6ª lista - MTM

6a Lista de exercı́cios de Álgebra I - MTM 7103
Assunto: Propriedades dos números complexos, conjugado, norma e módulo, forma
trigonométrica de um complexo e extração de raı́zes.
1) Verifique as seguintes igualdades em C:
√
√
(i) 2 − i − i(1 − i 2) = −2i
(ii) (2 − 3i)(−2 + i) = −1 + 8i
(iii)
5
(1−i)(2−i)(3−i)
= −1 + 8i
(iv)
1+2i
3+4i
6−8i
25
+
2−i
5i
=
(v) z + 3i = z − 3i
2
(vi)
(2+i)
3−4i
=1
2) Escreva as expressões abaixo na forma a + bi, a, b ∈ R.
(i) (4 − i) + i − (6 + 3i)i
(ii) (7 + 4i)(2 − 3i) + (6 − i)(2 + 5i)
(iii)
3−i
4+5i
(iv)
(2−i)2
(3+i)3
(v) (3 + 2i)(2 − 3i)
(vi) (4 − i)(1 − 4i)
3) Sendo n inteiro, que valores pode ter in + i−n ?
4) Determine a real para que
a+i
1+ai
seja real.
5) Um imaginário puro é um complexo cuja parte real é nula. Determine a real para que
imaginário puro.
2+ai
1−i
seja
6) Sejam z e w números complexos. Prove que:
(i) z = z;
(ii) z é real se, e só se, z = z;
(iii) z − w = z − w;
(iv) se z 6= 0, ( z1 ) = z1 ;
(v) se z 6= 0, ( wz ) =
(vi) se z 6= 0, | z1 | =
w
z;
1
|z| ;
(vii) se z 6= 0, | wz | =
|w|
|z| ;
(viii) se |z| = 1 então
(ix) se
1
z
1
z
= z;
= z então z = 1.
7) Dada a equação do segundo grau x2 + 2bx + c = 0 em que b e c são números reais, verifica-se
facilmente que as suas raı́zes são:
p
p
x1 = −b + b2 − c,
x2 = −b − b2 − c.
√
Se só dispusermos de números reais, pode não ser possı́vel efetuar a operação b2 − c. Entretanto,
usando complexos, toda a equação do segundo grau tem duas raı́zes. Achar as raı́zes complexas de
(i) x2 + 9 = 0;
(ii) x2 + 2x + 6 = 0;
(iii)
1
x+3
=
1
x
+ 13 .
8) Prove que:
(i) z + z é um número real;
(ii) a parte real de z − z é zero.
9) Se z +
1
z
= 1, calcule |z|.
10) Sendo a real, determine | 1−ai
1+ai |.
11) Sejam z1 , z2 e z3 números complexos. Se |z2 | =
6 |z3 |, prove que
z1 |z1 |
z2 + z3 6 ||z2 | − |z3 || .
√
12) Mostre que |z| 2 > |Re(z)| + |Im(z)|.
13) Prove que se |z| = |w| = 1 e 1 + zw 6= 0, então
z+w
1+zw
é real.
14) Se z é um número complexo tal que |z| = 1, isto é, tal que zz = 1, calcule
|1 + z|2 + |1 − z|2 .
15) Represente na forma trigonométrica os seguintes números complexos:
√
√
√
(i) z = −3 (ii) z = 6 + 8i (iii) z = −4i (iv) z = 1 + 3i (v) z = − 2 − 2i.
16) Mostre que se z = r(cos θ + i sen θ) então z = r(cos(−θ) + i sen (−θ)).
17) Qual é a relação que liga os argumentos de z1 = 3 − 2i e z2 = −3 + 2i ?
18) Em aula, calculamos as n-ésimas raı́zes da unidade, isto é, descobrimos os n-distintos valores
de z tais que z n = 1, por isso raı́zes da unidade. No entanto, podemos calcular as n-ésimas raı́zes de
um número complexo qualquer. Com argumentos análogos ao que fizemos em aula, chegamos que as
n-raı́zes distintas de um complexo zo = r(cos θ + i sen θ), isto é, os n-distintos valores de z para os
√
1/n
quais z n = zo ou z = zo = n zo são dados por
√
θ + 2kπ
θ + 2kπ
n
z = r cos
+ i sen
, k = 0, 1, · · · , n − 1.
n
n
De posse disto, calcule as seguintes raı́zes e represente graficamente:
(i) (2i)1/2 (ii) (−i)1/3 (iii) 81/6 .
√
√ √
Respostas: (i) ±(1 + i), (iii) ± 2 e (±1 ± i 3)/ 2.