Capítulo III: Limites e continuidade

Capítulo 3
Limites e continuidade
3.1
Limite no ponto
x−1
Considere a função f (x) = √
, Df = [0, 1[∪]1, +∞). Observe que esta
x−1
função não é definida em x = 1. Contudo, fazendo x suficientemente próximo
de 1 (mas não igual a 1), mais próximo de 2 serão os valores de f .
x
x−1
f (x) = √
x−1
0
0,25
0,5
0,75
0,9
0,99
0,999
1
1,5
1,707
0,866
1,948
1,994
1,999
Nesse caso, dizemos que f tem por limite 2 quando x tende para 1 e escrevemos
lim f (x) = 2
x→1
Observe que
√
x−1
(x − 1)( x + 1) √
f (x) = √
=
= x+1
∀ x ≥ 0, x �= 1
x−1
x−1
√
Se definirmos g(x) = x + 1, vemos que f e g coincidem quando x ∈ Df , mas
g é bem definido em x = 1 e temos lim g(x) = 2 = g(1). Isso indica que g é
x→1
contínua em 1.
Definição 3.1. Seja f uma função definida num intervalo aberto I contendo a,
exceto, possivelmente no próprio a. O limite de f (x) quando x se aproxima
de a é l, notado por
lim f (x) = l
x→a
se |f (x) − l| puder se tornar tão pequeno quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a (i.e. tornando |x − a| tão pequeno
quanto necessário, contando que |x − a| > 0).
19
20
CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
3.1.1
Limites e operações
Proposição 2. Suponha os limites lim f (x) = l1 e lim g(x) = l2 existirem e
x→a
x→a
forem finitas, então:
a) lim [f + g] (x) = lim f (x) + lim g(x) = l1 + l2
x→a
x→a
x→a
b) lim [f − g] (x) = lim f (x) − lim g(x) = l1 − l2
x→a
x→a
x→a
c) lim [f.g] (x) = lim f (x). lim g(x) = l1 l2
x→a
x→a
x→a
lim f (x)
f
l1
(x) = x→a
= , se l2 �= 0
x→a g
lim g(x)
l2
d) lim
x→a
x
x2 − 25
, lim x2 + 7x − 5, lim
.
x→4 −7x + 1 x→3
x→5 x − 5
Exemplos. Ache lim
Proposição 3. Sejam a, l1 , l2 ∈ R. Se f e g são duas funções contínuas que
verificam

 lim f (x) = l1
x→a
 lim g(x) = l2
x→l1
então lim g ◦ f (x) = l2 .
x→a
Conseqüências:
n
a) lim (f (x)) =
x→a
b) lim
x→a
�
n
f (x) =
Exemplo. lim1
x→ 2
3.1.2
�
lim f (x)
x→a
�
n
�
�n
lim f (x), desde que lim f (x) ≥ 0 se n for par
x→a
2x − 1
=
4x2 − 1
x→a
�
1
2
Continuidade
Definição 3.2. Dizemos que uma função f é contínua num ponto a quando as
seguintes condições estão satisfeitas:
a) f está definida em a (ou seja, a ∈ Df )
b) f (x) tem limite com x → a e esse limite é igual a f (a): lim f (x) = f (a)
x→a
Dizemos que f é contínua num intervalo I se é contínua em cada ponto de I.
Proposição 4. Sejam f e g duas funções contínuas num intervalo I e k ∈ R.
• f + g é contínua em I.
3.1. LIMITE NO PONTO
21
• k.f é contínua em I.
• f.g é contínua em I.
• Se além das hipóteses g não zera em I, então
1 f
e
são contínuas em I.
g g
Proposição 5. Se f é contínua num intervalo I e g contínua num intervalo J
contendo f (I). Então f ◦ g é contínua em I.
Pelas proposições acima, podemos dizer que todas funções com que lidaremos
nesse curso serão contínuas em seu domínio (e mesmo, em geral deriváveis).
Teorema 3.1. Toda função algébrica é continua no seu domínio.
�
2x + 8
Exemplo. f (x) =
é contínua em Df = [−4, 1[∪]1, +∞)
2
x − 2x + 1
As dificuldades se encontram então no bordo do domínio (no exemplo acima
em x = 1 e no infinito que abordaremos em seguida), ou nos pontos de transições pelas funções definidas por parte.
Pode acontecer que a falta de continuidade num ponto fora do domínio seja
artificial. Como por exemplo a função f dada na introdução que não é contínua
em x = 1 somente porque não está definida neste ponto. Porque não definir
f em 1 como sendo igual a 2? Isto é perfeitamente natural e sempre que uma
função tiver limite finito quando x → a, é natural definir f em a como sendo
esse limite:
f (a) := lim f (x).
x→a
Exemplos.
• f (x) =
x2 − 4
, x �= 4 ; lim f (x) = 8. Definimos f (4) = 8.
x→4
x−4
x2 + 8x − 20
, x �= 2, −1 ; lim f (x) = 4. Definimos f (2) = 4 (mas
x→2
x2 − x − 2
f fica indefinida em x = −1).
• f (x) =
Mas em geral, um ponto não pertence ao domínio porque a função não tem um
limite finito nesse ponto (como a função acima no ponto x = −1).
3.1.3
Limite infinito
Não sempre uma função tem um limite finito quando nos aproximamos de um
1
ponto dado. Observe o comportamento da função f (x) = (1+x)
2 quando x está
próximo de −1 (mas não igual a −1). Vemos que quando x se aproxima cada
vez mais de −1, f (x) cresce sem limitação.
22
CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
Definição 3.3. Seja f (x) uma função definida em um intervalo aberto contendo
a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que f (x) aumenta ilimitadamente a medida que x se aproxima de a, notado por
lim f (x) = +∞
x→a
se f (x) puder ser tornar maior que qualquer número positivo prefixado tomandose x suficientemente próximo de a, isso é |x − a| suficientemente pequeno mas
|x − a| =
� 0.
Definição 3.4. De modo semelhante podemos definir lim f (x) = −∞ quando
x→a
f (x) decresce ilimitadamente a medida que x se aproxima de a. Isso
é f (x) pode ser tornado menor do que qualquer número negativo prefixado
tomando-se |x − a| suficientemente pequeno e |x − a| > 0.
Exemplo. f (x) =
3.1.4
x−1
; lim f (x) = −∞
x2 x→0
Limites laterais
Algumas funções exibem comportamentos diferentes em cada um dos lados de
1
um ponto x = a. Por exemplo, a função inversa
não tem limite em 0, os
x
1
valores não cabem em nenhuma das definições acima porque a função cresce
x
quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado direito mas decresce se nos aproximamos pelo lado esquerdo... Por isso, aprimorando nossas definições, vamos
considerar o limite à direita e o limite à esquerda de uma função num dado
ponto.
Denotando 0+ para significar que x se aproxima de 0 por valores superiores e 0−
para significar que x se aproxima de 0 por valores inferiores, poderemos escrever
1
1
lim
= −∞ e lim
= +∞.
−
+
x→0 x
x→0 x
Definição 3.5. Seja f uma função e a um número real; λ pode ser um número
real, −∞ ou +∞. Dizemos que λ é o limite à esquerda de f quando x tende
para a, e escrevemos
lim− f (x) = λ
x→a
se nas definições de limite vale x − a > 0.
Definição 3.6. Dizemos que λ é o limite à direita de f quando x tende para
a, e escrevemos
lim+ f (x) = λ
x→a
se nas definições de limite vale x − a < 0.
3.1. LIMITE NO PONTO
23
Exemplos.
• f (x) =
2x + 1
, determine lim f (x) e lim f (x).
x
x→0−
x→0+
|x|
, determine lim− f (x) e lim+ f (x). Esboce o gráfico de f .
x
x→0
x→0

se x < 3
 x
√+ 5
2
• f (x) =
9 − x se − 3 ≤ x ≤ 3 , determine lim − f (x), lim + f (x),

x→−3
x→−3
5−x
se 3 < x
lim f (x) e lim f (x).
• f (x) =
x→3−
x→3+
O limite definido as seções anteriores é dito limite bilateral. O limite bilateral
existe se e só se ambos limites laterais existem e coincidem:
lim f (x) = λ ⇔ lim f (x) = λ = lim f (x).
x→a
x→a−
x→a−
Definição 3.7. Se o limite de f em a ou a+ ou a− é o infinito, dizemos que a
curva y = f (x) tem a reta x = a como assíntota vertical.
Exemplo. O eixo vertical x = 0 é assíntota vertical da função inversa.
3.1.5
Operações com limites infinitos e indeterminações
lim f (x)
lim g(x)
h(x) =
lim h(x)
+∞
+∞
f (x) + g(x)
+∞
+∞
+∞
f (x) − g(x)
indeterminado
+∞
l
f (x) + g(x)
+∞
+∞
+∞
f (x).g(x)
+∞
+∞
l �= 0
f (x).g(x)
±∞
±∞
0
f (x).g(x)
indeterminado
l
±∞
f (x)/g(x)
0
±∞
±∞
f (x)/g(x)
indeterminado
+∞
l �= 0
f (x)/g(x)
±∞
l �= 0
0±
f (x)/g(x)
±∞
0
0
f (x)/g(x)
indeterminado
Os limites indeterminados precisem um estudo caso por caso.
As indeterminações do tipo 0/0 são freqüentemente assimiláveis a derivadas.