Unidade II - UNIPVirtual

MATEMÁTICA
Unidade II
5 FUNÇÕES MATEMÁTICAS E SUAS
REPRESENTAÇÕES
Observe a tabela com valores reais de “x” e “y” (ou seja,
infinitos valores).
x
y
...
...
–3
–6
–2
–4
–1
–2
0
0
1
2
2
4
3
6
4
8
...
...
Por meio da tabela acima, observa-se a seguinte relação:
y = 2.x
5
“y” é o dobro de “x”.
“y” depende de “x”.
“y” está em função de “x”.
Existe uma relação numérica entre “y” e “x”. Portanto, y = 2.x
é uma função.
17
Unidade II
Representa-se, também, tal relação da seguinte maneira:
y
8
6
4
2
0
1
2
3
4
x
Observe a tabela com valores reais de “x” e “y” (ou seja,
infinitos valores).
x
y
...
...
–3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
...
...
Por meio da tabela acima, pode-se observar a seguinte
5 relação: y = x2
“y” é o quadrado de “x”.
“y” depende de “x”.
“y” está em função de “x”.
18
MATEMÁTICA
Existe uma relação numérica entre “y” e “x”. Portanto, y = x2
é uma função.
Representa-se, também, tal relação, da seguinte maneira:
y
0
x
Generalizando, pode-se afirmar que uma função
numérica é uma relação particular que estabelecemos
entre os elementos de dois conjuntos numéricos, os
quais expressam grandezas que se relacionam por uma
determinada lei, modelo ou fórmula.
Resolvendo problema – Exemplo
5
O custo total de produção de um determinado bem consiste
em um custo fixo de R$ 300,00 somado a um custo variável de
R$ 120,00 por unidade produzida.
a) Observe a tabela que mostra o custo total de produção em
função do número de bens produzidos.
Número de bens
produzidos “(x)”
Custo total de produção (R$) “(y)”
0
300
1
300 + 120 . (1) = 300 + 120 = 420
2
300 + 120 . (2) = 300 + 240 = 540
3
300 + 120 . (3) = 300 + 360 = 660
4
300 + 120 . (4) = 300 + 480 = 780
10
300 + 120 . (10) = 300 + 1200 = 1500
x
300 + 120 . (x) = 300 + 120.x
19
Unidade II
b) Observe a “lei”, “fórmula” ou “modelo” que representa a
relação existente entre o custo total de produção (y) e a
quantidade de bens produzidos (x).
y = 300 + 120.x
Observação: numa situação cotidiana, por meio de dados reais,
5 podemos generalizar ideias e elaborar “modelos matemáticos”
que facilitam os cálculos, tornando-os mais práticos.
c)Observe o gráfico correspondente a tal situação.
Custo total (y)
660
540
420
300
0
1
2
3
Número de bens produzidos (x)
6 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função do 1º grau é uma relação de dependência entre
duas grandezas que pode ser representada da forma: y = a.x + b .,
10 onde “a” e “b” são números reais quaisquer. Tal função tem as
seguintes características:
Tem como gráfico uma reta, semirreta ou segmento de
reta (dependendo do seu domínio).
20
MATEMÁTICA
Pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal
(positivo ou negativo) de “a”.
Domínio de uma função: são valores reais (x) que
“controlam” a função (y).
5
Imagem de uma função: são valores reais (y) que resultam
da aplicação dos valores do domínio (x) na função.
Exemplos
Considere a função: y = 2.x + 6
Domínio da função: todos os números reais (R)
Observações:
Função do 1º grau
10
Gráfico: uma reta (domínio = reais - imagem = reais).
Para traçar a reta, precisamos de, no mínimo, 2 pontos.
A reta cruza uma vez em cada eixo (horizontal “x” e
vertical “y”).
15
Para saber onde a reta cruza o eixo vertical (y),
consideramos x = 0.
Para saber onde a reta cruza o eixo horizontal (x),
consideramos y = 0.
Veja a tabela:
x
y
0
0
Para x = 0 , temos y = 2 . (0) + 6 = 0 + 6 = 6
21
Unidade II
Para y = 0 , temos 0 = 2x + 6 , ou seja:
0 – 6 = 2x + 6 – 6
–6 = 2x
–6 = 2x
2 2
5
–3=x
Completando a tabela:
x
y
0
6
–3
0
y
6
-3
0
x
A função é crescente, pois conforme os valores de “x”
crescem, os valores de “y” crescem também.
Considere a função: y = –3.x
Domínio da função: todos os números reais (R)
22
MATEMÁTICA
Observações:
Função do 1º grau
Gráfico: uma reta (domínio = reais - imagem: reais).
Para traçar a reta, precisamos de, no mínimo, 2 pontos.
5
A reta cruza uma vez em cada eixo (horizontal “x” e
vertical “y”).
Para saber onde a reta cruza o eixo vertical (y),
consideramos x = 0.
10
Para saber onde a reta cruza o eixo horizontal (x),
consideramos y= 0.
Veja a tabela:
x
y
0
0
Para x = 0 , temos y = –3.(0) = 0
Para y = 0 , temos 0 = –3x , ou seja:
0 = –3x
–3 –3
15
0=x
Completando a tabela:
x
y
0
0
0
0
Observa-se, então, que a reta irá passar pela origem, cruzando
os dois eixos (horizontal e vertical) no ponto (0;0).
23
Unidade II
Portanto, para identificar a inclinação da reta, basta atribuir
mais um valor qualquer para “x”.
x
y
0
0
0
0
3
Para x = 3 , temos y = –3.(3) = –9
x
y
0
0
0
0
3
–9
y
3
0
x
-9
A função é decrescente, pois conforme os valores de “x”
5 crescem, os valores de “y” decrescem.
Considere a função: y = x + 2
Domínio da função: {x ∈ R | –3 < x < 4}
24
MATEMÁTICA
Observações:
Função do 1º grau
Gráfico: um segmento de reta (domínio = observar gráfico
eixo “x” - imagem = observar gráfico eixo “y”).
5
Para traçar a reta precisamos de, no mínimo, 2 pontos.
Atribui-se, na tabela, como valores de “x”: os valores
“extremos” do domínio dado: –3 e 4. Veja:
x
y
–3
4
Para x = –3, temos y = (–3) + 2 = –1
Para x = 4, temos y = (4) + 2 = 6
10
Completando a tabela:
x
y
–3
–1
4
6
y
6
-3
0
4
x
-1
Observe atentamente o gráfico:
Domínio (eixo horizontal) = {x ∈ R | –3 < x < 4}
Imagem (eixo vertical) = {y ∈ R | –1 < y < 6}
25
Unidade II
A função é crescente, pois conforme os valores de “x”
crescem, os valores de “y” crescem também.
7 FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função do 2º grau é uma relação de dependência
entre duas grandezas, que pode ser representada da forma:
5 y = a.x2 + b.x + c , onde “a” , “b” e “c” são números reais quaisquer
e “a” ≠ 0. Tal função tem as seguintes características:
Tem como gráfico uma parábola;
Pode ter concavidade voltada para baixo ou concavidade
voltada para cima, dependendo do sinal (positivo ou negativo)
10 de “a”.
Dependendo da concavidade, possui um ponto mínimo ou
máximo (vértice).
Exemplos
Considere a função: y = x2 – 6x + 5
Domínio da função: todos os números reais (R)
Observações:
15
Função do 2º grau
Gráfico: uma parábola (domínio = reais - imagem = observar
gráfico eixo “y”).
Concavidade da parábola para cima, pois “a”, neste caso, é
positivo.
20
26
Possui ponto mínimo (vértice da parábola).
MATEMÁTICA
Etapas para a representação do gráfico da função:
1) Considerar y = 0
5
y = x2 – 6x + 5
0 = x2 – 6x + 5 (resolver a equação do 2º grau para saber
onde a parábola cruza o eixo horizontal “x”)
∆ = 16
x’ = 1
x” = 5
2) Considerar x = 0 (para saber onde a parábola cruza o eixo
vertical “y”)
10
y = x2 – 6x + 5
y = (0)2 – 6.(0) + 5
y=0–0+5
y=5
3) Ponto mínimo – vértice da parábola (xv; yv)
15
xv = –b = –(–6) = 6 = 3
2.a 2.(1) 2
yv = –∆� = – (16) = –16 = – 4
4.a 4.(1)
4
Portanto, o ponto mínimo desta parábola é: (3; –4)
y
5
3
0
1
5
-4
x
vértice - ponto mínimo
(3;-4)
Observe atentamente o gráfico:
20
Domínio (eixo horizontal) = reais
Imagem (eixo vertical) = {y ∈ R | y > -4}
27
Unidade II
Considere a função: y = -x2 + 9
Domínio da função: {x ∈ R| 0 < x < 3}
Observações:
Função do 2º grau
Gráfico: uma parábola (domínio = {x ∈ R| 0 < x < 3} imagem = observar gráfico eixo “y”).
5
Concavidade da parábola para baixo, pois “a”, neste caso, é
negativo.
Possui ponto máximo (vértice da parábola).
Etapas para a representação do gráfico da função:
1) Considerar y = 0
10
y = –x2 + 9
0 = –x2 + 9 (resolver a equação do 2º grau para saber onde
a parábola cruza o eixo horizontal “x”)
∆ = 36
x’ = 3
15
x” = – 3
2) Considerar x = 0 (para saber onde a parábola cruza o eixo
vertical “y”)
y = –x2 + 9
y = –(0)2 + 9
y=9
20
3) Ponto máximo – vértice da parábola (xv; yv)
xv = –b = –(0) = 0
2.a 2.(–1)
yv = –∆� = – (36) = –36 = 9
4.a 4.(–1) –4
28
MATEMÁTICA
Portanto, o ponto máximo desta parábola é: (0; 9)
y
9
-3
0
vértice - ponto máximo
(0;9)
3
x
Observe atentamente o gráfico:
Domínio (eixo horizontal) = {x ∈ R| 0 < x < 3}
Imagem (eixo vertical) = {y ∈ R | 0 < y < 9}
Atenção: neste caso, respeita-se o domínio e a imagem
da função considerando apenas “parte do gráfico” que não
está “tracejado”.
8 SISTEMA DE EQUAÇÕES (PONTO DE
INTERSECÇÃO)
5
Veja os exemplos abaixo:
Considere as funções do 1º grau:
y1 = 2x + 4 domínio: reais
y2 = –x – 5 domínio: reais
Cada uma das funções, acima, representa uma reta. O
objetivo, agora, é encontrar um ponto “comum” pertencente
29
Unidade II
às duas retas, ou seja, o ponto de “intersecção” das duas
funções.
Este ponto poderá ser encontrado por meio de dois quadros
de representação distintos: o quadro algébrico ou o quadro
5 geométrico.
Determinação do ponto de intersecção por meio do
quadro algébrico
Condição: y1 = y2
10
15
2x + 4 = –x – 5
2x + 4 – 4 = –x – 5 – 4
2x = –x – 9
2x + x = –x – 9 + x
3x = –9
3x = –9
3 3
x = –3
Escolha de uma das funções: y1 = 2x + 4
y1 = 2x + 4
y1 = 2.(–3) + 4 = –6 + 4 = –2
y = –2
20
Obs.: no caso da escolha de y2 = –x – 5, o resultado também
seria y = –2
Portanto, o ponto de intersecção das duas funções é:
(–3; –2)
30
MATEMÁTICA
Determinação do ponto de intersecção por meio do
quadro geométrico
Representar graficamente (no mesmo plano) as duas
funções:
5
Obs.: vale relembrar a construção de gráficos.
y1=2x+4
y
y2=-x-5
4
-3
-2
0
-5
x
-2
Ponto de
intersecção
(-3;-2)
-5
Considere as funções do 1º grau:
y1 = x + 3 domínio: {x ∈ R| – 4 < x < 4}
y2 = –2x domínio: {x ∈ R| – 6 < x < 0}
O ponto de intersecção das duas funções é:
Quadro algébrico:
y1 = y2
10
15
x + 3 = –2x
x + 3 + 2x = – 2x + 2x
3x + 3 = 0
3x + 3 – 3 = 0 – 3
3x = – 3
3x = –3
3 3
x = –1
31
Unidade II
Escolha de uma das funções: y2 = –2x
y2 = –2.(–1) = +2
y=2
Obs.: no caso da escolha de y1 = x + 3, o resultado também
5 seria y = 2
Portanto, o ponto de intersecção das duas funções é:
(–1; 2)
Quadro geométrico:
Obs.: vale relembrar a construção de gráficos.
y
y1=x+3
12
y2=-2x
7
Ponto de
intersecção
(-1;2)
-4
-6
0
4
x
-1
Referências bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 3 vols. São Paulo: Ática, 2004.
FRANÇA, Elisabeth et al. Matemática na vida e na escola. 4 vols.
São Paulo: Editora do Brasil, 1999.
SILVA, S. M. ; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos
superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
___________. Matemática: para os cursos de economia,
administração, ciências contábeis. vol 1. São Paulo: Atlas, 1999.
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