Geradores de Espaços Vetoriais

GERADORES DE UM ESPAÇO VETORIAL
Sejam os vetores: (2, 1) e (3, 2) de R2.
 x e y, de (x, y), existem os números reais  e , tais que
(2, 1) + (3, 2) = (x, y),
pois o sistema
2 + 3 = x
1 + 2 = y
 = 2x- 3y
Para o vetor (23, 14), teremos
terá sempre solução única.
e  = -x + 2y
 = 2.23 – 3.14 = 4
 = - 23 +2.14 = 5
Assim, (23, 14) = 4.(2, 1) + 5.(3, 2)
Fato diferente acontece com o para de vetores (1, 2) e (2, 4).
Não é possível escrever o vetor (23, 14) na forma (1, 2) + (2, 4).
 + 2 = 23
2 + 4 = 14
Simplificando a segunda equação,  + 2 = 7.
Isto contraria a primeira equação.
Existem  e  tais que (x, y) = (2, 1) + (3, 2), porém
não existem  e  tais que (x, y) = (1, 2) + (2, 4).
A não ser que: y = 2x.
Como qualquer vetor (x, y) pode ser escritos como (2, 1) e (3, 2),
dizemos que o conjunto {(2, 1), (3, 2)} gera o espaço vetorial R2.
Enquanto que: {(2,1), (4, 2)} não gera R2.
DEFINIÇÃO 1:Dizemos que um vetor v é uma combinação linear dos vetores
v1, v2, v3, ... vn se existirem os escalares 1, 2, 3, ..., n, tais que
v = 1v1 + 2v2 + 3v3 + ... + nvn .
APLICAÇÃO:
Escrever o vetor (6, -9) como combinação linear dos vetores (1, 2) e (3, -1)
(1, 2) + (3, -1) = (6, - 9)   + 3 = 6 e 2 -  = - 9
Da primeira equação  = 6 - 3. Substituindo esse valor na segunda equação:
2(6 - 3) -  = - 9  12 - 6 -  = - 9  -7 = - 21   = 3
 + 3.3 = 6   = - 3
Resposta: (6, -9) = -3.(1, 2) + 3.(3, -1)
DEFINIÇÃO 2:Seja o conjunto G = {v1, v2, v3, ... , vn} onde cada vi é um vetor. O conjunto V de
todos os vetores formados por combinações lineares de elementos de G, é
denominado espaço vetorial gerado pelos vetores v1, v2, v3, ... , vn.
Estes vetores são chamados de geradores do espaço vetorial V.
EXERCÍCIOS
01 – Escreva o vetor (3, 2, -5) como combinação linear dos vetores
(2, 1, 0), (-1, 0, 3) e (0, 4, 1).
7 4
02 – Escreva a matriz
8 3 como combinação linear das matrizes
1
0
0
0
0
8
0
0
0
0
2
0
0
0
0
6
03 – Escreva o polinômio 5x3 + 2x2 – 3x + 7 como combinação linear dos
polinômios: x3 + 2x + 1, x2 – x + 2, x + 1, 5.
04 - Mostre que os vetores (2, 1) e (3, 2) são geradores do espaço vetorial R2.
05 – Mostre que os vetores (2, 1, 0), (-1, 0, 3) e (0, 4, 1)
geram o espaço vetorial R3.
06 – Verifique se os polinômios x4 + x, x3 + 2x, x2 – 4x0, x + 1, 2x0 geram o
espaço vetorial formados pelos polinômios de 3º grau.
Os polinômios de 3º tem forma ax3 + bx2 + cx + d.