Probabilidade IV

Probabilidade IV
Ulisses U. dos Anjos
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Período 2014.2
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade IV
Período 2014.2
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Sumário
1
Apresentação do Curso
2
Sequências de Números Reais
Limite de uma sequência
Limites e Desigualdades
Operações com Limites
3
Séries Numérica
Séries Convergentes
4
Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
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Apresentação do Curso
Conteúdo Programático
1. Revisão básica de sequências e séries. Limites de sequências e
sequências convergentes. Valores de aderência. liminf e
limsup de uma sequência de números reais. sequências
especiais:Cauchy, Fibonacci, sequencia do numero e.
2. Convergência de séries. Critérios de convergência de séries
numéricas.
3. Introdução à Lei dos grandes números e exemplos
4. Convergência em probabilidade e convergência quase-certa de
sequências de variáveis aleatórias.
5. Sequências de eventos. Liminf e limsup de uma sequências de
eventos; lemas de Borel-Cantelli.
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Apresentação do Curso
Conteúdo Programático
6. Lei fraca dos grandes números. Lei forte de Kolmogorov e
sua recíproca.
7. Funções características. Propriedades de funções
características. Definição de convergência em distribuição.
Funções características e convergência em distribuição.
Teoremas de Slutsky. Método delta.
8. Funções características de vetores aleatórios e Função
geratriz de momentos de vetores aleatórios.
9. Teorema central do limite para sequências i.i.d.
10. Teorema central do limite de Lindeberg e Teorema central do
limite de Liapunov.
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Sequências de Números Reais
Limite de uma sequência
Sequência
Uma sequência de números reais é uma função f : N 7→ R que associa a
cada número natural n um número real f (n) = xn chamado o n-ésimo
termo da sequência. Notação: (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) ou (xn )n∈N
Example 1
1
Sequência dos números pares, em que xn = 2n;
2
Sequência dos números ímpares, em que xn = 2n + 1;
3
Sequência definida por xn = (−1)n−1 ;
4
Sequência dos números primos, (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . . . )
Observação 2.1
Não confunda a sequência (xn )n∈N com o conjunto {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } dos
seus termos. Por exemplo a sequência (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . ) é diferente
da sequência (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, . . . ), mas o conjunto dos seus
termos são iguais {0, 1}.
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Séries Numérica
Séries Convergentes
Definição
Dada uma sequência {an }n∈N e seja sn =
Pn
i=1 an ,
então
s = limn→∞ sn
é denominada uma série. Em que sn é denominada as reduzidas ou somas
parciais da série s e a parcela an é o n-ésimo termo ou termo geral da série.
Se oP
limite s = limn→∞ sn existir, diremos que a serie é convergente e
s= ∞
n=1 an será chamada a soma da serie. Se s = limn→∞ sn não existir,
diremos P
que a serie é divergente. Às vezes é conveniente considerar séries
do tipo ∞
n=1 an , que começam com a0 em vez de a1 .
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Séries Numérica
Séries Convergentes
Exemplo
P
n
n
Seja an = an , com 0 < a < 1, então sn = ∞
n=0 a = 1 + a + . . . a + . . . é
1−an+1
1
crecente e limitada pois an < 1−a pois sn = 1−a .
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Conceitos Básicos
Diremos que uma sequência de eventos (An )n∈N é monótona
não-decrescente se
An ⊂ An+1 para todo n ∈ N
e denotaremos por An ↑. Da mesma forma, diremos que uma sequência de
eventos (An )n∈N é monótona não-crescente se
An ⊃ An+1 para todo n ∈ N
e denotaremos por An ↓. O limite superior de uma sequência de eventos
(An )n∈N é definido por:
∞
lim sup An = lim An = ∩∞
n=1 ∪k=n Ak
Isto significa que o lim sup An é o conjunto dos elementos de Ω que
pertencem a um número infinito dos An , por esta razão frequentemente
denominamos o lim sup An pelo conjunto {An infinita vezes}
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Conceitos Básicos
Do mesmo modo, definimos limite inferior por:
∞
lim inf An = lim An = ∪∞
n=1 ∩k=n Ak
Isto significa que o lim inf An é o conjunto dos elementos de Ω que estão
em todos os An a partir de um certo n. Por essa razão, frequentemente
denominamos o lim inf pelo conjunto,
{An ocorre para todo n suficientemente grande}
Se uma sequência de eventos (An )n∈N tem limite, então,
lim An = lim An = lim An
n→∞
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Teorema
Seja (An )n∈N uma sequência de eventos em Ω, então:
(i) ω ∈ lim sup An se, e somente se, ω ∈ An para um número
infinito de índices;
(ii) ω ∈ lim inf An se, e somente se, ω ∈
/ An para um número
finito de índices;
Demonstração:
Parte (i) Vamos primeiro provar que
∞
ω ∈ lim sup An = ∩∞
n=1 ∪k=n Ak =⇒ ω ∈ An para um número infinito
de índices.
De fato, seja Bn = ∪∞
k=n Ak , então Bn ⊃ Bn+1 ∀n ≥ 1, logo (Bn )n∈N é
uma sequência monótona não crescente,
portanto ω ∈ lim sup An =⇒ ω ∈ ∩∞
n=1 Bn =⇒ ω ∈ Bn para todo
n ≥ 1,
mas isso implica que ω ∈ An para um número infinito de índices, pois
caso contrário, suponha que ω ∈ An apenas para um número finito de
índices,
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Teorema
Demonstração:
logo, seja mn o maior desses índices, então ω ∈
/ Bmn +1 = ∪∞
k=mn +1 Ak .
Nessas condições, segue que se ω ∈ Bn para todo n ≥ 1 e (Bn )n∈N é
monótona não crescente implica que existe uma subsequência
(Amn )n∈N para a qual ω ∈ Amn para todo n ≥ 1.
Reciprocamente, se existe uma subsequência (Amn )n∈N para a qual
ω ∈ Amn para todo n ≥ 1 issso implica que ω ∈ Bn para todo n ≥ 1
logo ω ∈ ∩∞
n=1 Bn = lim sup An
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Teorema
Demonstração:
Parte (ii). Mostremos agora que se ω ∈ lim inf An então ω ∈
/ An para
um número finito de índices.
De fato, seja Cn = ∩∞
k=n Ak , então Cn ⊂ Cn+1 ∀n ≥ 1, logo (Cn )n∈N é
uma sequência monótona não decrescente,
portanto, ω ∈ lim inf An =⇒ ω ∈ ∪∞
n=1 Cn =⇒ ω ∈ Cn0 para algum
n0
isso implica que ω ∈ An para todo n suficientemente grande n ≥ n0 .
Logo, ω ∈
/ An para um número finito de An .
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Teorema
Demonstração:
Mostremos agora que ω ∈
/ An para um número finito de An implica
ω ∈ lim inf An
De fato, se ω ∈
/ An para um número finito de An então tomando n
suficientemente grande n > n0 , implica que ω ∈ An para todo n, isso
∞
implica que ω ∈ Cn0 = ∩∞
k=n) Ak , logo ω ∈ ∪n=1 Cn portanto
.
ω ∈ lim inf An .
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Propriedades do Limsup e do Liminf
∞
lim inf An ⊆ lim sup An . De fato, seja Bn = ∪∞
k=n Ak e Cn = ∩k=n Ak ,
portanto Bn ↓ e Cn ↑ com Bn ⊃ Cn para todo n ≥ 1, logo
∞
lim inf An = ∪∞
n=1 Cn ⊆ ∩n=1 Bn = lim sup An .
lim inf An
lim inf An
c
c
= lim sup Acn . De fato,
=
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∪∞
n=1 Cn
c
c
∞
∞
c
c
= ∩∞
n=1 Cn = ∩n=1 ∪k=n Ak = lim sup An
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14 / 20
Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Teorema
Seja (An )n∈N uma sequência monótona de eventos, então:
Se An ↑, então limn→∞ An = ∪∞
n=1 An ;
Se An ↓, então limn→∞ An = ∩∞
n=1 An
Demonstração:
De fato, se An ↑, então
∞
∞
lim inf An = ∪∞
n=1 ∩k=n Ak = ∪n=1 An
e
∞
∞
lim sup An = ∩∞
n=1 ∪k=n Ak ⊆ ∪n=1 An = lim inf An
por outro lado,
lim inf An ⊆ lim sup An
logo,
lim sup An = lim inf An = ∪∞
n=1 An
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Teorema
Considere agora que An ↓, então
∞
∞
lim sup An = ∩∞
n=1 ∪k=n Ak = ∩n=1 An
e
∞
∞
lim inf An = ∪∞
n=1 ∩k=n Ak ⊇ ∩n=1 An = lim sup An
por outro lado
lim inf An ⊆ lim sup An
logo,
lim sup An = lim inf An = ∩∞
n=1 An
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Definição: Medida de Probabilidade
Uma função P, definida na σ-álgebra F de subconjuntos de Ω e com valore
em [0, 1], é uma medida de probabilidade se satisfaz:
(A1) P(Ω) = 1;
(A2) Para todo A ∈ F, P(A) ≥ 0;
(A3) Para toda sequência (An )n∈N em F, mutuamente exclusivos
tem-se que
∞
X
P ∪∞
A
=
P(An ).
n
n=1
n=1
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Propriedades
(P1) P(A) = 1 − P(Ac );
(P2) P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B);
(P3) Se A ⊂ B então P(A) ≤ P(B);
(P4) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B);
(P5) Para uma sequência (An )n∈N qualquer em F, tem-se que,
P
∪∞
n=1
An ≤
∞
X
P(An ).
n=1
(P6) Se An ↑ A então P(An ) ↑ P(A). De forma similar se An ↓ A
então P(An ) ↓ P(A).
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Propriedades: Demonstração
Vamos demonstrar apenas as propriedade (P5) e (P6). Para provar a
propriedade (P5) , basta escrever ∪∞
n=1 An como uma união de eventos
disjuntos. Assim
n−1 c
c
c
c
∞
∪∞
n=1 An = A1 ∪ (A2 ∩ A1 ) ∪ (A3 ∩ A1 ∩ A2 ) ∪ · · · = A1 ∪n=2 An ∩i=1 Ai
portanto, por (A3) segue que
∞
X
n−1 c
A
=
P(A
)
+
P
A
∩
A
P ∪∞
n
1
n
n=1
i=1 i
n=2
Agora note que,
P(An ) ≥ P
An ∩n−1
i=1
Aci
=⇒ P
∪∞
n=1
An ≤
∞
X
P(An ).
n=1
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Convergência de Variáveis Aleatórias
Conceitos e Resultados Básicos
Lema de Borel Cantelli
Seja (An )n∈N uma sequência de eventos em (Ω, F, P)com pn = P(An ) para
todo n ≥ 1, então:
P
(i) Se ∞
n=1 pn < ∞ então P(lim sup An ) = P(An i.v) = 0;
P∞
(ii) Se n=1 pn = ∞ e (An )n∈N é uma sequência de eventos
independentes, então P(lim sup An ) = P(An i.v) = 1;
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