exercícios sobre retificadores controlados, não - metaheuro

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Prof. José Roberto Marques
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE RETIFICADORES NÃO CONTROLADOS
COM CARGA RL E FCEM
1Q) Dado o circuito abaixo, considerando o diodo ideal, determinar :
a) O ângulo de condução do diodo
b) A corrente média na carga.
c) A corrente eficaz na carga
d) A tensão média na carga
e) A tensão eficaz na carga
f) O fator de potência visto pela fonte
g) Esboce as formas de onda da corrente e da tensão na carga
onde
e
e
A pode ser obtido das condições iniciais, como
Portanto
Solução do item (a)
Esta corrente torna-se nula em
, portanto:
1
V.1.0
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Fixando uma expressão para o ângulo de extinção da corrente:
Ou
A derivada desta função é:
O algoritmo de Newton Rapson nos diz que:
Valores utilizados na solução do problema:
Usando como valor inicial βo=π.
2
V.1.0
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A corrente média na carga é dada por:
Solução do item (b)
Soluções obtida diretamente na HP.
Solução do item (c)
O valor eficaz da corrente é:
3
V.1.0
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9,697A
Solução do item (d)
Tensão média na carga:
Solução do item (e)
Tensão eficaza na carga:
Solução do item (f)
O fator de potência é:
2) Dado o circuito abaixo, determinar :
a) O ângulo de condução de corrente no diodo
b) A corrente média na carga.
c) A corrente eficaz na carga
d) A tensão média na carga
e) A tensão eficaz na carga
f) O fator de potência visto pela fonte
g) Esboce as formas de onda da corrente e da tensão na carga
4
V.1.0
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Aplicando o teorema da superposição ao circuito obtemos:
Devido a fonte de tensão em regime:
Devido a fonte CC
Adicionando as duas situações e o efeito transitório temos para o intervalo
:
Observando que o diodo inicia sua condução apenas quando a tensão da fonte CC é
superada pela tensão de fonte CA, ou seja quando
então do a presença do indutor
. O valor do ângulo de condução inicial é
.
Substituindo na equação original:
Onde t0=0.
Fazendo
and
Calculando valores a partir dos dados temos:
Portanto:
Calculando o ângulo de extinção da corrente:
Admitindo o valor inicial de
5
podemos escrever:
V.1.0
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6
V.1.0
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O ângulo de condução de corrente no diodo é:
A corrente média na carga é:
A corrente eficaz é:
A tensão média na carga é:
A tensão eficaz na carga é:
7
V.1.0
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O fator de potência em relação a carga é:
3Q) Dado o circuito abaixo, determinar :
a) O ângulo de condução do diodo
b) A corrente média na carga.
c) A corrente eficaz na carga
d) A tensão média na carga
e) A tensão eficaz na carga
f) O fator de potência visto pela fonte
g) Esboce as formas de onda da corrente e da tensão na carga
O diodo apenas conduz quando a tensão da rede supera a tensão da fonte CC, portanto o
ângulo inicial de condução é:
O ângulo final de condução ocorre quando a tensão da fonte CA fica menor que a do que a
tensão CC, e por simetria pode ser calculada por:
O ângulo de condução do diodo é:
Durante a condução, no intervalo,
a corrente que circula no circuito
é dada por:
A corrente média na carga pode ser calculada pela expressão:
8
V.1.0
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A corrente eficaz na carga é:
A tensão média na carga é:
A tensão eficaz na carga é:
O fator de potência visto pela carga é:
4) No circuito abaixo, considere que a indutância do indutor é grande o suficiente para
manter a corrente no mesmo constante e que o circuito opera em regime estacionário. Nesta
situação determinar:
a) A tensão nos terminais do diodo D2.
b) A tensão nos terminais do diodo D1.
c) As correntes eficazes da fonte, no diodo D1 e no diodo D2.
d) As correntes médias na fonte, no diodo D1 e no diodo D2.
e) O fator de potência visto pela carga.
9
V.1.0
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Na condição de regime, a corrente na carga é dada por:
A corrente média da fonte CA é dada por:
A corrente eficaz da fonte CA é dada por:
A corrente eficaz na carga é a mesma da corrente média.
A potência na carga é dada por
E o fator de potência visto pela fonte é:
Circuito de simulação (PSIM)
10
V.1.0
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Resultados da simulação de cima para baixo VD1 e VD2.
Resultados da simulação: De cima para baixo, IL, ID1 e ID2.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE RETIFICADORES CONTROLADOS COM
CARGA RL E FCEM
5) Dado o circuito abaixo, considerando o SCR ideal, determinar :
a) O ângulo de condução de corrente do SCR.
b) A corrente média na carga.
c) A corrente eficaz na carga
d) A tensão média na carga
e) A tensão eficaz na carga
f) O fator de potência visto pela fonte
11
V.1.0
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onde
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e
A pode ser obtido das condições iniciais, como
Portanto
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A corrente média na carga é dada por:
Solução do item (b)
Soluções obtida diretamente na HP.
Solução do item (c)
O valor eficaz da corrente é:
Tensão média na carga:
Solução do item (e)
Tensão eficaz na carga:
Solução do item (f)
O fator de potência é:
14
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6) Dado o circuito abaixo, considerando o SCR ideal, determinar :
a) O ângulo de condução de corrente do SCR
b) A corrente média na carga.
c) A corrente eficaz na carga
d) A tensão média na carga
e) A tensão eficaz na carga
f) O fator de potência visto pela fonte
7) Dado o circuito abaixo, considerando o SCR ideal, determinar :
a) O ângulo de condução de corrente do SCR
b) A corrente média na carga.
c) A corrente eficaz na carga
d) A tensão média na carga
e) A tensão eficaz na carga
f) O fator de potência visto pela fonte.
8) Dado o circuito abaixo, determinar para   60  :
a) A corrente média na carga. (1,0 ponto)
b) A corrente média nos tiristores (1,0 ponto)
c) A corrente média no diodo de rotação (1,0 ponto)
d) A corrente eficaz do secundário do trafo (1,0 ponto)
15
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e) O fator de potência no secundário do transformador.
T1
V p=220V
T2
R = 2 O hm s
V s= 180V
T4
T3
Considere todos os semicondutores e o transformador ideais e operação com 60Hz..
Solução:
a) Como não existem elementos que armazenam energia na carga do retificador, o ponto de
comutação dos tiristores coincide com a passagem da rede pelo zero, que é o ponto onde a
tensão entre o anodo e o catodo dos tiristores em estado LIGADO fica negativa
desligando-os. Isto ocorre nos semiciclos positivos da rede nos pontos correspondentes aos
tempos t  (2k  1) /  e, para os semiciclos negativos em t  2k /  sendo k = 0, 1, 2, ...
Retificador controlado monofásico em ponte com carga resistiva
300
Tensão
Tensão e corrente na carga
250
200
150
Corrente
100
50
2*pi/377
0
0
0.005
0.01
alfa(rad)/377
pi/377
0.015
0.02
tempo em segundo
0.025
0.03
0.035
Formas de onda da tensão e corrente na carga
A tensão média na carga é dada por:
 / 377
ECC
2  /
2 * 2180
2 * 2180
cos   cos  
  2180sen(2 *  * 60t )dt  
cos

T  /
2 * pi * 60 * T
2

 / 377
ECC 
2 *180

1  cos 60   121,54V
o
16
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ECC 121,54

 60,77 A
R
2
b) A corrente média em cada tiristor é dada pela expressão:
I
60,77
I TCC  CC 
 30,38 A
2
2
c) A corrente média nos diodos é zero.
d) A corrente média no secundário do transformador é a mesma da carga exceto pelo fato
da mesma na carga nunca ser negativa, por ser retificador com carga resistiva, enquanto no
secundário a mesma será alternada, porém será uma onda senoidal distorcida .
I CC 
I RMS
2  2VS
 IS 
T  R




2
 /
2
 sen 2 * 60t dt 
 /
2VS
R
2  /  1  cos2 * (2 *  * 60t ) 
dt
T / 
2
2     cos2   cos2 


T  2
4

IS 
2VS
R
 /

2  /  1
dt

cos2t dt  



T  /  2
 /

IS 
2VS
R
2     sen2 
2 *180 2     / 3 cos2 * 60
=




 =80,72 A
T  2
4 
2
2  2
4

2VS
R
9) No circuito retificador abaixo, sabendo-se que a tensão eficaz no secundário do
transformador é 180Vrms, a freqüência 60Hz, que a indutância de dispersão 1,5 mH e que o
circuito está operando em regime permanente, calcular:
a) A tensão média na carga.
b) A corrente média na carga.
c) A corrente média em cada diodo.
d) A corrente eficaz no secundário
e) A corrente eficaz em cada diodo.
f) O fator de potência no secundário do transformador.
g) A tensão eficaz medida no secundário do transformador.
D1
D2
L~=oo
Ls
E =50V
V p=220V
Vx
m
r s
D4
R =2 O hm s
D3
SOLUÇÃO:
a) A tensão contínua na carga para a condição de transformador e tiristores ideais é:
2 2 * Vs 2 2 *180
ECC _ ideal 

 162,05V


a tensão média subtraída da saída devido ao indutor de dispersão é dada por:
17
V.1.0
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ECC 
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2 * 2 *  * f * Lc I CC

Lc I CC
, assim:

 L

 I CC R  E  ECC _ ideal  E   c  R  I CC  I CC 
 

ECC _ ideal  ECC
2 2 *180
I CC  I d 


 50
2 * 377 *1,5.10 3

2 2 * Vs
E

2Lc
R

 47,48 A
2
b) A corrente média em cada diodo pode ser obtida de:
I dD  I CCD  I d / 2  23,74 A
a) A corrente eficaz no secundário é obtida da análise das formas de onda abaixo:
Formas de onda da tensão e corrente no secundário do transformador.
Ten são no se cundá roi do tran s fom
r ado r
v (t)
s
2 Vs
0




+

2
t
- 2 Vs
i (t)
s
Id
0
C o rren te no se cundá roi do tran s fom
r ado r




+ 

t
- Id
I d é a corrente média na carga do retificador I d  I CC .
No intervalo 0  t   /  teremos o circuito equivalente com os diodos D1 e D4
conduzindo simultaneamente devido a comutação com uma indutância muito grande na
carga e considerando a resistência do enrolamento secundário zero.:
18
V.1.0
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V.1.0
Em condu ção
T2
T1
L~=oo
L s = 1 5,m H
E =50V
V p=220V
V s=180V
Em condu ção
R =2 O hm s
T4
T3
t
2Vs sen(t )
2Vs sen(t )
di(t )
 2Vs sen(t )  di(t ) 
  d  
d onde λ e τ são
dt
Ls
Ls
 Id
0
variáveis auxiliares. A integração acima permite a obtenção da expressão:
2Vs
1  cos(t ) para a região 0  t   / 
i(t )   I d 
Ls
Utilizando o mesmo raciocínio para a região  /   t  (   ) /  obtemos:
i (t )
Ls
2Vs
1  cos(t ) para a região  /   t  (   ) / 
Ls
observe que esta última expressão também é válida para a região 0  t   /  se
i(t )  I d 
considerarmos a tensão aplicada igual a  2Vs sen(t ) , com isto utilizaremos o mesmo
intervalo de integração para a obtenção do valor eficaz da corrente no secundário do
transformador.
O ângulo de comutação é calculado a partir da expressão da corrente de comutação no
intervalo 0  t   /  .






2Vs
2
I

1  cos      cos 1 1  d   cos 1 1  2 I d 
I d  I d 
Ls
I SS 
2Vs 



Ls 

2Vs
2 *180
 2 * 47,48 

 450,14 A de onde   cos 1 1 
onde I SS 
  37,9 o
3
450
,
14
Ls
377 *1,5.10


A corrente eficaz no secundário pode ser obtida de
2
(   ) / 
 /
 /
1
2
2
2
I S    I d  I SS 1  cos   dt  2  I d dt   I d  I SS 1  cos(t )  dt
T 0
 /
 /
lembrando que I d  I SS
1
T
 /
  I
1  cos  
2
 I SS 1  cos   dt 
2
d
0
1
2
2

2
2
2 (1  cos  )
2
I

2
I
(
1

cos

)

I

SS
SS
 SS
2

I sen(2 ) 
sen 1  cos    SS

4

2
 I SS
2
19

2
  2 I SS sen
2
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1
T
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2
1 
2
2
2 (1  cos  )
 I d  I SS 1  cos(t ) dt  2  2I SS  2I SS (1  cos  )  I SS
2
 /
(   ) / 
2
 I SS
2

2
  2 I SS sen
2
2
I SS sen(2 ) 
sen 1  cos   

4

2
I SS (1  cos  ) 2
2  /
1  2
2

I
dt

I
(
1

cos

)

d
SS
T / 
2  2
2
Somando estes termos obtemos:
2
2




sen(2 ) 

2
 2 (1  cos  )  3  2(1  cos  )   2sen 
2 
IS 
I SS
2
IS 
450,14 2
2

sen(2 * 37,9 o ) 

o 2
o
o
o


(
1

cos
37
,
9
)

3

2
(
1

cos
37
,
9
)
37
,
9

2
sen
37
,
9

2

180 o
2


I S  44,7 A
e) A corrente eficaz em cada diodo é dada por:
I
44,7
I RMS _ D  S 
 31,61A
2
2
f) O fator de potência é dado por:
2
I d R  I d E 47,48 2 * 2  47,48 * 50
FP 

 0,855
VS I S
180 * 44,7
g) A tensão eficaz medida no secundário do transformador será:
VS _ real
V.1.0
2  /

T / 


2
2VS _ Nom sen(t ) dt  2VS _ No ,m
1     sen(2 *  ) 



 2
4

1    37,9 o *  / 180 sen(2 * 37,9 o ) 


  174,86V

2
4

Note que está tensão ocorre após a reatância de dispersão do trtansformador.
VS _ Re al  2 *180 *
A figura abaixo mostra a simulação deste exercício realizada com o MatLab.
20
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Tensão na carga RLE
corrente no secundário em ampere
250
200
150
100
50
0
-50
Corrente no secundário do transformador
0.15 0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185
tempo em segundo
0.19 0.195
CASO DE TRANSFORMADOR COM REATÂNCIA DE DISPERSÃO
10) No retificador abaixo, sabe-se que a tensão eficaz no primário do transformador é
180V, que o mesmo opera com 60Hz, que o resistor é de 5Ω, que a indutância em série com
a carga é 0,2H e que o transformador tem uma indutância de dispersão igual a 1,2mH,
determinar para a condição de operação em regime:
a) A corrente média na carga, no diodo retificador e no diodo de roda livre.
b) A tensão média na carga.
c) A tensão eficaz na carga.
d) A corrente eficaz no secundário do transformador.
e) A corrente eficaz na carga, no diodo retificador e no diodo de roda livre.
f) O fator de potência na saída do transformador.
ep ( t) =E p cisoen ( t)
L
L>>R /
s
1 1:
i ( t)
D
i ( t)
RL
ep ( t)
e ( t)
s
iL ( t)
R
SOLUÇÃO:
e p (t )  es (t )  2 *180 * sen(2 *  * 60 * t )
A tensão média na carga do circuito para a condição de transformador ideal pode ser
calculada por:
2VS
2VS
2 *180
ECC 
sen(t )dt 
=
 81,03V

T


Como L  2 *  * 60 * 0,2  75,4 e R  5 ou seja L  R podemos considerar um
caso de carga muito indutiva sendo a corrente na carga constante e seu valor médio
21
V.1.0
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aproximadamente igual a seu valor eficaz. A indutância de dispersão tem o efeito de
retardar a comutação da corrente entre o diodo D e o diodo de roda livre (RL) curtocircuitando momentaneamente o secundário do transformador e conseqüentemente
diminuindo o valor médio da tensão e da corrente na carga.. A análise abaixo mostra os
efeitos da indutância de dispersão sobre os valores médio da tensão na carga e da corrente
eficaz no transformador.
Nos intervalos de comutação vale a expressão I CC  I d  iD (t )  iRL (t ) , ou seja o diodo de
retificação e o diodo de roda livre operam com conduzindo simultaneamente durante as
comutações da corrente. Com isto, durante as comutações, o circuito equivalente visto
pelos terminais do transformador é:
Lc
Vp
Vs
e a corrente de comutação nos intervalos 2k /   t  2k    /  com k  0,1,2,3... é
dada por,
i (t )
t
2Vs sen(t )
2Vs sen( )
di (t )
Lc D
 2Vs sen(t )  di D (t ) 
dt   d (t )  
d
dt
Lc
Lc
0
0
onde γ e τ são variáveis auxiliares. Resolvendo essas equações obtemos:
2Vs
i D (t ) 
(1  cos t )  I SS (1  cos t ) para 2k /   t  2k    / 
Lc
Note que a partir desta expressão podemos obter uma outra para calcular o vaç]lor do
ângulo de comutação μ, em t   temos que i D ( /  )  I d ou
D

I 
I d  I SS (1  cos  ) o que implica que   cos 1 1  d  .
 I SS 
2VS
onde I SS 
que é a corrente de curto-circuito no intervalo considerado.
Lc
Ao consideramos os intervalos (2k  1) /   t  (2k  1)    /  onde ocorrem os
semiciclos negativos da rede elétrica vemos que a forma de onda no diodo retificador é a
mesma que no diodo de roda livre nos intervalos 2k /   t  2k    /  , como
iRL(t )  I d  iD (t )  iRL (t )  I d  I SS (1  cos t ) . Como I d  I SS (1  cos  ) temos que,
iRL (t )  I SS cos(t )  cos   para 2k /   t  2k    / 
A figura abaixo mostra isto.
22
V.1.0
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T e n sã o n o se cu n d á r oi d o tra n s fo m
r a do r
v ( t)
s
2 Vs
0


+



2
t
- 2 Vs
i ( t)
s
Id
C o r re n te n o se cu n d á r oi d o tra n s fo m
r ado r
i ( t)
RL
0
i ( t)
D




+ 

2
t
A variação da tensão média na carga pode ser calculada pela expressão:
 /
2 2VS
2VS
2
ECC   2VS sen(t )dt 
(1  cos  ) 
(1  cos  )
T 0
2

Como I d  I SS (1  cos  )  ECC 
2VS

*
Id

I SS
2VS

*
Id

2VS
Lc
No ponto t    iD ( /  )  I d com iRL ( /  )  0 daí teremos
Lc I d

Id 


I d  I CC  I SS (1  cos  )    cos  1 1 

I
SS 

2 *180
como I SS 
 562,68 A
2 *  * 60 *1,2.10 3
A variação de tensão média na carga pode ser calculada por,
 /
2VS
2Vs I d
2VS I d Lc I d
2
ECC   2VS sen(t )dt 
(1  cos  ) 


T 0

I SS

2VS

Lc
a) Podemos então, calcular a corrente média na carga considerando o efeito da reatância de
dispersão sobre o retificador ideal.
2VS
2 *180
2VS Lc I d



 RI d  I CC  I d 

 15,75 A

L
2
*

*
60 *1,2.10 3


c
R
5


As correntes médias no diodo retificador e no diodo de roda livre são iguais
I CC _ RL  I CC _ D  15,75 / 2  7,875 A
b) A tensaão média na carga para o caso real será:
2 *  * 60 *1,2.10 3 *15,75
ECC  81,03  ECC  81,03 
 78,76V

c) A tensão eficaz na carga será:
23
V.1.0
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VS _ real 
1  /
T / 

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
2
2VS _ Nom sen(t ) dt  2VS _ No ,m
VS _ Re al  2 *180 *
V.1.0
1     sen(2 *  ) 



2  2
4

1    13,6 o *  / 180 sen(2 *13,6 o ) 


  127,10V
2 
2
4

2 *180
 562,68 A
2 *  * 60 *1,2.10 3
O ângulo de comutação pode ser calculado de,
15,75 

  cos 1 1 
  13,6 o  0,2372rad
562
,
68


A corrente eficaz no secundário do transformador pode ser calculada de:
 /
 /
 /

1
2
2
2
2
I S    I SS 1  cos(t )  dt   I SS cos(t )  cos   dt   I SS 1  cos   dt 
T 0
0
 /

2
 /
 /
 /

I 
2
2
2
2
I S  SS   1  cos(t )  dt   cos(t )  cos   dt   1  cos   dt 
T  0
0
 /

2
 /
 /
 /

I 
2
2
I S  SS   1  2 cos(t )  cos 2 (t ) dt   cos 2 (t )  2 cos  cos(t )  cos 2 (  ) dt   1  cos   dt 
T  0
0
 /

d) A corrente de curto-circuito é I SS 
I S  I SS
1
2
sen(2 ) 

2
 (1  cos  )  1  2 cos    2sen 
2 

1 
13,6
sen(2 *13,6 o ) 
o 2
o
o
I S  562,68
 (1  cos 13,6 )  1  2 cos(13,6 )  o *   2sen(13,6 ) 
  11,04 A
2 
180
2

e) A corrente eficaz na carga é igual a corrente média em função do ripple da corrente ser
muito pequeno.
g) O fator de potência pode ser calculado pela razão entre a potência dissipada pelo resistor
de carga e a potência aparente fornecida pelo transformador.
15,75 2 * 5
FP 
 0,624
180 *11,04
pode-se observar do resultado, que os retificadores monofásicos de meia-onda apresentam
valores muito baixos de fator de potência.
11) No circuito retificador abaixo, sabendo-se que a tensão eficaz no secundário do
transformador é 180Vrms, a freqüência 60Hz, que a indutância de dispersão 1,5 mH e que o
circuito está operando em regime permanente, calcular:
h) A tensão média na carga.
i) A corrente média na carga.
j) A corrente média em cada diodo.
k) A corrente eficaz no secundário
l) A corrente eficaz em cada diodo.
m) O fator de potência no secundário do transformador.
n) A tensão eficaz medida no secundário do transformador.
24
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D1
D2
L~=oo
Ls
E =50V
V p=220V
Vx
m
r s
D4
D3
R =2 O hm s
SOLUÇÃO:
a) A tensão contínua na carga para a condição de transformador e tiristores ideais é:
2 2 * Vs 2 2 *180
ECC _ ideal 

 162,05V


a tensão média subtraída da saída devido ao indutor de dispersão é dada por:
2 * 2 *  * f * Lc I CC Lc I CC
, assim:
ECC 



ECC _ ideal  ECC  I CC R  E  ECC _ ideal
2 2 *180
I CC  I d 

 50
2 * 377 *1,5.10 3

 L

 E   c  R  I CC  I CC 
 

2 2 * Vs
E

2Lc
R

 47,48 A
2
b) A corrente média em cada diodo pode ser obtida de:
I dD  I CCD  I d / 2  23,74 A
b) A corrente eficaz no secundário é obtida da análise das formas de onda abaixo:
Formas de onda da tensão e corrente no secundário do transformador.
25
V.1.0
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Ten são no se cundá roi do tran s fom
r ado r
v (t)
s
2 Vs
0


+



2
t
- 2 Vs
i (t)
s
Id
0
C o rren te no se cundá roi do tran s fom
r ado r




+ 

t
- Id
I d é a corrente média na carga do retificador I d  I CC .
No intervalo 0  t   /  teremos o circuito equivalente com os diodos D1 e D4
conduzindo simultaneamente devido a comutação com uma indutância muito grande na
carga e considerando a resistência do enrolamento secundário zero.:
Em condu ção
T2
T1
L~=oo
L s = 1 5,m H
E =50V
V p=220V
V s=180V
Em condu ção
R =2 O hm s
T4
T3
i (t )
t
2Vs sen(t )
2Vs sen(t )
di(t )
Ls
 2Vs sen(t )  di(t ) 
  d  
d onde λ e τ são
dt
Ls
Ls
 Id
0
variáveis auxiliares. A integração acima permite a obtenção da expressão:
2Vs
1  cos(t ) para a região 0  t   / 
i(t )   I d 
Ls
Utilizando o mesmo raciocínio para a região  /   t  (   ) /  obtemos:
2Vs
1  cos(t ) para a região  /   t  (   ) / 
Ls
observe que esta última expressão também é válida para a região 0  t   /  se
i(t )  I d 
considerarmos a tensão aplicada igual a  2Vs sen(t ) , com isto utilizaremos o mesmo
intervalo de integração para a obtenção do valor eficaz da corrente no secundário do
transformador.
O ângulo de comutação é calculado a partir da expressão da corrente de comutação no
intervalo 0  t   /  .
26
V.1.0
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V.1.0






2Vs
2
I

1  cos      cos 1 1  d   cos 1 1  2 I d 
I d  I d 
Ls
I SS 
2Vs 




Ls 

2Vs
2 *180
 2 * 47,48 
onde I SS 

 450,14 A de onde   cos 1 1 
  37,9 o
3
450,14 
Ls
377 *1,5.10

A corrente eficaz no secundário pode ser obtida de
2
(   ) / 
 /
 /
1
2
2
2
I S    I d  I SS 1  cos   dt  2  I d dt   I d  I SS 1  cos(t )  dt
T 0
 /
 /
lembrando que I d  I SS
1
T
 /
  I
1  cos  
2
 I SS 1  cos   dt 
2
d
0
1
2
2

2
2
2 (1  cos  )
2
I

2
I
(
1

cos

)

I

SS
SS
 SS
2


2
  2 I SS sen
2

I sen(2 ) 
sen 1  cos    SS

4

2
 I SS
1
T
2
(   ) / 
 I
 I SS 1  cos(t )  dt 
2
d
 /
1
2
2

2
2
2 (1  cos  )
2
I

2
I
(
1

cos

)

I

SS
SS
 SS
2


2
  2 I SS sen
2
I sen(2 ) 
sen 1  cos    SS

4

2
 I SS
2
2
I SS (1  cos  ) 2
2  /
1  2
2
 I SS (1  cos  ) 
I d dt 
T / 
2  2
2
Somando estes termos obtemos:
2




IS 
I SS  
sen(2 ) 
(1  cos  ) 2  3  2(1  cos  )   2sen 

2  2
2 
IS 
450,14 2
2
2

sen(2 * 37,9 o ) 

o 2
o
o
o


(
1

cos
37
,
9
)

3

2
(
1

cos
37
,
9
)
37
,
9

2
sen
37
,
9

2

180 o
2


I S  44,7 A
e) A corrente eficaz em cada diodo é dada por:
I
44,7
I RMS _ D  S 
 31,61A
2
2
f) O fator de potência é dado por:
2
I R  I d E 47,48 2 * 2  47,48 * 50
FP  d

 0,855
VS I S
180 * 44,7
g) A tensão eficaz medida no secundário do transformador será:
27
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VS _ real 
2  /
T / 

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
2
2VS _ Nom sen(t ) dt  2VS _ No ,m
1     sen(2 *  ) 



 2
4

1    37,9 o *  / 180 sen(2 * 37,9 o ) 


  174,86V

2
4

Note que está tensão ocorre após a reatância de dispersão do trtansformador.
VS _ Re al  2 *180 *
A figura abaixo mostra a simulação deste exercício realizada com o MatLab.
Tensão na carga RLE
corrente no secundário em ampere
250
200
150
100
50
0
-50
Corrente no secundário do transformador
0.15 0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185
tempo em segundo
0.19 0.195
12) Dado o circuito abaixo, determinar para   60  :
f) A corrente média na carga. (1,0 ponto)
g) A corrente média nos tiristores (1,0 ponto)
h) A corrente média no diodo de rotação (1,0 ponto)
i) A corrente eficaz do secundário do trafo (1,0 ponto)
j) O fator de potência no secundário do transformador.
T1
V p=220V
T2
R = 2 O hm s
V s= 180V
T4
T3
Considere todos os semicondutores e o transformador ideais e operação com 60Hz..
Solução:
a) Como não existem elementos que armazenam energia na carga do retificador, o ponto de
comutação dos tiristores coincide com a passagem da rede pelo zero, que é o ponto onde a
tensão entre o anodo e o catodo dos tiristores em estado LIGADO fica negativa
desligando-os. Isto ocorre nos semiciclos positivos da rede nos pontos correspondentes aos
tempos t  (2k  1) /  e, para os semiciclos negativos em t  2k /  sendo k = 0, 1, 2, ...
28
V.1.0
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Retificador controlado monofásico em ponte com carga resistiva
300
Tensão
Tensão e corrente na carga
250
200
150
Corrente
100
50
2*pi/377
0
0
0.005
0.01
alfa(rad)/377
pi/377
0.015
0.02
tempo em segundo
0.025
0.03
0.035
Formas de onda da tensão e corrente na carga
A tensão média na carga é dada por:
 / 377
ECC
2  /
2 * 2180
2 * 2180
cos   cos  
  2180sen(2 *  * 60t )dt  
cos

T  /
2 * pi * 60 * T
2

 / 377
ECC 
2 *180

1  cos 60   121,54V
o
ECC 121,54

 60,77 A
R
2
b) A corrente média em cada tiristor é dada pela expressão:
I
60,77
I TCC  CC 
 30,38 A
2
2
c) A corrente média nos diodos é zero.
d) A corrente média no secundário do transformador é a mesma da carga exceto pelo fato
da mesma na carga nunca ser negativa, por ser retificador com carga resistiva, enquanto no
secundário a mesma será alternada, porém será uma onda senoidal distorcida .
I CC 
I RMS
IS 
2  2VS
 IS 
T  R
2VS
R




2
 /
2
 sen 2 * 60t dt 
 /
 /

2  /  1
dt   cos2t dt  


T  /  2
 /

2VS
R
29
2VS
R
2  /  1  cos2 * (2 *  * 60t ) 
dt
T / 
2
2     cos2   cos2 


T  2
4

V.1.0
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IS 
2VS
R
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2     sen2 
2 *180 2     / 3 cos2 * 60
=




 =80,72 A
T  2
4 
2
2  2
4

GRADADORES
13) Dado o circuito da figura Grad1 abaixo, determinar os valores do ângulo de
controle de modo a se obter um controle da potência aplicada na carga entre 30% e
80% do valor máximo possível. Considere a fonte e os tiristores ideais. Admita que
os SCR tem di/dtmax = 50 A/us e especifique um indutor de proteção para evitar
falhas dos tiristores. Elabore um circuito de controle para a realização desta tarefa
de controle entre os limites estabelecidos acima.
T1
T2
+
~
R = 8
V s = 3 4 0V (m
r s)
f= 6 0H z
Figura Grad1
A potência máxima possível na carga é:
A potências sob controle desejadas são:
e
A tensão eficaz na carga é função do ângulo de controle, ou seja:
Assim temos:
A variável desejada no problema é α, portanto:
Cuja derivada em relação a α é:
Com isso temos:
30
V.1.0
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e
Substituindo os valores:
e
Determinação de
Aplicando o método de Newton-Rapson usando um valor inicial para ambos os caso de
temos:
1,0996
1,0575
1,0566
-0,4712
-0,0334
-0,000728
-0,0000003944
-1
-0,7939
-0,7589
-0,7581
-0,4712
0,7520
-0,1275
0,0097
0,000034271
-1
-0,7939
-0,7900
-0,9042
-0,8978
Repetindo para a determinação de
1,0996
2,0468
1,8854
1,8962
Assim
e
.
Proteção com relação a di/dt
Por exemplo:
14) Dado o circuito abaixo, determinar a corrente eficaz na carga para o ângulo e os valores
especificados na figura Grad2 e o fator de potência. Verifique se a corrente é contínua ou
descontínua.Admita que os tiristores e a fonte são ideais.
Qual é a corrente de pico nos tiristores:
31
V.1.0
METAHEURO.COM.BR
A corrente na carga flui entre
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Figura Grad2
e tem a forma:
Admitindo condução descontínua de corrente, temos para
. Assim no intervalo
especificado:
que uniformizando para ângulos em
radianos dá:
Programe sua HP para resolver o problema. Não se esqueça de colocá-la para operar com
radianos:
I(n )
(I(n ))’
 (n+1)
(n)
0,59573
-0,790522
3,92057

3,92057
-0,134958
-0,98826
3,78401
3,78401
0,0406262
-0,99542
3,78482
3,78482
-0,000028753
-0,99655
3,784794
3,784794
-0,0000000000017 -0,996548
3,7847944
Observe que
que é menor que
que é o ponto de gatilhamento do SCR companheiro no semiciclo negativo,
isto caracteriza descontinuidade na corrente do circuito, ou seja, toda vez que um dos
tiristores dispara a corrente no circuito, devido ao semiciclo anterior já caiu para zero.
32
V.1.0
METAHEURO.COM.BR
Prof. José Roberto Marques
A corrente eficaz na carga do circuito é:
A potência dissipada na carga é:
O fator de potência “visto” pela fonte é:
)=0,768
A corrente de pico no tiristores pode ser calculada utilizando-se o teorema de máximos e
mínimos:
Aplicando Newton-Rapson com valor inicial de
(n)
I(ωtn )
(I(tn ))’
0,666935
-0,885006

2,32439
-0,836382
-1,025973
2,24287
0,000412876
-1,035064
2,24327
0,0000000058055
-1,035034
2,243268
-0,0000000000012 --1,035034
A corrente de pico ocorre em
de cada semiciclo. A corrente de pico é:
t (n+1)
2,32439
2,24287
2,24327
2,243268
2,243268
do início
33
V.1.0
METAHEURO.COM.BR
Prof. José Roberto Marques
A tensão eficaz a carga é calculada por:
UTILIZANDO O MÉTODO DE NEWTON-RAPSON NA HP-48GX
(RPN)
Um problema de eletrônica de potência onde o ângulo de extinção da corrente no
circuito abaixo somente pode ser obtido pela equação transcendental mostrada abaixo deve
ser resolvido pelo método de Newton-Rapson.
O problema:
Determinar o valor de β (ângulo de extinção da corrente em cada ciclo da fonte de
alimentação) no circuito esquematizado abaixo:
Assim:
A derivada da expressão acima em relação a β é:
Admitindo o valor inicial de
que corresponde a
situação da fonte cc invertendo a polaridade do diodo no caso do indutor L curtocircuitado.
O algoritmo de Newton-Rapson nos diz que:
34
V.1.0
METAHEURO.COM.BR
Prof. José Roberto Marques
Assim o cálculo dos valores de β poder ser calculados até obtermos um valor
bastante próximo de zero para a corrente
, que admitiremos como solução do
problema.
A solução do problema pode ser implementada em uma calculadora HP48GX
utilizando o seguinte procedimento:
Pressione as teclas na seguinte sequência:
ENTER
‘
Pressione alpha mantendo-a pressionada e digite
FUNC
Solte a tecla alpha e pressione
ENTER
O visor de sua calculadora deverá mostra uma opção FUNC que corresponde a função
que você criou.
Repita o procedimento para a derivada da função acima.
ENTER
‘
Pressione alpha mantendo-a pressionada e digite
FLIN
Solte a tecla alpha e pressione
ENTER
O visor de sua calculadora deverá mostra uma opção FLIN que corresponde a função
que você criou.
Você pode testar seus algoritmos usando o seguinte método (RPN) e a máquina deverá
operar em radianos:
Tecle 2.8815 ENTER
‘ X’ STORE
Com isso você armazenará o valor inicial de beta na variável X (
.
Pressione alpha X ENTER e a função FUNC e você deverá, obter: 28.5030111.
Pressione alpha X ENTER e a função FLIN e você deverá, obter: -15.121314.
ENTER
‘
Pressione alpha mantendo-a pressionada e digite
NEWT
Solte a tecla alpha e pressione
ENTER
STO
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V.1.0
METAHEURO.COM.BR
Prof. José Roberto Marques
Se você for pressionando a tecla correspondente a NEWT você irá obtendo os valores de β
Para cada interação. Da seguinte forma:
4.7664559517
3.75891074955
3.88153369438
3.87903166048
3.8790308453
3.87903084531
3.87903084531
Quando o valor de β começar a repetir, isso significa que a precisão possível da máquina
foi atingida.
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