AVGA PROFES - PET Engenharias

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA – IFBA
CAMPUS: Vitória da Conquista
DISCIPLINA: AVGA
PROFESSOR: Aurélio Fred
ALUNO (a):________________________________ DATA ___/___/___
7ª LISTA DE EXERCÍCIOS (2ª UNIDADE)
A(2,1,  1), B(3, 0,1) e C (2,  1,  3) , determinar o ponto D tal que
1. Dados os pontos
AD  BC  AC .
2. Determinar o vetor x tal que x  (1, 4,  3)  7 , e x  (4,  2,1)  (3, 5,  2).
3. Resolver os sistemas


 x  j  k
a)
 x  4i  2 j  k  10

4.
Dados

os


 x  2i  j  3k  0
b) 
 x  i  2 j  2k  12
vetores
u  (3,1,1) , v  (4,1, 3) e w  (1, 2, 0) , determinar x
de
modo
que
x  w e x  u  v.
5. Levando em conta a figura ao lado, calcular
a)OF  OD
d ) EC  EA
b) AC  FA
e)OA  OC  OE
c) AB  AC
f )GB  AF


6. Sejam os vetores u  (1,  2,1) , v  (1,1,1) e w  (1, 0,  1).
a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo
ao terceiro vetor.


c) Mostrar que u  v  w  0
7. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores
u  2v e v  u , sendo
u  (3, 2, 0) , v  (0,  1,  2).
8. Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3,1), B(1,  1,1) e C (4,1,  2).
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9. Sendo u  2 2 , v  4 e 45 o ângulo entre u e v , calcular
a) 2u  v
2
1
b) u  v
5
2
10. Determinar u  v , sabendo que u  v  12, u  13 e v é unitário.
11. Dados os vetores u  (3,  1, 2) , v  (2, 2,1), calcular
a) a área do paralelogramo determinado por u e v ;
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v .
12. Mostrar que o quadrilátero ABCD de vértices A(4,1, 2), B(5, 0,1) , C (1, 2,  2) e D(2, 3,  1) é
um paralelogramo e calcular sua área.
13. Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A(2,  4, 0) e B(1,  3,  1) e o ponto
médio das diagonais é M (3, 2, -2). Calcular a área do paralelogramo.
14. Sabendo que u  6 , v  4 e 30 o ângulo entre u e v , calcular
a) a área do triângulo determinado por u e v;
 
b) a área do triângulo determinado por u e  v ;
c) a área do paralelogramo determinado por u  v e u  v.
15. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v , sabendo que suas
diagonais são u  v  (1, 3, 4) e u  v  (1,  1, 2).
16. Calcular a distância do ponto P(4,3,3) à reta que passa pelos pontos A(1,2,-1) e B(3,1,1).
17. Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P, Q e R e calcular a área do
triângulo PQR.
a) P(3, 0, 0), Q(0, 3, 0) , R(0, 0, 2)
b) P(2, 3, 0), Q(0, 2,1) , R(2, 0, 2)
18. Calcular z, sabendo-se que A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C (0, 0, z ) são vértices de um triângulo de
área 6.
19. Dados os pontos A(2,1,  1) e B(0, 2,1) , determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a área
do triângulo ABC seja 1,5 u.a.
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20. Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são M (0,1, 3), N (3,  2, 2) e P(1, 0, 2) .
Determinar a área do triângulo ABC.
21. Descanse um pouco!
GABARITO
(4,1,1)
01.
06.
*
11.
Um deles:
u  2v v  u   (12,18,9)
12.
Um deles:
13.
a ) 3 10
16.
65
3
b) 10
02.
(3,1,2)
07.
03.
a)(1,3,0)
08.
04.
Impossível.
09.
05.
a ) (  a 2 , a 2 , a 2 )
10.
AB  AC  (12,3,10)
a )16
8
b)
5
5 ou -5
14.
15.
122
2 74
a) 6
b)12
c ) 24
35
17.
*
18.
4 ou -4
19.
*
20.
4 2
b)(a 2 ,a 2 ,0)
c)(0,0, a 2 )
d )(a 2 ,a 2 ,a 2 )
e) a 3
f )0
Conteúdos estudados:
Reta orientada;
Segmento orientado;
Direção e sentido;
Segmentos eqüipolentes;
Distância entre pontos na reta;
Sistema cartesiano ortogonal;
Distância entre dois pontos no plano;
Definição de vetores;
Vetores iguais;
Vetor nulo;
Vetor oposto;
Vetor unitário;
Versor;
Vetores coplanares;
Operação com vetores;
Ângulos de dois vetores;
Vetores no plano;
Base ortonormal;
Vetor definido por dois pontos;
Ponto médio;
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Paralelismo de dois vetores;
Módulo de um vetor;
Vetores no espaço;
Produto escalar;
Propriedade de o produto escalar;
Definição geométrica de o produto escalar;
Cálculo do ângulo de dois vetores;
Ângulos diretores e cossenos diretores de um
vetor;
Projeção de um vetor sobre o outro;
Interpretação geométrica do módulo do produto
escalar;
Produto vetorial;
Determinantes (revisão);
Propriedades do produto vetorial;
Direção, sentido e módulo do produto vetorial;
Interpretação geométrica do produto vetorial.
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