Apontamentos teóricos

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Engenharia de Ambiente
Apontamentos da disciplina de
Complementos de Análise Matemática
Isabel Duarte
Ano lectivo 2006/2007
1. Elementos de Análise Vectorial
1
1.1. Campos vectoriais
Vamos estudar funções que a cada ponto P do plano ou do espaço associa um vector. Estas
funções chamam-se campos vectoriais. As suas principais aplicações envolvem campos de
velocidades, tais como correntes marítimas e velocidades do vento, e campos de forças,
como por exemplo o campo de forças gravitacional.
De entre os campos vectoriais, uns dos mais importantes são os conservativos, isto é,
aqueles em que há conservação de energia (a soma da energia cinética com a energia
potencial é constante), como é o caso do campo gravitacional e do campo magnético.
Os campos gravitacionais são definidos através da lei gravitacional de Newton
F ( x, y, z ) =
− Gm1m2
x2 + y2 + z2
u,
sendo G a constante de gravidade, m1 e m2 as massas das partículas localizadas em (x,y,z)
e (0,0,0) e u o vector unitário que vai desde (0,0,0) a (x,y,z).
Os campos de forças eléctricas são definidos através da lei de Coulomb
F ( x, y, z ) =
cq1q2
r
2
u,
sendo q1 e q2 as cargas eléctricas das partículas localizadas em (x,y,z) e (0,0,0), u o vector
unitário que vai desde (0,0,0) a (x,y,z) e c uma constante.
Estes dois campos são definidos do mesmo modo, F ( x, y, z ) =
k
r
2
u=
k
r
2
r
k
=
r.
3
r
r
Todos os campos assim definidos chamam-se campos quadrado inverso.
Na figura seguinte está representado um campo vectorial de uma roda a girar em torno de
um eixo.
1. Elementos de Análise Vectorial
2
Definição: Sejam M e N funções de x e y definidas numa região R do plano. A função
dada por
F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j
chama-se campo vectorial sobre R.
Sejam M, N e P funções de x, y e z definidas numa região Q do espaço. A função dada por
F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k
chama-se campo vectorial sobre Q.
Exemplo 1: Descrição do campo vectorial F sendo F(x,y)=
(
xi + yj
2
10 x + y
2
)
Exemplo 2: Descrição do campo vectorial F sendo F(x,y,z)=xi+yj+zk
3
.
2
1. Elementos de Análise Vectorial
3
O gradiente de uma função f, sendo dado por
(
grad f ( x, y, z ) = ∇f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z ), f y ( x, y, z ), f z ( x, y, z )
)
ou
∇f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z )i + f y ( x, y, z ) j + f z ( x, y, z )k
é um exemplo de um campo vectorial.
Exemplo 3: Descrição do campo vectorial gradiente de f(x,y)=x+y.
∇f ( x, y ) = 1i + ij
Definição: Um campo vectorial F é conservativo numa região se for o campo vectorial de
alguma função f naquela região, isto é, se existir uma função diferenciável f tal que F=∇f.
A função f chama-se função potencial de F na região.
Exemplo: Um campo quadrado inverso é conservativo em qualquer região que não
contenha a origem. A função f ( x, y ) = −
vectorial F ( x, y ) =
(x
c
2
+y
2
)
3
(x
c
2
+y
2
)
1
é a função potencial do campo
2
(xi + yj ) .
2
Podemos utilizar uma condição necessária e suficiente para mais facilmente ver se um
campo vectorial é conservativo.
1. Elementos de Análise Vectorial
4
Teorema: Se M e N tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa bola
aberta R, o campo vectorial dado por F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j é conservativo sse
∂N ∂M
=
.
∂x
∂y
Antes de ver uma condição necessária e suficiente para ver se um campo vectorial é
conservativo no espaço, vamos ver algumas definições:
Definição: Gradiente, é um operador que, em três dimensões, é dado por
∇=i
∂
∂
∂
+ j +k .
∂x
∂y
∂z
Nota: Conhecemos já o gradiente, mas ligado a uma função.
Definição: O rotacional de F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k, onde M, N e P têm
derivadas parciais em alguma região é dado por
i
j
k
∂
rot F = ∇ x F=
∂x
∂
∂y
∂
,
∂z
M
N
P
isto é,
⎛ ∂ P ∂ N ⎞ ⎛ ∂M ∂ P ⎞
⎛ ∂ N ∂M ⎞
⎟⎟i + ⎜
⎟k .
−
−
−
rotF = ⎜⎜
⎟ j + ⎜⎜
∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎟⎠
⎝ ∂ y ∂z ⎠ ⎝ ∂ z
Teorema: Se M, N e P tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa bola
aberta Q, o campo vectorial dado por F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k é
conservativo sse rotF=0, isto é sse
∂P ∂N ∂P ∂M ∂N ∂M
,
,
.
=
=
=
∂y ∂z
∂x ∂z
∂x
∂y
1.2. Integrais curvilíneos
O conceito de integral curvilíneo é uma generalização do integral definido.
⎧x = g( t )
, a ≤ t ≤ b , com g e h funções
Seja C uma curva dada parametricamente por ⎨
⎩ y = h( t )
definidas em [a,b]. Seja f uma função definida numa região R que contém C. Sejam A e B
os pontos de C determinados por t=a e t=b. Consideremos para sentido positivo, ao longo
de C, o sentido dos valores crescentes de t.
1. Elementos de Análise Vectorial
5
Consideremos uma partição do intervalo [a,b] da forma a=t0<t1<….<tn=b.
Esta partição conduz à partição de C em n sub-arcos Pi −1 Pi , onde Pi=(xi,yi) é o ponto
correspondente a ti. Sejam ∆si o comprimento do arco Pi−1Pi , ∆xi=xi-xi-1 e ∆yi= yi-yi-1. A
norma da partição de C, ∆ é o maior dos comprimentos ∆si.
Se, para cada um dos arcos, escolhermos um ponto Qi (ui,vi) e multiplicarmos a sua
imagem por f, pelo comprimento do arco, obtemos a soma
n
∑ f (ui , vi )∆si .
i =1
Pi
yi
vi
yi-1
Q1 P1
A=P0
x0
x1
P2
x2
Pi-1
Qi
Pn=B
C
xi-1 ui xi
xn
Se, como nos integrais definidos, existe limite, L, desta soma, quando n→∞ e
∆ →0,
independente da partição de [a,b] e dos pontos considerados em cada um dos arcos, então
L é chamado integral curvilíneo de f ao longo de C e escreve-se
∫ f ( x, y )ds .
c
Se a função f for contínua em R então o limite de
n
∑ f (ui , vi )∆si existe e é o mesmo para
i =1
todas as representações paramétricas de C com a mesma orientação.
Tudo o que foi visto pode ser generalizado para o caso da curva ser do espaço.
Definição: Seja f uma função definida numa região que contém uma curva C. O integral
curvilíneo de f ao longo de C, de A para B é dado por
∫
c
no plano e por
f ( x, y )ds = lim
n
∑ f (ui , vi )∆si
∆ → 0 i =1
1. Elementos de Análise Vectorial
6
∫ f ( x , y , z )ds =
c
n
lim
∑ f ( u i , v i , w i ) ∆ si
∆ → 0 i=1
no espaço, caso exista o limite.
Note-se que:
∆si
Pi
∆yi
Pi-1
∆xi
Então
⎛ ∆x
∆ si ≈ ∆ xi + ∆ y i = ⎜⎜ i
⎝ ∆t i
2
2
2
2
⎞
⎛ ∆y ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ i ⎟⎟ ∆t i
⎠
⎝ ∆t i ⎠
n
⎛ ∆x
Logo ∫ f ( x, y )ds = lim ∑ f (u i , vi ) ⎜⎜ i
∆ → 0 i =1
⎝ ∆t i
c
2
⎞
⎛ ∆y
⎟⎟ + ⎜⎜ i
⎠
⎝ ∆t i
Isto sugere-nos uma maneira mais fácil de calcular
2
⎞
⎟⎟ ∆t i
⎠
∫ f ( x, y )ds
c
Teorema: Seja f contínua numa região que contém uma curva suave C. Se C for dada
⎧x = g( t )
, a ≤ t ≤ b , então
por ⎨
⎩ y = h( t )
∫
c
b
f ( x, y )ds = ∫ f ( g (t ), h(t )) [g ' (t )]2 + [h' (t )]2 dt
a
⎧ x = g( t )
⎪
Se C for dada por ⎨ y = h( t ), a ≤ t ≤ b , então
⎪z = m( t )
⎩
b
2
2
2
∫ f ( x, y, z )ds = ∫ f ( g( t ), h( t ), m( t )) [ g '( t )] + [ h'( t )] + [ m'( t )] dt .
c
a
Se uma curva C for a reunião de um número finito de curvas, em que o último ponto de
uma, coincide com o primeiro da seguinte, o integral curvilíneo de f ao longo da curva C, é
igual à soma dos integrais curvilíneos ao longo de cada uma das curvas individuais.
1. Elementos de Análise Vectorial
7
Exemplo: Calcule ∫ xy 2 ds para C dada por x=cost, y=sent, 0≤ t ≤
c
π
2
.
π
2
2
2
2
2
∫ xy ds = ∫ cos t.sen t ( −sent ) + cos t dt =
0
c
π
⎡ sen3t ⎤ 2 1
=⎢
⎥ =
3
⎣⎢ 3 ⎦⎥ 0
As propriedades do integral curvilíneo podem ser demonstradas da mesma forma que para
os outros integrais.
Geometricamente, se f(x,y)≥0 em R, f (u i , vi )∆si dá a área de uma faixa com base Pi−1Pi
do plano xy e altura f (u i , vi ) . O limite da soma dá a área da parte de um “cilindro” de
directriz C e geratrizes paralelas ao eixo dos zz, situada entre a superfície z=f(x,y) e o
plano xy.
Podemos obter dois tipos diferentes de integrais curvilíneos utilizando ∆xi e ∆yi em lugar
de ∆si . São chamados integrais curvilíneos de f ao longo de C em relação a x e a y,
respectivamente.
Assim
∫
f ( x, y )dx = lim
∫
f ( x, y )dy = lim
∑ f (ui , vi )∆xi
∆ →0 i =1
c
n
∑ f (ui , vi )∆yi
∆ →0 i =1
c
Podemos também escrever
n
B
∫ f ( x, y )dx
A
e
B
∫ f ( x, y )dy , para evidenciar os extremos de C.
A
Teorema: Seja f contínua numa região que contém uma curva suave C. Se C for dada
⎧x = g( t )
por ⎨
, a ≤ t ≤ b , então
⎩ y = h( t )
∫
c
e
b
f ( x, y )dx = ∫ f ( g (t ), h(t )).g ′(t )dt
a
1. Elementos de Análise Vectorial
∫
c
8
b
f ( x, y )dy = ∫ f ( g (t ), h(t )).h ′(t )dt
a
Exemplo 1:
∫ f ( x, y )dx
Calcule
e
c
∫ f ( x, y )dy ,
sendo f(x,y)=xy2 e C a parte da parábola y=x2 de
c
A=(0,0) a B=(2,4)
⎧⎪ x = t
, 0 ≤ t ≤ 2 . Então
⎪⎩ y = t 2
A curva pode ser parametrizada por ⎨
2
∫
f ( x, y )dx = ∫ xy dx = ∫ t.t 4 .1dt =
∫
f ( x, y )dy = ∫ xy 2 dy = ∫ t.t 4 .2tdt =
c
c
2
0
c
2
c
0
2 6 32
=
6
3
28
7
Exemplo 2:
Calcule
∫ yzdx + xzdy + xydz , onde C é dada por x=t,y=t ,z=t ; 0≤t≤2.
2
3
c
∫ yzdx + xzdy + xydz =
c
∫ (t t
2
0
2 3
)
2
+ t.t 3 .2t + t.t 2 .3t 2 dt = ∫ 6t 5 dt = 64
0
Teorema: Sendo C uma curva percorrida no sentido de A para B, designemos por -C a
curva percorrida em sentido contrário, isto é de B para A. Temos:
(i)
∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y )ds
c
(ii)
∫ f ( x, y )dx = − ∫
f ( x , y )dx
∫ f ( x, y )dy = − ∫
f ( x , y )dy
c
(iii)
−c
c
−c
−c
Os integrais curvilíneos servem para calcular algumas quantidades, tais como áreas,
comprimento de arcos, trabalho.
1. Elementos de Análise Vectorial
9
Exemplo: Determine a área da superfície de geratrizes
paralelas ao eixo dos zz e de directriz a circunferência
x 2 + y 2 = 1 , situada entre o plano xy e o parabolóide
z = 1− x2 .
A área pode ser calculada através do integral curvilíneo
∫ (1 − x
2
)ds , sendo C a circunferência.
c
Então,
atendendo
a
que
uma
parametrização
da
circunferência
pode
ser
⎧ x = cos t
,0 ≤ t ≤ 2π
⎨
⎩ y = sin t
2
A = ∫ (1 − x )ds =
c
2π
∫ (1 − cos
2
2
2π
2
t ) (− sin t ) + cos t dt =
0
∫ sin
2
tdt = π
0
Teorema: Sendo C uma curva suave quer no plano quer no espaço, o comprimento do
arco L, é dado por
L=
∫c ds
O calculo do trabalho realizado por uma força quando um objecto se desloca sobre uma
curva C é uma das suas aplicações físicas mais importantes.
Começamos por subdividir C como anteriormente em arcos Pi −1 Pi e seja Qi(ui,vi,wi)∈
Pi −1 Pi .
Se
∆
é
pequena,
então
o
trabalho
realizado
por
F(x,y,z)=
M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k ao longo do arco Pi −1 Pi , ∆Wi, pode ser aproximado pelo
trabalho realizado pela força constante F(ui,vi,wi), quando o seu ponto de aplicação se
desloca ao longo do vector Pi −1 Pi . O vector Pi −1 Pi corresponde ao vector (∆xi,∆yi,,∆zi) de
V3.
→
Como o trabalho realizado por uma força constante PQ , quando o seu ponto de aplicação
→
→
→
se desloca ao longo de um vector PR é dado por PQ . PR , no nosso caso temos que
∆Wi≈ F(ui,vi,wi). (∆xi,∆yi,,∆zi)= M(ui,vi,wi)∆xi+N(ui,vi,wi)∆yi +P(ui,vi,wi)∆zi
Podemos então estabelecer:
1. Elementos de Análise Vectorial
10
Definição: Se C é uma curva suave num campo de forças F, o trabalho realizado por F ao
∑ ∆Wi ,
longo de C é dado por W=
∆ →0
isto é
W =
∑ M(ui ,vi ,wi )∆xi + N(ui ,vi ,wi )∆yi + P(ui ,vi ,wi )∆zi ,
∆ →0
donde
W= ∫ M(x,y,z)dx+N(x,y,z)dy+P(x,y,z)dz
C
Nota: O trabalho determina-se de forma análoga para um campo vectorial no plano.
Por outro lado, como o arco é muito pequeno, podemos assumir que a partícula se move aí,
na direcção do vector tangente unitário Ti(ui, vi, wi). Sendo assim
∆Wi≈ F(ui,vi,wi). (∆si. Ti(ui, vi, wi))=( F(ui,vi,wi). Ti(ui, vi, wi)) ∆si
Podemos então escrever:
Definição: Sendo C é uma curva suave num campo de forças F e T(x,y,z) o vector tangente
unitário a C no ponto P(x,y,z), o trabalho W realizado por F ao longo de C é dado por
∫ F ( x, y, z ).T ( x, y, z )ds
c
Nota: As duas fórmulas são equivalentes, atendendo a que
T =
dr
,
ds
sendo
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k .
b
W= ∫ F .Tds = ∫ F .
c
a
dr dt
ds = ∫ F .dr = ∫ Mdx + Ndy + Pdz , sendo F = Mi + Nj + Pk .
dt ds
c
c
Exemplo:
Determinar o trabalho realizado pelo campo de forças F ( x, y, z ) = xi − xyj + z 2 k , para
mover uma partícula ao longo da hélice dada por r(t) = cos ti + sentj + tk , desde o ponto
(0,0,0) até (-1,0,3π).
1. Elementos de Análise Vectorial
11
W = ∫ Mdx + Ndy + Pdz = ∫ xdx − xydy + z 2 dz =
c
3π
c
3π
3π
∫ (cos t (−sent ) − cos t.sent. cos t + t
2
)dt =
0
3π
⎡t 3 ⎤
⎡ cos 3 t ⎤
⎡ cos 2 t ⎤
2
3
+
+
=⎢
⎢ ⎥ = − + 9π
⎥
⎢
⎥
3
⎢⎣ 3 ⎥⎦ 0
⎢⎣ 3 ⎥⎦ 0
⎢⎣ 2 ⎥⎦ 0
Nota: O trabalho realizado por um campo de forças pode ser negativo. Isto acontece
quando o campo impede o movimento ao longo da curva. Na figura seguinte vemos um
caso em que isso acontece.
1.3. Independência do caminho
Se determinarmos o integral curvilíneo, ∫ F .dr , num campo vectorial conservativo, ao
c
longo de três caminhos distintos, vemos que o valor não se altera.
Podemos constatar isso com a resolução do problema seguinte:
Calcular o trabalho realizado pelo campo de forças F(x,y)=4xyi + 2x2j quando uma
partícula se move de (0,0) a (1,1) ao longo dos caminhos i) y=x; ii) x=y2; iii) y=x3.
Isto é-nos garantido pelo teorema:
Teorema fundamental dos integrais curvilíneos: Seja C uma curva suave, contida numa
⎧x = g( t )
região aberta R, dada por ⎨
, a ≤ t ≤ b . Se F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j é conservativo
⎩ y = h( t )
em R e M e N são contínuas em R, então
1. Elementos de Análise Vectorial
12
∫ F .dr = ∫ ∇f .dr = f ( g (b), h(b)) − f ( g (a), h(a))
c
c
em que f é uma função potencial de F.
Nota: Este teorema é aplicável para curvas contidas numa região do espaço.
Temos então que se o campo vectorial é conservativo o integral curvilíneo de F.dr entre
dois quaisquer pontos, é igual à diferença da função potencial nesses pontos. Sendo assim
num campo conservativo o valor do integral curvilíneo ∫ F.dr é o mesmo para qualquer
c
curva suave C contida em R entre dois pontos fixos. Dizemos então que
∫ F.dr é
c
independente do caminho na região R.
Teorema: Se F é contínua numa região aberta e convexa, então o integral curvilíneo
∫ F.dr é independente do caminho se e só se F=∇f para algum f, isto é, se e só se o campo
c
F é conservativo.
Exemplo: Seja F(x,y)=(2x+y3)i+(3xy2+4)j. Mostre que o integral curvilíneo ∫ F.dr é
c
(2,3)
independente do caminho e calcule ∫ F.dr .
(0,1)
O integral é independente do caminho sse
Como,
∂N ∂M
=
.
∂x
∂y
∂M
∂N
= 3y 2 e
= 3 y 2 , é independente do caminho.
∂y
∂x
(2,3)
Sendo assim
∫ F.dr =
f (2,3) − f (0,1)
(0,1)
C.A.
∂f
∂f
= 3 y 2 x + k ′( y )
= 2 x + y 3 ⇒ f ( x, y ) = x 2 + y 3 x + k ( y ) ⇒
∂y
∂x
∂f
= 3 xy 2 + 4
∂y
k ′( y ) = 4 ⇒ k ( y ) = 4 y + C
Logo f ( x, y ) = x 2 + y 3 x + 4 y + C
1. Elementos de Análise Vectorial
( 2 ,3 )
Então
∫ F.dr = f (2,3) − f (0,1) = 2
13
2
+ 33.2 + 4.3 + C − 4 − C = 66
( 0 ,1 )
1.4. Teorema de Green
O teorema de Green diz-nos que o integral duplo sobre uma região simplesmente convexa1
R é igual ao valor do integral curvilíneo sobre a fronteira de R.
Teorema de Green: Seja R uma região simplesmente convexa e C a sua fronteira,
considerada com sentido positivo (contrário ao dos ponteiros do relógio). Se M e N são
funções contínuas com derivadas parciais de 1ª ordem também contínuas numa região
aberta D que contém R, então
⎛ ∂N
∫ Mdx + Ndy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x −
C
R
∂M
∂y
⎞
⎟⎟dA
⎠
Demonstração: Para mostrar esta igualdade temos de provar que
∫ Mdx = −∫∫
C
que ∫ Ndy = ∫∫
C
R
R
∂M
dA e
∂y
∂N
dA . Vamos mostrar apenas a segunda igualdade, pois de modo análogo
∂x
se prova a outra. Consideremos uma região R
d
C
x=g1(y)
R
x=g2(y)
c
Temos
d
c
c
d
∫ N ( x, y)dy = ∫ N ( x, y)dy + ∫ N ( x, y)dy = ∫ N ( g 2 ( y), y)dy + ∫ N ( g1 ( y), y)dy =
C
C1
C2
d
d
c
c
∫ N ( g 2 ( y), y)dy − ∫ N ( g1 ( y), y)dy
Por outro lado
1
Uma curva plana diz-se simples se não se cruza em si mesma. Uma região plana R é simplesmente convexa se é
limitada por uma única curva fechada simples.
1. Elementos de Análise Vectorial
d g2 ( y)
∂N
∫∫ ∂x ( x, y)dA = ∫
R
∫
c g1 ( y )
14
d
∂N
g ( y)
( x, y )dxdy = ∫ [N ( x, y )]g 2( y ) dy
1
∂x
c
d
=
∫ [N ( g 2 ( y), y) − N ( g1 ( y), y)]dx
c
Exemplos:
1. Calcule ∫ 5 xydx + x 3dy , onde C é a curva dada por y=x2 e y=2x de (0,0) a (2,4)
C
∫ 5xydx + x
C
2 2x
∫ ∫ (3x
2
∫ (− 3x
4
0 x2
2
3
(
)
dy = ∫∫ 3x 2 − 5 x dA =
R
)
2
[
]
2x
− 5 x dydx = ∫ 3 x 2 y − 5 xy x 2 dx =
0
)
+ 11x 3 − 10 x 2 dx =
0
2
⎡ x5
28
x4
x3 ⎤
= ⎢− 3
+ 11
− 10 ⎥ = −
5
4
3 ⎦⎥
15
⎣⎢
0
2. Calcule
3x
∫ x 2 + y 2 dx + 2 xdy , sendo C o quadrado [-1,2]x[-1,2]
c
Como a função M ( x, y ) =
3x
x2 + y2
não é contínua em (0,0), não
2
C3
podemos utilizar o teorema de Green. Sendo assim vamos calcular o
C4
integral curvilíneo por definição, calculando o integral ao longo de
cada um dos 4 caminhos, C1, C2, C3 e C4.
Comecemos por parametrizar os caminhos:
⎧x = t
⎧x = 2
, −1 ≤ t ≤ 2 , C 2 : ⎨
C1 : ⎨
, −1 ≤ t ≤ 2 ,
⎩ y = −1
⎩y = t
⎧x = t
⎧ x = −1
− C3 : ⎨
, −1 ≤ t ≤ 2
, −1 ≤ t ≤ 2 , − C 4 : ⎨
⎩y = 2
⎩y = t
Então
C1
-1
-1
C2
2
1. Elementos de Análise Vectorial
3x
15
3x
3x
∫ x 2 + y 2 dx + 2 xdy = ∫ x 2 + y 2 dx + 2 xdy + ∫
c
−
2
2
2
C2 x + y
C1
3x
∫
2
C3 x + y
2
dx + 2 xdy −
2
3t
∫
3x
2
C4 x + y
2
2
dx + 2 xdy −
dx + 2 xdy =
2
3t
∫ t 2 + 1dt + ∫ 4dt − ∫ t 2 + 4dt + ∫ 2dt =
−1
−1
−1
−1
2
2
3 8
3 25
3 5
⎡3
⎤
⎡3
⎤
2
2
2
⎢⎣ 2 ln t + 1 ⎥⎦ + [6t ]−1 − ⎢⎣ 2 ln t + 4 ⎥⎦ = 2 ln( 2 ) + 18 − 2 ln( 5 ) = 2 ln( 16 ) + 18
−1
−1
O teorema de Green também pode ser utilizado para obter uma fórmula para calcular a
área de uma região limitada por uma curva fechada simples parcialmente suave C.
Com efeito, se em
⎛ ∂N
∫ Mdx + Ndy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x
C
∫∫ 1dA = ∫ xdy
R
R
−
∂M
∂y
e se fizermos M=y e N=0 temos
C
⎞
⎟⎟dA fizermos M=0 e N=x, temos
⎠
∫∫1dA = − ∫ ydx . Como ∫∫1dA
R
C
nos dá a
R
área de R, destas duas igualdades podemos tirar que
A=
1
xdy − ydx .
2∫
C
Exemplo: Calcule a área da região limitada pela elipse
1
1
A = ∫ xdy − ydx =
2
2
C
2π
=
x2
a2
+
2π
2π
0
0
1
∫ (a cos t.b cos t + bsent.asent )dt = 2
y2
b2
=1
∫ (ab cos
2
)
t + absen 2 t dt =
ab
ab 2π
[t ] = πab
1dt =
∫
2
2 0
0
1.5. Integrais de Superfície
Vamos agora considerar um integral de uma função sobre uma superfície. Seja S o gráfico
de z=f(x,y), em que a sua projecção R num dos planos coordenados, neste caso considerase xy, é uma região do tipo das que aparecem nos integrais duplos. Suponhamos que f tem
derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O integral de uma função g(x,y,z) sobre
uma superfície S, sendo g definida numa região que contém S obtém-se de modo análogo
ao que tem sido feito até aqui. Considera-se uma partição interior de R em rectângulos Ri .
Considera-se um ponto Pi(xi, yi, 0) em cada um desses rectângulos. A este ponto
1. Elementos de Análise Vectorial
16
corresponde o ponto Bi(xi, yi, zi) de S. Considera-se também o plano tangente a S em Bi .
Seja ∆Si a área da superfície de S e ∆Ti a área da região do plano tangente cuja projecção
em R é o rectângulo Ri . Quando a norma da partição tende para zero, a área ∆Ti é uma
boa aproximação para a área ∆Si e sendo assim Σ∆Ti é uma boa aproximação para a área
n
de S. Podemos considerar a soma ∑ g ( xi , y i , z i )∆Ti . Se existir o limite desta soma quando
i =1
a norma da partição tender para zero, esse limite dá o integral de superfície de g sobre S e
escreve-se
∫∫ g( x , y , z )dS .
S
Definição: Seja g uma função definida numa região que contém uma superfície S. O
integral de superfície de g sobre S é dado por
∫∫ g( x , y , z )dS =
S
n
lim
∑ g( xi , yi , zi )∆Ti
∆ →0 i = 1
desde que o limite exista.
Teorema: Seja S uma superfície de equação z=f(x,y) e R a sua projecção no plano xy. Se f
é contínua em R e tem aí derivadas de 1ª ordem contínuas e g é contínua em S, então o
integral de superfície de g sobre S é dado por
2
2
∫∫ g ( x, y, z )dS = ∫∫ g ( x, y, f ( x, y)) [ f x ( x, y)] + [ f y ( x, y)] + 1dA
S
R
Nota: Se g(x,y,z)=1 então o integral de superfície dá a área da superfície S.
Exemplo: Calcule ∫∫ x 2 zdS , onde S é a porção do cone z2=x2+y2 que está entre os planos
S
z=1 e z=4.
∫∫ x
S
2
zdS = ∫∫ x
2
x +y
2
R
2
x2
y2
+
+ 1dA =
x2 + y2 x2 + y2
2π 4
(
)
= 2 ∫∫ x 2 x 2 + y 2 dA = 2 ∫ ∫ ρ 2 cos 2 θρρ dρdθ =
0 1
R
4
2π
⎡ρ5 ⎤
⎛ 4 5 1 ⎞2π 1 + cos 2θ
= 2 ∫ cos θ ⎢ ⎥ dθ = 2 ⎜⎜ − ⎟⎟ ∫
dθ =
2
⎣ 5 ⎦1
⎝ 5 5⎠ 0
0
2
z = x2 + y2
2x
fx =
2 x2 + y2
2y
fy =
2 x2 + y2
1. Elementos de Análise Vectorial
17
2π
⎛ 45 1 ⎞ ⎡ 1
⎛ 45 1 ⎞
1
⎤
= 2 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎢ θ + sen2θ ⎥ = 2 ⎜⎜ − ⎟⎟π
4
⎦0
⎝ 5 5 ⎠⎣ 2
⎝ 5 5⎠
Se a equação de S é y=h(x,z), onde h tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas e
S tem projecção R1 regular sobre o plano xz então
2
2
∫∫ g ( x, y, z )dS = ∫∫ g ( x, h( x, z ), z ) [h x ( x, z )] + [h z ( x, z )] + 1dA
S
R1
De modo análogo, se a equação de S é x=m(y,z), onde m tem derivadas parciais de
primeira ordem contínuas e S tem projecção R2 regular sobre o plano yz então
2
2
∫∫ g ( x, y, z )dS = ∫∫ g (m( y, z ), y, z ) [m y ( y, z )] + [m z ( y, z )] + 1dA
S
R2
No cálculo de alguns integrais curvilíneos utilizámos vectores tangentes à curva C.
Podemos proceder de modo análogo, considerando agora vectores normais à superfície S.
Pode não existir vector normal a uma superfície, mas no caso de existir pode calcular-se
através do vector gradiente.
Seja uma superfície S dada por z=f(x,y). Um vector normal a esta superfície é o vector
gradiente da função g(x,y,z)=z-f(x,y), isto é
∇g ( x , y , z ) = g x ( x , y , z )i + g y ( x , y , z ) j + g z ( x , y , z )k = − f x ( x , y )i − f y ( x , y ) j + k
Um vector normal unitário à superfície, n, será o versor de ∇g ( x, y, z ) , isto é
n=
Nota: O vector − n = −
∇g ( x , y , z )
=
∇g ( x , y , z )
− f x ( x , y )i − f y ( x , y ) j + k
( f x ( x , y ))2 + ( f y ( x , y ))2 + 1
∇g ( x , y , z )
é também um vector unitário, normal à superfície. É
∇g ( x , y , z )
um vector normal unitário inferior.
Se a superfície for dada por y=h(x,z), um vector normal a esta superfície é o vector
gradiente da função g(x,y,z)=y-h(x,z), isto é
∇g ( x , y , z ) = g x ( x , y , z )i + g y ( x , y , z ) j + g z ( x , y , z )k = −h x ( x , z )i + j − h z ( x , z )k
e de modo análogo se calcula um vector normal à superfície dada por x=m(y,z).
1. Elementos de Análise Vectorial
18
Nota: Se for possível calcular um vector normal a cada ponto de uma superfície S, então
essa superfície é chamada orientada.
Se a superfície S for fechada a orientação positiva é aquela em que os vectores normais são
exteriores à superfície e a orientação negativa é aquela em que os vectores são interiores à
superfície.
Definição: Se existir um vector normal unitário, n, a qualquer ponto da fronteira de S,
∫∫ F .ndS
define vectorialmente um integral de superfície, sendo F um campo vectorial
S
definido numa região que contém S.
Uma das aplicações dos integrais de superfície é o cálculo do volume de um fluido que
atravessa uma superfície S.
Suponhamos uma superfície S, com vector normal unitário n, a qualquer ponto, submersa
num fluido que tem um campo de velocidades contínuo v e uma densidade ρ. Seja ∆Si a
área de uma pequena região de S. Sendo essa região muito pequena podemos aí considerar
a força constante. Então a quantidade de fluido que atravessa ∆Si na unidade de tempo,
taxa de vazão, pode ser aproximada pelo volume de um cilindro de área de base ∆Si e
altura F.n (F=(ρv)).
(2)
F.n
(1)
F.T
(1)
é a componente tangencial da velocidade (força) (ao longo da superfície). Esta não
influi no fluxo através de S.
(2)
Componente normal da velocidade (perpendicular à superfície).
Então
∆Vi=(F.n) ∆Si
1. Elementos de Análise Vectorial
19
Somando todas as quantidades e calculando o limite, obtemos
∫∫ F .ndS , que fisicamente
S
nos dá a taxa de vazão através de S.
Definição: Seja F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k, onde M, N e P têm derivadas
parciais de 1ª ordem contínuas na superfície S, tendo esta superfície n como vector normal
unitário. O fluxo de F através de S por unidade de tempo é dado por
∫∫ F .ndS
S
Exemplo: Seja S a parte do parabolóide z = 4 − x 2 − y 2 situada acima do plano xy . Essa
superfície tem um vector normal unitário superior. Um fluido de densidade 1 com um
campo de velocidades v(x,y,z)=xi+yj+zk, flue através da superfície S. Determine o fluxo
de F através de S.
F = ∫∫ F .ndS = ∫∫
S
=
∫∫
S
∫∫ x
Rxoy
2
2
4x + 4 y + 1
2x 2 + 2 y 2 + 4 − x 2 − y 2
4x 2 + 4 y 2 + 1
R xoy
=
2x 2 + 2 y 2 + z
2
2
2 2π
+ y + 4dA = ∫
∫ (ρ
0 0
2
dS =
n=
4 x 2 + 4 y 2 + 1dA =
)
2
=
(
∇
=
∇
2 xi + 2 yi + 1k
4x 2 + 4 y 2 + 1
)
+ 4 ρ dθdρ = 2π ∫ ρ 3 + 4 ρ dρ = 24π
0
Nota: Os integrais de fluxo podem escrever-se de uma forma mais simplificada atendendo
⎛ ∇g ( x , y , z )
a que ⎜⎜
⎝ ∇g ( x , y , z )
⎞
⎟dS = ∇g ( x, y, z )dA
⎟
⎠
Teorema: Se S é uma superfície dada por z=g(x,y) e R é a sua projecção no plano xy,
então
∫∫ F .ndS = ∫∫ F .(− g x ( x, y)i − g y ( x, y) j + k )dA
S
R
ou
∫∫ F .ndS = ∫∫ F .( g x ( x, y)i + g y ( x, y) j − k )dA
S
R
conforme o vector normal unitário é superior ou inferior.
1. Elementos de Análise Vectorial
20
1.6. Teoremas de Gauss e de Stokes
Vamos começar por definir uma função num campo vectorial.
Definição: A divergência de F(x,y)=Mi+Nj é
divF ( x, y ) = ∇.F ( x, y ) =
∂M ∂N
+
∂x ∂y
A divergência de F(x,y,z)=Mi+Nj+Pk é
divF ( x, y, z ) = ∇.F ( x, y, z ) =
∂M ∂N ∂P
+
+
∂x ∂y ∂z
O teorema de Green diz-nos que, sendo F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j e C uma curva fechada
que delimita uma região R, nas condições do teorema
⎛ ∂N
∫ F .Tds = ∫ Mdx + Ndy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x
C
C
−
R
∂M
∂y
⎞
⎟⎟dA
⎠
Se T=x'(t)i+y'(t)j for um vector unitário tangente à curva, um vector normal unitário para
fora da região R será n=y'(t)i-x'(t)j.
Para a mesma função F, podemos, utilizando o teorema de Green, calcular ∫ F .nds .
C
⎛ ∂N
∫ F .nds = ∫ Mdy − N dx = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂y
C
C
+
R
∂M
∂x
⎞
⎟⎟dA = ∫∫ divF dA .
⎠
R
Podemos generalizar este resultado para superfícies fechadas.
Teorema de Gauss (ou divergência): Seja Q uma região limitada por uma superfície
fechada
S,
com
vector
unitário
normal
exterior
a
Q.
Se
F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k é um campo vectorial, em que as funções M, N e P
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em Q, então
∫∫ F ⋅ n dS = ∫∫∫ divF dV
S
Q
Demonstração:
A igualdade pode escrever-se da forma
⎛ ∂M
∫∫ (Mi.n + Nj.n + Pk.n )dS = ∫∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x
S
Q
+
∂N ∂P ⎞
⎟dV
+
∂y ∂z ⎟⎠
Para provar esta igualdade temos de mostrar que
1. Elementos de Análise Vectorial
∂M
∫∫ (Mi.n)dS = ∫∫∫ ∂x
S
21
dV
Q
∂N
∫∫ (N j.n)dS = ∫∫∫ ∂y dV
S
Q
∂P
∫∫ (Pk.n )dS = ∫∫∫ ∂z dV
S
Q
Vamos mostrar apenas a última igualdade, considerando um caso particular de Q e de S.
Consideremos a região Q com superfície superior S2 de equação z=g2(x,y) e superfície
inferior S1 de equação z=g1(x,y), cujas projecções no plano xy formam a região R.
Se Q tem uma superfície lateral, o vector normal é horizontal sendo portanto Pk.n=0.
Logo
∫∫ Pk.ndS = ∫∫ Pk.ndS + ∫∫ Pk.ndS + 0 .
S
S1
S2
Como o vector normal unitário a S2 é superior e o vector normal unitário a S1 é inferior,
então por um teorema visto atrás,
⎛ ∂g1
∫∫ Pk.ndS = ∫∫ P( x, y, g1 ( x, y))k.⎜⎜⎝ ∂x
S1
i+
R
∂g1
⎞
j − k ⎟⎟dA = − ∫∫ P( x, y, g1 ( x, y ))dA
∂y
⎠
R
e
∂g
⎛ ∂g 2
⎞
i − 2 j + k ⎟⎟dA = ∫∫ P( x, y, g 2 ( x, y ))dA
∂x
∂y
⎠
∫∫ Pk.ndS = ∫∫ P( x, y, g 2 ( x, y))k.⎜⎜⎝ −
S2
R
R
Somando estes dois resultados, obtemos
∫∫ Pk.ndS = ∫∫ [P( x, y, g 2 ( x, y)) − P( x, y, g1 ( x, y))]dA =
S
R
⎤
⎡ g 2 ( x, y )
∂P
∂P ⎥
⎢
∫∫ ⎢ ∫ ∂z dz ⎥dA = ∫∫∫ ∂z dV
R ⎣ g1 ( x , y )
Q
⎦
Exemplo: Seja Q a região limitada pelo gráfico de x2+y2=4, z=0 e z=3. Seja S a superfície
de Q, e n o vector unitário de uma normal exterior a S.
Se F(x,y,z)= x3 i +y3 j +z3 k, use o teorema de Gauss para calcular
∫∫ F ⋅ ndS .
S
1. Elementos de Análise Vectorial
22
(
2 2π 3
)
∫ ∫ (ρ
2
2
2
∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫∫ divFdV = ∫∫∫ 3x + 3 y + 3z dV = 3∫
S
Q
2
)
+ z 2 ρdzdθdρ =
0 0 0
Q
3
2 2π
2
⎡ 3
z3 ⎤
3
= 3∫ ∫ ⎢ ρ z +
ρ ⎥ dθ dρ = 3∫ ∫ 3ρ + 9 ρ dθ dρ = 9∫ ρ 3 + 3ρ [θ ]02π dρ =
3 ⎥⎦
0 0 ⎣⎢
0 0
0
0
[
2 2π
]
(
)
2
⎡ρ4
ρ2 ⎤
=⎢
+3
⎥ = 18π (6 + 4) = 180π
2 ⎥⎦
⎢⎣ 4
0
O teorema de Green pode escrever-se de outro modo:
⎛ ∂N
+ Ndy = ⎜
∫ Mdx
14243 ∫∫ ⎜⎝ ∂x
C
−
R
F .Tds
∂M
∂y
⎞
⎟⎟dA = ∫∫ rotF .kdA .
⎠
R
Uma generalização deste teorema é o teorema de Stokes que relaciona um integral de
superfície sobre uma superfície S e um integral curvilíneo ao longo de uma curva fechada
C que é fronteira de S.
Teorema de Stokes: Seja S uma superfície com um vector normal unitário n, limitada por
uma curva fechada simples C. Se F é um campo vectorial, onde as funções componentes
têm derivadas parciais de 1ª ordem contínuas numa região aberta que contém S e C, então
∫ F .Tds = ∫∫ rotF .ndS
C
S
Nota: A direcção positiva sobre C é considerada relativamente ao vector normal à
superfície, n.
Exemplo:
1.
Calcule
o
trabalho
realizado
por
F ( x, y, z ) = x 2 i + 4 xy 3 j + y 2 xk no rectângulo do pano
z=y representado na figura.
3
1
1. Elementos de Análise Vectorial
23
w = ∫ F .Tds = ∫∫ (rotF .n)dS =
c
Como o sentido da curva é o positivo,
o vector normal que nos interessa será
0i − 1 j + 1k
S
= ∫∫ rotF .(0i − 1 j + 1k )dA =
i
R
(
)
13
(
)
= ∫∫ y 2 + 4 y 3 dA = ∫ ∫ y 2 + 4 y 3 dydx =
R
00
3
1
⎤
y
4
= ∫⎢
+ y ⎥ dx = ∫ 90dx = 90
3
⎢
⎣
⎦⎥ 0
0
0
1⎡ 3
∂
rot F = ∇ x F=
∂x
x2
j
∂
∂y
4 xy 3
= (2 xy )i − y 2 j + (4 y 3 )k
k
∂
=
∂z
y2x
2. Transformadas de Laplace
24
Integral Impróprio
Seja f uma função real de variável real definida no intervalo [a,+∞[ e integrável em
qualquer intervalo [a, x ] , x>a.
Nestas condições, podemos definir uma função
x
g ( x) = ∫ f (t )dt
a
a que se chama integral indefinido de f com origem em a.
Se calcularmos
x
∫ f (t )dt
lim
x → +∞
(1)
a
e der um valor finito, L, então f é integrável em sentido impróprio em [a,+∞[ e tem-se
+∞
L=
∫ f (t )dt
a
+∞
Nestas condições diz-se que o integral impróprio
∫ f (t )dt
existe e é convergente, com
a
valor L. Se não existir o limite (1), então f não é integrável em [a,+∞[ . Diz-se que
+∞
∫ f (t )dt diverge.
a
2.1. Definição e propriedades
Consideremos agora uma função f definida no intervalo [0,+∞[ . Multiplicando-a por e − st ,
com s real ou complexo, obtém-se a função e − st f (t ) .
Suponhamos que a função e − st f (t ) é integrável em qualquer intervalo [0, x ] , x>0. Nestas
x
condições podemos definir uma função g ( x) = ∫ e − st f (t )dt .
0
Ao integral
+∞
∫e
− st
0
chama-se integral de Laplace da função f.
f ( t )dt
2. Transformadas de Laplace
25
Pelo que foi dito atrás, o integral de Laplace pode convergir ou não.
Dada a função f, o integral de Laplace depende do parâmetro s.
Exemplo: Calcule o integral de Laplace para a função f (t ) = 1
+∞
∫e
− st
x
f (t )dt = lim
0
x → +∞
∫e
0
x
− st
⎡ − e − st ⎤
− e − sx 1 1
dt = lim ⎢
+ = ,s > 0
⎥ = lim
s
s s
x → +∞ ⎣⎢ s ⎦⎥
x → +∞
0
+∞
Só existe integral de Laplace se s>0 e nesse caso
∫e
− st
0
1
dt = .
s
Para valores diferentes de s obtemos valores diferentes para o integral de Laplace. No caso
1
do exemplo, à função F ( s) = , definida em ]0,+∞[ , chama-se transformada de Laplace
s
de f (t ) = 1 .
À aplicação que transforma f(t) na função F(s) chama-se transformação de Laplace e
designa-se por £
£: f(t) → £ { f (t )} =F(s)
Definição: A transformada de Laplace de uma função f definida em [0 ,+∞[ é definida por
£{ f(t)} = F ( s ) =
+∞
∫e
− st
f ( t )dt
0
nos pontos s onde o integral acima converge.
Nota: Há funções f(t) para as quais não existe nenhum valor de s para o qual o integral de
Laplace exista, não podendo portanto falar-se de transformada de Laplace.
Quando se falar em transformadas de Laplace, subentende-se que há valores de s para os
quais o integral converge.
Condição suficiente para a existência da transformada de Laplace
Teorema: Se f(t) é seccionalmente contínua2 em [0,+∞[ e f (t ) ≤ ke at , t ≥ M > 0 , para
determinado valor da constante a e k>0, então existe transformada de Laplace de f(t) para
s>a.
Demonstração:
2
Uma função seccionalmente contínua é uma função que pode ter um número finito de pontos de descontinuidade,
existindo no entanto limites laterais finitos da função.
2. Transformadas de Laplace
26
f (t ) ≤ ke at , (t ≥ M ) ⇒ e − st f (t ) ≤ ke − st e at , (t ≥ M )
⇒
+∞
+∞
0
0
− st
∫ e f (t )dt ≤ k
∫e
− (s − a )t
, (t ≥ M )
O último integral converge para s>a, logo o integral de Laplace converge para s>a.
Nota: A condição f (t ) ≤ ke at , t ≥ M > 0 , para determinado valor da constante a e k>0,
estabelece que o módulo de f(t) cresce mais de vagar que uma função ke at .
As funções que vamos utilizar daqui para a frente são funções que verificam as condições
do teorema anterior.
Exemplo: Determine a transformada de Laplace de
⎧2 ⇐ 0 ≤ t < c
, c constante
⎨
⎩1 ⇐ t ≥ c
+∞
F (s) =
∫ f (t )e
− st
x
dt = lim
x → +∞
0
∫ f (t )e
− st
0
c
c
dt = ∫ 2e
− st
x
dt + lim
x → +∞
0
∫ 1.e
− st
dt =
c
x
⎡ e − sx e − sc ⎤
⎡ e − st ⎤
⎡ e − st ⎤
e − sc 2
lim
2
lim
=
−
+
+
+
+
−
= ⎢− 2
⎢−
⎥=
⎢
⎥
⎥
s ⎥⎦
s ⎥⎦
s
s x → +∞ ⎢⎣
s
s ⎥⎦
x → +∞ ⎢⎣
⎢⎣
c
0
=−
e − sc 2
+ ,s > 0
s
s
Propriedades da transformada de Laplace
P1. Linearidade : para quaisquer duas funções f(t) e g(t) e duas constantes a e b
£{af ( t ) + bg( t )} = a £{ f(t)} + b £{g(t)}
(
Exemplo: Calcule a transformada de Laplace de 5 − 3t + 4 sin 2t − 6e 4t
{
}
{ }
£ 5 − 3t + 4 sin 2t − 6e 4t =£ {5}-3£ {t} +4£ {sin 2t} -6£ e 4t =
1
1
2
1
−6
,s > 4
= −3 +4
s
s−4
s2
s2 + 4
)
2. Transformadas de Laplace
27
P2. Deslocamento
Se F(s)=£ { f (t )} para s > a e se c é uma constante, então
{
}
£ e ct f ( t ) = F ( s − c ), s > a + c
Exemplo: Determine a transformada de Laplace de f ( t ) = e 2t .
Como £{1} =
{ }
1
1
, s>0, então £ e 2t .1 =
, s>2
s
s−2
P3. Derivação
a)
Suponhamos que f é contínua com f’ seccionalmente contínua em [0 ,+∞[ . Se f e f’
verificam as condições da condição suficiente anterior, i.e. se existem constantes k, a e M
tais que f ( t ) ≤ ke at , f ′( t ) ≤ ke at t ≥ M , então £{ f ′(t)} = s £{ f(t)} − f ( 0 )
Com efeito,
′ }=
£ { f (t)
+∞
∫
[
]
+∞
f ′( t )e − st dt = f ( t )e − st 0
+∞
+s
0
b)
∫ f ( t )e
− st
dt = − f ( 0 ) + s £ { f(t)}
0
Suponhamos que f e f’ são contínuas com f’’ seccionalmente contínua em [0 ,+∞[ .
Se f, f’e f’’ verificam as condições da condição suficiente, então
′ } = s 2 £{ f(t)} − sf ( 0 ) − f ′( 0 )
£{ f ′(t)
c)
Caso geral
Suponhamos que f , f ′,L, f (n −1) são contínuas e f (n ) seccionalmente contínua em
[0 ,+∞[ . Se existirem constantes k, a e M tais que
f (t ) ≤ ke at , f ′(t ) ≤ ke at ,L, f (n ) (t ) ≤ ke at t ≥ M
então
{
}
£ f ( n ) ( t ) = s n £{ f ( t )} − s n−1 f ( 0 ) − s n−2 f ′( 0 ) − L − sf (n−2 ) ( 0 ) − f (n−1) ( 0 )
Exemplo: Determine a transformada de Laplace da solução y(t) do problema de Cauchy:
y ′′ + 5 y ′ + 4 y = 0, y (0 ) = 1, y ′(0 ) = 0
£ {y ′′ + 5 y ′ + 4 y} = £ {0} ⇔ £ {y ′′(t )} +5£ {y ′(t )}+4£ {y (t )}=£ {0} ⇔
2. Transformadas de Laplace
28
⇔ [ s 2 £ {y (t )}- sy (0) − y ′(0) ]+5[ s £ {y (t )}- y (0) ]+4£ {y (t )}=£ {0} ⇔
⇔ [ s 2 £ {y (t )}-5-0]+5[s£ {y (t )}-1]+4£ {y (t )}=0 ⇔
(
)
⇔ s 2 + 5s + 4 £ {y (t )}= s+5 ⇔
⇔ £ {y (t )}=
s+5
s 2 + 5s + 4
Teorema: Se F(s) é a transformada de Laplace de uma função f(t), s>a, então a função
t n f (t ) , (n=1,2,…) também tem transformada de Laplace e é dada por
{
}
£ t n f ( t ) = (− 1)n
d n F( s )
ds n
,s > a
Demonstração: A demonstração pode fazer-se por indução. Vamos mostrar apenas para o
caso de n=1.
d
dF ( s )
=
ds
ds
+∞
∫e
− st
+∞
f ( t )dt =
0
∫
0
d − st
e f ( t )dt =
ds
+∞
∫ − te
− st
f ( t )dt = −£{tf(t)}
0
Exemplo: Determine £ {t sin t}
£{t.sint } = −
d
d ⎛ 1 ⎞
⎟=
£{sin t} − ⎜⎜
ds
ds ⎝ 1 + s 2 ⎟⎠
2s
(1 + s 2 )2
Num exemplo atrás determinámos a transformada de Laplace da solução y(t) do problema
de Cauchy. Para determinarmos a solução do problema temos de recorrer à transformada
inversa de Laplace.
Transformada inversa de Laplace
£
f(t) → £ { f (t )} =F(s)
£-1 {F ( s )} ←
£-1
F(s)
£-1 nem sempre existe e caso exista pode não ser única.
A transformada £-1 goza das mesmas propriedades de £.
2. Transformadas de Laplace
29
Exemplo: Encontre a transformada inversa de £ {y (t )} do problema de Cauchy.
⎧ s+5 ⎫
£-1 ⎨
⎬ =y(t)
⎩ s 2 + 5s + 4 ⎭
⎧
⎫ -1 ⎧ A
B ⎫
s+5
-1 ⎧ 1 ⎫
-1 ⎧ 1 ⎫
+
y(t)=£-1 ⎨
⎬ =£ ⎨
⎬ =A£ ⎨
⎬ +B£ ⎨
⎬=
⎩ s + 4 s + 1⎭
⎩s + 4⎭
⎩ s + 1⎭
⎩ (s + 4 )(s + 1) ⎭
1 ⎧ 1 ⎫ 4 -1 ⎧ 1 ⎫
1 − 4t + 4 e − t
= − £-1 ⎨
⎬+ £ ⎨
⎬=− 3e
3 ⎩ s + 4 ⎭ 3 ⎩ s + 1⎭
3
A propriedade P2 permite-nos ainda escrever que
Se f ( t ) = £ -1 {F ( s )} , então e ct f ( t ) = £ -1 {F ( s − c )}
Exemplo : Determine a transformada inversa de G ( s ) =
G ( s) =
F (s) =
1
2
s − 6s + 10
1
(s − 3)2 + 1
1
2
s +1
, G ( s) = F ( s − 3)
f(t)= £-1 {F ( s )} =sint
Então
£-1 {G ( s )} = e 3t sin t
A transformada de Laplace é muito útil na resolução de equações diferenciais com
condições iniciais.
Exemplo: Resolva a equação diferencial y ′ + 3 y = e −2t , y(0)=2
{ }
{ }
£ {y ′ + 3 y} =£ e −2t ⇔ £ {y ′(t )}+3£ {y (t )}=£ e −2t ⇔
s£ {y (t )}-y(0)]+3£ {y (t )}=
(s+3)£ {y (t )}=
1
1
⇔
⇔ [s£ {y (t )}-2]+3£ {y (t )}=
s+2
s+2
1
5 + 2s
+2 ⇔ £ {y (t )}=
⇔
s+2
( s + 3)( s + 2)
⎧ 5 + 2s ⎫ -1 ⎧ 1 ⎫ -1 ⎧ 1 ⎫ −3t
y(t)= £-1 ⎨
+ e −2t
⎬ =£ ⎨
⎬ +£ ⎨
⎬=e
(
s
+
3
)(
s
+
2
)
(
s
+
3
)
(
s
+
2
)
⎩
⎭
⎩
⎭
⎩
⎭
Nas engenharias aparecem muitas vezes problemas que para a sua resolução é necessário
resolver sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e que
2. Transformadas de Laplace
30
satisfazem a certas condições iniciais. Podemos resolvê-los utilizando as transformadas de
Laplace, de forma idêntica à resolução das equações diferenciais vista atrás.
Exemplo: Resolva o sistema de equações diferenciais com as condições iniciais:
⎧ dx dy
+
+ 5x + 3 y = e −t
⎪⎪ dt dt
, com x(0) = 2 e y (0) = 1
⎨
dx
dy
⎪2 +
+x+ y =3
⎪⎩ dt dt
{ }
⎧ ⎧ dx dy
⎫
−t
⎪£ ⎨ dt + dt + 5 x + 3 y ⎬ = £ e
⎪ ⎩
⎭
⇔
⎨
⎪£ ⎧2 dx + dy + x + y ⎫ = £{3}
⎬
⎪⎩ ⎨⎩ dt dt
⎭
1
⎧
⎪⎪s£{x(t)} − x(0) + s £{y(t)} − y (0) + 5£{x(t)} + 3£{y(t)} = s + 1
⇔
⎨
⎪2s£{x(t)} − 2 x(0) + s£{y(t)} − y (0) + £{x(t)} + £{y(t)} = 3
⎪⎩
s
1
⎧
⎪⎪(s + 5)£{x(t)} + ( s + 3)£{y(t)} = s + 1 + 3
⎨
⎪(2s + 1)£{x(t)} + ( s + 1)£{y(t)} = 3 + 5
s
⎩⎪
Por substituição
£{x(t)} =
2s 2 + 14s + 9
s ( s + 2)( s − 1)
M
9 11
25
x(t ) = − − e − 2t + e t , t ≥ 0
2 6
3
Para determinar y(t) podemos proceder de duas formas:
• Ou utilizamos o mesmo processo que foi utilizado para calcular x(t);
• Ou vamos ao sistema dado, e depois de anularmos
calculado, i.e.
dy
, utilizamos o valor de x(t) já
dt
2. Transformadas de Laplace
⎧ dx dy
+
+ 5 x + 3 y = e −t
dx
⎪⎪ dt dt
⇒
− 4 x − 2 y = 3 − e −t
⎨
dt
⎪2 dx + dy + x + y = 3
⎪⎩ dt dt
Como
9 11
25
dx
11
25
x(t ) = − − e − 2t + e t , vem que
= − e − 2t + e t
2 6
3
dt
3
3
Logo
−
11 − 2t 25 t
25 ⎞
⎛ 9 11
e
+ e − 4⎜ − − e − 2t + e t ⎟ − 2 y = 3 − e − t ⇔
3
3
3 ⎠
⎝ 2 6
2y = −
y=
11 − 2t 25 t
25 ⎞
⎛ 9 11
e
+ e − 4⎜ − − e − 2t + e t ⎟ − 3 + e − t ⇔
3
3
3 ⎠
⎝ 2 6
15 11 − 2t 25 t 1 − t
+ e
− e + e
2 6
2
2
31
3. Equações diferenciais parciais
32
3.1. Definição de equação diferencial parcial
Definição: Chama-se equação diferencial parcial a uma equação que contém uma ou
mais funções desconhecidas de duas ou mais variáveis e as suas derivadas parciais em
relação a essas variáveis.
Exemplo:
∂ 2u
∂x 2
+
∂ 2u
∂y 2
+
∂ 2u
∂z 2
= 0 (variáveis independentes x,y,z)
Definição: Ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da derivada de maior
ordem que surge na equação.
Exemplo:
∂ 2u
= 2 x − y é uma equação diferencial de ordem 2. u é a variável dependente enquanto
∂x∂y
que x e y são as variáveis independentes.
Definição: Chama-se solução de uma equação diferencial parcial a uma função que
verifica identicamente essa equação.
2
Exemplo: Considere a equação diferencial u = x
∂u ⎛ ∂u ⎞
− ⎜ ⎟ onde u é uma função de x e y.
∂x ⎝ ∂x ⎠
Verifique que as funções u = xF ( y ) − [F ( y )]2 e u =
Sendo u = xF ( y ) − [F ( y )]2 , temos
x2
são solução da equação.
4
∂u
= F ( y ) . Fazendo a substituição vem
∂x
xF ( y ) − [F ( y )]2 = xF ( y ) − [F ( y )]2 ∴ É solução
Sendo u =
∂u x
x2
= . Fazendo a substituição vem
, temos
4
∂x 2
2
x2
x ⎡ x⎤
x2 x2 x2
=
−
∴ É solução
= x −⎢ ⎥ ⇔
4
2 ⎣2⎦
4
2
4
Nas equações diferenciais ordinárias obtínhamos uma expressão geral de todas as soluções
da equação diferencial. Nas equações diferenciais parciais não se passa o mesmo, pois
como vimos no exemplo anterior, temos duas soluções de uma equação diferencial em que
cada uma delas não se pode obter da outra. Nas expressões que definem soluções das
3. Equações diferenciais parciais
33
equações diferencias parciais podem surgir funções arbitrárias e constantes arbitrárias,
situação diferente da que acontecia nas equações diferenciais ordinárias, onde na expressão
da solução geral apenas apareciam constantes arbitrárias.
Vamos, antes de estudar um processo de resolução de equações diferenciais parciais, ver
que é possível, a partir de uma família de funções por eliminação das constantes e das
funções arbitrárias, obter equações diferenciais parciais que a têm como solução.
1. Consideremos a família de superfícies esféricas de centro em Ox,
(x − a )2 + y 2 + z 2 = r 2 ,
sendo a e r constante arbitrárias. Derivando em ambos os membros em ordem a y e a z, e
considerando x como função dessas variáveis, obtém-se
∂x
⎧
⎪⎪( x − a ) ∂y + y = 0
⎨
⎪( x − a ) ∂x + z = 0
⎪⎩
∂z
onde já foi eliminada a constante r e que, por eliminação de a, leva a
z
∂x
∂x
−y
= 0.
∂y
∂z
Esta equação é uma equação diferencial parcial de 1ª ordem que tem como solução as
funções x=f(y,z), dadas pela família das esferas.
2. Consideremos agora a família superfícies esféricas,
(x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 = r 2 ,
sendo a, b, c e r constante arbitrárias. Derivando em ambos os membros em ordem a y e a
z, e considerando x como função dessas variáveis, obtém-se
∂x
⎧
⎪⎪( x − a ) ∂y + ( y − b ) = 0
⎨
⎪( x − a ) ∂x + ( z − c ) = 0
⎪⎩
∂z
onde já foi eliminada a constante r. Neste caso não conseguimos eliminar imediatamente
as restantes constantes, nem mesmo juntando a equação inicial. A equação diferencial não
pode ser de 1ª ordem. Nesse caso teremos de efectuar outras derivadas. Obtemos então
3. Equações diferenciais parciais
34
⎧⎛ ∂x ⎞ 2
∂2 x
⎜
⎟
⎪⎜ ⎟ + ( x − a) 2 + 1 = 0
∂y
⎪⎝ ∂y ⎠
⎪
∂2x
⎪ ∂x ∂x
+ ( x − a)
=0
⎨
∂z∂y
⎪ ∂z ∂y
⎪ ∂x 2
2
⎪⎛⎜ ⎞⎟ + ( x − a) ∂ x2 + 1 = 0
∂z
⎪⎩⎝ ∂z ⎠
que por eliminação de a leva a
2
2
⎛ ∂x ⎞
∂x ∂x
⎛ ∂x ⎞
1 + ⎜⎜ ⎟⎟
1+ ⎜ ⎟
⎝ ∂y ⎠ = ∂z ∂y =
⎝ ∂z ⎠ .
2
2
∂ x
∂ x
∂2x
∂y 2
∂z∂y
∂z 2
Esta equação é uma equação diferencial parcial de 2ª ordem que tem como solução as
funções x=f(y,z), dadas pela família das superfícies esféricas.
Definição: A equação diferencial do tipo
A
∂ 2u
∂x 2
+B
∂ 2u
∂ 2u
∂u
∂u
+C
+D
+E
+ Fu = G
2
∂x∂y
∂x
∂y
∂y
onde A, B,....G podem depender de x e de y, mas não de u diz-se equação diferencial
parcial linear de ordem 2 em duas variáveis independentes.
Se G for zero, então a equação é homogénea.
Exemplos:
A equação diferencial parcial x 2
A equação diferencial parcial M
∂3R
2
∂ R
= y3
é linear.
3
∂y
∂x 2
∂ 2M
∂t 2
= txy não é linear.
3.2. Resolução utilizando o método de separação de variáveis
Vamos ver agora como determinar a solução de equações diferenciais parciais lineares. Na
maior parte das aplicações das equações diferenciais parciais lineares é suficiente
determinar soluções que verificam certas condições iniciais e certas condições de fronteira.
Vamos ver primeiro um teorema importante para a determinação da solução de equações
diferenciais.
Teorema: Se u1, u2, .... un forem soluções da equação diferencial parcial, então também
c1u1+c2u2+....+cnun , onde c1, c2, ...cn são constantes é solução dessa equação.
3. Equações diferenciais parciais
35
Vamos então resolver equações diferenciais utilizando o método de separação de variáveis,
o qual reduz uma equação diferencial parcial a várias equações diferenciais ordinárias.
Para resolver uma equação diferencial por este método, supõe-se então que uma solução se
pode escrever como o produto de duas funções desconhecidas, em que uma delas é função
de apenas uma das variáveis independentes e a outra das restantes. A equação resultante
escreve-se de modo a que um dos membros dependa apenas de uma das variáveis e o outro
das variáveis restantes. Sendo assim cada um dos membros terá de ser uma constante, o
que vai permitir determinar as soluções.
Exemplo: Resolva a equação diferencial 3
∂u
∂u
+2
= 0, com a condição u ( x,0) = 4e − x .
∂x
∂y
Consideramos u(x,y)= X(x)Y(y).
Como u(x,y) é solução da equação diferencial temos e atendendo a que
∂u
= X'Y e
∂x
∂u
= XY ' vem 3X'Y+2XY'=0.
∂y
Então
3X '
2Y '
=−
. Como X é apenas função de x e Y função de y, cada termo desta
Y
X
igualdade tem de ser constante, igual a K.
Obtemos então as equações
3X '
2Y '
=K e
= K , que são equações diferenciais ordinárias.
Y
X
K
x
3X '
= K ⇒ X = C1 e 3
X
K
y
2Y '
= K ⇒ Y = C2 e 2
Y
Então u(x,y)= C1
K
x
e3 C
2
K
y
e2
=
K
K
x+ y
3
2
Ce
A condição u ( x,0) = 4e − x leva a
⎧c = 4
K
x
⎧c = 4
⎪
Ce 3 = 4e − x ⇔ ⎨ K
⇔⎨
⎪⎩ 3 = −1 ⎩K = −3
Logo u( x , y ) =
3
−x− y
4e 2
Vamos agora estudar algumas equações diferenciais com aplicações em física e nas
engenharias.
3. Equações diferenciais parciais
36
1. Equação das cordas vibrantes
Considere-se uma vibração transversal de uma corda flexível, em que as extremidades
estão fixas nos pontos x=0 e x=L. A corda é posta em movimento.
L
0
x
Suponhamos que não há forças externas a actuar na corda e que esta vibra unicamente em
função da elasticidade.
A elongação da corda, num dado instante, isto é, o deslocamento u(x,t) de um ponto
arbitrário x da corda no instante t é dado pela solução da equação diferencial
2
∂ 2u
2 ∂ u
,
=
a
∂t 2
∂x 2
em que a2 é dada pelo quociente entre a tensão e a massa da corda (pode ser ou não
constante).
Há outros fenómenos físicos que também se resolvem por meio de uma equação
diferencial deste tipo. Por exemplo num tambor, no estudo das vibrações das membranas,
utiliza-se a equação das membranas vibrantes
equação
que
serve
para
estudar
a
2
∂ 2u
∂ 2u ⎞
2⎛ ∂ u
⎜
⎟
a
=
+
⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎟ . Temos também a
∂t 2
⎝
⎠
propagação
das
ondas
sonoras,
2
∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u ⎞
2⎛ ∂ u
⎜
⎟
a
=
+
⎜ ∂x 2 ∂y 2 + ∂z 2 ⎟ .
∂t 2
⎝
⎠
Nota: Estas três equações são equações das ondas nos caso uni, bi e tri dimensionais.
Um exemplo de problema utilizando esta equação será:
Resolva a equação das cordas vibrantes
∂ 2u
∂ 2u
=
4
0<x<2, t>0,
∂t 2
∂x 2
satisfazendo as condições iniciais :
u(x,0)=3 sin πx → Posição da corda no instante inicial
ut(x,0)=0 → Velocidade da corda no instante inicial
e satisfazendo as condições de fronteira
u(0,t)=u(2,t)=0 → Posição das extremidades da corda em qualquer instante
3. Equações diferenciais parciais
37
2. Equação do calor
Considere-se um quadrilátero com dois lados paralelos ao eixo dos xx, sendo a sua
superfície lateral isolada de modo a que não deixe entrar nem sair calor do prisma. A
condutividade térmica, k, o calor específico, c e a densidade (massa por unidade de
comprimento), ρ, consideram-se constantes. A temperatura u(x,t) na barra num dado
instante, isto é a temperatura numa faixa perpendicular ao eixo dos xx a passar pelos
pontos de abcissa x num dado instante, (o fluxo do calor faz-se na direcção e sentido
positivo do eixo dos xx) é solução da equação diferencial a
∂ 2u ∂u
k
=
, onde a =
.
2
∂t
cρ
∂x
A equação da difusão ou do calor tem equações correspondentes nos casos bi e tri
dimensionais, que são:
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞
∂u
= a⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ e
∂t
∂y ⎠
⎝ ∂x
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
∂u
= a⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟
∂t
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
Um exemplo de problema utilizando esta equação será:
Resolva a equação diferencial 2
∂ 2 u ∂u
0<x<3, t>0,
=
∂x 2 ∂t
com as condições iniciais
u(x,0)=5 sin 4πx - 3sin 8πx +2 sin 10πx → Repartição da temperatura no instante inicial
e com as condições de fronteira
u(0,t)=u(3,t)=0 → Condições impostas nas faces do muro, considerando-se uma das faces a começar no
eixo dos xx .
3. Equação de Laplace
Se nas equações bi e tri dimensionais do calor considerarmos a temperatura independente
do tempo, temos as equações de Laplace
∂ 2u
∂x 2
∂ 2u
∂x 2
+
+
∂ 2u
∂y 2
∂ 2u
∂y 2
=0 e
+
∂ 2u
∂z 2
=0
4. Séries de Fourier
38
As séries de Fourier têm várias aplicações, como por exemplo na resolução de problemas de
valor de contorno.
4.1. Funções periódicas
Definição: Uma função f(x) é periódica se existir uma constante T>0 tal que
f(x+T)=f(x)
para qualquer x pertencente ao domínio de f . T é chamado o período de f(x).
Exemplo: As funções seno e cosseno são funções de período 2π.
Nota: o período de uma função não é único. Se T é período de f(x), também kT, k∈Z é
período.
4.2. Definição de série de Fourier
Vamos começar por ver algumas coisas sobre séries de funções.
Consideremos a série de funções
∞
∑ f k (x )
k =1
•
A série é convergente para qualquer x se a sucessão das somas parciais
sn ( x ) =
n
∑ f k (x)
k =1
for convergente para uma função s(x).
•
A série é uniformemente convergente num intervalo [a,b] se
∀ε > 0, ∃N , ∀x: n ≥ N , s( x ) − sn ( x ) ≤ ε
Teste de convergência uniforme: Se a série de números positivos M 1 + M 2 +....+ M k +...
converge e ∀x ∈[a , b], f k ( x ) ≤ M k para um dado k, então a série
∞
∑ f k (x )
converge
k =1
uniformemente (e absolutamente) em [a,b].
∞
Exemplo: A série
∑
k =1
∞
∑
1
k =1 k
2
converge.
sin kx
k
2
converge uniformemente em [ − π , π ] , pois
sin kx
k
2
≤
1
k2
e
4. Séries de Fourier
39
∞
∑ f k (x )
Teorema: Se os termos da série
são funções contínuas em [a,b] e se a série é
k =1
uniformemente convergente em [a,b], então
i)A soma da série é contínua
ii)A soma pode ser integrada termo a termo, isto é
b
∞ ⎡b
⎤
⎡∞
⎤
=
=
f
(
x
)
dx
s
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
⎢
⎥
∑
∑
⎢
⎥
k
k
∫ ⎣ k =1
∫
∫
⎥⎦
k =1 ⎢
⎦
a
a
⎣a
b
Definição: Chama-se série trigonométrica de período 2L a uma série da forma
A+
∞
⎛
∑ ⎜⎝ a k cos
k =1
kπx
kπx ⎞
+ bk sin
⎟,
L
L ⎠
onde A, ak e bk (k=1,2,…)são os coeficientes da série.
Se esta série convergir, a sua soma é uma função de período 2L.
Pode agora colocar-se a questão: Será que dada uma função de período 2L, ela pode ser
sempre representada como a soma de uma série trigonométrica?
Nota: Suponhamos que a função f(x) de período 2L se pode escrever como soma de uma
série trigonométrica, isto é,
f(x)= A +
∞
⎛
∑ ⎜⎝ a k cos
k =1
Pondo
πx
L
kπx
kπx ⎞
+ bk sin
⎟
L
L ⎠
(1)
= t , temos
tL
∞
ϕ (t ) = f ( ) = A + ∑ (ak cos kt + bk sin kt )
π
k =1
(2)
que tem período 2π.
Se f(x) de período 2L se pode escrever como soma da série trigonométrica (1), então existe
uma função ϕ(t) de período 2π que se escreve como soma da série (2) e vice-versa.
Assim vamos estudar apenas o caso da expansão em séries trigonométricas de funções de
período 2π.
4. Séries de Fourier
40
Antes de vermos como determinar os coeficientes da série, vamos calcular os integrais:
π
π
⎡ sin nx ⎤
∫−πcos nxdx = ⎢⎣ n ⎥⎦ −π = 0
π
n≠0
π
⎡ cos nx ⎤
=0
n ⎥⎦ −π
∫πsin nxdx = ⎢⎣−
−
π
π
2
∫ cos nxdx =
1 + cos 2nx
dx = π
2
−π
π
π
−π
∫
−π
1 − cos 2nx
dx = π
2
−π
π
π
∫ sin
2
nxdx =
∫
1
∫ cos nx cos mxdx = 2 ∫ [cos(n + m) x + cos(n − m) x]dx = 0
−π
−π
π
π
π
π
n≠m
1
∫ sin nx sin mxdx = 2 ∫ [cos(n − m) x − cos(n + m) x]dx = 0
−π
−π
1
∫ sin nx cos mxdx = 2 ∫ [sin(n + m) x + sin(n − m) x]dx = 0
−π
−π
Comecemos por supor que f(x), de período 2π, se pode escrever como soma de uma série
trigonométrica, isto é
f ( x) =
Nota: Considera-se A=
∞
a0
+ ∑ (a k cos kx + bk sin kx)
2 k =1
(3)
a0
por conveniência de cálculos.
2
Pretendemos calcular os coeficientes a0, ak, bk (k=1,2…). Suponhamos que esta série e
todas as que aparecerem, agora podem ser integradas termo a termo.
Integrando então ambos os membros de (3) de -π a π , obtemos
π
∫
−π
donde
f ( x)dx =
a0
2
π
π
π
∞ ⎛
⎞
⎜
+
+
dx
a
cos
kx
dx
b
sin kxdx ⎟
k
k
∫ ∑
∫
∫
⎜
⎟
k =1 ⎝
−π
−π
−π
⎠
4. Séries de Fourier
41
π
1
π
∫ f ( x)dx = a0π , isto é a0 = π ∫ f ( x)dx
−π
−π
Multiplicando agora ambos os membros de (3) por cosnx e integrando de -π a π , obtemos
π
∫
f ( x) cos nxdx =
−π
π
π
π
∞ ⎛
⎞
a0
⎜
⎟
+
+
cos
nx
dx
a
cos
kx
cos
nxdx
b
sin
kx
cos
nx
dx
∑
k
k
∫
∫
⎜
⎟
2 −∫π
k =1 ⎝
−π
−π
⎠
donde
π
∫
1
f ( x) cos nxdx = anπ , logo an =
π
−π
π
∫ f ( x) cos(nx )dx , n=1,2,…
−π
De modo análogo se conclui que
bn =
1
π
π
∫ f ( x) sin(nx )dx , n=1,2,…
−π
Então se f(x) é integrável e se puder expandir em série trigonométrica, e se esta série e
todas as que se obtém dela multiplicando-a por cosnx e sinnx (n=1,2,..) forem integráveis
termo a termo então os coeficientes an e bn são dados como vimos atrás.
Os coeficientes an e bn chamam-se Coeficientes de Fourier de f(x) e a série trigonométrica
(3), série de Fourier de f(x).
4.3. Critério de convergência de séries de Fourier
Até aqui suposemos que f(x) se podia escrever como soma de uma série trigonométrica.
Vamos agora ver que propriedades terá de ter f(x) para que se possa expandir em série de
Fourier, convergindo esta série para f(x).
Nota: A função, desde que integrável, pode sempre expandir-se em série de Fourier.
Definição: Um ponto x0 diz-se ponto de descontinuidade de 1ª espécie se for um ponto de
descontinuidade e os limites, lim− f ( x) e lim+ f ( x) , existirem.
x → xo
x → x0
Notação: lim− f ( x) = f ( x0 − 0) ; lim+ f ( x) = f ( x0 + 0)
x → xo
x → x0
Definição: Uma função f(x) diz-se suave por troços no intervalo [a,b] se tanto f(x) como a
sua derivada são contínuas em [a,b] ou têm apenas um número finito de pontos de
descontinuidade de 1ª espécie em [a,b].
4. Séries de Fourier
42
Exemplo de gráficos de funções suaves por troços
Critério de convergência de séries de Fourier: A série de Fourier de uma função f(x), de
período 2 π , suave por troços (contínua ou descontínua) converge para todos os valores de
x. A soma da série é igual a f(x) nos pontos de continuidade e igual a
1
( f ( x + 0) + f ( x − 0) ) nos pontos de descontinuidade.
2
Se f(x) for contínua para todo o x, então a série converge absolutamente e uniformemente.
4.4. Funções pares e funções impares
Uma função f(x) é par se f(x)=f(-x), ∀x∈Df.
Se f(x) é uma função par, então temos que
L
L
−L
0
∫ f ( x )dx = 2∫ f ( x )dx
para qualquer L, desde que f(x) seja integrável em [-L,L].
Uma função f(x) é impar se f(x)=-f(-x), ∀x∈Df.
Se f(x) é uma função impar, então temos que
L
∫ f ( x )dx = 0
−L
para qualquer L, desde que f(x) seja integrável em [-L,L].
Propriedades:
a) O produto de duas funções pares ou impares é uma função par;
Com efeito, se f(x)=g(x)h(x),
4. Séries de Fourier
43
(i) se g(x) e h(x) forem pares, temos
f(-x)=g(-x)h(-x)=g(x)h(x)=f(x)
(ii) se g(x) e h(x) forem impares, temos
f(-x)=g(-x)h(-x)=(-g(x))(-h(x))=f(x)
b) O produto de uma função par por uma função impar é uma função impar.
Com efeito, se f(x)=g(x)h(x), em que por exemplo g(x) é par e h(x) é impar, temos
f(-x)=g(-x)h(-x)=g(x)(-h(x))=-f(x)
4.5. Séries de Fourier de senos e cossenos
Seja f(x) uma função par definida no intervalo [ − π , π ] ; como a função cosnx, n=1,2,… é
uma função par, f(x) cosnx é uma função par e como a função sinnx é uma função impar,
f(x) sinnx é impar.
Logo
a0 =
an =
bn =
1
π
1
π
1
π
π
2π
−π
0
∫ f ( x )dx = π ∫ f ( x )dx
π
∫
f ( x ) cos nxdx =
−π
2π
π
∫ f ( x ) cos nxdx , n=1,2,….
0
π
∫ f ( x )sin nxdx = 0 , n=1,2,….
−π
Então a série de Fourier de uma função par contém apenas cossenos, isto é
f (x) ~
a0 ∞
+ ∑ a cos nx
2 n =1 n
Seja agora f(x) uma função impar definida no intervalo [ − π , π ] ; a função f(x)cosnx é uma
função impar e a função f(x) sinnx é par.
Logo
a0 =
an =
bn =
1
π
1
π
1
π
π
∫ f ( x )dx = 0
−π
π
∫ f ( x ) cos nxdx = 0 , n=1,2,….
−π
π
∫
−π
f ( x )sin nxdx =
2π
π
∫ f ( x )sin nxdx , n=1,2,….
0
4. Séries de Fourier
44
Então a série de Fourier de uma função impar contém apenas senos, isto é
∞
f (x) ~
∑ bn sin nx
n =1
Exemplo:
Considere a função f(x) periódica de período 2π, f(x)= ⎜x⎜ (-π≤x<π).
Desenvolva-a em série de Fourier.
O gráfico de f(x) é
π
-2π
π
-π
2π
f é uma função suave por troços e contínua em todo o seu domínio, logo a série de Fourier
correspondente é convergente para f ,∀x.
Como
an =
2
π
a
função
é
par
,
f ( x) =
a0 ∞
+ ∑ an cos nx ,
2 n =1
sendo
π
∫ f ( x) cos nxdx .
0
Temos então
a0 =
2
π
π
∫ xdx = π
0
e
x
π
⎞
2 ⎛⎜ ⎡ 1
1
⎤
⎟ = 2 [cos nx ]π0 =
an = ∫ x cos nxdx =
sin
nx
.
x
−
sin
nx
dx
∫
⎥
⎢
⎜
⎟ π .n 2
π 0
π ⎝⎣n
⎦0 0 n
⎠
2
π
⎧ 4
−
⇐ n impar
2
(cos nπ − 1) = ⎪⎨ π .n 2
=
2
π .n
⎪⎩0
⇐ n par
Logo
a0 =
2
π
π
∫ f ( x)dx
0
e
4. Séries de Fourier
f ( x) =
45
π
4
⎛ 4
⎞
+ ⎜ − cos x −
cos 3x − .......⎟
2 ⎝ π
9π
⎠
4.6. Exemplos de desenvolvimento de funções em Série de Fourier
Por vezes nas aplicações precisamos desenvolver em série de Fourier uma função definida
apenas no intervalo [ − π , π ] . Não sabemos portanto nada acerca da periodicidade de f(x),
mas nada nos impede de calcular os coeficientes da série, uma vez que as formulas
envolvem o intervalo [ − π , π ] .
Mais ainda, podemos estender f(x) por periodicidade a partir de [ − π , π ] . Isto leva a uma
função periódica, g(x), que coincide com f(x) em [ − π , π ] . Se a série de Fourier de g(x)
convergir para g(x), a sua restrição ao intervalo [ − π , π ] converge para a função f(x). Logo
em [ − π , π ] a série é igual a f(x) como pretendíamos.
Então basta fazer o teste de convergência para séries de Fourier no caso de funções
periódicas.
Propriedade: Seja f(x) uma função de período 2π. Tem-se que
π
∫
T + 2π
f ( x )dx =
−π
∫ f ( x )dx
T
para todo o T.
Exemplo:
Expandir a função f(x)=x (-π<x<π).
Vamos considerar a extensão de f(x) por periodicidade de período 2π, g(x). Essa função é
suave por troços, descontinua em x = π + 2kπ , k ∈ Z . Sendo assim, a série de Fourier de
g(x) será convergente para g(x) em todos os pontos, excepto nos pontos de
descontinuidade, onde vai convergir para 0. Logo para x ∈ ]− π ,π [ a série converge para
f(x).
Vamos então determinar a série de Fourier de g(x).
∞
g é uma função impar, logo g ( x) = ∑ bn sin nx , sendo bn =
n =1
2
π
π
∫ f ( x) sin nxdx .
0
4. Séries de Fourier
46
Temos então
bn =
2
π
x sin nxdx = (− 1)
π∫
0
n +1
2
n
Logo
2
g ( x) = 2 sin x − sin 2 x + sin 3x − ..........
3
donde
2
para x ∈ ]− π ,π [ , f ( x) = 2 sin x − sin 2 x + sin 3x − ..........
3
A série de Fourier de uma função f(x) de período 2L, definida em [− L, L ] é
∞
a0
kπx
kπx ⎞
⎛
+ ∑ ⎜ a k cos
+ bk sin
⎟,
2 k =1 ⎝
L
L ⎠
onde
1 L
a0 = ∫ f ( x)dx
L −L
1
kπx
f ( x) cos
dx
∫
L −L
L
L
ak =
1
kπx
bk = ∫ f ( x) sin
dx
L −L
L
L
4.7. Integração de séries de Fourier
Por vezes conhecemos apenas a série de Fourier de uma função f(x) de período 2L e
precisamos calcular o seu integral num intervalo [a,b] ou uma sua primitiva. Podemos
fazê-lo apoiando-nos no seguinte teorema:
Teorema: A série de Fourier de f(x) pode ser integrada termo a termo de a a x, e a série
x
resultante converge uniformemente para
∫ f (u )du , desde que f(x) seja suave por troços
a
em − L ≤ x ≤ L e tanto a como x pertençam ao intervalo.
Exemplo:
Sabendo que o desenvolvimento em série de senos de f ( x) = x, 0 < x < 2 é dada por
f ( x) =
4 ⎛ πx 1
2πx 1
3πx
⎞
+ sin
− ......⎟ ,
⎜ sin − sin
π⎝
2 2
2
3
2
⎠
4. Séries de Fourier
determine o desenvolvimento em série de Fourier de f ( x) = x 2 , 0 < x < 2 .
4 ⎛ πx 1
2πx 1
3πx
⎞
+ sin
− ......⎟dx =
⎜ sin − sin
2 2
2
3
2
⎠
0π ⎝
x
x 2 = 2∫
2πx
8
3πx
2
8
πx 2
⎛ 8
⎞ ⎛ 8
⎞
2⎜ − 2 cos + 2 cos
− 2 cos
+ ..⎟ − 2⎜ − 2 + 2 − 2 + ........⎟
2 π
2
9π
2
9π
π
⎝ π
⎠ ⎝ π
⎠
47