( lim).

CAPÍTULO 2
1 - LIMITES
Noção de limite de uma função
( 2 x + 1)( x − 1)
definida ∀x ∈ IR e x ≠ 1 , podemos dividir o numerador e o
Seja a função f(x) =
( x − 1)
denominador por (x -1), obtendo f(x) = 2x + 1. Estudaremos os valores de f(x) quando x assume
valores próximos de 1, mas diferentes de 1.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:
x
0
0,5
0,75
0,9
0,99
0,999
f(x)
1
2
2,5
2,8
2,98
2,998
Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:
x
2
1,5
1,25
1,1
f(x)
5
4
3,5
3,2
1,01
3,02
1,001
3,002
Na 1ª tabela temos que:
x = 0,9 → f(x) = 2,8 isto é, x – 1 = - 0,1 → f(x) – 3 = - 0,2
x = 0,99 → f(x) = 2,98 isto é, x – 1 = - 0,01 → f(x) – 3 = - 0,02
x = 0,999 → f(x) = 2,998 isto é, x -1 = - 0,001 → f(x) – 3 = - 0,002
Na tabela 2ª temos que:
x = 1,1 → f(x) = 3, 2 isto é, x – 1 = 0,1 → f(x) – 3 = 0,2
x = 1,01 → f(x) = 3, 02 isto é, x – 1 = 0,001 → f(x) – 3 = 0,02
x = 1,001 → f(x) = 3,002 isto é, x – 1 = 0,001 → f(x) – 3 = 0,002
Portanto, pelas duas tabelas vemos que:
x − 1 = 0,1 → f (x ) − 3 = 0,2
x − 1 = 0,01 → f (x ) − 3 = 0,02
x − 1 = 0,001 → f (x ) − 3 = 0,002
Ou seja, podemos tornar f(x) tão próximo de 3 quanto desejarmos, bastando tomarmos x
suficientemente próximo de 1.
Definição de limite:
Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente
no próprio número a.
O limite de f(x) quando x se aproxima de a é L, que pode ser escrito como :
lim f ( x)= L se para todo ε
x→a
> 0, mesmo pequeno, existir um δ > 0, tal que f ( x ) − L < ε sempre
que 0 < x − a < δ .
Em símbolos, temos:
lim f(x) = L ⇔ ( ∀ε > 0, ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε )
x→ a
No Exemplo anterior, temos que f(x) = 2x + 1 se x ≠ 1.
1
Exercício:
1) Seja a função f definida por f(x) = 5 x – 2, para todo x ∈ IR. Se
f(x) = 8, encontre um δ
lim
x→2
para
ε = 0,01, tal que 0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x ) − 8 < 0,01
Obs: Note que qualquer número positivo menor que δ pode ser usado no lugar de 0,002 como sendo o
δ pedido, isto é, se 0 < δ < 0,002 , a afirmação 0 < x − 2 < δ1 ⇒ f ( x ) − 8 < 0,001 é verdadeira,
porque todo número x que satisfaça a desigualdade 0 < x − 2 < δ1 , satisfará também a desigualdade
0< x−2 <δ.
Teorema (Unicidade do limite)
Se
f ( x ) = L1
lim
x→a
e
f ( x ) = L2 então
lim
x→a
L1 = L 2
Propriedades dos limites de funções:
Se
1)
f ( x) = L
lim
x→a
limx→ca=c
[
e
g ( x) = M
lim
x→a
(c ∈ IR)
]
2) lim c . f ( x ) = c . lim f ( x ) = c . L
x→ a
x→ a
3)
lim [( f . g )( x )] = lim f ( x ).lim g ( x ) = L .M
4)
lim [( f ± g )( x ) ] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = L ± M
x→ a
x→ a
5)
x→ a
x→ a
x→ a
f (x)
 f
 lim
x→ a
lim  ( )( x )  =
g(x)
x→ a  g
 lim
x→ a
x→ a
=
L
M
Se M ≠ 0
2


n
( f )( x ) = lim
 x → a
6)
[
lim
x→a
7)
[n
lim
x→a
]
]
n
f

( x ) = Ln

f ( x ) = n lim f ( x ) = n L
x →a
(n ∈ Z +* )
(n ∈ Z +* , e L > 0 quando n for par).
8) Se f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn, então
2
n
lim f(x) = a0 + a1x + a2x + ... + anx .
x→ a
Exemplos:
2
a)
lim ( 3 x − 5 x + 2 )
x→ 2
b)
lim
x →1
c)
lim
x → −2
d)
lim
x→ 2
 2x2 − x + 1 


 3x − 2 


3
x3 + 2 x 2 − 3x + 2
x2 + 4x + 3
x2 − 4
x2 − 2x
 x 2 − 3x + 2


e) Se f(x) =  x − 1


3
f)
se x ≠ 1
f ( x)
lim
x →1
Calcular
se x = 1
2 x3 + x 2 − 4 x + 1
lim
3
2
x →1 x − 3 x + 5 x − 3
3
1+ x − 2
x−3
g)
lim
x →3
h)
lim
x →2
i)
lim
3
x −4
x → 64
j)
lim
3
3x − 5 − 1
x→2
3x − 2 − 2
4x + 1 − 3
x −8
x−2
4
Limites Infinitos
Definição: Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja ainda uma função f definida em I-{a}.
Dizemos que quando x se aproxima de a, f(x) cresce ilimitadamente, o que é escrito lim f ( x) = +∞ ,
x →a
se para qualquer M > 0, existe δ > 0, tal que f(x) > M sempre que 0 < | x - a | < δ.
Em símbolos:
lim f ( x) = +∞ ⇔ ( ∀ M > 0, ∃ δ > 0 / 0 < | x - a | < δ ⇒ f(x) > M )
x→a
Definição: Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja ainda uma função f definida em
I-{a}.
Dizemos que quando x se aproxima de a, f(x) decresce ilimitadamente, o que é escrito
lim f ( x) = −∞ , se para qualquer M < 0, existe δ > 0, tal que f(x) < M sempre que
x →a
0 < | x - a | < δ.
Em símbolos:
lim f ( x) = −∞ ⇔ ( ∀ M < 0, ∃ δ > 0 / 0 < | x - a | < δ ⇒ f(x) < M )
x →a
Definição: Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja ainda uma função f definida em I-{a}.
Dizemos que quando x se aproxima de a por valores maiores que a, f(x) cresce ilimitadamente, o que é
escrito lim +
x →a
f ( x) = +∞ , se para qualquer M > 0, existe δ > 0, tal que f(x) > M sempre que
0 < x - a < δ.
Em símbolos:
lim
x →a +
f ( x) = +∞ ⇔ ( ∀ M > 0, ∃ δ > 0 / 0 < x - a < δ ⇒ f(x) > M )
Escrevendo em símbolos as definições de
lim f ( x) = −∞ , tem-se:
lim
x→a +
f ( x) = −∞ ,
x→a −
lim
x→a +
f ( x) = −∞ ⇔ ( ∀ M < 0, ∃ δ > 0 / 0 < x - a < δ ⇒ f(x) < M )
lim f ( x) = +∞ ⇔ ( ∀ M > 0, ∃ δ > 0 / - δ < x - a < 0 ⇒ f(x) > M )
x→a −
lim f ( x) = −∞ ⇔ ( ∀ M < 0, ∃ δ > 0 / - δ < x - a < 0 ⇒ f(x) < M )
x→a −
5
lim f ( x) = +∞
x→a −
e
Propriedades dos limites infinitos
lim f ( x) = +∞
Dados
Conclusão
lim g ( x) = +∞
lim ( f + g )( x) = +∞
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
lim f ( x) = −∞
lim f ( x) = +∞
x →a
lim f ( x) = −∞
x →a
lim f ( x) = +∞
lim g ( x) = −∞
lim ( f + g )( x) = −∞
+ ∞ se b > 0
lim ( f . g )( x) = 
x →a
 - ∞ se b < 0
− ∞ se b > 0
lim ( f . g )( x) = 
x →a
+ ∞ se b < 0
lim ( f . g )( x) = +∞
lim g ( x) = b ≠ 0
x→a
lim g ( x) = b ≠ 0
x→a
lim g ( x) = +∞
x →a
x →a
x →a
x →a
x→a
x →a
x →a
x →a
lim f ( x) = +∞
lim f ( x) = −∞
x →a
lim g ( x) = −∞
lim ( f . g )( x) = −∞
lim g ( x) = −∞
lim ( f . g )( x) = +∞
1
=0
x →a f ( x)
1
lim
=0
x →a f ( x)
1
lim |
| = +∞
x →a f ( x)
lim f ( x) = +∞
lim
x →a
lim f ( x) = −∞
x →a
lim f ( x) = 0
x →a
Não poderemos estabelecer uma lei para os seguintes casos:
Indeterminações do tipo: ∞ − ∞, ∞ .0 e ∞/∞ )
lim f ( x) = +∞
lim g ( x) = +∞
lim ( f − g )( x) = ?
x →a
x →a
x→a
x →a
x →a
x→a
x →a
x →a
x→a
lim f ( x) = −∞
lim g ( x) = −∞
lim f ( x) = +∞
lim g ( x) = −∞
lim f ( x) = +∞ (ou - ∞ )
lim g ( x) = 0
x →a
lim f ( x) = +∞ (ou - ∞ )
x →a
x →a
lim g ( x) = +∞ (ou - ∞ )
x→a
lim ( f − g )( x) = ?
lim ( f + g )( x) = ?
lim ( f . g )( x) = ?
x →a
f
lim ( )( x) = ?
x →a g
Obs: Estas proposições continuam válidas se substituirmos o símbolo " x → a " por " x → a + " ou
" x → a − ".
6
1) Seja a função f(x) =
2) Seja a função f(x) =
3) Seja a função f(x) =
1
(x − 1)
2
−1
(x − 1)
2
1
x −1
calcule o
lim f (x)
calcule o
lim f (x)
calcule o
lim f (x)
x→1
x→1
x→1
Limites no Infinito
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]a, + ∞ [. Dizemos que quando x cresce
ilimitadamente, f(x) se aproxima de L e escrevemos lim f ( x) = L , se para qualquer ε > 0, ainda
x→ + ∞
que pequeno, existe N > 0, tal que | f(x) - L | < ε sempre que
Em símbolos:
x > N.
lim f ( x) = L ⇔ ( ∀ ε > 0, ∃ N > 0 / x > N ⇒ | f(x) - L | < ε )
x→ + ∞
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ] − ∞ , a[. Dizemos que quando x
decresce ilimitadamente, f(x) se aproxima de L e escrevemos lim f ( x) = L , se para qualquer ε > 0,
x→ − ∞
ainda que pequeno, existe N < 0, tal que | f(x) - L | < ε sempre que
Em símbolos:
x < N.
lim f ( x) = L ⇔ ( ∀ ε > 0, ∃ N < 0 / x < N ⇒ | f(x) - L | < ε )
x→ − ∞
7
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]a, + ∞ [. Dizemos que quando x cresce
ilimitadamente, f(x) cresce também ilimitadamente e escrevemos lim f ( x) = +∞ , se para qualquer
x→ + ∞
M > 0, existe N > 0, tal que f(x) > M sempre que x > N.
lim f ( x) = +∞ ⇔ ( ∀ M > 0, ∃ N > 0 / x > N ⇒ f(x) > M )
Em símbolos:
x→ + ∞
Escrevendo em símbolos as definições de
lim f ( x) = −∞ , tem-se:
lim f ( x) = −∞ ,
x→ + ∞
lim f ( x) = +∞
e
x→ − ∞
x→ − ∞
lim f ( x) = −∞ ⇔ ( ∀ M < 0, ∃ N > 0 / x > N ⇒ f(x) < M )
x→ + ∞
lim f ( x) = +∞ ⇔ ( ∀ M > 0, ∃ N < 0 / x < N ⇒ f(x) > M )
x→ − ∞
lim f ( x) = −∞ ⇔ ( ∀ M < 0, ∃ N < 0 / x < N ⇒ f(x) < M )
x→ − ∞
Teorema: se n ∈ Ζ ∗+ então:
a-
lim x
n
= +∞
b-
x → −∞
x → +∞
c-
1
lim x
x → +∞
lim x
n
n
+ ∞ se, n é par
=
 - ∞ se, n é impar
=0
d-
1
lim x
x → −∞
n
=0
Teorema: Se F ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n , a n ≠ 0 , então:
lim F (x ) = lim a
x → +∞
x → +∞
n
xn e
lim F (x ) = lim a
x → −∞
x → −∞
n
xn .
Limite de uma função racional
P( x )
onde P e Q são polinôminos em x com
Q( x )
P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an – 1x + an
e
p
p-1
Q(x) = b0x + b1x + ...+ bn-1x + bp
Sendo a0 ≠ 0 e b0 ≠ 0. Tem-se então que:
Dada a função racional f(x) =
lim
x →∞
f ( x ) = lim
x →∞
P( x ) lim
P( x ) lim
a xn
= x →∞
= x →∞ 0 n , logo
Q( x ) lim Q( x ) lim b0 x
x →∞
x →∞
a
f ( x ) = 0 . lim x n − p
lim
b0 x → ∞
x →∞
Dependendo do valor de n e de p, três casos podem ser considerados:
1) n > p ⇒
f ( x) = ∞
lim
x →∞
2) n < p ⇒
f ( x) = 0
lim
x →∞
8
3) n = p ⇒
a
f ( x) = 0
lim
b0
x →∞
Exercícios:
lim (4 x − 7 x + 3) =
b) lim (− 3x + 2 x − 5 x + 3) =
c) lim (5 x − 4 x − 3 x + 2 ) =
d) lim (3 x − 7 x + 2 x − 5 x − 4 ) =
e) lim (4 − x ) =
f) lim (8 − x ) =
2
a)
x → +∞
3
2
x → +∞
3
2
4
3
x → −∞
2
x → −∞
2
x → +∞
3
x → −∞
g)
3x + 2
lim 5 x − 1 =
x → +∞
h)
lim
x→∞
i) Calcule
4x −1
−2=
3x 2 + 5x
lim
x → +∞
j)
 x −
lim
x → +∞ 
k)
lim (
x → +∞
x2 − 2x + 2
=e
x +1
lim
x → −∞
x2 − 2x + 2
=
x +1
x 2 − 1  =

)
x 2 + 3x + 2 − x =
9
Assíntotas verticais e horizontais
A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico da função y = F(x) se
lim F (x ) = b ou lim F (x ) = b .
x → +∞
x → −∞
A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico da função y = F(x) se
lim+ F (x ) = ±∞ ou lim− F (x ) = ±∞ .
x →a
x →a
Exemplos:
1- f ( x ) =
x+3
x+2
2- g ( x ) =
−8
x −4
2
Limites Notáveis:
Limites Trigonométricos:
Teorema:
lim sen x = sen a, ∀a ∈ R
x→a
lim cos x = cos a, ∀a ∈ R
x→a
π
lim tgx = tga, ∀a ≠ 2 + Κπ , Κ ∈ Ζ
x→a
10
Teorema: (limite trigonométrico fundamental)
sen x
=1
lim
x
x →0
Exercícios:
sen 2 x
=
lim
a- x → 0
x
b-
sen 3 x
lim sen 5 x =
x →0
c-
lim
x →0
1 − cos x
=
x2
Limites da Função Exponencial:
Teorema: Se a ∈ R e 0 < a ≠ 1, então :
lim a
x
=1
x →0
Teorema: Se a ∈ R e 0 < a ≠ 1, então :
x
b
lim a = a
x →b
Teorema: Se a ∈ R e a > 1, então :
lim a
x
= +∞
x → +∞
lim a
x
= −∞
x → −∞
Teorema: Se a ∈ R e 0 < a < 1, então :
lim a
x
=0
x → +∞
lim a
x
= +∞
x → −∞
Teorema: Se a ∈ R e 0 < a ≠ 1, e
lim f ( x)
= 0 então:
x →b
lim a
f ( x)
=1
x →b
11
Teorema: Se a ∈ R e 0 < a ≠ 1, e
lim f ( x)
= c então:
x→b
lim a
= ac
f ( x)
x →b
Exemplos:
x
2
  =
lim
x → +∞  3 
b) lim 3 x =
a)
x→+∞
x
c)
d)
2
  =
lim
x→−2  3 
lim 3
x 2 −1
x +1
=
x→−1
Limite Exponencial Fundamental
x
 1
1 +  = e = 2,7182818284590...
lim
x
x → ±∞ 
Tem-se ainda que:
1
lim (1 + x ) x
=e
e
x →0
Se a > 0, então
a x −1
= lna
lim
x
x →0
Exemplos:
 1
a- lim 1 + 
x
x → +∞ 
2x
 3
b- lim 1 + 
x
x → −∞ 
x
c-
1

1 + 
lim
3x 
x → −∞ 
 x + 2
d- lim 

x → +∞  x − 3 
x
x+2
=
12
Limites da Função Logarítmica:
Teorema: Se a ∈ R e 0 < a ≠ 1 , então
lim (log x ) = 0
a
x →1
Teorema: Se a ∈ R e 0 < a ≠ 1 , então:
lim (log a x ) = log a b onde b > 0
x →b
Teorema: Se a ∈ R e a > 1 , então:
lim (log a x ) = +∞ e lim (log a x ) = −∞
x →0 +
x → +∞
Teorema: Se a ∈ R e 0 < a < 1 , então:
lim (log a x ) = −∞ e lim (log a x ) = +∞
x →0 +
x → +∞
Teorema: Se a ∈ R e 0 < a ≠ 1 e
lim [log a f (x )] = log a c
lim f (x ) = 1 , então:
x →b
x →b
Continuidade
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I.
Dizemos que f é contínua em a, se lim f ( x ) = f (a ) .
x→a
Assim, se f é contínua em a, as 3 condições abaixo são satisfeitas:
(i ) existe f (a )
(ii ) existe lim f (x )
(iii )
x→a
lim f (x ) = f (a )
x→a
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I.
Dizemos que f é descontínua em a, se f não for contínua em a .
Assim, se f é descontínua em a, então as duas condições abaixo são satisfeitas:
(i ) existe f (a )
(ii ) não existe lim f (x ) ou lim ≠ f (a )
x→a
x→a
Exemplos:
 (2 x + 3)( x − 1)
se x ≠ 1

1- f ( x ) = 
x −1
2
se x = 1
13
3 + x se x ≤ 1
2- g ( x ) = 
3 − x se 1 < x
 1
se x ≠ 2

3- h( x ) =  x − 2
3
se x = 2
4- f (x ) =
x
x
 x 2 − 1 se x < 2
5- Verificar se h( x ) = 
é contínua em x = 2.
7
−
2
≥
2
x
se
x

Propriedades das funções contínuas
Se f e g são funções contínuas em um número a, então:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
f + g é contínua em a.
f − g é contínua em a.
f × g é contínua em a.
f
é contínua em a. [g (a ) ≠ 0]
g
14
Continuidade em um intervalo:
Diz-se que uma função é contínua em um intervalo aberto se e somente se ela for continua em todo
número do intervalo aberto.
Considere agora a função f ( x ) = 4 − x 2 .
f(x) é contínua ∀x ∈ ]− 2,+2[
Para indagar sobre a continuidade em x = ±2 , podemos estender o conceito de continuidade nos
extremos de um intervalo aberto.
Definição: Dizemos que f é contínua à esquerda no número a se e somente se as três condições abaixo
forem satisfeitas:
(i) f (a ) existe
(ii) lim f ( x ) existe
x→a −
(iii)
lim f (x ) = f (a )
x→a −
Definição: Dizemos que f é contínua à direita no número a se e somente se as três condições abaixo
são satisfeitas:
(i) f (a ) existe
(ii) lim f ( x ) existe
x→a +
(iii)
lim f (x ) = f (a )
x→a +
15