − A − B) = 13 (X − C), expresse X em termos
de A, B e C.
6. Sejam A, B, X e Y matrizes de mesmo tamanho. Sabendo que
2X + Y = −A
,expresse X e Y em termos de A e B.
−2X + Y = B
7. Resolva os seguintes sistemas matriciais a seguir.

 X +Y =A
X − 2Y = 3A
Y +Z =B .
a)
;
b)
2X + Y = O

X +Z =C
8. Determine todas as matrizes X, 2 × 2, tais que X 2 = O.
9. Determine todas as matrizes X, 2 × 2, tais que X 2 = I.
10. Determine todas as matrizes X, 2 × 2, tais que X 2 = X.
1 9
11. Seja A =
. Mostre que a equação matricial X 2 = A admite exatamente 4 soluções e determine-as.
0 16


−4 0
3 2 1
12. Sejam A =
e B =  0 1 . Seja X uma matriz 2×3. Determine X sabendo que t (X +A) = B.
−1 0 1
5 2
13. Para cada matriz dada a seguir, encontre uma matriz na forma em escada, à qual a matriz dada é linha-equivalente.
2 1 5
2 0 −2 0
2 1 5
a)
;
b)
;
c)
;
6 3 15
0 2 −1 0
1 −3 6






2 −1 3
0 2 0 2
1
2 1 0
 1 4 2 
 1 1 0 3 



d)  −1 0 3 5 ;
e)
 1 −5 1 ; f)  3 −4 0 2  .
1 −2 1 1
4 16 8
2 −3 0 1
14. Sejam A, B e C matrizes m × n. Demonstre as propriedades a seguir.
a) A + C = B + C ⇒ A = B; .b) A + A = A ⇒ A = O.
15. Sejam A uma matriz m × n e x ∈ R. Demonstre as propriedades abaixo.
a) xA = O ⇒ A = O ou x = 0.
b) A + A = 2A.
c) A = −A ⇒ A = O.
16. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n × p. Demonstre que −A = (−1)A, A (−B) = −(AB) = (−A)B e
(−A)(−B) = AB.
17. Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que AB = BA. Demonstre que (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
18. Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que AB = BA. Demonstre que (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
19. Sejam A, B e C matrizes m × n. Demonstre as propriedades abaixo.
(a) −A − B = −(A + B)
(b) −A + B = −(A − B)
(c) (A − B) − C = A − (B + C)
(d) (A + B) − C = A + (B − C)
20. Sejam A uma matriz m × n e B e C matrizes n × p. Demonstre que A(B − C) = AB − AC.
21. Sejam A e B matrizes m × n e C uma matriz n × p. Demonstre que (A − B)C = AC − BC.
22. Demonstre que os termos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica n × n são todos nulos.
23. Demonstre que toda matriz triangular superior e simétrica é diagonal.
24. Demonstre que toda matriz triangular inferior e simétrica é diagonal.
25. Uma matriz quadrada chama-se matriz triangular estritamente superior se é triangular superior e se os termos
da diagonal principal são todos nulos. Seja A uma matriz triangular estritamente superior 3 × 3. Demonstre que
A3 = O.
26. Sejam A e B, respectivamente, matrizes m × n e n × p. Mostre que a i-ésima linha de AB é Ai · B. Conclua que as
linhas de AB são A1 · B, A2 · B, ..., Am · B.
1
27. Sejam A e B, respectivamente, matrizes m × n e n × p. Mostre que a k -ésima coluna de AB é A · B k . Conclua que
as colunas de AB são A · B 1 , A · B 2 , ..., A · B p .
28. Seja A uma matriz quadrada n × n. Definimos o traço de A como sendo a soma dos termos que constituem sua
diagonal principal e o denotamos por tr (A). Demonstre que A e B são matrizes n × n e x ∈ R, então tr (A + B) =
tr (A) + tr (B), tr (xA) = x tr (A) e tr (AB) = tr (BA).
29. Seja A uma matriz m × n. Mostre que a j -ésima
linha da transposta de A é a transposta da j -ésima coluna de A.
Em símbolos, isto quer dizer que (t A)j = t Aj .
30. Seja A uma matriz n × n. Demonstre as afirmações abaixo.
(a) A é simétrica ⇔ A = t A.
(b) A é anti-simétrica ⇔ −A = t A.
(c) A = O ⇔ A é simétrica e anti-simétrica.
31. Sejam A e B matrizes m × n e x um número real. Mostre que:
(a) t (A + B) = t A + t B;
(b) t (xA) = x t A;
(c)
t t
( A) = A.
32. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n × p. Mostre que t (AB) = t B · t A.
33. Mostre que se A e B são matrizes simétricas n × n e x ∈ R, então A + B e xA são também matrizes simétricas.
34. Mostre que se A e B são matrizes anti-simétricas n × n e x ∈ R, então A + B e xA são também matrizes antisimétricas.
35. Para toda matriz n × n A, demonstre que
(a)
(b)
1
2 (A
1
2 (A
+ t A) é sempre simétrica;
− t A) é sempre anti-simétrica. Conclua que toda matriz quadrada se escreve, de modo único, como soma
de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica.
36. Se A é anti-simétrica, demonstre que A2 é simétrica.
37. Sejam A e B matrizes simétricas n × n. Demonstre que AB = BA ⇔ AB é simétrica.
38. Demonstre que:
(a) toda matriz é linha-equivalente a si mesma;
(b) se a matriz A é linha-equivalente a B e B é linha-equivalente a C, então A é linha-equivalente a C.
39. Suponha que uma matriz A foi obtida a partir de A por uma única operação elementar com linhas. Mostre que A
pode ser obtida de A , também, por uma única operação elementar com linhas. Conclua que se A é linha-equivalente
a B, então B é linha-equivalente a A.
40. Mostre que podemos permutar duas linhas de uma matriz utilizando somente as operações 2 e 3.
41. Escreva na forma matricial AX = B os sistemas lineares seguintes:

 7x + 2y − 4 = 0
2x + 3y = 4
−x + z = 4
−x + 3y +√1 = 0 ;
a)
;
b)
;
c)
−x + y = 5
y + 5z = 0

8y + 4z − 2 = 0

3x − y = 9



−x + 8y = −1
7x + 4y − z + 8w = −1
d)
;
e)
.
−4y
=
2
−x + 8z − 7w = 0



x=0
42. Escreva na forma matricial x1 A1 + x2 A2 + ... + xn An = B os sistemas lineares do exercício anterior.
43. Resolva os sistemas lineares do penúltimo exercício anterior.
44. Determine todas as matrizes que comutam com

1
0 1
1 −1
a)
;
b)
;
c)  1
1 1
2 0
0
cada uma das seguintes matrizes:

0 0
1 0 .
1 1
45. Seja A uma matriz 2 × 2. Mostre que A comuta (com respeito à multiplicação de matrizes) com qualquer matriz
2 × 2 ⇔ ∃ a ∈ R tal que A = aI.
a b
46. Determine todas as matrizes que comutam com
, sendo c = 0.
c d
a b
47. Determine todas as matrizes que comutam com
.
0 d
48. João, que inicialmente tem uma certa quantia em reais, dá a Pedro tantos reais quantos Pedro possui e a José tantos
reais quantos José possui. Depois, Pedro dá a José e a João a respectiva quantia em reais que cada um passou a
possuir. Em seguida, José faz a mesma coisa com João e Pedro. Se, no final, todos terminam com 16 reais, com
quantos reais João começou?
2
49. Calcule as inversas das seguintes matrizes invertíveis:



−3
−1 4 −5
 0
−1 3
a)
;
b)  0 8 2  ;
c) 
 −4
0 4
−3 0 1
−1

0 −2 5
1 3 5 
.
0 1 0 
2 5 8
50. Resolva cada sistema linear a seguir calculando a inversa da matriz dos coeficientes (que é invertível) e aplicando a
fórmula X = A−1 B.

 2x − y + 5z = 4
x + 2y = −1
7x + z = −1
a)
;
b)
.
−x + 3y = 5

y + 3z = 0

 x − 2y + 3z = −4
51. Determine a de modo que o sistema
5x − 6y + 7z = −8 seja indeterminado.

6x − 8y + az = −12

 x+y+z =0
x + 2y + az = 0 só admita a solução trivial.
52. Determine a para que o sistema

x + 4y + a2 z = 0
53. Determine o conjunto solução de cada sistema linear abaixo, em função dos valores do parâmetro a.


 x+y+z =0
 ax + ay + az = 1
ax + y − 1 = 0
x + 2y + az = 0 ; c)
ax + y + 2z = −1 .
a)
; b)
2x + ay − 2 = 0


x + 4y + a2 z = 0
ax + z = a
 −1


a11
a11 0
0
54. Seja A =  0 a22 0 . Se aii = 0 para todo i, demonstre que A é invertível e que A−1 =  0
0
0 a33
0
Generalize para A n × n.
0
a−1
22
0
0
0
a−1
33

.
55. Dê exemplo de duas matrizes invertíveis n × n cuja soma não é invertível.
n
56. Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução, que ABA−1 =
AB n A−1 para todo inteiro positivo n.
57. Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A tem uma linha nula, então A não é invertível.
−1
58. Se A é uma matriz invertível, demonstre que t A é também invertível e que (t A) = t A−1 .
59. Seja A uma matriz simétrica invertível. Demonstre que A−1 é simétrica.
60. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que se A tem inversa à esquerda, então A é invertível.
a b
61. Mostre que a matriz A =
é invertível ⇔ ad − bc = 0. Em caso afirmativo, calcule A−1 .
c d
62. Sejam A, B e X matrizes n × n, em que A é invertível. Expresse X em termos de A e B sabendo que t (XA) = B.
1 2
−1 3
63. Sejam A =
eB=
. Seja X uma matriz tal que t (XA) = B. Determine X.
0 −1
2 −6
64. Sejam A e B matrizes quadradas n × n. Dizemos que A é semelhante a B e escrevemos A ∼ B se existe uma
matriz invertível P tal que A = P −1 BP . Demonstre as propriedades abaixo, onde A, B e C são matrizes quadradas
de mesmo tamanho.
(a) A ∼ A;
(b) A ∼ B ⇒ B ∼ A;
(c) A ∼ B e B ∼ C ⇒ A ∼ C.
65. Demonstre que a única matriz semelhante à matriz nula e a própria. Idem, para a matriz identidade.
66. Demonstre que duas matrizes semelhantes têm o mesmo traço.
67. Sejam A e B matrizes quadradas n × n. Mostre que se AB é invertível, então A e B também o são.
68. Sejam A1 , A2 , ..., Ar matrizes n × n. Mostre, usando o princípio de indução, que A1 , A2 , ..., Ar são invertíveis ⇔ o
produtório A1 · A2 · · · · · Ar o é.
69. Se A é uma matriz 2 × 1 e B é 1 × 2, mostre que AB não é invertível.
70. Uma matriz quadrada chama-se ortogonal se é invertível e sua inversa é sua transposta. Mostre que se uma matriz
diagonal é também ortogonal, então os termos de sua diagonal principal são iguais a 1 ou −1.
71. Demonstre que se A é ortogonal, então t A é também ortogonal.
72. Demonstre que se A e B são matrizes ortogonais então AB e B −1 AB também o são.
73. Discuta o conjunto solução de cada sistema linear abaixo segundo os valores do parâmetro a.


 ax + ay + az = 1
 ax + y + z = 1
ax + y + 2z = −1 ;
x + ay + z = a .
a)
b)


ax = a
x + y + az = −2
3
74. Determine os valores de a e b que tornam o sistema linear abaixo possível e indeterminado.

 x + 2y + az = −1
3x + y + z = 4

−2x + 4y − 2z = b
75. Discuta, segundo os valores do parâmetro t, o conjunto solução do sistema linear a seguir, sabendo que a + b + c = 0
e a, b e c são dois a dois distintos.

 tx + y + z = a
x + ty + z = b

x + y + tz = c
76. Sejam A e B matrizes n × n quaisquer. Mostre que se I − AB é invertível, então I − BA também o é e que
(I − BA)−1 = I + B(I − AB)−1 A.
77. Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A não é invertível, então existe uma matriz B, n × n, não nula, tal que
AB = O.
78. Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A não é invertível, então existe uma matriz C, n × n, não nula, tal que
CA = O.
79. Sejam A e B, respectivamente, matrizes n × m e m × n. Mostre que se n > m, então AB não é invertível.
80. Sejam A uma matriz triangular estritamente superior n × n, em que n > 1, e 1 ≤ k ≤ n. Demonstre, por indução
sobre k, que a potência Ak tem a seguinte propriedade: seu termo de posição (i, j) é igual a zero sempre que
j − i ≤ k − 1, isto é, a matriz Ak tem o seguinte aspecto:
A parte sombreada é constituída dos termos de posição (i, j) tais que j − i ≥ k. Conclua que An = O.
81. Seja A uma matriz triangular estritamente inferior n × n. Mostre que An = O.
82. Seja A uma matriz n × n. Mostre que A comuta com qualquer matriz n × n ⇔ existe a ∈ R tal que A = aIn .
RESPOSTAS OU SUGESTÕES:
0 1
1 0
1 0
1) x = 1; 2) A =
eB=
; 3) Mesmo exemplo do exercício anterior; 4) A =
;
0 0
0 0
n 1
5) X = 15 (6A + 6B − C); 6) X = − 14 (A + B) e Y = 12 (B − A);
7) a) X = 35 A e Y = − 65 A; b) X = 12 (C− B + A), Y = 12 (−C + B + A) e Z = 12 (C + B − A);
x
y
0 0
com y = 0;
8) X =
ou X =
x2
z 0
− y −x
√
1 0
−1 0
1 − yz
√y
9) X =
,X=
,X=
ou
0 1
0 −1
z
− 1 − yz
√
− 1 − yz √ y
X=
com yz ≤ 1;
1 − yz
z
√
√
1+ 1−4yz
1− 1−4yz
y
y
0 0
1 0
2
2
√
√
ou X =
com
10) X =
, X =
, X =
1− 1−4yz
1+ 1−4yz
0 0
0 1
z
z
2
2
yz ≤14 ;
−1 − 95
−1 3
1 −3
1 95
,
;
11)
,
,
0 4
0 −4
0 4
0 −4
−7 −2 4
12) X =
;
1
1 1 1
5
1 2 2
1 0 −1 0
1 0 3
13) a)
; b)
; c)
;
0 1 −1
0 0 0
0 
1 − 12 0 




1 0 0 2
1 0 14
9
1 0 0 − 78


 0 1 1 
9 ; f)  0 1 0 1 ;
d)  0 1 0 − 14 ; e) 



0 0 0 0 
0 0 0
0 0 1 11
8
0 0 0
0 0 0 0
t
t
32) Denote: A = (aij ) , B = (bjk ) , A = aji e B = bkj , em que aji = aij e bji = bjk . Faça ainda:
i
t
(AB) = (cki ) e t B · t A = (dki ). Note que cki = Ai · B k e dki = (t B)k · (t A) ;
40) Sejam A e B as linhas. Primeiramente, substitua A por A − B, depois substitua B por
B + (A − B), etc;


x
2 3
x
4
−1 0 1
4


41) a)
=
; b)
y
=
;
−1 1
y
5
0 1 5
0
z
4






 
3 −1
9
4
7 2 0
x
 −1 8 
 −1 
x


c) −1 0 3   y  =  √1 ; d) 
=
 0 −4 
 2 ;
y
0 8 4
z
2
1
0
0


x
 y 
7 4 −1 8

 = −1 ;
e)
−1 0 8 −7  z 
0
w
2
3
4
42) a) x
+y
=
;
−1
1
5 −1
0
1
4
b) x
+y
+z
=
;
0
1
5
0



 
  
4
7
2
0
c) x  −1  + y  0  + z  3  =  √1 ;
0
8
4
2



 

3
−1
9
 −1 
 8   −1 


 

d) x 
 0  + y  −4  =  2 ;
1
0
0
7
4
−1
8
−1
e) x
+y
+z
+x
=
;
−1
0
8
−7
0
√

44−3 2

 x = −4 + t
 x = 80 √
x = − 11
12+21
5
y = −5t , t ∈ R; c)
; b)
43) a)
y = 160√ 2 ;
y = 14


5

2
z=t
z = −12−
80

x = 8u − 7v



41
y = − 14 − 55
4 u + 4 v , u, v ∈ R;
d) o sistema é impossível; e)
z=u



w
=v
1
w−z z
z
+
w
− 12 z
2
44) a)
, z, w ∈ R; b)
, z, w ∈ R;
z
w
z
w


x 0 0
c)  y x 0  , x, y, z ∈ R;
z y x
a−d
b
c z+w
cz
46)
, z e w livres;
z
w
47) Para b = 0 e a = d, a matriz dada comuta com toda matriz. Para b = 0 e a = d, ela comuta só com as matrizes
diagonais
a−d e, para b =0, ela comuta com as matrizes que têm a forma a seguir:
y
b y+w
, y, w ∈ R;
0
w
48) 26;


−1/19 1/38 −6/19
−1 3/4
49) a)
; b)  3/76 2/19 −1/76 ;
0 1/4
−3/19 3/38  1/19

−2/47
10/47
−9/47 −5/47
 −1/47 −183/47 −28/47 115/47 
;
c) 
 −8/47
40/47
11/47 −20/47 
5/47
22/47  −1/47 −11/47
 x = − 29
x = − 13
5
y = − 53 ; 51) a = 10; 52) a = 1 e a = 2;
50) a)
;b)
y = 45

z = 59
√
√
2−a 2(1−a)
,
para a = ± 2;
53) a) C.S. = ∅ para a = ± 2 e C.S. =
2
2
2−a
2−a
b) C.S. = {((a − 2) t, (1 − a) t, t) ; t ∈ R} para a = 1 ou a = 2 e C.S. = {(0, 0, 0)} para a = 1 e a = 2;
c) o sistema tem única solução ⇔ a = 0 e é impossível se a = 0;
55) In e −In ; 60) Seja B inversa de A, à esquerda, logo, BA = I. Assim, A é inversa de B, à direita.
Use agora o fato de B ser invertível;
61) Separe em dois casos: a = 0 e a = 0, use escalonamentoe o fato de que uma matriz é invertível ⇔
1
d −b
é linha-equivalente à matriz identidade. A−1 =
;
−c
a
ad
−
bc
−1 −4
;
62) X = t B · A−1 ; 63) X =
3
12
67) Para demonstrar que A é invertível, mostre que A tem inversa à direita. Para provar que B é
invertível, use B = A−1 (AB);
73) a) o sistema tem única solução ⇔ a = 0 e é impossível se a = 0; b) o sistema é possível determinado
⇔ a = 1 e a = −2 e é impossível para a = 1 ou a = −2;
74) a = −1/7 e b = −46/5;
75) O sistema é possível determinado ⇔ t = 1 e t = −2; para t = 1 o sistema é impossível e é possível
indeterminado para t = −2;
−1
76) Faça X = (I − AB) e use o fato de que X − XAB = I = X − ABX;
77) Considere o sistema linear homogêneo AX = O e tome uma solução não trivial deste sistema;
78) Considere t A e use o exercício anterior;
79) Considere o sistema linear homogêneo BX = O, em que O é a matriz coluna m × 1 nula, tome
uma solução não trivial do mesmo e note que esta é também solução do sistema (AB) X = O, em
que O é a matriz coluna n × 1 nula;

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81) Considere t A e use o exercício anterior;
82) Seja A = (aij ). Para demonstrar a implicação (⇒), primeiramente, demonstra-se que aij = 0 para
i = j. Para isso, fixe i e j distintos, considere a matriz X = (xuv ) definida como se segue: xji = 1 e
xuv = 0 para u = j ou v = i, e, use o fato de que AX = XA (tomando os termos de posição (i, i)).
Para provar que aii = a11 , para todo i, fixe um i e defina a matriz X = (xuv ) colocando xi1 = 1 e
xuv = 0 para u = i ou v = 1 e considere os termos de posição (i, 1) das matrizes AX e XA.
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