gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. MARCOS
www.professorwaltertadeu.mat.br
EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO
1) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede
vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, qual a distância do topo da escada ao
chão?
GABARITO:
O comprimento da escada é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela
parede, distância do topo da escada ao chão e o comprimento da escada.
Aplicando a razão do seno, temos:

sen30º 

sen30º 

d
2  d  1  d  2  1  1m
1
2 2
2
2
2) Num triângulo retângulo  é um ângulo agudo e cos =
2
5
GABARITO:
Aplicando as relações fundamentais, temos:
sen 2  cos 2   1
2

2
2
 sen      1 

2
cos


5

i) 
5
sen 2  1 
4
 sen 
25
25  4
21

25
5

21
21
sen 
sen

21 5
21
5  tg 
ii) 
 5 
. 
2
cos 
5 2
2
cos   2

5
5
3) Sabendo-se que cos = 3/5 e 0 < < /2, determine tg.
GABARITO:
. Calcule sen e tg.
sen 2  cos 2   1
2
9
25  9
16 4

 3
2
2

sen


 sen 


   1  sen   1 

3
5
25
25
25
5
cos





5

4
sen 5 4 5 4
tg 
  . 
cos  3 5 3 3
5
4) De dois observatórios, localizados em dois pontos X e Y da superfície da Terra, é
possível enxergar um balão meteorológico B, sob ângulos de 45° e 60°, conforme é
mostrado na figura abaixo.
Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X e Y, calcule a altura h, em
quilômetros, do balão à superfície da Terra.
GABARITO:
Identificando os triângulos retângulos na figura, podemos aplicar as relações:
i) tg 45º  h  1  h  d  h
d
ii) tg 60º 
d
h
h
 3
 h  30 3  d 3
30  d
30  d
Igualando (i) e (ii), temos:
d  30 3  d 3  d ( 3  1)  30 3  d 
d
30 3
( 3  1)

30 3 

3 1
( 3  1)( 3  1)
30(3  3 ) 30(3  3 )

 15(3  1,7)  (15)  (1,3)  19,5km.
3 1
2
Logo, h = d = 19,5km.
5) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um
observador, no pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo  em relação ao topo do
edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que
RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um
ângulo  em relação ao ponto Q no edifício Y.
Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 tg = 4 tg , calcule a altura h do
edifício Y, em metros.
GABARITO:
Observando os triângulos QPT e QRS, calculamos as tangentes de  e :
QT
QS h  10
h
tg 


e tg 
.
PT PT
RS
PT
h
h  10
 4.
Como 3tg = 4tg, temos: PT
PT
3h  4h  40  h  40m
3.
6) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de
uma escada rolante, conforme a figura a seguir. Determine a altura H, em metros,
atingida pela pessoa, ao chegar ao segundo pavimento.
GABARITO:
A altura do pavimento forma um ângulo de 60º com a escada rolante. No
triângulo retângulo formado temos hipotenusa valendo 10m e cateto com mesma
medida da altura. Temos:
cat.adj H

cos 60º 


H 1
10
hip
10


  2 H  10  H 
 5m

10 2
2
cos 60º  1

2

7) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele
colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 210 metros do edifício e
mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do
teodolito está a 1,5 metros do solo, calcule a altura do edifício.
GABARITO:
A altura “H” do prédio será a soma da altura “h” do triângulo retângulo indicado
na figura e a distância da luneta do teodolito ao solo.
cat.op
h

tg3oº  cat.adj  200
h
3



 3h  210 3 

210
3
3
i) 
tg30º  3
h
210 3
 70 3m
3


ii) H  h  1,5  70 3  1,5  70(1,7)  1,5  120,5m
8) Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua
frente, sob o ângulo de 30º. Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa a ver esse
ponto sob o ângulo de 45º. Determine a altura aproximada da torre, em metros.
GABARITO:
Observe que foram formados dois triângulos retângulos. Em ambos o cateto
oposto aos ângulos de 30º e 45º é a altura da torre. Repare que na posição 2 o
triângulo é isósceles, logo h = d. Aplicando a razão trigonométrica da tangente
posição 1, temos:
h

3
h
tg30º 

 3h  3h  40 3 
d  40 

3
h

40
h  d
69,2
 3h  1,73h  40(1,73)  h 
 54,5
1,27
9) Nas figuras abaixo, calcule o valor da medida x. (Considere
.)
a)
x
15º
75
45º
GABARITO:
O ângulo oposto ao lado de 75 vale 180º - (15º + 45º) = 120º. Aplicando a Lei dos
Senos, temos:
x
75

x
sen 45º sen120º
2
2  75 2 . 2  75 2 ( 3 )  25.(2,4)  60
2
3
3
3. 3
2
75.
b)
B
76
4
x
A
6
C
GABARITO:
Aplicando a Lei dos Cossenos, temos:
( 76 ) 2  42  62  2(4)(6) cos x
76  16  36  48 cos x
76  52  48 cos x
24
1
24  48 cos x  cos x  
   x  120º.
48
2
10) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, AB = 3km, BC= 2km e a
medida do ângulo ABC seja de 120°.
a) Calcule a medida do lado AC do triângulo.
b) Calcule o raio dessa circunferência.
GABARITO:
i) O ângulo ABC está oposto ao lado AC. Aplicando a Lei dos Cossenos, temos:
2
 1
AC  (3) 2  (2) 2  2(3)( 2) cos 120º  9  4  12.    13  6  19  AC  19
 2
ii) Se o triângulo está inscrito na circunferência, então pela Lei dos Senos a razão
entre cada lado e o respectivo seno do ângulo oposto vale o diâmetro. Isto é, 2R.
Logo,
AC
19
2
2 19
19 3
57
 2R  2R 
 2 R  19.
R

.

sen120º
3
3
3
2 3
3 3
2
11) Algebrópolis, Geometrópolis e Aritmetrópolis são cidades do país Matematiquistão,
localizadas conforme a figura. A partir dos dados fornecidos, determine a distância
aproximada de Geometrópolis a Algebrópolis. Considere 2  1,4 .
GABARITO:
Encontrando o terceiro ângulo, aplica-se a Lei dos senos:
5
x
1
2

 x  5.
 x  5 2  x  5(1,4)  7km
sen30º sen135º
2
2
12) A figura abaixo mostra o corte lateral de um terreno onde será construída uma
_____
rampa reta, AC , que servirá para o acesso de veículos à casa, que se encontra na
parte mais alta do terreno. A distância de A a B é de 6 m, de B a C é de 10 m e o
ângulo ABC mede 120º. Qual deve ser o valor do comprimento da rampa em metros?
GABARITO:
Aplicação da Lei dos cossenos.
x 2  6 2  10 2  2(6)(10) cos 120º
 1
x 2  36  100  120.  
 2
x 2  136  60  x  196  14m.
13) Complete a tabela abaixo:
ARCO
1ª
QUADRANTE
DETERMINAÇÃO
SENO
COSSENO
TANGENTE
-1395º
7
3
GABARITO:
Utilizando as técnicas para encontrar a 1ª determinação, temos:
i) - 1395º ÷ 360º = - 3, resto - 315º
ii)
7 6 


3
3
3
14) Determine tgx sabendo que
3
3
 x  2 e senx   .
5
2
GABARITO:
O intervalo indicado é do 4º quadrante, onde o seno é negativo, cosseno positivo
e tangente negativa. Temos:
sen 2 x  cos 2 x  1
2
9

 3
     cos 2 x  1  cos 2 x  1 
 cos x 

3
25
 5
senx  
5

3

senx
3 5
3
tgx 
 5   
4
cos x
5 4
4
5
15) Se x 
25  9
16 4


25
25 5
3 cos x  2senx  tg 2 x
2
, calcule o valor da expressão y 
.
tgx  2sen 2 x  cos 4 x
3
GABARITO:
Substituindo o valor do argumento nas funções da expressão, temos:
 
 1   3 
 4 
 3   2 3 
 2 
 2 
 2 
3    2

tg


   
3 cos
  2sen
  tg 2


 3
2
2
3
2
2






3
3
3










y

 2 
 2 
 2 
 4 
 8 

3  1
tg
  2sen 2
  cos 4
  3  2sen
  cos   3  2 
   


 3 
 3 
 3 
 3 
 3 
 2   2

3 2 3  2 3 3
3 2
2
y
 2 
.
3
2 1
 2 3  2 3 1 1
2
2



16) Sabendo que tgx  2 e   x 
y
3
, calcule o valor da expressão
2
2 sec x. cos sec x
.
3 cot gx
GABARITO:
O intervalo aberto indicado é o 3º quadrante. Escrevendo a expressão em termos
de senos e cossenos e substituindo o valor informado, vem:
 1  1 
2
2
.

2 sec x. cos sec x
2
senx
2 1  2
cos
x
senx

  cos x.senx 
2
y
 
.
 .
  . sec x
2
3
cos
x
cos
x
3 cot gx
cos x.senx 3 cos x 3  cos x  3


3

senx
 senx 
2
2
2
10
y  . 1  tg 2 x  . 1  2 2  .5 
3
3
3
3




17) Determine o valor das expressões:
a) E 
sec 2040º  cos sec(
41
)
6
cot g 585º
GABARITO:
Encontrando os valores para os arcos côngruos, temos:
1
1
   2
1
cos 240º
2
41 36 5
5
41
5
1
1
ii)


 6 
 cos sec
 cos sec

 2
5 1
6
6
6
6
6
6
sen
6
2
1
1
iii) 585º  360º(1)  225º  cot g585º  cot g225º 
 1
tg225º 1
41
sec 2040º  cos sec
6   2  2  4
iv)
cot g585º
1
i) 2040º  360º5  240º  sec 2040º  sec 240º 
b) E =
GABARITO:
Encontrando os valores para os arcos côngruos, temos:
1
1
   2
1
cos 120º
2
9 8 

9

1
1
ii)

  2   cot g
 cot g 
 1
 1
4
4 4
4
4
4
tg
4
i) 1200º  360º3  120º  sec 1200º  sec 120º 
1
1
   2
1
sen150º
2
iii)  3750º  360º( 9)  210º  cos sec( 3750º )  cos sec( 210º )  cos sec(150º ) 
9
4   2 1   3  3
iv)
cos sec( 3750º )
2
2 2
sec 1200º  cot g
18) Se cos  
3
sen  tg 
e 3/2 <  < 2, calcule E 
.
5
cot g
GABARITO:
O arco é do 4º quadrante onde senα < 0, tgα < 0 e cotgα < 0.
Utilizando as relações trigonométricas, temos:
sen 2   cos 2   1
2
9
25  9
16
4

3
2
i) 

sen


 1  sen 2   1 
 sen  




3
25
25
25
5
5
cos  
5

4

sen
4
 45
ii) tg  
 5    .   
3
cos 
3
 53
5
1
1
3
iii) cot g 


4
tg 
4

3
4  4
      12  20  32
sen  tg 
5  3
32 4 128
15
iv) E 


 15 
. 
3
3
3
cot g
15 3
45



4
4
4
19) Se
e
, calcule os valores de
,
.
GABARITO:
O arco x pertence ao 2º quadrante onde a cotg < 0; secx < 0 e cossecx > 0.
Utilizando as relações trigonométricas, temos:
e
1

cos sec x  senx
1 3
i) 
 cos sec x  
2 2
senx  2

3
3
sen 2 x  cos 2 x  1
2
4
94
5
5

2
ii) 

 cos 2 x  1  cos 2 x  1   cos x  




2
9
9
9
3
3
senx 
3

 sec x 
1

cos x
cos x
iii) cot gx 

senx
1

3
5

3
5
.
5
5


5
3

5
3    5 . 3    5
 3 2
2
2


3
3 5
5
20) Resolva as equações abaixo:
a) 2 cos x  3  0
GABARITO:
Analisando as soluções da equação, temos:


x   2k
6

3

2 cos x  3  0  2 cos x  3  cos x 
 ou
;k  Z
2



x    2k  x   2    2k

6
6




11

Logo, S =  x  IR / x   2k  x 
 2k ; k  Z 

6
6

2
b) 2sen x  3senx  2  0
GABARITO:
Essa é uma equação do 2º grau. Substituindo senx  y , temos:
2 sen 2 x  3senx  2  0  2 y 2  3 y  2  0  y 
 3  3 2  4(2)( 2)  3  9  16  3  5



2( 2)
4
4


35 2 1
 x   2k

6

 y  4  4  2
1

 senx   ou
2
 y   3  5   8  2  1  indefinido


5

 x       2k 
4
4
 2k
6
6



5


 2k ; k  Z  .
Logo, S =  x  IR / x   2k  x 
6
6


.


 x  0
3

c) 2 cos
GABARITO:
 


 x     2k
 2k









3 2
2 cos  x   0  cos  x   0   x   2


3


3

3
3

3

  2k  x   
 2k
 2

3 2





11



x   2    2k

x


2
k

x



2
k

x
 2k



6






6
6
6




 x  7  2k x   7  2k x   2  7   2k x  5  2k

6
6
6



6 

x
d) 4  8sen   0
2
GABARITO:
 x 7

 2k

4
1
2
x
x
x
x
6
4  8sen   0  8sen   4  sen     sen     

8
2
2
2
2
2
 x  11  2k

6
2

 7 
7


x
 4k   4k
x  2. 6   4k


5

 



3
3


 S  x  IR / x   4k ou x 
 4k
3
3


x  2. 11   4k x  11  4k  5  4k


3
3

 6 

e) cos(2x) =
GABARITO:
2


2x  3  2k  x  3  k

1
cos(2x )    ou
2

4
2
2x 
 2k  x 
 k
3
3


2


S  x  IR / x   k ou x 
 k; k  Z
3
3


f) 2 cos 2 x  3 cos x  1  0 com 0  x   .
GABARITO:
3 1 1

cos x 


3  9  4(2)(1) 3  1 3  1 
4
2
2
2 cos x  3 cos x  1  0  cos x 




2(2)
4
4
cos x  3  1  1

4



k0x




3
i) x   2k  

3

k  1  x   2  7    Fora




3
3


x  3  2k
1

5
5
cos x   


2
x  5  2k  ii) x  3  2k  k  0  x  3    Fora



3


k  0  x  0
cos x  1  x  0  2k
iii) x  0  2k  
k  1  x  0  2  2    Fora




 
 S  0, 
 3
g) 2.(cosx)2 + 3.(cosx) – 2 = 0, com 0 < x < 2.
GABARITO:
Resolvendo a equação do 2º grau, temos:
35

cos x  4  2  Fora
 3  9  4(2)( 2)  3  25  3  5
i) cos x 



2(2)
4
4
cos x   3  5  2  1

4
4 2



k0x




3
x   2k  
3

k  1  x    2  7  2  Fora


3
3

1
ii) cos x   ou
2

5


k0x

3
x  5  2k  


3
k  1  x  5  2  11  2  Fora


3
3

  5 
Solução :  , 
3 3 