Sexta lista de exerc´ıcios —´Algebra linear - MAT-UnB

10.11.2007
Sexta lista de exercı́cios — Álgebra linear
Depto. de Matemática – UnB
1. Verifique se existem transformações lineares cartesianas T : Rm → Rn tais que satisfaçam as
condições abaixo. Se não existirem, justifique porquê. Se existir somente uma, forneça-a, se
existir mais de uma, forneça pelo menos duas.
a)
T (1, −1, 1) = (1, 0)
T (1, 1, 1) = (0, 1)
b)
T (1, −1)
= (1, 0)
T (2, −1) = (0, 1)
T (−3, 2)
= (1, 1)
c)
T (2, −1)
= (1, 3)
T (1, 1)
= (2, 3)
T (−1, −4) = (−5, −6)
d)
T (2, −1)
= (2, 3)
T (1, 1)
= (1, 3)
T (−1, −4) = (−5, −6)
e)
T (2, −1)
= (1, 3)
T (1, 1)
= (2, 3)
T (−1, −4) = (5, −6)
f)
T (1, 2, 2)
= (2, 2, 2)
T (3, 4, 1) = (6, 6, 6)
2. Forneça uma matriz associada, o núcleo e a imagem das transformações lineares cartesianas do
exercı́cio anterior.
3. Para cada um dos espaços vetoriais cartesianos V abaixo, forneça um operador linear cartesiano
T : V → V tal que ele tenha mesmo núcleo e imagem:
a)
V
:= R4

1
0

:= S 
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0

0
0

0

0
1
b)
V
c)
V
:=
⊥
(0, 1, 0, 0, 0)
d)
V
:=
⊥
(1, 1, 1, 1, 1)
4. Para
V
:=
S
−1
0
−1
1
1
1
−2
0
,
forneça uma base para o seu espaço ortogonal V ⊥ e também dois operadores lineares cartesianos
R, S : R4 → R4 tais que Ker(R) = Im(S) = V e Ker(S) = Im(R) = V ⊥. Forneça também as
matrizes associadas a estes operadores.
5. Para V um espaço vetorial cartesiano sobre o Rn, T : V → V um operador linear cartesiano e
k ∈ N∗ , defina T k := T
| ◦ T ◦{z· · · ◦ T}. Para os dois conjuntos de cada item abaixo, decida (e depois
k vezes
demonstre) qual dos casos ocorre: um está obrigatoriamente condito no outro, ou vice–versa, ou
são ambos iguais, ou nenhuma destas alternativas.
a)
Ker(T ) e Ker(T k )
b)
Im(T ) e Im(T k )
1
6. Forneça um operador linear cartesiano T : R3 → R3 e a sua matriz associada tal que satisfaça
cada um dos casos abaixo:
a) Im(T ) = S (−1, 1, 0)(0, 1, 2)
e Ker(T ) = S (2, 1, 2)
b) Tenha a imagem como sendo o espaço vetorial cartesiano ortogonal à reta r passando pela
origem e de direção (1, 1, 1) e o núcleo igual a r.
c) Tenha agora o núcleo como sendo o espaço vetorial cartesiano ortogonal à reta r do item
anterior e a imagem igual a r.
7. Descreva o operador linear cartesiano T : R2 → R2 tal que T (1 ~e) = (a, b) e T (2 ~e) = (c, d).
Forneça (e justifique) condições necessárias e suficientes para que:
a)
Im(T ) = R2
b)
Ker(T ) = R2
8. Para o operador linear cartesiano T : R2 → R2 definido por T (x, y) := (5x + 4y, −3x − 2y), ache
vetores não–nulos ~v , w
~ ∈ R2 tais que T (~v ) = ~v e T (w)
~ = 2w.
~ Seria possı́vel achar outro vetor
2
não–nulo ~u ∈ R tal que T (~u) = z~u, com z ∈ R, z 6= 1, 2?
Dica: Faça um sistema sobre as coordenadas dos vetores.
9. Sejam V ⊆ Rm e W ⊆ Rn dois espaços vetoriais cartesianos e T : V → W uma transformação
linear cartesiana. Mostre que são equivalentes:
a) T é injetora
ou seja, ∀~v , ~u ∈ V, T (~v ) = T (~u) =⇒ ~v = ~u
b) Ker(T ) = {~0} (i.e., dim(Ker(T )) = 0)
c) T leva conjuntos L.I.’s em conjuntos também L.I.’s. (ou seja, A ⊆ V é L.I. =⇒ T [[A]] é L.I.)
d) Se B ⊆ V é uma base, então T [[B]] ⊆ Im(T ) também é uma base e de mesma cardinalidade
que B.
(lembrando que V tem dimensão finita)
e) dim(Im(T )) = dim(V )
10. Se V é um espaço vetorial cartesiano sobre Rm de dimensão no mı́nimo (≥) 2, mostre que uma
função f : V → Rn é uma transformação linear cartesiana sse todo sub–espaço vetorial cartesiano
W ⊆ V de dimensão 2 tem que f↾W é uma transformação linear cartesiana.
11. a) Fixando-se m ∈ N∗ , mostre que uma função f : Rm → R é uma transformação linear
cartesiana (chamada de funcional linear cartesiano n–ário) sse existe um único ~a ∈ Rm tal
que
f (~v ) = T~a (~v ) := h ~a, ~v i , ∀~v ∈ Rm.
b) Estabeleça uma relação biunı́voca entre todos os funcionais lineares cartesianos m–ários e o
espaço vetorial cartesiano Rm. Em outras palavras, mostre que a relação definida acima é
bijetora.
12. Demonstre uma relação biunı́voca entre todas as transformações lineares cartesianas T : Rm →
Rn (note que o domı́nio é todo V := Rm ) e todas as matrizes (associadas) A ∈ Mn×m (R).
Dica: Vide exercı́cio anterior.
13. Mostre dois exemplos, um satisfazendo a afirmação abaixo e outro não satisfazendo:
I. Se T : Rn → Rn é um operador linear cartesiano, A := ( 1~a 2~a · · · k ~a ) é uma base de
.
Ker(T ) e B := ( 1~b 2~b · · · ℓ~b ) é uma base de Im(T ), então A ∪ B é uma base do Rn.
2
14. Descreva (justificando a resposta) todas os(as) possı́veis:
a) transformações lineares cartesianas do tipo T : R → Rn .
b) funcionais lineares cartesianos f : Rm → R.
15. Se V ⊆ Rm é um espaço vetorial cartesiano e T : V → Rn é uma transformação linear cartesiana,
demonstre ou dê contra–exemplo:
a) Se X ⊆ V é um conjunto L.I., então T [[X]] ⊆ Rn também é L.I..
b) Se Z ⊆ Im(T ) é L.I., então T (−1) [[Z]] ⊆ V também é L.I..
c) Se X ⊆ V é um conjunto com T [[X]] ⊆ Rn L.I., então X também é L.I..
d) Suponha agora que os conjuntos X e Z dos três itens anteriores sejam finitos.
e) Refaça os quatro itens anteriores utilizando L.D. ao invés de L.I..
f ) Se T é um operador linear cartesiano (i.e., n = m e Im(T ) ⊆ V ), então
Im(T ) ∩ Ker(T ) = {~0}
⇐⇒
Ker(T 2 ) ⊆ Ker(T ).
g) Se dim(Im(T )) = n, então T é injetora.
h) Se T é injetora, então dim(V ) ≤ n.
i) A imagem inversa de um conjunto L.D. contido na Im(T ) é L.D..
j) Temos que T leva conjuntos L.D.’s em conjuntos L.D.’s.
k) Se T é injetora, leva conjuntos L.I.’s em conjuntos L.I.’s.
l) A imagem de um conjunto convexo é convexo.
m) Se ~v é gerado por 1~a, 2~a, . . . , k ~a ∈ V , então T (~v ) é gerado por T (1~a), T (2~a), . . . , T (k ~a) ∈
Im(T ).
n) Se T (~v ) ∈ Im(T ) é gerado por T (1~a), T (2~a), . . . , T (k ~a) ∈ Im(T ), então ~v ∈ V é gerado por
a, 2~a, . . . , k ~a ∈ V .
1~
o) Se U ⊆ Rn é um espaço vetorial cartesiano, então T (−1) [[U ]] é um sub–espaço vetorial cartesiano de V .
p) Se B gera V , então T [[B]] gera Im(T ).
q) Se A gera Im(T ), então T (−1) [[A]] gera V .
r) Se W ⊆ V é um sub–espaço vetorial cartesiano, então dim(W ) ≥ dim(T [[W ]]).
s) Se U ⊆ Im(T ) é um sub–espaço vetorial cartesiano, então dim(T (−1) [[U ]]) ≥ dim(U ).
t) Troque a desigualdade dos dois itens anteriores por ≤.
u) Se T é um operador linear cartesiano (i.e., n = m e Im(T ) ⊆ V ), então T 2 = 0 ⇔ T = 0.
(Aqui 0 : V → Rn é transformação linear cartesiana nula, que leva todo mundo à origem.)
v) Se B ⊆ V é base e T é injetora, então T [[B]] é um base de Im(T ) de mesma cardinalidade
que B.
w) Se B ⊆ V é base e T é sobrejetora, então T [[B]] é um base de Im(T ) de cardinalidade no
máximo (≤) a cardinalidade de B.
x) Temos que T é injetora sse dim(Ker(T )) 6= dim(V ).
y) Temos que T é sobrejetora sse dim(Im(T )) = dim(V ).
z) Se T é um operador linear cartesiano (i.e., n = m e Im(T ) ⊆ V ), A uma base de Ker(T ) e B
um base de Im(T ), então existem dois exemplos, um em que A ∪ B é uma base de V e outro
em que A = B não é base de V .
3
16. Se V ⊆ Rm é um espaço vetorial cartesiano e T : V → Rn é uma transformação linear cartesiana
com matriz associada A, então demonstre que
Ker(T )
=
V ∩
n
\
{A(i)T }⊥
=
⊥
V ∩ AT .
i:=1
Atenção: Certifique-se que você está justificando tudo, absolutamente tudo, com muita precisão e
cuidado.
Claus
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