Aula 14 Arranjo e Combinação

Aula 14 - Erivaldo
ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Análise Combinatória
Arranjo e Combinação
Arranjo
An,p = Apn =
n!
(n − p)!
Combinação
Cn,p = Cpn =
n!
p!.(n − p)!
Exemplo 01
Quantos números de três algarismos distintos pode-se formar
com os algarismos ímpares do nosso sistema de numerção.
Resolução:
Exemplo 02
Quantos subconjuntos de três elementos distintos pode-se
formar com os elementos do conjunto { 1, 3 , 5 , 7 , 9 }.
Resolução:
Exemplo 03
Sobre uma circunferência são marcados 12 pontos distintos.
Quantas retas, semi-retas e segmentos de reta podem ser
obtidos unindo-se dois desses pontos.
Resolução:
Exemplo 04
Quantos números de três algarismos distintos pode-se formar
com os algarismos pares do nosso sistema de numerção.
Resolução:
Exemplo 05
Quantos números de três algarismos pode-se formar com os
algarismos ímpares do nosso sistema de numerção.
Resolução:
Problema 01
(FUVEST) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com
exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto.
Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos,
com a exigência de que cada membro se relacione bem com
todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?
a) 71
b) 75
c) 80
d)83
e)87
Resolução:
Problema 02
(UFSC 2009) Em uma clínica médica trabalham cinco médicos
e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível
formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um
médico e quatro enfermeiros.
Resolução:
5 médicos e 10 enfermeiros
1 médicos e 4 enfermeiros
C15
x
4
C10
5!
10!
x
1!.(5 −1)! 4!.(10 − 4)!
5.4! 10.9.8.7.6!
x
1.4! 4.3.2.1.6!
5 x 210 = 1050
Incorreto
Problema 03
(ACAFE) Com 5 números positivos diferentes e 3 números
negativos diferentes a quantidade de produtos positivos com 3
fatores distintos será:
a) 8
b) 15
c) 20
d) 25
e)63
Resolução:
Problema 04
Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma outra reta,
paralela à primeira, 3 pontos. O número de triângulos, com
vértices em três desses pontos é:
Resolução:
A
B
C
H
3
10
C
- C73 -
3
3
E
D
C =
I
F
G
J
3!
7!
10!
−
= 120 − 35 −1= 84
−
3!.7! 3!.4! 3!.0!
Problema 05
Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma outra reta,
paralela à primeira, 5 pontos. O número de quadriláteros convexos,
com vértices em quatro desses pontos é:
Resolução:
A
B
C
H
E
D
I
J
G
F
K
L
(2 pontos em cima) e ( 2 pontos em baixo)
7!
5!
.
= 2100
C . C ⇒
2!.5! 2!.3!
2
7
2
5
C72
C25
Problema 06
Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com
pelo menos 3 homens, podem ser formadas?
Resolução:
Comissões de interesse:
(3H e 2M) ou (4H e 1M) ou (5H)
C35 x C24
+
C54 x C14
+
C55
4!
5!
5!
4!
5!
x
+
x
+
3!.2! 2!.2! 4!.1! 1!.3! 5!.0!
10 x 6 + 5x 4 +1= 81
Problema 07
(FUVEST–SP) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens
distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses 4 itens
devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos
de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos
um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que
seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem
ser feitos?
Resolução:
8 de limpeza e 5 de alimentos
Tipos de Sacolas:
4
13
C
- C 84 -
Escolher 4 itens
LLAA , AAAL , LLLL , ALLL , AAAA , . . .
4
5
C =
5!
8!
13!
= 715 − 70 − 5 = 640
−
−
4!.9! 4!.4! 4!.1!
Problema 08
(FUVEST–SP) Uma turma de Educação Física de um colégio é formada
de 10 estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos
estudantes, em ordem crescente serão designados por h1, h2, ... , h10,
(h1 < h2 < ... < h10). O professor escolherá cinco desses estudantes
para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão
alinhados, em ordem crescente de suas alturas. Dos grupos que
podem ser escolhidos, quantos o estudante cuja altura é h7 ocupará a
posição central durante a demonstração?
Resolução:
Alunos: h1, h2, h3 , h4 , h5 , h6 , h7 , h8 , h9 , h10
h
5 alunos: _____ _____ _____ _____ _____
7
C26
.
C23
6!
3!
.
= 45
2!.4! 2!.1!
Problema 09
(ACAFE) João Apostador passou em frente a uma lotérica e resolveu
fazer uma “fezinha”. Entre todas as loterias disponíveis, escolheu a
Mega Sena e fez uma aposta simples. Porém, ao as- sinalar os
números cometeu um equívoco, assi- nalando 7 números no
cartão.Sabendo que os jogos da Mega Sena são compostos de 6
números, e cada aposta com 6 números custa R$ 2,00, o custo do
cartão pre- enchido por João Apostador foi de:
a) R$ 12,00, pois é possível formar 6 combinações.
b) R$ 4,00, pois como ele assinalou um número a mais, é possível
formar apenas duas combinações.
c) R$ 42,00, pois como ele assinalou 7 números, é possível fazer 21
jogos diferentes.
d) R$ 14,00, pois é possível formar 7 combinações.
Problema 10
(ACAFE) Considerando ainda o caso da questão anterior, João
Apostador conferiu o resultado do sorteio no seu cartão e
verificou que havia acertado 4 números (quadra), tendo
assinalado 7 no cartão da Mega Sena.
O prêmio pago pela quadra naquele dia foi R$ 64,32.
Sendo assim, nosso ganhador recebeu:
a) R$ 64,32, pois ele acertou apenas 4 números.
b) R$ 192,96, pois com aquele cartão ele acertou 3 quadras.
c) R$ 128,63, pois com aquele cartão ele acertou 2 quadras.
d) R$ 221,60, pois com aquele cartão ele acertou 5 quadras.
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FIM