DETERMINANTES.

DETERMINANTES
1. DEFINIÇÃO:
 Determinante de uma matriz quadrada
número real associado à matriz .
 a11
a
 21
 ...

a m1
... a1n 
... a 2 n 
... ... 

... a mn 
a12
a 22
...
am2
5. TEOREMA DE LAPLACE:
 O determinante de uma matriz quadrada de ordem
n
n  2 é obtido pela soma dos produtos dos
elementos de qualquer linha ou coluna pelos
respectivos cofatores.

n  n é um

6. REGRA DE SARRUS:
m : linhas
onde  
n : colunas
 a11
A  a 21
a31
a12
a 22
a32
3. DETERMINATE DE UMA MATRIZ QUADRADA
DE ORDEM 2:
4.
a a 
A   11 12   det A  DP  DS  a11.a22  a12 .a21
a21 a22  22
DP: Produto dos elementos da diagonal principal
DS: Produto dos elementos da diagonal
secundária
 
5. MENOR COMPLEMENTAR M ij :
det A  a11.a 22 .a33  a12 .a 23 .a31  a13 .a 21.a32
 a13 .a 22 .a31  a11.a 23 .a32  a12 .a 21.a33
7. PROPRIEDADES DO DETERMINANTE:
P.1:
a12
a 22
a32
a13 

a 23 
a33 
 Chama-se Menor Complementar M ij relativo a
um elemento da matriz A o determinante
associado à matriz quadrada de ordem 2, obtida
em A, e que se obtém eliminando-se , em A, a
linha e a coluna que contêm o elemento a ij
A matriz possui duas linhas ou duas colunas
iguais;
II.
A matriz possui os elementos de uma linha ou
coluna iguais a zero;
III.
A matriz possui os elementos de duas linhas
proporcionais ou os elementos de duas colunas
proporcionais;
IV.
A matriz possui uma linha (ou uma coluna) que
seja igual a uma combinação linear das demais
linhas (ou colunas).
P. 2: Dada uma matriz quadrada A e sua transposta,
A t , temos:
det At  det A
P. 3: Se multiplicarmos todos os elementos de uma
linha (ou coluna) de uma matriz por um número
real k, o determinante da matriz fica multiplicado
por k.
considerado.
 
6. COFATOR Aij :
cof (aij )  Aij   1 .M ij
i j
OBSERVAÇÃO:
1. Se i  j  ímpar  Aij   M ij
2. Se i  j  par  Aij  M ij
O determinante de uma matriz é igual a zero
quando:
I.
 Consideremos a matriz quadrada de ordem 3:
 a11

A   a 21
a
 31
a13 a11 a12
a 23 a 21 a 22
a33 a31 a32


trocar os sinais conser var os sinais
2. DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA
DE ORDEM 1:
A  a11 11  DetA  a11
a13 
a11 a12

a 23   a 21 a 22
a33  33
a31 a32



P. 4: Se trocarmos entre si a posição de duas linhas
(ou colunas) de uma matriz, o determinante troca
de sinal.
P. 5: Se numa matriz adicionamos aos elementos de
uma fila (linha ou coluna) uma combinação linear
dos elementos correspondentes de filas paralelas,
o determinante da matriz obtida não se altera
( teorema de jacobi).
P. 6: Dada duas matrizes quadradas, A e B, de
mesma ordem, temos:
1. (FRANCO)
det A  B  det A. det B
P. 7: Numa matriz A, em que os elementos que se
situam de um mesmo lado da diagonal principal
são todos nulos, o determinante é o produto dos
elementos da diagonal principal.
 a11
A  a 21
a31
0
a 22
a32
0
a11

0  ou A   0
 0
a33 
a13 
a 23 
a33 
a12
a 22
0
1 3 4
6 2 1  ?


4 8 6
a) 55
P. 8:
a)
c)
 
1
det A
2 6
2
2 3
2
1
1
1
1
a
b
c
d 

V  a 2 b2 c2 d 2 
 3

b3 c3 d 3 
a
..... ..... ..... .....
1
2
d)
,n  3:
I.
Considerar um elemento a ij  1 ;
II.
Eliminar a linha e a coluna correspondentes a
esse elemento;
De cada elemento restante na matriz, subtrair o
produto dos elementos eliminados que se
situam na sua linha e na sua coluna, obtendo
assim a matriz B;
III.
IV.
Calcular o produto de
 1i j
TESTES
por
det B .
ij 2 2
2 6
2
e)
x y 
c)
3
2
4. (FRANCO) Se A é matriz
a) 10
det A  A vale:
b) 20
5. (FRANCO)
ij nn
a 
 3
Se
2
2
b)
então
a 
e) 88

,
3
então
0
0
1
cos x sen x 0 é igual a:
sen y cos y 0
a)
det V  b  a
. c  a
. c  b
. d  a
. d  b
. d  c
d) 20
2 3
2
b)
3. (FRANCO)
9. DETERMINANTE DE VANDERMONDE:
10. REGRA DE CHIÓ:
 Dada uma matriz A 
c) 32
   
 se i  j
sen 
 i  j
, onde aij  
, é igual a:



tg 
 se i  j
  i  j 

8. DETERMINANTE DA MATRIZ INVERSA:
det A 1 
b) 68
2. (FRANCO) O determinante da matriz A 
det A  a11.a 22 .a33
det k . A  k n . det A
onde : n é a ordem da matriz.
Qual o determinante da matriz
3
d)
3
3
e)
3 3 de determinante 5,
c) 30
d) 40
e) 50
Sabendo-se que o determinante da
1
1
cos x

matriz A 
 1 4 é igual a – 3, qual
 0
 0
cos x 0
3
é o valor de sen x,
 x  2 ?
2
a) 
3
2
b)
6. (FRANCO)

1
2
c) 
2
2
3
2
d)
Sejam
1

 4 6  1 3
1
 e Y  
X  
1
 0  1 2 1

 2

determinante da matriz X  Y é:
as
e)
1
2
matrizes
2

1
. O valor do
6

3 
a) - 41
b) - 42
7. (FRANCO)
c) - 43
Se
o
d) - 44
determinante
e) - 40
da
matriz
1
1
1 
 4
8
 3 1
3  é igual a 6  3k  2  k , então
6
4

5
1
 1 
 4
2


o valor de k é:
a) 4
b) 9
8. (FRANCO)
ordem 3 e
c) 19
d) 24
e) - 9
A e B são matrizes quadradas de
13. (FRANCO) A e B são matrizes quadradas de
ordem 3 e B  c.A , sendo c um número real não
nulo. Se o determinante A é 3 e o determinante da
transposta de B é 81, então o valor de c é:
a) 6
b) 2
b) 96
c)
9. (FRANCO) Em
uma progressão geométrica de razão q, então o
a1
determinante da matriz a 4
a7
a) 1
1
4
3
2
d)
e) 4
R, a solução da equação
b) 5
c) 6
2x 4x
1
equação 1
1 0
1.
2.
3.
4.
d) 3
8x
1  0 são números:
2
d)
12. (FRANCO) Se
para
1,7
 1,7
cos 2 x
e)
sen x
todo
x

 1,7
sen x
0
 1 2. cos x
a. sen x
a
 k .
, então: para todo x  
, k  Z , o valor de a
4 2
é:
2.sen x
c) cos 2x
a)
sec 2x
d) sen 2x
n n,
A  B  C    A  B  C
A B  B  A
A B  B A
det A  B  det A  det B
det( A  B)  det A  det B
a) 1 e 2 são corretas
c) 3 e 4 são corretas
e) 5 e 1 são corretas
a) 2
b) 3
b) 2 e 3 são corretas
d) 4 e 5 são corretas
1
k2
k4
k6
1
1 
1
k
5 
não
k  2 25 

k 3 125
e)
tg2 x
c) 4
d) 5
e) n. d. a
2 x  2x
2 x  2x
17. (FRANCO) Sendo a 
e b
2
2
a b 
, o determinante da matriz 
 é igual a:
b a 
1
1
a)
b) 4
c) 1
d)
e) 0
4
2
18. (FRANCO) As faces de um cubo foram numeradas
de 1 a 6, depois em cada face do cubo foi
registrada uma matriz de ordem 2, com elementos
definidos por:
b)
9.a1 .q 9
d)
1
k
16. (FRANCO) A matriz  2
k
 3
k
pertencente a:
c)
a1 .q 9
admite inversa, se k for igual a:
1 x 1
3 0
2 13 x 
2 x
1 3 0
b)
13
e)
5.
Então podemos afirmar que:
e) 2
a) Pares
b) Irracionais
c) Inteiros consecutivos
d) Inteiros negativos
e) Racionais não inteiros
1,6
1,7
a3
a 6 é:
a9
15. (FRANCO) Sendo A, B e C matrizes reais
considere as seguintes afirmações:
10. (FRANCO) Os valores reais de x que satisfazem a
a)
a2
a5
a8
b) 0
c) a1 .q
2
x
x
 1  2  1  8  log 4 é:
2
3
1
2
11. (FRANCO)
e) 4
14. (FRANCO) Se a1 , a 2 ,...., a3 formam nesta ordem,
3
a) 4
d) 5
B  k. A . Sabe-se que det A  1,5 e
det B t  96 . Então k é igual a:
a) 64
c) 3
a
ij
2.i  f se i  j

em que
 j se i  j
f é o valor associado à face correspondente. Qual
o valor do determinante da matriz registrada na
face 5 ?
a) 63
b) 61
c) 60
d) 6
23
log
19. (FRANCO) Sendo
log
a) 2
4
2
x 1
 2 , então
c) 4
20. (FRANCO)
Se
 p 2 2


 p 4 4
 p 4 1


p

matriz  p
p

, com
o
d) 5
e) 6
determinante
da
c)
d)
e)
22.
1 2

 2 4  é igual a:
 2 1 
b) - 6
c) 3
b) 0
23. (FRANCO)
matriz A 
b)
1  2 n1
c)
2n 1
2n  1
d)
1
2 1
c) 1
Seja
a 
a) - 12
d) 6
e) 9
1  x  1 e x 
e)
x  1 ou x 
1
2
b) 0
e)
2n
2n  1
n
c) 1
d)
97
2
e) 194
 2a  2c
a b 
y
, então
vale:
 c d  e 3b
3d
x


a) 36
d) 2
em que
1
 x 1
2
c)
P
é igual a:
Q
26. (FRANCO) Sendo x e y, respectivamente, os
determinantes
não
nulos,
das
matrizes
b) 12
27. (FRANCO)
c) - 6
O
gráfico
d) - 12
da
e) - 15
função
real
1 1 x 


g ( x)  det 3 5  1 .
1 2 x 2 


a) Intercepta o eixo
x
Y  3
e) - 2
0 X no ponto de abscissa
3
8
b) Intercepta o eixo
0Y no ponto de ordenada
c) Passa pela origem do sistema de coordenadas
d) Não intercepta o eixo 0 X
e) intercepta os eixos coordenados em três
pontos.
a
ij
 x se i  j

i  j se i  j
28. (FRANCO) Sejam
positivos. Se o
1
2
b)
1  x 
d)
x
m1 e m2 números reais
determinante
da
matriz
 3

 m
2

m1 
 é 2 , então o determinante da
2
2 
2 
1  1


matriz 1 m1  1
2  é:
1  1 m  2 
2


. Obter-se-á D  1 se, e somente se, x for um
número real tal que:

2n
D o valor do determinante da
ij 33
a)
1
25. (FRANCO) A é uma matriz quadrada de ordem 4 e
det A  6 . O valor de x, tal que det( 2 A)  x  97 ,
é:
S  x  R /  4  x  1
S  x  R / x  4 ou x  1
S  x  R /  4  x  1
S  x  R /  1  x  4
S  x  R / x  4 ou x  1
0 1 0 0
1 2 3 4
(FRANCO) O valor de
é:
1 1 1 0
1 1 1 1
a) - 1
2 n 1
é igual – 18, então o determinante da
x 1 1
3 0 0
x 2 3   7 x 3 é:
1 3 x  5 1 x
b)
1 0
2n
2n 2 e Q 
1
0 1
n  0 , então o quociente
a)
matriz
21. (FRANCO) O conjunto solução da inequação
a)
2n
24. (FRANCO) Se P  1
2n
x é igual a:
b) 3
a) - 9
1
e) 0
1
2
1
ou x  1
2
a)
9
4
b)
9
2
c)
25
4
d)
25
2
e)
2
9
 2 2
 é igual à sua
A  
 k 3
2
transposta. Então o det( k . A) é igual a:
29. (FRANCO) A matriz
a) 64
b) 32
c) 16
30. (FRANCO) Seja a matriz
d) 8
A22 cujo determinante,
det A , é igual a 3. O
det A  det 2 A  det 3A  det 4 A é:
a) 90
b) 168
e) 4
c) 162
d) 30
GABARITO
1. B
7. A
13. C
19. B
25. C
2. E
8. E
14. B
20. E
26. D
3. A
9. D
15. C
21. B
27. D
4. D
10. C
16. D
22. D
28. B
5. B
11. D
17. C
23. B
29. A
6. C
12. E
18. B
24. C
30. C
valor
e) 12
de