aprovacao.com.br - Curso Aprovação

Matemática
CEF
Teoria e Exercícios
Prof. Milton Ueta
Mais de 360
aprovados na
Receita Federal em 2006
Data de impressão: 24/10/2007
67 das 88 vagas no AFRF no PR/SC
150 das 190 vagas no TRF no PR/SC
150 das 190 vagas no TRF
Visite a loja virtual
Conquiste sua vitória ao nosso lado
w w w. e d i t o r a m a x i m u s . c o m . b r
www.conquistadeconcurso.com.br
w w w. e d i t o r a m a x i m u s . c o m . b r
www.cursoaprovacao.com.br
aprovacao.com.br
Visite o Portal dos Concursos Públicos
MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
ww
w. c u r s o a p r o v a c a o . c o m . b r
MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
I. CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. Conjunto dos números Inteiros (Z)
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Subconjuntos:
Z * ... conjunto dos números inteiros não nulos;
Z + ... conjunto dos números inteiros não negativos;
Z – ... conjunto dos números inteiros não positivos;
Z * ... conjunto dos números inteiros positivos;
+
Z * ... conjunto dos números inteiros negativos.
–
Representação geométrica
–3
–2
menor
–1
0
1
origem
2
3
Z
maior
Módulo ou valor absoluto de um número – é a distância do número à origem.
Números opostos ou simétricos – são números eqüidistantes da origem.
Oposto de: – ( )
Operações em Z:
ADIÇÃO
– sinais iguais: soma-se os valores absolutos e conserva-se o sinal.
– sinais diferentes: subtrai-se os valores absolutos e atribui-se ao resultado o sinal do maior em módulo.
SUBTRAÇÃO: transforma-se em adição, somando-se o primeiro com o oposto do segundo.
ADIÇÃO ALGÉBRICA: transforma-se todas as operações de subtração em adição, elimina-se os parênteses e os sinais das
operações.
Ex.: (–7) + (+3) – (–2) + (–5) – (+1) =
MULTIPLICAÇÃO ou DIVISÃO (de dois números)
– sinais iguais: resultado positivo.
– sinais diferentes: resultado negativo.
Multiplicação de mais de dois fatores – se o número de fatores negativos for:
– par ⇒ o resultado será positivo;
– ímpar ⇒ o resultado será negativo.
POTENCIAÇÃO – se o expoente for:
– par ⇒ o resultado será positivo;
– ímpar ⇒ o resultado terá o sinal da base.
Obs.: –3 ≠ (–3)
2
2
RADICIAÇÃO – se o índice da raiz for:
– par ( somente para radicandos positivos) ⇒ o resultado será positivo;
– ímpar ⇒ o resultado terá o sinal do radicando;
EXERCÍCIOS
Calcular o valor das expressões a seguir:
1) – [5 + (–1 + 3)] – {–2 + [–3 – (5 – 7)] – (–1)} =
2) –3 – 4.(–3) + (–7) – (–5).2 + 1 =
3) (–4 + 12) : (–1 – 3) – {–3 – [(–5) – (–8 – 4) : (5 – 3)] . (–3 + 5)} : (–9 + 8) =
4) [(–1 – 4).3 – 4.(–5)] – [(–2 – 8) : (–1 – 1) + 2.(–6)] =
5) 24 – 3 {2 – 3 [4 – 2(16 : 4 + 3)] + 1} – 10:2 =
3
6) 15 – (–16:4) + (2 – 4) + 8:(–2) – (–2) – (–8:2) =
7) [(–5)2 : (–2 – 3) + (–3 – 1)3 : (1 – 5)2 : [–5 – 3.(–2)] =
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
1
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
8) (–2 + 3) . (–3 – 1)2 – [(–5 – 2)2 : (–1 – 6) + (–1)2 . (–4 + 5)3] =
0
49
– [(–7)
+ (–5 – 4)2 : (–
9) (–1 + 4)2 – {–
10) 10 – [5 – (4 – 3) + (
Respostas
1. –5
2. 13
–
3. –7
))] : (–5 + 3)} .
3
49) + (6 – 7)64– (8 – 9)
4. 12
9 – (–1 – 4)2 =
4
+ (–2)2] =
5. –80
6. 13
7. –9
8. 22
9. 24
10. 9
2. Conjunto dos números Racionais (Q)
Número racional é todo número que pode ser escrito sob forma de fração.
a/ a∈Z e b∈Z*}
b
− 6 = 6 = − 6 = −3
2
−2
2
Q={
Obs.:
3. Conjunto dos números Reais (IR)
Número irracional é todo número decimal, com número infinito de casas decimais, e que não podem ser escritos sob forma
de fração.
Exemplos:
0,101001000100001...
–1,23456789101112...
π = 3,141592653589...
2 = 1,414213.. .
À reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais denominamos conjunto dos
números Reais.
Representação geométrica
-3
1
3
2
–2
–1
0
2
1
2
3
IR
n
Obs.: se x é um número real tal que 0 < x < 1, então 0 < x < x (n∈IN / x ≥ 2).
EXERCÍCIOS
1. Se cinco oitavos de x são 350, então qual é o valor de x?
2. Que fração restará de x se subtrairmos três sétimos do seu valor?
3. Que fração restará de x se subtrairmos 3/7 do seu valor e, em seguida, metade do restante?
4. Os três quintos do ordenado de um funcionário correspondem a R$ 720,00. Quantos são 7/8 da metade do ordenado
deste funcionário?
5. Após saldar 4/5 de uma dívida, André ficou devendo, ainda, R$ 300,00. Qual era o valor da dívida original de André?
6. Se adicionarmos a terça parte de um número à sua metade, o resultado obtido será 3 unidades menor que o número
inicial. Qual é este número?
7. Cínthia gastou 2/3 da quantia que tinha e, em seguida, 1/3 do restante, ficando ainda com R$ 260,00. Qual a quantia
que Cínthia possuía de início?
8. Um garoto possui 2/3 da altura de seu pai e 4/3 da altura de seu irmão mais moço. Qual é a altura deste último se a
altura do pai é 180 cm?
9. No primeiro dia de uma jornada, um viajante fez 3/5 do percurso. No segundo dia andou 1/3 do restante. Quanto falta
para completar a jornada se o percurso completo é de 750 km?
10. Se um rapaz separar o dinheiro que tem em três partes, sendo a primeira igual à terça parte e a segunda igual à metade
do total, então a terceira parte será de R$ 35,00. Quanto dinheiro tem este rapaz?
2
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
11. No início do mês Fernandinho gastou metade do dinheiro que tinha; alguns dias depois gastou 3/4 do que lhe sobrou. No
fim do mês Fernandinho recebeu, como parte do pagamento de uma antiga dívida, uma quantia correspondente a 7/5 do
que lhe sobrara, ficando então com R$ 600,00. Quanto Fernandinho tinha no início do mês?
12. De um barril, incialmente cheio, retira-se 1/4 do volume que continha e mais 21 litros, restando, então, apenas 2/5 do
volume. Qual é a capacidade deste barril?
13. Ao tentar dividir certa quantidade de laranjas em três montes iguais, um feirante percebeu que o primeiro monte ficou
realmente com 1/3 das laranjas, mas o segundo ficou com 2 laranjas a mais que o primeiro, restando para o terceiro 25
laranjas. Quantas laranjas havia ao todo?
14. Na partilha de uma herança coube ao mais velho de três irmãos a metade menos R$ 8.000,00; o segundo recebeu um
terço mais R$ 5.000,00 e o mais moço recebeu os R$ 21.000,00 restantes. Qual o valor total da herança repartida?
15. Um pai tem 32 anos e seus três filhos, 10, 7 e 5 anos. Daqui a quantos anos a soma das idades dos três filhos será igual
à idade do pai?
16. Um floricultor encomendou certo número de dúzias de rosas. O fornecedor mandou-lhe, como cortesia, duas rosas a
mais em cada dúzia encomendada, de tal modo que o floricultor acabou recebendo um total de 42 dúzias. Quantas dúzias
de rosas foram encomendadas pelo floricultor?
17. Dois peões recebem diárias de igual valor. O fazendeiro pagou a um deles R$ 200,00 e mais 4 kg de carne por 20 dias
de serviço, e pagou ao outro R$ 390,00 e mais 10 kg de carne por 40 dias de serviço. Qual o valor da diária paga a cada
peão?
18. Que horas são, se 1/5 do tempo que resta do dia é igual ao tempo decorrido?
19. Os 2/3 de 5/3 do preço de uma moto equivalem a 3/2 de 2/5 do preço de um automóvel avaliado em R$ 9.600,00, Qual é
o preço da moto?
20. Numa certa cidade, 8 em cada 25 habitantes são fumantes. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de
fumantes ficará reduzido a 12.800. Quantos habitantes há nesta cidade?
21. Num ônibus viajam 2 passageiros sentados em cada banco e 26 passageiros em pé. Se sentassem 3 passageiros em
cada banco, ficariam 2 bancos vazios. Quantos passageiros viajam nesse ônibus?
22. Um avicultor afirmou que 1/5 dos ovos de sua granja eram do tipo “extragrande”, sendo os restante do tipo “grande”.
Posteriormente verificou-se que um em cada dez ovos classificados como “extragrande” eram, na verdade, “grande” e que
um em cada dez ovos classificados como “grande” eram, na verdade, “extragrande”. Do total de ovos que este avicultor
produzia, qual era realmente a fração de ovos “extragrande”?
23. Uma costureira aceitou de uma empresa uma encomenda de certo número de uniformes que lhe tomariam 10 dias de
trabalho. Três dias após iniciar o trabalho contratou uma auxiliar que continuou o serviço sozinha por mais dois dias, pois a
costureira havia ficado doente. Recuperada, a costureira retomou o serviço juntamente com sua auxiliar até terminar a
encomenda, o que ocorreu um dia antes do prazo previsto inicialmente. Que fração da encomenda a auxiliar contratada fez?
24. No problema anterior, caso a encomenda tivesse ficado pronta dois dias antes do prazo previsto inicialmente, quantos
dias a auxiliar levaria para fazer todo o serviço sozinha?
25. Qual é o número que se deve somar aos dois termos da fração 6/11 para que se obtenha uma fração equivalente a 3/4?
Respostas
1. 560
2. 4x / 7
3. 2x / 7
4. R$ 525,00
5. R$ 1.500,00
6. 18
7. R$ 1.170,00
8. 90 cm
9. 200 km
10. R$ 210,00
11. R$ 2.000,00
12. 60 l
13. 81 laranjas
14. R$ 108.000,00
15. 5 anos
16. 36 dúzias
17. R$ 11,00
18. 4 horas
19. R$ 5.184,00
20. 55.000 hab.
21. 90 passageiros
22. 13/50
23. 3/10
24. 12,5 dias
28. 9
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
3
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
II. SISTEMAS DE EQUAÇÕES
É qualquer conjunto de equações.
Exs.:
x + 2y = 4
2x – y = 3
{
{
x – y + 2z = 4
2x + y – z = 1
x + 3y + z = 3
{
⇒ sistema com 2 equações e 2 incógnitas
⇒ sistema com 3 equações e 3 incógnitas
x2 + 2y = 4
2
2x – y = 3
⇒ sistema com 2 equações e 2 incógnitas
Solução de um sistema de equações – é a ênupla ordenada que satisfaça simultaneamente a todas as equações do
sistema.
Conjunto Solução de um sistema – é o conjunto que contem todas as soluções do sistema.
Resolver um sistema de equações significa determinar o seu conjunto Solução.
Sistema Linear é qualquer sistema de equações lineares.
Métodos de resolução de sistemas
o
1 ) Método da substituição
Ex.:
x + 2y = 4
2x – y = 3
{
{
o
2 ) Método da adição
Ex.:
x + 2y = 4
2x – y = 3
EXERCÍCIOS
1. Num atelier de costura empregam-se 4 gerentes, 8 costureiras e 12 ajudantes. Cada gerente ganha por dia tanto quanto 2
costureiras ou 4 ajudantes. Qual o valor da diária de cada costureira, se a folha mensal desta equipe é de R$ 26.400,00?
2. Numa seção eleitoral votaram 1.260 eleitores, onde dois candidatos disputam o mesmo cargo. O eleito obteve 153 votos
a mais que seu concorrente, e 147 votos foram anulados. Quantos votos obteve o candidato eleito?
3. Dois homens, três mulheres e seis crianças conseguem carregar juntos um total de 69 quilos. Cada homem carrega tanto
quanto uma mulher e uma criança, enquanto cada mulher consegue carregar tanto quanto três crianças. Quanto quilos cada
homem consegue carregar?
4. Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do número
total de automóveis. Calcule o número total de veículos que se encontram no pátio.
5. A quantia de R$ 2.100,00 foi distribuída entre Marcos, Mário, Marcelo e Márcio, de modo que a Mário recebeu metade do
que Marcos recebeu; Marcelo recebeu metade da soma do que receberam Marcos e Mário; Márcio recebeu metade da
quantia que coube a Marcelo. Quem recebeu R$ 600,00?
6. Marta tem 2/5 mais bonecas que Marisa e esta, 2/3 mais que Yara que tem 8 bonecas a menos que Marta. Quantas
bonecas tem Marisa?
7. A idade de Antônio é 1/6 da idade de Benedito, César tem metade da idade de Antônio, e Dilson tem tantos anos quanto
César e Antônio juntos. Qual é a idade de Benedito, se a soma das quatro idades é 54 anos?
8. A soma de três números é 110. Determinar o menor deles sabendo que o segundo é um terço do primeiro e que o terceiro
é 3/8 da soma dos dois primeiros.
9. Um professor decide presentear um grupo de alunos com livros. Se ele der 2 livros a cada aluno, sobrarão 20 livros e, se
der 3 livros a cada aluno, faltarão 30 livros. Determinar a quantidade de livros que o professor pretende distribuir.
Respostas
1. R$ 40,00
7. 36 anos
4
2. 633 votos
8. 20
Atualizada 24/10/2007
3. 12 kg
4. 52
5. Marcelo
6. 10 bonecas
9. 120
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
III. RAZÃO E PROPORÇÃO
1. Razão
Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo.
antecedente
ou aa : b (lê-se: a está para b).
b
conseqüente
Razões inversas – são razões cujo produto é igual a 1.
Aplicação: Escala
medida do desenho
medida real
Escala = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2. Proporção
É uma igualdade de duas razões.
meios
a = c
b d
ou
a:b :: c:d
dos meios é igual ao produto dos extremos.
Propriedade fundamental – o produtoextremos
a = c
b d
⇔ b.c = a.d
Conseqüências: uma proporção não se altera ao se
• transpor a igualdade;
• inverter as duas razões;
• permutar os meios ou os extremos.
Proporção contínua – uma proporção é dita contínua se apresentar os meios iguais (ou os extremos iguais).
Outros conceitos importantes:
• quarta proporcional – é o quarto número que forma uma proporção com outros três números dados;
• terceira proporcional – é o terceiro número que forma uma proporção contínua com outros dois números dados, na
ordem dada;
• média proporcional (ou geométrica) – são os meios (ou os extremos) de uma proporção contínua.
Outras propriedades:
1a)
a
2)
3a)
a = c ⇔ a ± b = c ± d ou a ± b = c ± d
b d
a
c
b
d
a = c = a±c
b d c±d
a 2 = c 2 = a.c
b.d
b2
d2
Proporção múltipla – é uma igualdade de três ou mais razões. A razão entre eles é denominado constante de
proporcionalidade.
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
5
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
3. Divisão proporcional
Divisão
Multiplicação
12 = 2
6
neste caso, 12 e 6 são números
diretamente proporcionais (D.P.)
12 . 6 = 72
neste caso, 12 e 6 são números
inversamente proporcionais (I.P.)
EXERCÍCIOS
1. A razão entre a velocidade de um automóvel e a de um avião é de 1/6. Sabendo que o automóvel vence 330 km em 5
horas e 30 minutos, determinar a velocidade do avião.
2. Para usar certo tipo de tinta concentrada, é necessário diluí-la em água na proporção de 3 : 2 (proporção de tinta
concentrada para água). Sabendo que foram comprados 9 litros dessa tinta concentrada, quantos litros de tinta serão
obtidos após a diluição na proporção recomendada?
3. O filho nasceu quando o pai tinha 27 anos. Hoje, a razão entre as idades é de 4/1. Determine suas idades.
4. Uma caixa contém 35 bolas azuis e vermelhas. Depois de se retirar 3 bolas, ficaram na caixa bolas azuis e vermelhas na
razão de 1/3. Quantas bolas azuis ficaram na caixa?
5. Num galinheiro existem galinhas e galos na razão de 3/17. Sabendo que o número de galinhas supera em 210 o número
de galos, determine a quantidade de galos desse galinheiro.
6. Determinar os antecedentes de uma proporção cujos conseqüentes são 7 e 10, sabendo-se que a diferença entre oito
vezes o primeiro antecedente e cinco vezes o segundo é 15.
7. Determinar dois números, sabendo-se que a soma do dobro do primeiro com a terça parte do segundo é igual a 42, e a
razão entre eles é de 10/3.
8. Determinar os antecedentes de uma proporção cujos conseqüentes são 3 e 4, sabendo-se que a soma de seus
quadrados é igual a 100.
9. Determinar dois números sabendo que o produto de seus quadrados é igual a 90.000 e que a razão entre eles é de 3
para 4.
10. A média geométrica ou proporcional entre dois números inteiros e positivos é 12. Sabendo-se que a razão entre seus
quadrados é 81/256, determine-os.
11. Determine x, y e z de modo que as sucessões (x, 32, y, z) e (3, 4, 7, 9) sejam diretamente proporcionais.
12. Determine x e y de modo que as sucessões (20, x, y) e (3, 4, 5) sejam inversamente proporcionais.
13. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 13.
14. Dividir 96 em partes proporcionais a 1,2; 2/5 e 8.
15. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.
16. Dividir 1.090 em partes inversamente proporcionais a 2/3, 4/5 e 7/8.
17. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3, e inversamente proporcionais a 5 e 6.
18. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7, e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2.
19. Repartir uma herança de R$ 460.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos de cada uma e na razão
inversa das idades delas. As três pessoas têm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos, e as idades respectivas são 24, 32 e 45
anos.
20. Dois irmãos repartiram uma herança em partes diretamente proporcionais às suas idades. Sabendo que cada um deles
ganhou, respectivamente R$ 3.800,00 e R$ 2.200,00, e que as suas idades somam 60 anos, qual é a idade de cada um
deles?
21. Dividindo o número 224 em três partes tais que sejam ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2/3, 4/5 e 2/7 e
inversamente proporcionais a 1/6, 3/10 e 5/14, qual será a parte maior?
6
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
22. As sucessões: 2, x, y + 1 e z, 5 e 8 são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade entre elas é 120.
Determinar o valor de x + y – z .
23. Colocou-se laranjas em quatro cestas cujos volumes são inversamente proporcionais aos números 14, 10, 8 e 4. A
segunda cesta contem 48 laranjas a mais do que a primeira. Quantas laranjas foram distribuídas ao todo?
Respostas
1. 360 km/h
8. 6 e 8
2. 15 l
9. 15 e 20
14. 12, 4 e 80
3. 36 e 9
10. 9 e 16
15. 12 e 9
4. 8
5. 45
11. 24, 56 e 72
16. 420, 350 e 320
19. 120.000, 180.000 e 160.000
6. 17,5 e 25
12. 15 e 12
13. 125, 175 e 325
17. 48 e 60
20. 38 e 22
21. 120
7. 20 e 6
18. 60, 150 e 350
22. –22
23. 918
IV. REGRA DE TRÊS
1. Grandezas proporcionais
Duas grandezas são ditas proporcionais se existir uma proporção entre suas variações.
Grandezas:
– diretamente proporcionais: ↑↑ ou ↓↓ (setas no mesmo sentido)
– inversamente proporcionais: ↑↓ ou ↓↑ (setas em sentidos inversos)
2. Regra prática:
1a) identificar as grandezas envolvidas;
2a) localizar a incógnita (x);
3a) definir uma seta ( ↑ ou ↓ ) para a grandeza na qual se encontra a incógnita;
a
4 ) comparar cada grandeza com aquela em que se encontra a incógnita.
EXERCÍCIOS
1. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto deste queijo poderei comprar com R$ 53,30?
2. Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias seriam necessários para pintar o
mesmo prédio?
3. Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60 km/h faz determinado percurso em duas horas. Quanto tempo
levaria um outro veículo para cumprir o mesmo percurso se mantivesse uma velocidade média de 80 km/h?
4. Uma roda d’água dá 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas terá dado em uma hora e meia?
5. Duas rodas dentadas estão engrenadas uma na outra. A menor tem 12 dentes e a maior tem 78 dentes. Quantas voltas
terá dado a menor quando a maior der 10 voltas?
6. Um comerciante comprou duas peças de um mesmo tecido. A mais comprida custou R$ 660,00, enquanto a outra, 12
metros mais curta, custou R$ 528,00. Quanto media a mais comprida?
7. Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários que trabalhavam 7 horas por dia, então quantos dias
serão necessários para terminar o trabalho, sabendo que 4 operários foram dispensados e que o restante agora trabalha 6
horas por dia?
8. Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5 toneladas de carvão. Se esta equipe for aumentada para 20 mineiros, em
quanto tempo serão extraídos 7 toneladas de carvão?
9. Se 27 operários, trabalhando 6 horas por dia levaram 40 dias para construir um parque de formato retangular medindo
450 m de comprimento por 200 m de largura, quantos operários serão necessários para construir um outro parque, também
retangular, medindo 200 m de comprimento por 300 m de largura, em 18 dias e trabalhando 8 horas por dia?
10. Uma turma de 15 operários pretende terminar em 14 dias certa obra. Ao cabo de 9 dias, entretanto, fizeram somente
1/3 da obra. Com quantos operários a turma original deverá ser reforçada para que a obra seja concluída no tempo fixado?
11. Se m homens fazem um trabalho em d dias, em quantos dias m + r homens farão o mesmo trabalho?
Respostas
1. 6,5 kg
7. 21 dias
2. 5 dias
8. 45 dias
Atualizada 24/10/2007
3. 1h30min
9. 30 operários
4. 2.700 voltas
10. 39 operários
5. 56 voltas
6. 60 m
11. md : (m + r)
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
7
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
V. PORCENTAGEM
1. Taxa de porcentagem
Razão centesimal (razão porcentual ou percentil) é toda razão de conseqüente 100.
Ao substituirmos o conseqüente 100 pelo símbolo % (lê-se: “por cento”), temos uma taxa de porcentagem (ou taxa
percentual).
Dado um valor de referência V, chamamos de porcentagem (p) ao antecedente da razão p/V que estabeleça uma
proporção com alguma razão centesimal r/100 (ou r %).
p
= r ⇔ p = r × 100
V 100
100
Atenção: nas questões de concursos públicos é comum encontrarmos
• “porcentagem” no lugar de “taxa de porcentagem”;
• desconto, abatimento, lucro, prejuízo, etc. indicando uma porcentagem em situações específicas;
• a expressão “principal (P)” indicando valor de referência (V).
Dado um valor de referência V e uma taxa de porcentagem i (i = r %), temos:
p = i .V
O valor final F após um:
• aumento de r %: F = V + p ⇔
F = ( 1 + i )V
• desconto ou abatimento de r %: F = V – p ⇔
F = ( 1 – i )V
2. Lucro ou Prejuízo
Nos problemas de vendas com lucro (L) ou prejuízo (P), temos:
V=C+L
ou
V=C–P
EXERCÍCIOS
1. Qual é a porcentagem correspondente à fração 13/40?
2. Meio, quantos por cento são de 5/8?
3. Quanto é 20% de 40% de 30% de 1.000?
4. Quantos por cento são
9% +
4 %?
5. Um ano depois de ter sido negociada por R$ 1.200,00, uma obra de arte foi vendida por R$ 6.000,00. De quanto foi o
percentual de aumento?
6. Em uma certa cidade as tarifas de ônibus foram majoradas, passando de Cr$ 16,00 para Cr$ 20,00. De quanto foi o
percentual de aumento?
7. A população de uma cidade aumenta à taxa de 10% ao ano. Sabendo-se que em 1997 a população era de 200.000
habitantes, quantos habitantes esta cidade terá em 2001?
8. A soma de dois números x e y é 28 e a razão entre eles é de 75%. Qual é o maior desses números?
9. João, Antônio e Ricardo são operários de uma certa empresa. Antônio ganha 30% a mais que João, e Ricardo 10% a
menos que Antônio. A soma dos salários dos três, neste mês, foi de R$ 4.858,00. Qual foi a quantia que coube a Antônio?
10. Num grupo de 400 pessoas, 70% são do sexo masculino. Se nesse grupo 10% dos homens são casados e 20% das
mulheres são casadas, qual o número de pessoas casadas?
11.
Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por R$ 100,00. Qual foi o percentual do meu lucro sobre o preço de custo?
12.
Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por R$ 100,00. Qual foi o percentual do meu lucro sobre o preço de venda?
13. Um lucro de 25% sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a quanto por cento se for calculado sobre o
preço de venda?
8
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
14. Um prejuízo de 50% sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a quanto por cento se for calculado
sobre o preço de venda?
15. Para obter um lucro de 25% sobre o preço de venda de um produto adquirido por R$ 615,00, o comerciante deverá
vendê-lo por quanto?
16. Antônio comprou um conjunto de sofás com um desconto de 20% sobre o preço de venda. Sabendo-se que o valor
pago por Antônio foi de R$ 1.200,00, qual era o preço de venda da mercadoria?
17. Um produto é vendido com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da nota, 10% corresponde a despesas. De
quantos por cento foi o lucro líquido do comerciante?
18. Um cliente obteve de um comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda,
sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve, por parte do comerciante, um lucro ou prejuízo e
de quanto?
19.
Quanto por cento sobre o custo corresponde um lucro de 60% sobre a venda?
20. Um produto custava em março R$ 100,00 e foi sucessivamente reajustado em 20% nos meses de abril, maio, junho e
julho. Qual é o valor desse produto após o último desses reajustes?
21. Uma mercadoria que custava R$ 20.000,00 sofreu três reajustes sucessivos de 10%, 20% e novamente 10%. Qual o
novo preço deste produto após a aplicação destas taxas sobre taxas?
22. Um comerciante comprou 350 litros de aguardente à razão de $ 1,35 o litro. Que quantidade de água ele deverá
acrescer à aguardente para vendê-la a $ 1,75 o litro, e ainda ganhar 30% sobre o preço de compra?
23. A empresa “Vestebem” comprou o produto A pagando 10% de imposto sobre o preço de aquisição e 30% de despesa
com transporte sobre o preço da mercadoria com imposto. Sabendo-se que na venda de A obteve um lucro de R$ 143,00,
correspondente a 20% sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte), qual foi o preço de aquisição da
mercadoria com imposto?
24. Um pequeno criador possui 4 vacas que dão, cada uma, 6 litros de leite por dia. Cada litro de leite produz 60% de seu
peso de nata , e esta produz 60% de seu peso de manteiga, que é vendida a R$ 20,00 o kg. Supondo que cada litro de leite
pese 1.000 g, qual o valor total, em reais, da manteiga produzida em 30 dias?
25. Antônio ganha 30% a mais que Beatriz, e Carlos 20% a menos que Antônio. Se a diferença entre os salários de
Antônio e Carlos é de R$ 130,00, qual é o salário de Beatriz?
26. Comprei numa promoção uma calça e uma camisa. Após o término da promoção, a calça ficou 20% mais cara e a
camisa, 10% mais cara. Se comprasse as mesmas duas peças hoje, eu gastaria 16% a mais. Quanto por cento me custou a
mais a calça em relação à camisa?
27. O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3%
sobre o total das vendas que exceder a R$ 10.000,00. Estima-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem
sobre o salário bruto. Em determinado mês o vendedor recebeu, líquido, o valor de R$ 4.500,00. Quanto ele vendeu neste
mês?
28. Num certo grupo de 300 pessoas sabe-se que 98% são do sexo masculino. Quantos homens deveriam sair do grupo
para que o restante deles passasse a representar 97% das pessoas presentes no grupo remanescente?
Respostas
1. 32,5%
8. 16
2. 80%
3. 24
9. R$ 1.820,00
4. 32%
10. 52
15. R$ 820,00
16. R$ 1.500,00
20. R$ 207,36
21. R$ 29.040,00
25. R$ 500,00
26. 50%
Atualizada 24/10/2007
5. 400%
11. 25%
17. 8%
22. 1 l
27. R$ 100.000,00
6. 25%
12. 20%
7. 292.820 hab
13. 20%
18. prejuízo de 4%
23. R$ 550,00
14. 100%
19. 150%
24. R$ 5.702,40
28. 100 homens
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
9
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
VI. SISTEMAS DE MEDIDA
1. Comprimento
Unidade: metro (m)
Múltiplos
– quilômetro (km): 1 km = 1.000 m
– hectômetro (hm): 1 hm = 100 m
– decâmetro (dam): 1 dam = 10 m
2. Área
Submúltiplos
– decímetro (dm): 1 dm = 0,1 m
– centímetro (cm): 1 cm = 0,01 m
– milímetro (mm): 1 mm = 0,01 m
Unidade: metro quadrado (m2)
Múltiplos
2
2
2
6
2
– quilômetro quadrado (km ): 1 km = 1.000.000 m = 10 m
2
2
2
4
2
– hectômetro quadrado (hm ): 1 hm = 10.000 m = 10 m
2
2
2
2
2
– decâmetro quadrado (dam ): 1 dam = 100 m = 10 m
Submúltiplos
2
2
2
–2
2
– decímetro quadrado (dm ): 1 dm = 0,01 m = 10 m
2
2
2
–4
– centímetro quadrado (cm ): 1 cm = 0,0001 m = 10 m2
2
2
2
–6
2
– milímetro quadrado (mm ): 1 mm = 0,000001 m = 10 m
3. Volume
Unidade: metro cúbico (m3)
Múltiplos
3
3
3
9
3
– quilômetro cúbico (km ): 1 km = 1.000.000.000 m = 10 m
3
3
3
– hectômetro cúbico quadrado (hm ): 1 hm = 10.000 m = 106 m3
3
3
3
= 103 m3
– decâmetro cúbico quadrado (dam ): 1 dam = 100 m
Submúltiplos
– decímetro cúbico (dm3): 1 dm3 = 0,001 m3 = 10–3 m3
3
3
3
–6
3
– centímetro cúbico (cm ): 1 cm = 0,000001 m = 10 m
3
3
3
–9
– milímetro cúbico (mm ): 1 mm = 0,000000001 m = 10 m3
4. Massa
Unidade: grama (g)
Múltiplos
– quilograma (kg): 1 kg = 1.000 g
– hectograma (hg): 1 hg = 100 g
– decagrama (dag): 1 dag = 10 g
Submúltiplos
– decigrama (dg): 1 dg = 0,1 g
– centigrama (cg): 1 cg = 0,01 g
– miligrama (mg): 1mg = 0,01 g
Tonelada (ton): 1 ton = 1.000 kg.
1 quilate = 2 dg.
5. Capacidade
Unidade: litro ( l )
Múltiplos
– quilolitro (kl): 1 kl = 1.000 l
– hectolitro (hl): 1 hl = 100 l
– decalitro (dal): 1 dal = 10 l
Submúltiplos
– decilitro (dl): 1 dl = 0,1 dl
– centilitro (cl): 1 cl = 0,01 cl
– mililitro (ml): 1 ml = 0,01 ml
Observações:
• 1 l = 1 dm
3
• água destilada à temperatura de 4o C: 1 l = 1 kg.
10
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
kg
km hg
kl hm
hl
× 10 (p/ cada degrau)
dag
dam g
dal m
l
Área (m2): ×100 (p/ cada degrau)
Volume (m3): ×1.000 (p/ cada degrau)
dg
dm cg
dl cm mg
÷ 10
cl mm
(p/ cada degrau)
ml
6. Outras unidades de medida
a) Medida agrária
1 a = 100 m2
Unidade: are (a)
2
Múltiplo: hectare (ha).
Submúltiplo: centiare (ca).
1 ha = 100 a = 10.000 m
1 ca = 1 a = 1 m2
b) Medida para madeiras
3
Unidade: estéreo (st)
Múltiplo: decastéreo (dast)
Submúltiplo: decistéreo (dst)
c) Tempo
1 dia = 24 h
1 st = 1 m
1 dast = 10 m3
1 dst = 0,1 m3
1 h = 60 min
1 min = 60 s
EXERCÍCIOS
1. Efetue dando a resposta em g:
0,083 kg + 54 mg + 3,14 dag + 8,6 kg + 1,03 g =
2. Efetue dando a resposta em l:
55 l + 0,35 da l + 400 c l + 3,6 da l =
3. Efetue dando a resposta em m:
543,21 cm + 0,002 km =
4. Efetue dando a resposta em m2:
16 m2 + 701 dm2 + 0,415 dam2 + 0,0025 km2 =
5. Efetue dando a resposta em m3:
3
3
3
3
8 dam + 0,045 hm + 22 m + 2130 dm =
3
6. Em uma sala há 200 pessoas e tem-se 6 m de ar para cada uma. Se a largura da sala é de 30 m e o comprimento 8 m,
qual é a altura?
7. Quantos pedaços de papel de 520 cm2 cada um serão necessários para cobrir as quatro paredes de uma sala retangular
de 14 m de comprimento, 8 m de largura e 5 m de altura, e que tem 3 janelas e uma porta medindo cada uma 1,50 m por 2
m?
8. Enchi um tanque de 1 m de comprimento, 80 cm de largura e 60 cm de altura, com 30 latas de água de mesma
capacidade. Qual a capacidade em litros de cada lata?
9. Um barril cheio de óleo pesa 81 kg. Vazio pesa 780 dag. Sendo sua capacidade de 8 dal, pede-se:
3
a) o peso em gramas de 1 cm deste óleo;
b) o peso do barril, em kg, quando está cheio até os 3/4.
10. Quanto tempo (dia de 8 horas) levará um operário para ladrilhar uma varanda que mede 15,44 m de comprimento por 6
m de largura, usando ladrilhos quadrados de 20 cm de lado, se ele coloca 12 ladrilhos por hora?
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
11
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
11. Uma caixa de injeções contém 4 ampolas de 12 ml cada uma, de um produto revigorante. Quantas caixas poderá ser
3
produzido com 6 m desse produto?
12. Um relógio de ponteiros é acertado no primeiro dia do mês e adianta 15 minutos por dia. Depois de quanto tempo
marcará novamente a hora exata?
13. Que horas são se dois terços do tempo que resta do dia é igual ao tempo decorrido?
14. Dois pintores, A e B, são capazes de pintar o mesmo muro em 20 e 24 horas, respectivamente. Em cada metro
quadrado do muro, o pintor B leva 5 minutos a mais que o pintor A. Quantos metros quadrados tem este muro?
15. Uma torneira enche um tanque em 6 horas enquanto uma outra faria o mesmo em 4 horas. Em quanto tempo as duas
torneiras, juntas, encheriam o tanque?
16. Uma torneira enche um tanque de 1,60 m de comprimento; 0,08 dam de largura e 5.400 mm de altura em 5 horas. Uma
outra torneira leva 3 horas para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo as duas torneiras juntas levariam para encher
esse tanque?
17. Duas torneiras juntas enchem um tanque em 4 horas. Uma delas leva 7 horas para encher o mesmo tanque. Quanto
tempo a outra levaria para encher esse tanque?
18. Uma torneira enche um tanque em 3 horas enquanto um ralo o esvaziaria em 5 horas. Em quanto tempo o tanque
vazio se encherá se, ao abrir a torneira, o ralo for deixado aberto também?
Respostas
1. 8.715,484 g
7. 4.000
2. 98,5 l
8. 16 l
12. 48 dias
9. a) 0,915 g
13. 9h36min
2
3. 7,4321 m
4. 2.564,51 m
b) 62,7 kg
14. 48 m2
15. 2h24min
5. 53.024,13 m3
10. 25 dias
6. 5 m
11. 125.000 caixas
16. 1h52min30s
17. 9h20min
18. 7h30min
VII. EQUAÇÕES
1. Equação do 1o grau
É toda equação que pode ser escrita sob a forma:
ax + b = 0 , com a ≠ 0.
a e b ... coeficientes
x ... variável
Exemplo
Resolver a equação 3x – 2 = x + 5.
2. Equação do 2o grau
É toda equação que pode ser escrita sob a forma:
2
ax + bx + c = 0 , com a ≠ 0.
a, b e c ... coeficientes
x ... variável
Raízes: fórmula de Baskara
x=
−b ± ,∆
2a
∆ = b2 − 4ac
Discriminante (∆):
• ∆ > 0 ⇔ duas raízes reais e distintas;
• ∆ = 0 ⇔ duas raízes reais e iguais;
• ∆ < 0 ⇔ não tem raízes reais.
12
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
Relações de Girard: Soma e Produto das raízes
Seja a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, e x1 e x2 suas raízes. A soma (S) e o produto (P) das raízes é dada por:
{
−b
a
S = x1 + x2 =
P = x1.x2 =
c
a
Se a = 1, temos x2 – Sx + P = 0, onde:
{
S = x1 + x2 = – b
P = x1.x2 = c
EXERCÍCIOS
1. Pensei em um número. Multipliquei-o por 4, depois somei 6 ao resultado, dividi tudo por 2 e subtraí 7 do quociente
obtendo, finalmente 12. Qual foi o número em que pensei?
2. Qual é o número que adicionado a 5 é igual à sua metade mais 7?
3. O triplo de um número menos 40 é igual à sua metade mais 20. Qual é este número?
4. Qual é o número cujo triplo excede de 16 a sua terça parte?
5. Resolver as equações:
a) x2 – 25 = 0
b) x2 – 6x = 0
2
c) – x + x + 20 = 0
d) – 3x2 + 60 = 0
e) – 5x2 + 7x = 0
f ) 2x2 + 3x – 2 = 0
g) x2 + 4 = 0
h) x2 – 13x + 12 = 0
i ) x2 – 3x + 4 = 0
6. Verifique se –2 é raiz da equação: 2x2 – 5x – 18 = 0.
7. Determine m na equação mx2 – 3x + (m + 1) = 0 para que uma de suas raízes seja igual a 1.
8. Determine m na equação 2x2 – mx + x + 8 = 0 para que a soma de suas raízes seja igual a 5.
2
9. Determine m tal que as raízes de 4x + (m + 1)x + (m + 6) = 0 sejam iguais.
10. Determine dois números cuja soma seja –2 e o produto seja –15.
11. Decompor o número 21 em duas parcelas tais que o produto entre elas seja 110.
12. A soma de um número natural com o seu quadrado é igual a 72. Determine este número.
13. A soma de um certo número inteiro com o seu inverso é igual a 50/7. Qual é esse número?
14. Determine dois números inteiros e consecutivos tais que a soma dos seus inversos seja 5/6.
15. Determine dois números pares, positivos e consecutivos cujo produto seja 120.
16. A diferença entre o quadrado e o triplo de um número natural é igual a 54. Determine esse número.
17. Determine o maior de três números naturais e consecutivos tais que a soma dos quadrados dos dois menores seja igual
ao quadrado do maior.
18. Determine a maior raiz da equação: x4 – 3x2 + 4 = 0
Respostas
1. 8
2. 4
3. 24
4. 6
5. a) V = {–5, 5}
b) V = {0, 6}
c) V = {–4, 1/2}
d) V ={ - 2 5 , 2 5 }
e) V = {0, 7/5}
f ) V = {–2, 1/2}
g) V = ∅ h) V = {1, 12}
i) V = ∅
6. É raiz.
7. m = 1
8. m = 11
9. m = –5 ou m = 19
10. 11. 10 e 11
13. 7
14. 2 e 3
15. 10 e 12
16. 9
17. 5
18. 2
Atualizada 24/10/2007
12. 8
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
13
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
VIII. FUNÇÕES
1. Função do 1o grau
f: IR → IR, f(x) → y = ax + b; a ≠ 0
Gráfico: reta.
y
a ... coeficiente angular: a = tg α (α → inclinação da reta)
b ... coeficiente linear
b• α
b ... interseção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y): x = 0.
x
Raiz é o ponto de interseção da reta com o eixo das abscissas (eixo x): f(x) = 0.
y = ax + b, para y = 0 ⇒ ax + b = 0 (equação do 1o grau): x =
Variação:
a > 0 ⇔ função crescente
–b
a
(raiz)
a < 0 ⇔ função decrescente
y
y
0o < α < 90o
α
0o < α < 180o
α
Estudo do sinal da função do 1o grau
y
a>0
+
–
y
x
+
a<0
–
x
o
2. Função do 2 grau (ou função quadrática)
f: IR → IR, f(x) → y = ax2 + bx + c; a ≠ 0
Gráfico: parábola
y
X1•
A parábola é uma curva simétrica em relação à reta vertical que passa pelo seu
vértice.
•
c•
•
X2
V
x
V ... vértice (ponto de mudança de variação)
x1 e x2 ... raízes
2
o
Raízes: f(x) = 0 ⇒ ax + bx + c = 0 (equação do 2 grau)
Fórmula de Baskara
–b+ ∆
x = ⎯⎯⎯⎯ ; ∆ = b2 – 4ac
2a
14
Atualizada 24/10/2007
⇒ raízes x1 e x2
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
Forma canônica (fatorada) de uma função do 2o grau:
f(x) = a(x – x1)(x – x2)
Estudo do discriminante ( ∆ ):
• ∆ > 0 ⇔ 2 raízes reais e distintas (parábola secante)
• ∆ = 0 ⇔ 2 raízes reais e iguais (parábola tangente)
• ∆ < 0 ⇔ não possui raízes reais (parábola externa)
Coordenadas do vértice (ponto de mudança de variação): V(xv,yv)
1 + x2
xv = x⎯⎯⎯
2
–∆
yv = f(xv) ou yv = ⎯⎯
4a
–b
ou xv = ⎯⎯
2a
Concavidade da parábola:
• a > 0 ⇔ para cima ⇒ vértice é ponto de mínimo ( yv: valor mínimo da função)
• a < 0 ⇔ para baixo ⇒ vértice é o ponto de máximo ( yv: valor máximo da função)
Soma e produto das raízes: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 ⇔ x2 – Sx + P = 0
c
Produto (P): x1 • x2 = ⎯
a
–b
Soma (S): x1 + x2 = ⎯⎯
a
Estudo do sinal da função do 2o grau:
∆>0
+
x1
a>0
∆=0
∆<0
+
–
x2
+
+
+ + + +
•
x1 = x2
x1 = x2
•
a<0
x1
–
+
x2
–
–
– – – –
–
EXERCÍCIOS
1. Pensei em um número. Multipliquei-o por 4, depois somei 6 ao resultado, dividi tudo por 2 e subtraí 7 do quociente
obtendo, finalmente 12. Qual foi o número em que pensei?
2. Qual é o número que adicionado a 5 é igual à sua metade mais 7?
3. O triplo de um número menos 40 é igual à sua metade mais 20. Qual é este número?
4. Qual é o número cujo triplo excede de 16 a sua terça parte?
5. Represente graficamente:
a) y = 2x + 4
b) y = –3x + 4
c) y = –x
d) y = 6
6. Resolver em Q as inequações:
a) 3x – 2 > 20
x + 1⎯⎯
–x > ⎯
1
c) ⎯
2
5
2
1
1
1 1
d) ⎯ ( x + ⎯ ) – 1 < – ⎯ ( ⎯ – x )
2
3
5 2
Atualizada 24/10/2007
b) 8 (1 – 2x) ≥ 6 – 3x
x–5
x–2
e) 1 – ⎯⎯ > ⎯⎯ + 2
3
4
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
15
CEF
Prof. Milton Ueta
7.
Dê o maior número inteiro que satisfaça a inequação: 2 – 3x > 7.
8.
– 3 > 1.
Dê o maior número inteiro que satisfaça a inequação: x –7x
⎯⎯⎯
Matemática
4
9. Resolver as equações:
a) x2 – 25 = 0
d) x2 – 6x = 0
2
g) – x + x + 20 = 0
b) – 3x2 + 60 = 0
e) – 5x2 + 7x = 0
h) 2x2 + 3x – 2 = 0
c) x2 + 4 = 0
f) x2 – 13x + 12 = 0
i) x2 – 3x + 4 = 0
10. Verifique se –2 é raiz da equação: 2x2 – 5x – 18 = 0.
2
11. Determine m na equação mx – 3x + (m + 1) = 0 para que uma de suas raízes seja igual a 1.
12. Determine m na equação 2x2 – mx + x + 8 = 0 para que a soma de suas raízes seja igual a 5.
13. Determine m tal que as raízes de 4x2 + (m + 1)x + (m + 6) = 0 sejam iguais.
14. Determine dois números cuja soma seja –2 e o produto seja –15.
15. Decompor o número 21 em duas parcelas tais que o produto entre elas seja 110.
16. A soma de um número natural com o seu quadrado é igual a 72. Determine este número.
17. A soma de um certo número inteiro com o seu inverso é igual a 50/7. Qual é esse número?
18. Determine dois números inteiros e consecutivos tais que a soma dos seus inversos seja 5/6.
19. Determine dois números pares, positivos e consecutivos cujo produto seja 120.
20. A diferença entre o quadrado e o triplo de um número natural é igual a 54. Determine esse número.
21. Determine o maior de três números naturais e consecutivos tais que a soma dos quadrados dos dois menores seja
igual ao quadrado do maior.
22. Represente graficamente:
a) y = x2 – 4
2
d) y = –x + 2x – 1
b) y = – x2 + 5x
e) y = x2 + 1
c) y = x2 – x – 6
f) y = x2 – 3
23. Resolver as inequações:
2
a) x – 4 > 0
2
d) –x + 2x – 1 ≥ 0
b) – x2 + 5x ≥ 0
e) x2 + 1 ≥ 0
c) x2 – x – 6 < 0
f) x2 – 3 ≤ 0
24. Determine os valores reais de x de modo que x2 – 10x + 9 ≤ 0.
25. Calcular a soma das raízes inteiras que satisfazem à inequação: 5x2 + 13x – 6 < 0.
26. Um ciclista que fez uma viagem de 630 km teria gasto menos 4 dias se pedalasse mais 10 km por dia. Quantos dias
gastou na viagem?
27. Um pecuarista dispõe de 12 rolos de arame de 500 metros para cercar, com 5 fios, um terreno retangular onde será
plantado uma variedade especial de capim, com vistas a prover o gado de ração na época da seca. Quais devem ser as
dimensões do terreno para que se possa plantar o máximo possível de capim?
28. Um terreno retangular deve ser guarnecido por uma cerca por três lados, havendo um rio que serve de limite natural
para o quarto lado. Nessas condições, encontre as dimensões do maior lote que possa ser guarnecido com 240 metros de
cerca.
16
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
Respostas
1. 8
2. 4
5.a)
3. 24
4. 6
b)
y
4
c)
y
d)
y
6
4
–2
x
x
4/3
6.a) S = {x ∈ IR / x > ⎯ }
7. –2
x
x
2}
c) S = {x ∈ IR / x ≤ ⎯
b) S = {x ∈ IR / x > 1}
d) S = {x ∈ IR / x < ⎯ }
13
22 e) S = {x ∈ IR / x < 2}
9
8. –1
9.a) V = {5, –5}
f) V = {1, 12}
b) V = {–2
,2
g) V = {–4, 5}
}
c) V = { }
d) V = {0, 6}
5 h) V5= {1/2; –2}
e) V = {0; 7/5}
i) V = ∅
10. –2 é raiz
11. m = 2
12. m = 11
13. m = –5 ou m = 9
14. 3 e –5
15. 10 e 11
16. 8
17. 7
19. 10 e 12
20. 9
21. 5
22.a)
y
y
b)
y
c)
18. 2
y
25
4
–2
2
x
1/2
2/5
5
x
–2
3
x
__
–4
d)
–25
4
y
e)
y
f)
y
1
x
–1
1
x
3
– 3
x
–3
23. a) S = {x ∈ IR / x < –2 ou x > 2}
c) S = {x ∈ IR / –2 < x < 3}
e) S = IR
24. {x ∈ IR / 1 ≤ x ≤ 9}
25. –3
b) S = {x ∈ IR / 0 ≤ x ≤ 5}
d) S = {1}
3}
f) S = {x ∈ IR / – 3 ≤ x ≤
26. 18 dias
27. 300m x 300m 28. 120m x 60m
3. Função Exponencial
Revisão: Potenciação
Definição
Potenciação é um produto de fatores iguais.
n
a = a.a.a. ... a, a∈IR e n∈IN / n ≥ 2
n
0
a =1
a1 = a
Atualizada 24/10/2007
a −n = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1n ; a ≠ 0
a
⎝a⎠
m
a n = n am ; n ≠ 0 .
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
17
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
Nomenclatura
Propriedades: {a, m, n} ⊂ IR
1ª) am·an = am+n
2ª) am:an = am–n, a≠0
3ª) (am)n = am⋅n
4ª) (a·b)n = an·bn
n
n
a
⎛
⎞
5ª) ⎜ ⎟ = an , b≠0
b
⎝b ⎠
expoente
3
2 =8
potência
base
23 = 8
potência
Observações:
1ª)
n
n
a m = a (m )
2ª) –an = –(an)
Função Exponencial
f: IR → IR, f(x) → y = ax; 0 < a ≠ 1
+
Conjunto Imagem: Im f = IR
Gráfico
Função crescente
y
Função decrescente
a>1
0<a<1
y
1
1
x
x
Comparação de potências
a) igualdade:
am = an ⇔ m = n, 0 < a ≠ 1
b) desigualdade:
e
am > an ⇔ m > n, se a >1
EXERCÍCIOS
1. Representar graficamente as funções IR →IR, f(x) = y a seguir:
a) y = 3x
b) y = (1/4)x
c) y = (5/2)x
2. Resolver as equações a seguir:
a) 2x = 32
b) 27x+1 = 9x–2
c) (1/2)x–1 = 1/8
3. Resolver as inequações a seguir:
x
b) 8x–1 ≤ 4x–2
a) 3 > 27
Atualizada 24/10/2007
d) y = (2/3)x
d) 8x = (1/4)x+2
c) (1/3)x–1 ≥ 1/81 d) 8x < (1/4)x+2
Respostas
1. a) crescente b) decrescente c) crescente
2. a) V={5}
b) V={–7}
3. a) S={x∈IR/ x > 3}
b) S={x∈IR/ x ≤ –1}
18
am > an ⇔ m < n, se 0 < a < 1
d) decrescente
c) V={4}
d) V={–4/5}
c) S={x∈IR/ x ≤ 5}
d) S={x∈IR/ x < –4/5}
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
8. Função Logarítmica
Logaritmo
Definição
x
*
logab = x ⇔ a = b, a∈IR+ / 0<a≠1, b∈IR+ e x∈IR
Nomenclatura
Conseqüências
1ª) loga1 = 0
2ª) logaa = 1
3ª) logaan = n
4ª) aloga b = b
antilogaritmo ou logaritmando
logab = x
logaritmo
base
log28 = 3
logaritmo
Propriedades
1ª) loga(m·n) = logam + logan
2ª) loga(m/n) = logam – logan
n
3ª) logam = n·logam
Mudança de base: logab = logb/loga
Sistema de logaritmos
a) decimal: base 10
log10b = log b
b) neperiano: base e
logeb = ln b, e = 2,71828... (número neperiano)
Obs.: log 2 ≅ 0.3010 e log 3 ≅ 0.4771
EXERCÍCIOS
1. Calcular:
a) log216
b) log1/3(1/9)
c) log525
d) 2log27
e) log3 (1/81)
2. Sabendo que log 2 ≅ 0.3010 e log 3 ≅ 0.4771, determinar:
a) log 8
b) log 9 c) log 6 d) log 12 e) log 5 f) log 200
Respostas
1. a) 4 b) 2
2. a) 0,9030
c) 2 d) 7
b) 0,9542
e) –4
c) 0,7781
d) 1,0794
e) 2,3010
Função Logarítmica
f: IR+ → IR, f(x) → y = logax; 0 < a ≠ 1
*
Conjunto Imagem: Im f = IR
Gráfico
Função crescente
y
Função decrescente
a>1
0<a<1
y
1
x
1
Atualizada 24/10/2007
x
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
19
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
Comparação de logaritmos
a) igualdade:
logam = logan ⇔ m = n
b) desigualdade:
logam > logan ⇔ m > n, se a >1
logam > logan ⇔ m < n, se 0 < a < 1
EXERCÍCIOS
1. Representar graficamente as funções IR →IR, f(x) = y a seguir:
b) y = log1/3 x
c) y = log5/2 x
a) y = log2 x
d) y = log2/3 x
2. Resolver as equações a seguir:
a) log2 x = log2 (6–x)
b) log1/3 x = log1/3 (6–2x)
c) log2 (5x–2) = log2 (x–10)
3. Resolver as inequações a seguir:
a) log2 x > log2 (6–x)
b) log1/3 x ≤ log1/3 (6–2x)
c) log2 (5x+2) ≥ log2 (x+10)
Respostas
1. a) crescente b) decrescente c) crescente
2. a) V={3}
b) V={2}
c) V={–2}
3. a) S={x∈IR/ x > 3}
b) S={x∈IR/ x ≥ 2}
d) decrescente
c) S={x∈IR/ x ≥ –2}
IX. PROGRESSÕES
1. Seqüências
É toda sucessão ordenada de termos (números, letras, figuras, palavras, etc.) que obedeçam a um padrão de formação.
Representação: (a1, a2, a3, ..., an, ...), n∈IN*
Exemplo
Complete cada seqüência lógica a seguir:
a) (B, D, G, L, Q, .........)
c) (2, 9, 16, 23, 30, ........)
b) (4, 5, 7, 11, 19, .........)
d) (1, 3, 9, 27, 81, .........)
2. Progressão aritmética (P.A.)
É toda sucessão de termos em que, a partir do segundo termo, a diferença entre um termo e seu antecessor constante.
Representação
P.A.(a1, a2, a3, ..., an, ...)
Razão: r = an – an–1
Classificação:
- r > 0 ⇔ crescente
- r < 0 ⇔ decrescente
- r = 0 ⇔ constante
Termo geral: an = a1 + (n–1)r
ou an = am + (n–m)r, n>m.
Representação conveniente:
- P.A. de três termos: (x–r, x, x+r)
- P.A. de cinco termos: (x–3r, x–r, x, x+r, x+3r)
- P.A. de quatro termos: (x–3r, x–r, x+r, x+3r), razão 2r
Propriedades:
a
1 ) Em qualquer P.A., a soma de dois termos (com exceção dos extremos) eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos
extremos.
P.A.(a1, a2, ..., an) ⇒ a1+k + an–k = a1 + an
20
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
2a) Termo médio: em qualquer P.A., cada termo (com exceção dos extremos) é a média aritmética de dois termos
eqüidistantes ao mesmo.
P.A.(a1, a2, ..., an, ...)
an–k + an+k
2
an = ⎯⎯⎯⎯⎯
Conseqüência
Numa P.A. de três termos temos:
P.A.(a, b, c) ⇒ b = ⎯⎯⎯
a+c
2
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.:
Sn = ⎯⎯⎯⎯⎯
(a1 + an).n
2
EXERCÍCIOS
1. Complete cada uma das seqüências a seguir:
a) (2, 3, 5, 8, 12, .....)
c) (10, 40, 90, 61, 52, .......)
b) (2, 4, 4, 6, 5, 4, ......)
d) (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ......)
2
2. Determinar o valor do vigésimo termo da seqüência: an = n – 2n.
3. Calcular a soma dos seis primeiros termos da seqüência: an = 2n – 1.
4. Determinar o quinto termo de uma seqüência cujo valor do primeiro termo é 4 e, cada termo a partir do segundo é dado
por an = an–1 + 5.
5. Determine a razão de cada P.A. a seguir:
a) (34, 41, 48, 55, 62)
b) (–30, –27, –24)
c) (19, 17, 15)
d) (4/3, 1/2, ...)
o
6. Determine o 10 termo de cada P.A. do exercício anterior.
7. Determine a razão de cada P.A. a seguir, dados:
a) a1 = 5 e a11 = 85
c) a1 = 50 e a13 = –10
d) a20 = 200 e a100 = 240
b) a1 = 100 e a16 = 40
8. Determine o termo pedido em cada P.A. a seguir:
e) a6 = 2 e r = 2; a20 = ?
a) a10 = 190 e r = 8; a1 = ?
b) a46 = 280 e r = –2; a1 = ?
f ) a10 = 15 e r = 3; a30 = ?
g) a20 = 40 e r = –10; a100 = ?
c) a10 = –30 e r = –3; a1 = ?
d) a8 = 0 e r = –5; a1 = ?
h) a37 = 56 e r = 12; a49 = ?
9. Determine o número de termos de cada P.A. a seguir:
a) (1, 7, 13, ..., 121)
b) (–3, 0, ..., 39)
c) (108, 117, ..., 999)
10. Determine o quarto termo das seguintes interpolações:
a) 3 meios aritméticos entre 12 e 28;
c) 6 meios aritméticos entre 20 e 90;
b) 5 meios aritméticos entre 10 e 40;
d) 5 meios aritméticos entre 40 e 10.
11. Sabendo que os três primeiros termos de uma P.A. são, respectivamente, x – 1, x + 5 e 4x – 4, determine o valor do
quarto termos.
12. Calcular x de modo que 3x – 1, x + 3 e x + 9 sejam, respectivamente, termos consecutivos de uma P.A.
13. Determine a razão da P.A.(5 – x, x + 1, 3x – 3).
14. Sabendo que o termo geral de uma P.A. é an = 2n + 3, determine a soma dos 8 primeiros termos dessa P.A.
15. Calcular a soma dos 20 primeiros termos da sucessão (10, 13, 16, 19, ...)
16. Calcular a soma dos 30 primeiros números ímpares.
17. Determinar, em função de n, a soma dos n primeiros números ímpares.
18. Determinar, em função de n, a soma dos n primeiros números pares.
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
21
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
19. Calcular a soma de todos os múltiplos de 7 compreendidos entre 10 e 100.
20. Quantos são os múltiplos de 3 entre 100 e 900?
21. Quantos são os múltiplos de 3 e 7 entre 100 e 900?
22. Quantos são os múltiplos de 3 ou 7 entre 100 e 900?
23. Numa urna há 1.000 bolinhas. Retirando 3 bolinhas na primeira vez, 6 bolinhas na segunda, 9 na terceira, e assim por
diante, quantas bolinhas restarão na urna após a vigésima retirada?
24. Determine x na equação: x + 2x + 3x + ... + 39x + 40x = 4.100.
25. Determinar três números em P.A. cuja soma é 21 e o produto, 280.
26. Determinar quatro números inteiros em P.A. cuja soma é 36 e o produto 3.465.
27. Qual é a razão de uma P.A., sabendo que a soma do terceiro termo com o oitavo é 74, e a soma do quinto com o
décimo segundo é 110?
28. Qual é o valor do primeiro termo de uma P.A. crescente de 3 termos, sabendo que a soma deles é 36 e a diferença entre
os extremos é 10?
29. Qual é a medida do menor ângulo interno de um triângulo, sabendo que suas medidas estão em P.A. e que um dos
o
ângulos mede 105 .
30. Determinar a medida da hipotenusa de um triângulo cujas medidas dos lados estão em P.A. e o perímetro mede 60 cm.
31. Determinar o valor do 2o termo de uma P.A. sabendo que a soma dos termos é dada
2
+n.
por Sn = n
⎯⎯⎯
4
32. Qual é a razão de uma P.A. cuja soma dos n primeiros termos é Sn = 2n2 para qualquer n inteiro positivo?
33. Um teatro tem 150 lugares. Sabendo-se que possui 15 cadeiras na 1a fila, 19 cadeiras na 2a fila, 23 na 3a, e assim
seguem a composição das outras filas. Quantas filas de cadeiras tem o teatro?
34. Qual o valor do maior termo de uma P.A. de três termos cuja soma dos termos é 18 e o produto 66.
35. Sabendo-se que Si é a soma dos números ímpares de 1 a 99 e Sp é a soma dos números pares de 2 a 100, qual o valor
da diferença Sp – Si?
36. Na P.A.(–15, –12, –9, ...), qual a quantidade mínima de termos que devemos somar para que o resultado seja não
negativo?
37. Um corpo descendo por um plano inclinado percorre 6 metros no primeiro minuto, 10 metros no segundo minuto, 14
metros no terceiro minuto, e assim por diante. Quantos minutos gastará para percorrer 7.198 metros?
Respostas
1. a) 17 b) 4 c) 63
d) 200
2. 360
3. 36 4. 24
5. a) 7 b) 3 c) –2 d) –5/6
6. a) 97
b) –3
c) 1 d) 13/3
7. a) 8
b) –4 c) –5
d) 1/2
8. a) 118
b) 370
c) –3 d) 35
e) 30 f) 75
g) –760
h) 200
9. a) 21
b) 7
c) 15
10. a) 24
b) 25
c) 50 d) 25
11. 22 12. –1
13. r = 2x – 4, ∀x∈IR
14. 96
15. 770 16. 900
17. n2 18. n(n–1)
19. 728 20. 267 21. 34
22. 361 23. 370
24. 5
25. 4, 7 e 10
26. 3, 7, 11 e 15
27. 6
28. 7
29. 15o
30. 25 cm
31. 1
32. 4 33. 6
34. 11
35. 50
36. 11
37. 59 min
22
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
3. Progressão geométrica (P.G.)
É toda sucessão numérica na qual, cada termo a partir do segundo é o antecessor multiplicado por uma constante
denominada razão (q).
Representação
P.G.(a1, a2, a3, ..., an, ...)
Razão: q = ⎯⎯
an
an–1
-
Classificação:
q > 1 e a1 > 0 ou 0 < q < 1 e a1 < 0 ⇔ crescente
q > 1 e a1 < 0 ou 0 < q < 1 e a1 > 0 ⇔ decrescente
q = 1 ou a1 = 0 ⇔ constante
q < 0 ⇔ alternante
n–1
Termo geral: an = a1.q
ou an = am.qn–m, n>m.
Representação conveniente:
x x, x.q)
- P.G. de três termos: (⎯,
q
x ⎯,xx, x.q, x.q2)
- P.G. de cinco termos: (⎯,
q2 q
xx
3
2
- P.G. de quatro termos: (⎯, ⎯, x.q, x.q ), razão q
qq
3
Propriedades:
1a) Em qualquer P.G., o produto de dois termos (com exceção dos extremos) eqüidistantes dos extremos é igual ao produto
dos extremos.
P.A.(a1, a2, ..., an) ⇒
= a1.an
a1+k.an–k
a
2 ) Termo médio: em qualquer P.G., cada termo (com exceção dos extremos) é a média geométrica de dois termos
eqüidistantes ao mesmo.
P.A.(a1, a2, ..., an, ...)
an =
a1+k.an–k
Soma dos n primeiros termos de uma P.G.:
a1·(qn – 1)
Sn = ⎯⎯⎯⎯⎯
q–1
a1
Soma dos termos de uma P.G. ilimitada convergente (0 < q < 1): S∞ = ⎯⎯
1–q
Produto dos n primeiros termos de uma P.G.:
EXERCÍCIOS
1. Determine a razão de cada P.G. a seguir:
a) (3, 6, 12, 24)
c) (65, 0, 0)
b) (1/2, –1, 2, –4)
d) (6, 6
, 12)
e) (2
,6
f ) (1/2, 2/3, ... )
Pn =
, ... )
(a1.an)n
6
2
2
2. Determine o sétimo termo de cada P.G. do exercício anterior.
3. Determine a razão de cada P.G. a seguir:
c) a3 = –125 e a7 = –2.000
a) a1 = 6 e a6 = 192
b) a1 = 10 e a8 = –1.280
d) a5 = 2/3 e a9 = 54
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
23
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
4. Determine o termo pedido em cada P.G. a seguir:
c) a6 = 12.500 e q = –5; a1 = ?
a) a3 = 10 e q = 2; a8 = ?
b) a3 = 8 e q = ; a7 = ?
d) a12 = 5/8 e q = 1/2; a1 = ?
3
5. Determine o número de termos de cada P.G. a seguir:
a) (3, 6, ..., 768)
b) (1/9, 1/3, ..., 729)
c) (2/3, 2, ..., 486)
d) (100; 20; ...; 0,0064)
6. Determine o segundo termo das seguintes interpolações:
a) 4 meios geométricos entre 4 e 1/8;
b) 4 meios geométricos entre 3 e –96;
c) 2 meios geométricos entre 2 e 10.
7. Determine o 5o termo de uma P.G. sabendo que o 3o termo é 16/9 e o 7o é 144.
8. Determinar a razão de uma P.G. de três termos, sabendo que a soma de seus termos é 14 e o produto 64.
9. A soma de três números em P.G. crescente é 195, e a diferença entre o terceiro e o primeiro é 120. Determine o 1o
termo dessa P.G.
10. Uma P.G. tem 5 termos. A soma do primeiro termo com o quinto é igual a 17/16, e o termo médio é igual ao quádruplo
do último termo. Determine o valor do primeiro termo.
11. Determine o valor de x para que (1 + x), (13 + x) e (49 + x) sejam termos consecutivos de uma P.G.
12. Determine a razão de uma P.G. de 3 termos onde a1 = 3 e a soma dos termos é 129.
13. Numa P.G. crescente de 3 termos o produto dos termos é 27 e a diferença entre os extremos é 8. Determinar o valor do
terceiro termo.
14. Sendo 3
de x.
x+ 2 , 6, 12 e 12
x+2
o
o
o
o
respectivamente o 1 , 2 , 4 e 5 termos de uma P.G., determine o valor
15. Qual o número que deve ser somado a: –2, 7 e 43, para que os números obtidos estejam em P.G.?
16. Calcule o valor da soma dos 7 primeiros termos da P.G.(3, 6, 12, ...).
3
4
5
6
10
17. Determine o valor da expressão: 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 .
1
2
18. Determinar o valor de n na equação: ⎯ + 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 1.023,5.
19. Numa P.G. de três termos positivos (a, b, c) temos: a + b + c = 91 e a.c = 441. Determine o valor de a + c.
20. Calcular a razão de uma P.G. de quatro termos positivos, sabendo que a soma dos dois primeiros é 1 e a soma dos dois
últimos é 9.
21. Determine o 4o termo de uma P.G. onde a2 + a4 + a5 = 130 e a3 + a5 + a6 = 260.
22. A soma do 2o, 4o e 7o termos de uma P.G. é 37, e a soma do 3o, 5o e 8o termos é 74. Determinar o valor do 6o termo.
n+1
–3
23.
A soma dos n primeiros termos de uma P.G. é dada por Sn =3⎯⎯⎯⎯
. Determine
o
2
o valor do 2 termo.
24.
Determinar a soma dos n primeiros termos de uma P.G. cujo termo geral é an =
3.22n.
25.
Sabendo-se que a soma dos 10 primeiros termos de uma P.G. é 3.069 e que a
razão é 2, qual é o valor do 5o termo?
26.
Resolver as equações:
x
x
x
a) x + ⎯ + 2
⎯+⎯
+
...
4
8 =6
24
Atualizada 24/10/2007
b) x + x⎯ + x⎯ + ... = 90
3
9
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
2 , ⎯,
1 ...).
27. Calcular o limite da soma dos termos da P.G.(2 + 2⎯, 1 +1⎯, ⎯
3
3
3 3
28. A forma irredutível da geratriz da dízima 0,3777... é a/b. Determinar o valor de a + b.
29. Qual é o denominador da fração geratriz na forma irredutível da dízima periódica 1,242424...?
30. A soma dos termos de uma P.G. infinita é 3. Sabendo que o primeiro termo é igual a 2, determine o quarto termo dessa
P.G.
31. Calcular o valor limite de
3
.
43 43 43 4...
32. Ligando-se os pontos médios dos lados de um quadrado de lado 7 cm obtém-se outro quadrado, com o qual se procede
do mesmo modo e assim indefinidamente. Calcular o limite da soma das áreas de todos os quadrados assim obtidos.
33. Unem-se os pontos médios dos lados de um triângulo equilátero de lado 6 cm e obtém-se outro triângulo equilátero.
Unem-se os pontos médios desse outro e obtém-se um outro, e assim sucessivamente. Calcular o limite da soma das áreas
de todos esses triângulos.
34. A soma de três termos em P.A. crescente é 15. Adicionando-se 3, 7 e 17 respectivamente ao primeiro, segundo e
terceiro termo, obtém-se uma P.G. de razão maior que 1. Qual o valor dessa razão?
35. Interpola-se dois meios inteiros entre 2 e 9 de modo que os três primeiros formem uma P.A., e os três últimos uma P.G.
Determinar a soma desses quatro números.
36. Determinar a razão de uma P.G. cujos três únicos termos são os lados de um triângulo retângulo.
Respostas
1. a) 2
2. a) 192
3. a) 2
4. a) 320
5. a) 9
7. 16
13. 9
20. 3
26. a) 3
31. 2
b) –2
b) 32
b) –2
b) 72
b) 9
8. 2 ou 1/2
14. 0
21. 40
b) 60
32. 98 cm2
c) 0
d) 2
e) 3
f) 4/3
c) 0
d) 48
e) 54 6
f) 2.048/729
c) –2 ou 2
d) –3 ou 3
c) –4
d) 1.280
3
c) 7
d) 7
6. a) 2
b) –6
c) 2 5
9. 15
10. 1
11. 5
12. –7 ou 6
15. 5
16. 381
17. 2.040
18. 9
19. 70
n
22. 16
23. 9
24. 4(4 – 1)
25. 48
27. 16/3
28. 62
29. 33
30. 2/27
33. 12 3 cm2
34. 2
35. 21
36. 1+ 5
2
X. ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. Fatorial
Fatorial de n (ou n fatorial): n! = n.(n–1).(n–2). ... .3.2.1, n∈IN / n ≥ 2.
1! = 1 e 0! = 1
Exemplo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Simples
Pn = n!
Com repetição
α,β,γ, ...
(PR)n
n!
= ⎯⎯⎯⎯ , α+β+γ+... =n.
α!.β!.γ!...
Circular
(PC)n = (n – 1)!
3. Arranjo
Simples
n!
A n, p = ⎯⎯⎯
(n–p)!
Atualizada 24/10/2007
Com repetição
(AR) n, p = np
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
25
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
4.
Combinação
Simples
Com repetição
n!
C n , p = ⎯⎯⎯⎯
(n–p)!.p!
(CR) n , p = C n + p – 1, p
Propriedades:
1a) C n, 0 = 1
2a) C n, 1 = n
3a) C n, n = 1
4a) C n, n–p = C n , p
n
5a) Σ C n, i = 2n
i =0
EXERCÍCIOS
1.
Simplifique:
a) 7!
5!
f)
n!
(n – 1)!
2. Calcular:
b) (PR)7
a) P4
b) 4!
6!
c)
5!
3!.2!
d)
g) n! – (n + 1)!
n!
c)4,3
(PC)5
d) A9,3
5!
3! + 2!
e) 6! + 4!
5! + 7!
h) n! + (n –1)!
(n + 1)!
e) (AR)2,5
f) C7,4
g) (CR)5,3
3. Quantos anagramas podem ser obtidos com as letras da palavra ESAF?
4. Quantos anagramas da palavra ESAF começam por vogal?
5. Quantos anagramas da palavra ESAF começam por consoante e terminam por vogal?
6. Em quantos anagramas da palavra ESAF as letras S e A aparecem juntas e nesta ordem?
7. Em quantos anagramas da palavra ESAF as letras S e A aparecem juntas?
8. Quantos anagramas da palavra PROVA começam e terminam por vogal?
9. Em quantos anagramas da palavra PROVA as letras P e R aparecem juntas?
10. Quantos anagramas podem ser obtidos com as letras da palavra CASA?
11. Quantos anagramas podem ser obtidos com as letras da palavra BANANA?
12. Quantos anagramas da palavra BANANA começam pela letra N?
13. Quantos anagramas da palavra BANANA começam por vogal?
14. Numa catedral há 10 portas. De quantas maneiras uma pessoa poderá entrar na catedral e sair por uma porta diferente
da que usou para entrar?
15. De quantos modos 5 pessoas podem se sentar em 8 cadeiras?
16. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando-se apenas os algarismos 6, 7, 8 e 9?
17. Quantos números de três algarismos podem ser formados usando-se apenas os algarismos 6, 7, 8 e 9?
18. Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados usando-se apenas os algarismos 6, 7, 8 e 9?
19. Quantos números de quatro algarismos maiores que 2.368 podem ser obtidos com os algarismos 0, 1, 3, 6 e 8?
20. Usando-se apenas os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de três algarismos e múltiplos de 5 podem ser
formados?
21. Escrevendo em ordem crescente todos os números de quatro algarismos distintos que podem ser formados com os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, qual será a posição ocupada pelo número 3.461?
22. Quantos números de cinco algarismos podem ser formados usando-se apenas os algarismos 1, 2 e 3?
23. Quantos subconjuntos de dois elementos tem o conjunto M = {m, n, p, q}?
26
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
24. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo de 8 pessoas?
25. Devo escolher 4 livros diferentes dentre os 10 títulos que mais me agradaram em uma livraria. De quantas maneiras
posso fazê-lo?
26. Uma comissão com 2 brasileiros e 2 argentinos deve ser formada a partir dos componentes de um grupo onde estão
presentes 6 brasileiros e 8 argentinos. De quantos modos distintos esta comissão pode ser formada?
27. A partir de um grupo de 5 homens e 3 mulheres, quantas comissões podem ser formadas que tenha:
a) somente 2 mulheres? b) no mínimo 2 mulheres?
c) no máximo 2 mulheres?
28. Quantos triângulos podem ser obtidos escolhendo-se os seus vértices dentre 7 pontos distintos marcados sobre uma
circunferência?
29. Determinar o número de diagonais de um hexágono.
30. Quatro pontos distintos são marcados sobre uma reta r, e cinco outros sobre uma reta s paralela a r. Quantos triângulos
distintos podem ser obtidos usando como vértices três desses pontos?
31. Quantos subconjuntos podem ser formados a partir do conjunto A = {1,2,3,4,5,6}?
32. No exercício anterior, quantos subconjuntos contem o elemento 5?
33. João e Maria fazem parte de um grupo de 12 pessoas. De quantas maneiras é possível formar um grupo com 5
pessoas, se João e Maria devem necessariamente fazer parte?
34. No exercício anterior, quantos são os grupos de 5 pessoas em que João e Maria não fazem parte?
35. De quantas maneiras podemos formar uma comissão com 3 moças e 2 rapazes escolhidos dentre 5 moças e 5 rapazes
que pertencem a um grêmio?
36. Numa prova, os alunos devem escolher e responder somente 10 das 12 questões que a compõem. Quantas maneiras
diferentes existem para um aluno escolher as 10 questões que ele deve responder?
37. Ao final de uma reunião, cada um dos presentes cumprimentou os demais com um aperto de mão uma única vez.
Quantas pessoas estavam presentes se ao todo foram trocados 36 apertos de mão?
38. De um grupo de 7 professores, 4 lecionam Matemática. De quantos modos pode-se formar uma comissão com 3
componentes de forma que, pelo menos um dentre os escolhidos seja professor de Matemática?
39. Um bar vende apenas 3 sabores de refrigerante: guaraná, laranja e limão. De quantas maneiras uma pessoa pode
comprar 5 garrafas de refrigerante?
40. De quantas maneiras pode-se responder a 10 testes de uma prova do tipo Verdadeiro ou Falso?
41. Um elevador serve aos 10 andares de um edifício (excluindo-se o térreo). De quantas maneiras 3 pessoas que entraram
no elevador no térreo podem descer nos andares? (Levar em conta apenas o número de pessoas)
42. De quantas maneiras 5 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?
Respostas
1. a) 42
b) 1/30
c) 10
2. a) 24
b) 35
c) 24
d) 504
3. a) 24
4. 12 5. 8
6. 6
11. 60
12. 20
13. 30
14. 90
18. 12
19. 375
20. 25
21. 154o
25. 210 26. 420 27. a) 30
b) 10
c) 46
31. 64 32. 32
33. 120 34. 672 35. 100
38. 34 39. 21
40. 1.024
41. 175
Atualizada 24/10/2007
d) 15
e) 31/215
f) n
g) –n
e) 32
f) 35
g) 35
` 7. 12
8. 12 9. 48
10. 12
15. 56
16. 24
17. 64
22. 243 23. 6
24. 56
28. 35
29. 9 30. 70
36. 66
37. 9
42. 24
h) 1/n
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
27
CEF
Prof. Milton Ueta
Matemática
XI. PROBABILIDADE
1. Conceitos básicos
Experimento (ou fenômeno) aleatório – repetido em condições semelhantes apresentam resultados imprevisíveis.
Espaço amostral (ou conjunto universo) – conjunto contendo todos os resultados possíveis de um experimento.
Evento – qualquer subconjunto do espaço amostral. Podem ser:
- evento certo: é o próprio espaço amostral;
- evento impossível: é o subconjunto vazio do espaço amostral;
- evento elementar: qualquer subconjunto unitário do espaço amostral;
- eventos mutuamente exclusivos: são subconjuntos disjuntos;
- eventos complementares (ou contrários): a união resulta no espaço amostral.
Espaço amostral equiprovável – a probabilidade de ocorrer cada um de seus eventos elementares é:
1
n(E)
2. Probabilidade de ocorrer um evento
Sendo A um evento qualquer de um espaço amostral equiprovável, temos:
n(A)
n(E)
P(A) = ⎯⎯
n(A) ... no de elementos do evento
n(E) ... no de elementos do espaço amostral
Propriedades:
a
1 ) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
a
2 ) evento certo: P(E) = 1;
a
3 ) evento impossível: P(∅) = 0;
Dados dois eventos A e B, a probabilidade de ocorrer:
- A ou B: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
- A e B: P(A∩B) = P(A).P(B/A)
P(B/A) ... probabilidade de ocorrer B sendo que A já tenha ocorrido.
Se A e B são mutuamente exclusivos, então: P(A∩B) = 0 e P(B/A) = P(B).
Dados dois eventos complementares A e B, temos:
- P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1
- P(A∩B) = 0
- sendo P(A) = a e P(B) = b, então a probabilidade do evento A ocorrer exatamente k vezes em n tentativas será dada por:
k
Pk(A) = Cn.ak.bn–k
EXERCÍCIOS
1. Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma delas, qual é a probabilidade de que se obtenha um
número múltiplo de 5?
2. Um dado é lançado e sua face superior é observada. Qual é a probabilidade de que ocorra um número maior que 4?
3. Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Sorteando-se uma delas, qual é a probabilidade e que se obtenha um
número múltiplo de 2 ou de 3?
4. No problema anterior, qual é a probabilidade de que se obtenha um número múltiplo de 2 e de 3?
5. Uma urna contém 5 bolas verdes, 4 brancas e 3 azuis. Sorteando-se uma bola, qual é a probabilidade de que ela seja
azul ou branca?
6. No problema anterior, qual é a probabilidade de que ela não seja branca nem azul?
7. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retirando-se 3 bolas sem reposição, qual é a probabilidade das
duas primeiras bolas serem pretas e a terceira vermelha?
8. Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Matemática, 150 Direito e 10 as duas disciplinas. Um aluno sendo
escolhido ao acaso, Qual é a probabilidade de que ele estude somente Direito?
28
Atualizada 24/10/2007
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
CEF
Matemática
Prof. Milton Ueta
9. No problema anterior, qual é a probabilidade de que ele estude Direito, sabendo que ele estuda Matemática?
10. Uma urna contém 5 bolas verdes e 3 azuis. Duas bolas são retiradas ao acaso. Qual é a probabilidade de que as
duas bolas sejam azuis?
11. Seis pessoas, entre elas Maria e José, estão dispostas em fila. Qual é a probabilidade de Maria e José estarem um ao
lado do outro?
12.
Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual é a probabilidade de que ocorram exatamente 3 caras?
13.
Um dado é lançado 3 vezes. Qual é a probabilidade de que ocorra o número 5 exatamente duas vezes?
14.
Dois dados são lançados. Qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja maior que 8?
15. Numa fazenda, 20% do gado são da raça holandesa, 30% são vacas e 40% das vacas são da raça holandesa. Se um
animal é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de:
a) ser uma vaca de raça holandesa?
b) não ser uma vaca e ser da raça holandesa?
c) não ser uma vaca, sabendo-se que é da raça holandesa?
16. Qual a probabilidade de um piloto vencer uma corrida se, segundo os técnicos de sua equipe, a suas chances são de
9 para 7?
17. Uma urna contém n cartões numerados de 1 a n. Qual é a probabilidade de se retirar ao acaso 3 cartões cujos
números sejam consecutivos?
Respostas
1. 1/5 ou 20%
2. 1/3 3. 7/10
7. 5/34 8. 7/25
9. 1/8
10. 5/14
15. a) 1/5
b) 2/25
c) 2/5
Atualizada 24/10/2007
4. 1/10
5. 7/12
11. 1/3
12. 5/16
16. 9/16 17. 6/n(n – 1)
6. 5/12
13. 5/72
14. 5/18
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
29