DETERMINANTES 1. DEFINIÇÃO: Determinante de uma matriz quadrada número real associado à matriz . a11 a 21 ... a m1 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn a12 a 22 ... am2 5. TEOREMA DE LAPLACE: O determinante de uma matriz quadrada de ordem n n 2 é obtido pela soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos respectivos cofatores. n n é um 6. REGRA DE SARRUS: m : linhas onde n : colunas a11 A a 21 a31 a12 a 22 a32 3. DETERMINATE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM 2: 4. a a A 11 12 det A DP DS a11.a22 a12 .a21 a21 a22 22 DP: Produto dos elementos da diagonal principal DS: Produto dos elementos da diagonal secundária 5. MENOR COMPLEMENTAR M ij : det A a11.a 22 .a33 a12 .a 23 .a31 a13 .a 21.a32 a13 .a 22 .a31 a11.a 23 .a32 a12 .a 21.a33 7. PROPRIEDADES DO DETERMINANTE: P.1: a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 Chama-se Menor Complementar M ij relativo a um elemento da matriz A o determinante associado à matriz quadrada de ordem 2, obtida em A, e que se obtém eliminando-se , em A, a linha e a coluna que contêm o elemento a ij A matriz possui duas linhas ou duas colunas iguais; II. A matriz possui os elementos de uma linha ou coluna iguais a zero; III. A matriz possui os elementos de duas linhas proporcionais ou os elementos de duas colunas proporcionais; IV. A matriz possui uma linha (ou uma coluna) que seja igual a uma combinação linear das demais linhas (ou colunas). P. 2: Dada uma matriz quadrada A e sua transposta, A t , temos: det At det A P. 3: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz fica multiplicado por k. considerado. 6. COFATOR Aij : cof (aij ) Aij 1 .M ij i j OBSERVAÇÃO: 1. Se i j ímpar Aij M ij 2. Se i j par Aij M ij O determinante de uma matriz é igual a zero quando: I. Consideremos a matriz quadrada de ordem 3: a11 A a 21 a 31 a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22 a33 a31 a32 trocar os sinais conser var os sinais 2. DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM 1: A a11 11 DetA a11 a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22 a33 33 a31 a32 P. 4: Se trocarmos entre si a posição de duas linhas (ou colunas) de uma matriz, o determinante troca de sinal. P. 5: Se numa matriz adicionamos aos elementos de uma fila (linha ou coluna) uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas, o determinante da matriz obtida não se altera ( teorema de jacobi). P. 6: Dada duas matrizes quadradas, A e B, de mesma ordem, temos: 1. (FRANCO) det A B det A. det B P. 7: Numa matriz A, em que os elementos que se situam de um mesmo lado da diagonal principal são todos nulos, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. a11 A a 21 a31 0 a 22 a32 0 a11 0 ou A 0 0 a33 a13 a 23 a33 a12 a 22 0 1 3 4 6 2 1 ? 4 8 6 a) 55 P. 8: a) c) 1 det A 2 6 2 2 3 2 1 1 1 1 a b c d V a 2 b2 c2 d 2 3 b3 c3 d 3 a ..... ..... ..... ..... 1 2 d) ,n 3: I. Considerar um elemento a ij 1 ; II. Eliminar a linha e a coluna correspondentes a esse elemento; De cada elemento restante na matriz, subtrair o produto dos elementos eliminados que se situam na sua linha e na sua coluna, obtendo assim a matriz B; III. IV. Calcular o produto de 1i j TESTES por det B . ij 2 2 2 6 2 e) x y c) 3 2 4. (FRANCO) Se A é matriz a) 10 det A A vale: b) 20 5. (FRANCO) ij nn a 3 Se 2 2 b) então a e) 88 , 3 então 0 0 1 cos x sen x 0 é igual a: sen y cos y 0 a) det V b a . c a . c b . d a . d b . d c d) 20 2 3 2 b) 3. (FRANCO) 9. DETERMINANTE DE VANDERMONDE: 10. REGRA DE CHIÓ: Dada uma matriz A c) 32 se i j sen i j , onde aij , é igual a: tg se i j i j 8. DETERMINANTE DA MATRIZ INVERSA: det A 1 b) 68 2. (FRANCO) O determinante da matriz A det A a11.a 22 .a33 det k . A k n . det A onde : n é a ordem da matriz. Qual o determinante da matriz 3 d) 3 3 e) 3 3 de determinante 5, c) 30 d) 40 e) 50 Sabendo-se que o determinante da 1 1 cos x matriz A 1 4 é igual a – 3, qual 0 0 cos x 0 3 é o valor de sen x, x 2 ? 2 a) 3 2 b) 6. (FRANCO) 1 2 c) 2 2 3 2 d) Sejam 1 4 6 1 3 1 e Y X 1 0 1 2 1 2 determinante da matriz X Y é: as e) 1 2 matrizes 2 1 . O valor do 6 3 a) - 41 b) - 42 7. (FRANCO) c) - 43 Se o d) - 44 determinante e) - 40 da matriz 1 1 1 4 8 3 1 3 é igual a 6 3k 2 k , então 6 4 5 1 1 4 2 o valor de k é: a) 4 b) 9 8. (FRANCO) ordem 3 e c) 19 d) 24 e) - 9 A e B são matrizes quadradas de 13. (FRANCO) A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e B c.A , sendo c um número real não nulo. Se o determinante A é 3 e o determinante da transposta de B é 81, então o valor de c é: a) 6 b) 2 b) 96 c) 9. (FRANCO) Em uma progressão geométrica de razão q, então o a1 determinante da matriz a 4 a7 a) 1 1 4 3 2 d) e) 4 R, a solução da equação b) 5 c) 6 2x 4x 1 equação 1 1 0 1. 2. 3. 4. d) 3 8x 1 0 são números: 2 d) 12. (FRANCO) Se para 1,7 1,7 cos 2 x e) sen x todo x 1,7 sen x 0 1 2. cos x a. sen x a k . , então: para todo x , k Z , o valor de a 4 2 é: 2.sen x c) cos 2x a) sec 2x d) sen 2x n n, A B C A B C A B B A A B B A det A B det A det B det( A B) det A det B a) 1 e 2 são corretas c) 3 e 4 são corretas e) 5 e 1 são corretas a) 2 b) 3 b) 2 e 3 são corretas d) 4 e 5 são corretas 1 k2 k4 k6 1 1 1 k 5 não k 2 25 k 3 125 e) tg2 x c) 4 d) 5 e) n. d. a 2 x 2x 2 x 2x 17. (FRANCO) Sendo a e b 2 2 a b , o determinante da matriz é igual a: b a 1 1 a) b) 4 c) 1 d) e) 0 4 2 18. (FRANCO) As faces de um cubo foram numeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubo foi registrada uma matriz de ordem 2, com elementos definidos por: b) 9.a1 .q 9 d) 1 k 16. (FRANCO) A matriz 2 k 3 k pertencente a: c) a1 .q 9 admite inversa, se k for igual a: 1 x 1 3 0 2 13 x 2 x 1 3 0 b) 13 e) 5. Então podemos afirmar que: e) 2 a) Pares b) Irracionais c) Inteiros consecutivos d) Inteiros negativos e) Racionais não inteiros 1,6 1,7 a3 a 6 é: a9 15. (FRANCO) Sendo A, B e C matrizes reais considere as seguintes afirmações: 10. (FRANCO) Os valores reais de x que satisfazem a a) a2 a5 a8 b) 0 c) a1 .q 2 x x 1 2 1 8 log 4 é: 2 3 1 2 11. (FRANCO) e) 4 14. (FRANCO) Se a1 , a 2 ,...., a3 formam nesta ordem, 3 a) 4 d) 5 B k. A . Sabe-se que det A 1,5 e det B t 96 . Então k é igual a: a) 64 c) 3 a ij 2.i f se i j em que j se i j f é o valor associado à face correspondente. Qual o valor do determinante da matriz registrada na face 5 ? a) 63 b) 61 c) 60 d) 6 23 log 19. (FRANCO) Sendo log a) 2 4 2 x 1 2 , então c) 4 20. (FRANCO) Se p 2 2 p 4 4 p 4 1 p matriz p p , com o d) 5 e) 6 determinante da c) d) e) 22. 1 2 2 4 é igual a: 2 1 b) - 6 c) 3 b) 0 23. (FRANCO) matriz A b) 1 2 n1 c) 2n 1 2n 1 d) 1 2 1 c) 1 Seja a a) - 12 d) 6 e) 9 1 x 1 e x e) x 1 ou x 1 2 b) 0 e) 2n 2n 1 n c) 1 d) 97 2 e) 194 2a 2c a b y , então vale: c d e 3b 3d x a) 36 d) 2 em que 1 x 1 2 c) P é igual a: Q 26. (FRANCO) Sendo x e y, respectivamente, os determinantes não nulos, das matrizes b) 12 27. (FRANCO) c) - 6 O gráfico d) - 12 da e) - 15 função real 1 1 x g ( x) det 3 5 1 . 1 2 x 2 a) Intercepta o eixo x Y 3 e) - 2 0 X no ponto de abscissa 3 8 b) Intercepta o eixo 0Y no ponto de ordenada c) Passa pela origem do sistema de coordenadas d) Não intercepta o eixo 0 X e) intercepta os eixos coordenados em três pontos. a ij x se i j i j se i j 28. (FRANCO) Sejam positivos. Se o 1 2 b) 1 x d) x m1 e m2 números reais determinante da matriz 3 m 2 m1 é 2 , então o determinante da 2 2 2 1 1 matriz 1 m1 1 2 é: 1 1 m 2 2 . Obter-se-á D 1 se, e somente se, x for um número real tal que: 2n D o valor do determinante da ij 33 a) 1 25. (FRANCO) A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det A 6 . O valor de x, tal que det( 2 A) x 97 , é: S x R / 4 x 1 S x R / x 4 ou x 1 S x R / 4 x 1 S x R / 1 x 4 S x R / x 4 ou x 1 0 1 0 0 1 2 3 4 (FRANCO) O valor de é: 1 1 1 0 1 1 1 1 a) - 1 2 n 1 é igual – 18, então o determinante da x 1 1 3 0 0 x 2 3 7 x 3 é: 1 3 x 5 1 x b) 1 0 2n 2n 2 e Q 1 0 1 n 0 , então o quociente a) matriz 21. (FRANCO) O conjunto solução da inequação a) 2n 24. (FRANCO) Se P 1 2n x é igual a: b) 3 a) - 9 1 e) 0 1 2 1 ou x 1 2 a) 9 4 b) 9 2 c) 25 4 d) 25 2 e) 2 9 2 2 é igual à sua A k 3 2 transposta. Então o det( k . A) é igual a: 29. (FRANCO) A matriz a) 64 b) 32 c) 16 30. (FRANCO) Seja a matriz d) 8 A22 cujo determinante, det A , é igual a 3. O det A det 2 A det 3A det 4 A é: a) 90 b) 168 e) 4 c) 162 d) 30 GABARITO 1. B 7. A 13. C 19. B 25. C 2. E 8. E 14. B 20. E 26. D 3. A 9. D 15. C 21. B 27. D 4. D 10. C 16. D 22. D 28. B 5. B 11. D 17. C 23. B 29. A 6. C 12. E 18. B 24. C 30. C valor e) 12 de