Noção intuitiva de limite

Limite e continuidade
Noção intuitiva de limite
Considere a função f ( x ) = x 2 − 1. Esta função está definida para todo x ∈ℜ , isto é,
qualquer que seja o número real xo , o valor f ( xo ) está bem definido.
Exemplo 1. Se xo = 2 então f ( xo ) = f (2 ) = 2 2 − 1 = 3 . Dizemos que a imagem de xo = 2 é o valor
f (2 ) = 3 .
Graficamente:
x2 − 1
. Esta função está definida
x −1
∀x ∈ℜ − {1} . Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1.
Considere agora uma outra função
g (1) =
g( x ) =
12 − 1 0
= ???
1−1 0
Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a.
a
6
= c ⇔ bc = a . Por exemplo, = 2 ⇔ 3 ⋅ 2 = 6 .
3
b
0
= x ⇔ 0 ⋅ x = 0 , para qualquer valor de x ∈ ℜ , isto é, infinitos valores de x . Daí a
0
indeterminação no valor de x...
Se fizermos
0
simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas
0
serão tratados mais adiante.
Álvaro Fernandes
3
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta
função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte
pergunta:
Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos (ou numa vizinhança)
de 1, porém diferentes de 1?
A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa
vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer
valor atribuído a x determina imagem única, sem problema algum. Mas na função g, existe o ponto
x = 1 que gera a indeterminação.
x2 − 1
Estudemos os valores da função g( x ) =
quando x assume valores próximos de 1,
x −1
mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar as tabelas de aproximações.
Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1:
•
por valores de x pela direita:
•
por valores de x pela esquerda:
Tabelas de aproximações
As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma
função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores (pela esquerda) do que 1: (tabela A)
x
g(x)
0
1
0,5
1,5
0,75
1,75
0,9
1,9
0,99
1,99
0,999
1,999
0,9999
1,9999
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores (pela direita) do que 1: (tabela B)
x
g(x)
2
3
1,5
2,5
1,25
2,25
1,1
2,1
1,01
2,01
1,001
2,001
1,0001
2,0001
Observe que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para
isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, convencionaremos:
“O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”.
Simbolicamente escrevemos: lim g( x ) = 2
x →1
Álvaro Fernandes
ou
x2 − 1
lim
= 2.
x →1
x −1
4
Observação:
Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais.
∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela
esquerda, e denotamos simbolicamente por x → 1− . Temos então que:
lim− g( x ) = 2 ou
x →1
lim−
x →1
Obs: O sinal negativo no expoente do
no 1 simboliza apenas que x se
aproxima do número 1 pela esquerda.
x2 − 1
=2
x −1
∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela
direita, e denotamos simbolicamente por x → 1+ . Temos então que:
lim+ g( x ) = 2 ou
x →1
lim+
x →1
x2 − 1
=2
x −1
Obs: O sinal positivo no expoente
do no 1 simboliza apenas que x se
aproxima do número 1 pela direita.
Definição intuitiva de limite (para um caso geral)
Seja f uma função definida num intervalo I ⊂ ℜ contendo a, exceto possivelmente no
próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L ∈ℜ , e escrevemos
lim f ( x ) = L , se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais
x→a
à L, isto é, lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L . Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em
x→a
símbolo
lim f ( x ) .
x →a
x→a
Ainda com relação à função g( x ) =
lim
x →1
x2 − 1
, podemos então concluir, pela definição, que:
x −1
x2 − 1
x2 − 1
= 2 , porque os limites lateriais lim+
x →1 x − 1
x −1
e
lim−
x →1
x2 − 1
são iguais a 2.
x −1
De forma equivalente,
lim g( x ) = 2 porque
x →1
lim g( x ) = lim+ g( x ) = 2 .
x → 1−
x →1
Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função,
caso ele exista?
Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir.
Álvaro Fernandes
5
Cálculo de uma indeterminação do tipo
0
0
0
, deveremos simplificar* a
0
expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na
expressão já simplificada, o valor de x.
Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo
* Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, conjugado de radical, dispositivo prático
de Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc...
Vejamos os exemplos seguintes.
x2 − 1
.
Exemplo 2. Determine lim g( x ) , onde g( x ) =
x →1
x −1
0
que é uma indeterminação
0
matemática! Quando a variável x está cada vez mais próxima de 1, a função g está cada vez mais
próxima de quanto? Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a
substituição direta.
Observe que substituindo x por 1 na função g obtemos g (1) =
g (x ) =
x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1)
= ( x + 1), ∀x ≠ 1 Então:
=
(x − 1)
x −1
lim g ( x ) = lim
x →1
x →1
(x − 1)(x + 1) = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 .
x2 − 1
= lim
x →1
x − 1 x →1
x −1
Logo, lim
x →1
x2 − 1
= 2.
x −1
Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma
mais rápida e sistemática.
Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!!
x2 − 1
x2 − 1
= 2 significa que a função g( x ) =
está
Vale lembrar que a expressão lim
x →1
x −1
x −1
tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1.
Graficamente podemos verificar isso:
x2 − 1
, ∀x ≠ 1.
Gráfico da função g( x ) =
x −1
Álvaro Fernandes
6
Exemplo 3. Determine lim
x →1
0
x −1
(observe a indeterminação matemática no ponto x = 1 ).
0
x −1
2
x −1
x −1 x +1
= lim 2
⋅
= lim
x − 1 x →1 x − 1
x + 1 x →1
lim
2
x →1
(x − 1)
(x − 1)(x + 1)(
)
x +1
= lim
x →1
1
(x + 1)(
)
x +1
=
1
.
4
x −1
está cada vez
x −1
mais próximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.
Se você construir as tabelas de aproximações, constatará que a função y =
2
0
x3 − 8
Exemplo 4. Determine lim
(observe a indeterminação matemática no ponto x = 2 ).
x →2 3 x 2 − 12
0
(
)
)
x3 − 8
x3 − 23
=
lim
= lim
3 x 2 − 12 x→2 3 x 2 − 4 x→2
lim
x →2
(
(x − 2 )(x 2 + 2 x + 4 ) = lim
x →2
3( x − 2 )( x + 2 )
(x
)
+ 2 x + 4 12
=
=1
3( x + 2 )
12
2
Constate através das tabelas de aproximações que se x → 2 então y =
x3 − 8
→ 1.
3 x 2 − 12
0
2x3 + 3x − 5
Exemplo 5. Determine lim 2
(observe a indeterminação matemática no ponto x = 1 ).
x →1 4 x − 3 x − 1
0
Vamos resolver este limite usando o dispositivo prático para dividir polinômios de Briot-Ruffini.
Precisaremos antes do...
Teorema de D’Alembert: Um polinômio f ( x ) é divisível por ( x − a ) , a ∈ ℜ , se, e somente se, a
é uma raiz de f ( x ) , isto é, f (a ) = 0 .
(x − a )
q(x )
f (x )
r (x )
⇒ f ( x ) = ( x − a ) ⋅ q( x ) + r ( x ) . Assim, f (a ) = 0 ⇔ r (a ) = 0 .
Como o ponto x = 1 anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis
por x − 1 . Assim,
2x3 + 3x − 5
= lim
lim 2
x →1 4 x − 3 x + 1
x →1
2 x3 + 3x − 5
(x − 1)
2
4 x − 3x − 1
(x − 1)
2 x 2 + 2 x + 5 2(1) + 2(1) + 5 9
= (* ) = lim
=
= .
x →1
4x + 1
4 (1) + 1
5
2
(* ) Usamos então o dispositivo de Briot- Ruffini para dividir estes polinômios...
1
2
2
0
2
3
5
-5
0 = resto
ax 2 + bx + c = 2 x 2 + 2 x + 5
1
4
4
-3
1
-1
0 = resto
ax + b = 4 x + 1
Obs.: Faça uma revisão deste dispositivo num livro de matemática do ensino médio.
Álvaro Fernandes
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Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites.
Produtos notáveis:
1º) Quadrado da soma: (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 .
2
2º) Quadrado da diferença: (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 .
3º) Produto da soma pela diferença: (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 .
2
4º) Cubo da soma: (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
3
5º) Cubo da diferença: (a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 .
3
Fatorações:
6º) Fator comum: ax ± ay = a ( x ± y ) .
7º) Diferença de quadrados: a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) .
8º) Trinômio do 2º grau: ax 2 + bx + c = a(x − x' )( x − x' ' ) , onde x' e x' ' são as raízes obtidas pela


−b± ∆
, onde ∆ = b 2 − 4 ac  .
fórmula de Bháskara  x =
2a


3
3
2
2
9º) Soma de cubos: a + b = (a + b ) a − ab + b .
10º) Diferença de cubos: a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 .
(
(
)
)
Conjugado de radicais:
a− b é
11º) Conjugado de
12º) Conjugado de
3
a −3 b é
a + b , pois
3
(
a 2 + 3 ab + 3 b 2
) ( a + b )= a − b .
, pois ( a − b )⋅ ( a + ab +
a− b ⋅
3
3
3
2
3
3
)
b2 = a − b .
Proposição (unicidade do limite).
Se lim f ( x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 , então L1 = L2 . Se o limite de uma função num ponto existe,
x→a
x→a
então ele é único.
Principais propriedades dos limites.
Se lim f (x ) e lim g ( x ) existem, e k é um número real qualquer, então:
x→a
x→a
a) lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f (x ) ± lim g ( x ) .
x→a
x→a
x→a
b) lim k . f ( x ) = k .lim f ( x ) .
x→a
x→a
c) lim [ f (x ) ⋅ g (x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g (x ) .
x→a
d) lim
x→a
x→a
x→a
f (x )
f ( x ) lim
= x→a
, lim g ( x ) ≠ 0 .
g (x ) lim g ( x ) x →a
x→a
e) lim k = k .
x→a
Álvaro Fernandes
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Exemplo 6. Calcule lim
x →1
x2 −7
usando as propriedades.
2x + 4
x 2 − 7 1 lim x 2 + lim − 7 1 (1)2 + (− 7 ) − 6
x2 −7
x2 −7
1
x 2 − 7 1 lim
x →1
x →1
lim
= ⋅
=
= −1
= ⋅ x→1
= lim
= ⋅ lim
= ⋅
→
x →1 2 x + 4
x →1 2( x + 2 )
x
1
2
x + 2 2 lim x + 2 2 lim x + lim 2
2
1+ 2
6
x →1
Ufa, quanto trabalho!!!
−6
= −1 .
6
x →1
x →1
Bastaria substituir o ponto x = 1 diretamente na expressão, obtendo logo
Atividades (grupo 1).
Calcule os limites abaixo:
4 − x2
a) lim
x →−2 2 + x
x3 − 1
x →1 5 x − 5
x2 − 4x + 3
b) lim 2
x →3 x − x − 6
d) lim
8 + x3
x →−2 4 − x 2
e) lim
x 4 − 16
8 − x3
1 − x2
g) lim
x →−1 x + 2 + x
h) lim
2− x−3
x 2 − 49
x→2
x →7
c) lim
f) lim
x →1
i) lim
x →4
x −1
x −1
3− 5+ x
1− 5 − x
Atividades (grupo 2).
Calcule os limites indicados:
 x 2 − 1, x ≤ 0
a) f ( x ) = 
,
 x + 1, x > 0
x2 , x ≠ 2
,
3 , x = 2
calcule: lim f ( x ) , lim f ( x ) e lim f ( x ) .
x →−1
x →2
x →0
b) g( x ) = 
calcule: lim g( x ) .
4 − x 2 , x < 1
c) h( x ) = 
,
5 − 2 x , x > 1
calcule: lim h( x ) .
2 x , x < 0

d) l ( x ) = 1 − x 2 , 0 ≤ x < 2 ,

2 x − 6 , x ≥ 2
calcule: lim l ( x ), lim l ( x ), lim l ( x ) e
Álvaro Fernandes
x →2
x →1
x →0
x→2
x → −∞
lim l ( x ) .
x → +∞
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