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Questão 01
Uma mola comprimida por uma deformação x está em contato com um corpo de massa m , que se encontra
inicialmente em repouso no Ponto A da rampa circular. O corpo é liberado e inicia um movimento sem atrito na rampa.
Ao atingir o ponto B sob um ângulo θ indicado na figura, o corpo abandona a superfície da rampa. No ponto mais
alto da trajetória, entra em contato com uma superfície plana horizontal com coeficiente de atrito cinético μ . Após
deslocar-se por uma distância d nesta superfície horizontal, o corpo atinge o repouso. Determine, em função dos
parâmetros mencionados:
a) a altura final do corpo H f em relação ao solo;
b)
a distância d percorrida ao longo da superfície plana horizontal.
Dados:
• aceleração da gravidade: g ;
•
•
constante elástica da mola: k ;
raio da rampa circular: h .
Resolução:
a)
Considere o esquema:
EMB  EMA
mvB2 kx 2

 m g h cosθ
2
2
kx 2
vB2 
 2 gh cosθ  I 
m
EMC  EMA
m  vc2
kx 2
 mg  H f 
 m g h.
2
2

kx 2
m  kx 2
m g .H f 
 mgh   
 2 gh  cosθ   cos 2 θ
2
2  m

b)
Hf 
kx 2
kx 2
2 mgh cos3 θ
h
cos 2 θ 
2 mg
2mg
2 mg
Hf 
kx 2
 1  cos 2 θ   h  h cos3 θ
2mg
Hf 
kx 2
sen 2θ  h  1  cos3 θ 
2mg
τ Fat  ΔEc
m . vc2
2
2


1 kx
μ g d  
 2 gh cosθ   cos 2 θ
2  m

μ m g d  
d

cos 2 θ  kx 2

 2 gh  cosθ 
2μg  m

Questão 02
Um corpo com massa m , inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal e preso a uma mola de constante
elástica k , representado na figura, recebe um impulso I , para a direita, dando início a um Movimento Harmônico
Simples (MHS). Inicialmente não existe atrito entre o corpo e a superfície horizontal devido à presença de um lubrificante.
Contudo, após 1000 ciclos do MHS, o lubrificante perde eficiência e passa a existir atrito constante entre o corpo e a
superfície horizontal. Diante do exposto, determine:
a) a máxima amplitude de oscilação;
b) o módulo da aceleração máxima;
c) a máxima energia potencial elástica;
d) a distância total percorrida pelo corpo até que este pare definitivamente.
Dados:
• massa do corpo: m  2 kg ;
•
impulso aplicado ao corpo: I  4 kg.m / s ;
•
•
constante elástica da mola: k  8 N / m ;
coeficiente de atrito: μ  0,1 ;
•
aceleração da gravidade: g  10 m / s 2 .
Observação:
• a massa da mola é desprezível em relação à massa do corpo.
Resolução:
2
a)
Pelo teorema do Impulso, temos:
I  Q  m  v  m  vo
I  m v  0
4  2 v
v  2 m/s
Conservação da energia
Em x0  Em x A
m . v 2 kA2

2
2
2  2 2  8  A2
b)
A2  1
A  1m
Aceleração máxima
FR  m  a
FRmáx  m  amáx
 kA  m  amáx
amáx
kA
m
8.1

2
 4 m/s 2
E pe

amáx 
amáx
c)
E pe
E pe
d)
máx
máx
kA2
2
8.1

2
 4J
máx
O corpo percorrerá a distância correspondente aos 1000 ciclos iniciais (4 metros cada ciclo), mais a distância  d  percorrida no
movimento com atrito.
Força dissipativa atuante.
fatc  μc  N  μ  mg (constante)
Logo o trabalho será:
τ fat   fat  d  μ  m g  d
Quando o corpo parar definitivamente, ele terá perdido toda a energia mecânica
τ fat  Δ Em
τ fat  Em f  Emo  0  4
τ fat  4J
μ  m  g  d  4
2d  4
d  2m
A distância total será:
D  1000 4  2  4002m
Questão 03
3
Um feixe de elétrons atravessa um capacitor carregado e furado em suas duas placas paralelas ao plano yz , sendo
acelerado durante a sua permanência no interior do capacitor, conforme as figuras. Logo após deixar o capacitor, o feixe
penetra em uma região do espaço sujeita a um campo magnético uniforme, conforme indicado nas figuras. Sabendo
que a coordenada x de qualquer elétron do feixe é não decrescente, determine:
a) o módulo da velocidade final dos elétrons;
b) as coordenadas do ponto onde o feixe deixa a região sujeita ao campo magnético;
c) a tensão E para que se obtenha θ  0 ;
d) os valores α e β tais que, para um valor muito alto de E , a coordenada x do ponto onde o feixe de elétrons
deixa a região do campo magnético possa ser aproximada por X saída  αEβ .
Dados:
• carga do elétron: q ;
• massa do elétron: m ;
• tensão aplicada ao capacitor: E ;
• capacitância do capacitor: C ;
• coordenadas do vetor campo magnético dentro da região ABCD : (0, 0,  B) ;
• comprimento dos segmentos AB e CD : L;
• comprimento dos segmentos BC e AD : infinito;
• velocidade inicial do feixe de elétrons: v0 .
Observações:
• todas as respostas não devem ser expressas em função de θ ;
• a trajetória do feixe antes de entrar no capacitor coincide com o semieixo x negativo;
• o campo elétrico no interior do capacitor é constante;
• não há campo gravitacional presente.
Resolução:
a)
Para os elétrons entre as placas do capacitor:
WRES  ΔEc
mv 2 mvo2

2
2
mv 2 mvo2
q .  E  

2
2
2qE
2
2
 v  vo
m
2qE
v  vo2 
m
q .U 
b)
Fm  q  v  B  sen 90º
Fm  q  v  B
Fm  Fcp
m v2
R
mv
R
1
q B
q vB 
Elevando-se ao quadrado todos os termos da equação 1 , temos:
R 2 q 2 B 2  m 2v 2
2qE 

R 2 q 2 B 2  m 2  vo2 

m 

R
m
2qE
vo2 
qB
m
4
Da figura anterior temos:
R 2   R  L   X c2
2
R 2  R 2  2 RL  L2  X c2
X c2  2 RL  L2
X c2 
2mL 2 2qE
vo 
 L2
qB
m
2mL 2 2qE
vo 
 L2
qB
m
Xc 
Logo, as coordenadas do ponto C são:


 2mL

2qE
2
2
C 
vo 
 L , L,0 
m
 qB
yc zc 


X
c


c)
Da figura anterior:
RL
sen θ 
R
R sen θ  R  L
L  R 1  sen θ 
Para θ  0 , sen 0  0 , então:
RL
m2  2 2qE 
2
 vo 
L
q2 B2 
m 
2qE L2 q 2 B 2

m
m2
2qE L2 q 2 B 2

 vo2
m
m2
L2 qB 2 mvo2
E

2m
2q
vo2 
d)
Para a tensão E muito grande, temos:
v2
m  v  vo2 
2
E
2q
 E
mv 2
2q
2mL 2qE

 L2
qB
m
Xc 
X c2  L2 
2mL 2qE
qB
m
X c2  L2 
8 mL2 E
qB 2
Se a tensão ‘E’ é muito grande, o raio ‘R’ também será, logo: X c  L 
X c2
1 8mL2 E
1  2
2
L
L
qB 2
X c2
1 8mL2 E
 2
2
L
L
qB 2
Xc 
4
8mL2 E
8mL2
1
4
E 4
2
qB
qB 2
Logo: X c  X saída
8 mL2 14
 E  α. E β
qB 2
Portanto:
4
α
4
1
8 mL2
e β
4
qB 2
5
Xc
 1
L
Questão 04
Considere a figura acima. A bobina I, com N1 espiras, corrente i e comprimento L , gera um campo magnético
constante na região da bobina II. Devido à variação da temperatura da água que passa no cano, surge uma tensão
induzida na bobina ll com N 2 espiras e raio inicial ro . Determine a tensão induzida na bobina II medida pelo voltímetro
da figura.
Dados:
• permissividade da água: ;
• coeficiente de dilatação da bobina: ;
• variação temporal da temperatura: b .
Observações:
•
considere que
r2
t
2rO
r
, onde
t
r e
t são respectivamente, a variação do raio da bobina II e a variação do
tempo;
• suponha que o campo magnético a que a bobina II está sujeita é constante na região da bobina e igual à
determinada no eixo central das bobinas.
Resolução:
Considerando que o campo magnético produzido pela bobina I é uniforme em toda a região interna, temos:
MN1i
B1
L
Aplicando a lei de Faraday-Newmam, temos:
N 2 B1 A
Eind
t
t
como N 2 e B1 não variam com o tempo:
Eind
Eind
r
r
t
Eind
r2
A
N 2 B1
t
t
r2
r
N 2 B1
N 2 B1 2rO
t
t
rO
T (devido ao aquecimento da água)
N 2 B1
rO
T
rO b
t
2 N1 N 2i brO2
L
Questão 05
6
A figura mostra uma estrutura em equilíbrio, formada por barras fixadas por pinos. As barras AE e DE são feitas de um
material uniforme e homogêneo. Cada uma das barras restantes tem massa desprezível e seção transversal circular de
16 mm de diâmetro. O apoio B, deformável, é elástico e só apresenta força de reação na horizontal. No ponto D, duas
cargas são aplicadas, sendo uma delas conhecida e igual a 10 kN e outra na direção vertical, conforme indicadas na
figura. Sabendo que a estrutura no ponto B apresenta um deslocamento horizontal para a esquerda de 2 cm, determine:
a) a magnitude e o sentido da reação do apoio B;
b) as reações horizontal e vertical no apoio A da estrutura, indicando seu sentido;
c) a magnitude e o sentido da carga vertical concentrada no ponto D;
d) o esforço normal (força) por unidade de área da barra BC, indicando sua magnitude e seu tipo (tração ou
compressão).
Dados:
• aceleração da gravidade: g
• densidade linear de massa:
•
10 m/ s 2 ;
100 kg/ m ;
constante elástica do apoio B: k 1600kN/ m .
Resolução:
a)
F K x
F 1600 103 2 10
d)
b)
A
r2
F
A
32kN
2 10 4 m2
2
3,14 8mm
3,2 104 N
32kN , para a direita.
2
201mm2
16 107 N/ m2
2,0 10 4 m2
160 106 Pa 160MPa , sendo um esforço de tração.
Vamos representar as 7 forças externas que atuam na estrutura:
As forças externas à estrutura são:
P1 2000 N 2kN da barra DE
6kN da barra EA
P2
10kN horizontal
carga vertical em D
VD
Reação do apoio B 32kN , horizontal para a direita
RAx reação horizontal do apoio A
reação vertical do apoio A.
RAy
Força resultante horizontal = 0
10kN 32k N RAx 0 RAx 42kN , para a esquerda
Força resultante vertical = 0
P1 P2 VD RAy
RAy equação (I)
8kN VD
MD
0
P1 1 P2 3 32000 1,5 RAy 4 0
2000 18000 48000
RAy
c)
4 RAy
68000
17 k N , para cima
4
Utilizando a equação I:
8kN VD RAy
8kN VD
VD
17kN
9kN , para baixo.
7
Questão 06
A figura acima apresenta um circuito composto por quatro baterias e três resistores. Sabendo-se que I1 é igual a 10
determine, em função de U e R :
a) a resistência r ;
b) o somatório de I1 , I 2 e I 3 ;
c) a potência total dissipada pelos resistores;
d) a energia consumida pelo resistor 3R em 30 minutos.
Resolução:
Partindo do ponto A para analisar o circuito:
Os pontos B, C e D tem potenciais:
VB VA U
VC
VA
3U
VD
VA
2U
a)
Olhando os resistores
Vemos que as correntes x , y , z se relacionam com i1 , i2 , i3 da seguinte maneira: (Lei dos nós, Kirchhoff)
x
y
z
y
*z
i3
i2
x i1
E podemos obter x , y , z :
5V
b)
R y
4V r z
V
U
U
x
y 5
z 4
R
r
Então, de * temos:
U 1 U
U
R
4
10
, multiplicando por
r 3 R
R
U
R 1
4
10
r 3
R 31
4
r
3
12 R
r
31
U
i1 10
z y
i2
R
3R x
1 U
3 R
i3
x
y
8
U
,
R
U
r
4 U
12 R
31
31 U
3 R
5U
R
5U
R
4
i2
Logo: i1 i2
c)
i3
Em R
POt1 R y 2
25U 2
R2
25U 2
R
POt1
R
POt1
10
U
R
E
POt2
i3
i2
i3
5 U
R
46 U
3 R
46 U
3 R
15U 1 U
3R 3 R
16 U
3 R
i2
16 U
3 R
0 , como era esperado pela lei dos nós em A.
Em 3R
POt2 3R x2
POt2
3R
POt2
U2
3R
Então a potência total: POtT
d)
i2
POt1
Em r
POt3 r z 2
1U2
9 R2
POt3
POt3
POt2
POt3
12 R 312 U 2
31
9R2
124 U 2
3 R
200 U 2
3 R
t , adotando U e R no S.I.
2
E
E
U
1800
3R
U2
600
R
Questão 07
A figura acima apresenta duas fontes sonoras P e Q que emitem ondas de mesma frequência. As fontes estão presas às
extremidades de uma haste que gira no plano da figura com velocidade angular constante em torno do ponto C ,
equidistante de P e Q . Um observador, situado no ponto B também no plano da figura, percebe dois tons sonoros
simultâneos distintos devido ao movimento das fontes. Sabendo-se que, para o observador, o menor intervalo de tempo
entre a percepção de tons com a máxima frequência possível é T e a razão entre a máxima e a mínima frequência de
tons é k , determine a distância entre as fontes.
Dado:
• velocidade da onda sonora: v .
Observação:
• a distância entre B e C é maior que a distância entre P e C .
Resolução:
9

2
2
p
 2T
p



T
f máx
f

d
v
v
2
f mín
f

d
v
v
2
f máx
k
f mín
d
v
f máx
2  kv  d k  v  d
k

f mín v  d
2
2
2
d
 k  1 v   k  1
2
2  k  1 vT
d
  k  1
Questão 08
A figura acima mostra uma rampa AB no formato de um quarto de circunferência de centro O e raio r . Essa rampa
está apoiada na interface de dois meios de índices de refração n1 e n2 . Um corpo de dimensões desprezíveis é lançado
do ponto A com velocidade escalar v0 , desliza sem atrito pela rampa e desprende-se dela por efeito da gravidade.
Nesse momento, o corpo emite um feixe de luz perpendicular à sua trajetória na rampa, que encontra a Base 2 a uma
distância d do ponto P .
Determine:
a) a altura relativa à Base 1 no momento em que o corpo se desprende da rampa, em função de v0 ;
b)
o valor de v0 para que d seja igual a 0,75 m ;
c) a faixa de valores que d pode assumir, variando-se v0 .
Dados:
• aceleração da gravidade: g  10 m/s2 ;
•
raio da rampa: OA  2 m ;
•
•
espessura do meio 2 : h  1 m ;
índice de refração do meio 1 : n1  1 ;
•
índice de refração do meio 2 : n2  4 / 3 .
Resolução:
mv 2
 mg  cos 
R
v2  Rg  cos 
10
a)
m  v02
mv 2
 mgh 
2
2
2
v0
Rg  cos 
 gh 
2
2
v02
Rg h
 gh 

2
2 2
v02
 10h  5h
2
v02
 15h
2
v2
h 0
30
b)
9
16
25 5
k2 

16 4
k 2  12 
4
 sen 
3
3
4
1  sen    4
3 5
4
4 3 4
sen    
3 4 5
sen   ,8  cos   0,6
h
 0,6  h  1,2 m
2
v2
Como: h  0
30
1  sen  
v02  30  1, 2
v0  36
v0  6 m/s
c)
Para incidência rasante
1  sen 90 
4
 sen 
3
3
4
1  cotg2   cossec2 
1 16
1 2 
d
9
sen  
1 16
 1
d2 9
1 7
9
3 7
  d2   d 
m
d2 9
7
7
0d 
3 7
m
7
11
Questão 09
Uma fábrica produz um tipo de resíduo industrial na fase líquida que, devido à sua toxidade, deve ser armazenado em
um tanque especial monitorado à distância, para posterior tratamento e descarte.
Durante uma inspeção diária, o controlador desta operação verifica que o medidor de capacidade do tanque se
encontra inoperante, mas uma estimativa confiável indica que 1/ 3 do volume do tanque se encontra preenchido pelo
resíduo. O tempo estimado para que o novo medidor esteja totalmente operacional é de três dias e neste intervalo de
tempo a empresa produzirá, no máximo, oito litros por dia de resíduo.
Durante o processo de tratamento do resíduo, constata-se que, com o volume já previamente armazenado no tanque,
são necessários dois minutos para que uma determinada quantidade de calor eleve a temperatura do líquido em 60º C.
Adicionalmente, com um corpo feito do mesmo material do tanque de armazenamento, são realizadas duas experiências
relatadas abaixo:
Experiência 1: Confecciona-se uma chapa de espessura 10 mm cuja área de seção reta é um quadrado de lado
500 mm . Com a mesma taxa de energia térmica utilizada no aquecimento do resíduo, nota-se que a face esquerda da
chapa atinge a temperatura de 100º C enquanto que a face direita alcança 80C º.
Experiência 2: A chapa da experiência anterior é posta em contato com uma chapa padrão de mesma área de seção
reta e espessura 210 mm. Nota-se que, submetendo este conjunto a 50% da taxa de calor empregada no tratamento do
resíduo, a temperatura da face livre da chapa padrão é 60º C enquanto que a face livre da chapa da experiência atinge
100º C.
Com base nestes dados, determine se o tanque pode acumular a produção do resíduo nos próximos três dias sem risco
de transbordar. Justifique sua conclusão através de uma análise termodinâmica da situação descrita e levando em conta
os dados abaixo:
Dados:
• calor específico do resíduo: 5000 J/kg ºC;
• massa específica do resíduo: 1200 kg/m3;
• condutividade térmica da chapa padrão: 420 W/m ºC.
12
Resolução:
Experiência 1
K  A  1
1  1
e1
  K1
A 100  80 
e1
K A
  20 1
e1
Experiência 2
Fluxo na primeira chapa
K  A  1
1  1
e1
A  100  T 

 K1
2
e1
  2 100  T  
K1 A
e1
Logo:
K A
K A
20 1
 2 100  T   1
e1
e1
20  200  2T
T  90º C
(Temperatura na interface entre as duas chapas)
Fluxo na chapa padrão

A  2
2   K 2 
2
e2
500 10   90  60
  2  420 
3 2
210  103
  30000 J/s

Q
t
30000 
Q
120
Q  3,6  106 J
Massa do resíduo:
Q  m  c  T
3,6 106  m  5000  60
m  12 kg
12
V  0,01 m3
 V  10
1200
1
do volume, ou seja, a capacidade do tanque é 30 .
10 equivalem a
3
Como já existem 10 , ao se adicionarem 24 ocorrerá o transbordamento.

m
V
V
13
Questão 10
Quatro corpos rígidos e homogêneos (I, II, III e IV) de massa específica  0 , todos com espessura a (profundidade em
relação à figura), encontram-se em equilíbrio estático, com dimensões de seção reta representadas na figura. Os corpos
I, II e IV apresentam seção reta quadrada, sendo: o corpo I apoiado em um plano inclinado sem atrito e sustentado por
um fio ideal; o corpo II apoiado no êmbolo menor de diâmetro 2a de uma prensa hidráulica que contém um líquido
ideal; e o corpo IV imerso em um tanque contendo dois líquidos de massa específica 1 e  2 . O corpo III apresenta
seção reta em forma de H e encontra-se pivotado exatamente no ponto correspondente ao seu centro de gravidade.
Um sistema de molas ideais, comprimido de x, atua sobre o corpo III. O sistema de molas é composto por três molas
idênticas de constante elástica K1 associadas a outra mola de constante elástica K 2 . No vértice superior direito do corpo
III encontra-se uma força proveniente de um cabo ideal associado a um conjunto de polias ideais que sustentam o corpo
imerso em dois líquidos imiscíveis. A parte inferior direita do corpo III se encontra imersa em um dos líquidos e a parte
inferior esquerda está totalmente apoiada sobre o êmbolo maior de diâmetro 3a da prensa hidráulica. Determine o
ângulo  do plano inclinado em função das variáveis enunciadas, assumindo a condição de equilíbrio estático na
geometria apresentada e a aceleração da gravidade como g .
Resolução:
Se o sistema como um todo encontra-se em equilíbrio, podemos analisar separadamente os equilíbrios de cada corpo.
F
F
y
 0  N1  P1 y
x
 0  T1  P1x
T1  P1  sen 
Onde P1  4a30 g
 T1  4a30 g sen 
F
V
(i)
 0  N2  P2  a30 g
No sistema hidráulico, temos (Princípio de Pascal)
N2
N3
N
N

 2  3
(2a) 2   3a 2
4
9
4
4
9
9 3
N3  N 2  a 0 g (ii )
4
4
14
F
V
 0  2T4  E1  E2  P4  0
P4  E1  E2 

2

onde


3
P4  40 a 3 g
 T4  a g  20  1   2 

E1  21a 3 g


E2  20 a 3 g


T4 
Keq 
(iii )
3K1K 2
3K1  K 2
Fe  Keq  x
 Fe 
3K1K 2
 x (iv)
3K1  K 2
M

0
 Fe 2a  T1a  E3  2a  N3  2a  T4  4a  0
2Fe  T1  2E3  2 N3  4T4  0
Substituindo i, ii, iii e iv na equação acima:
3K1K 2
9
2
 x  4a30 g sen   2  4a31g  2 a30 g 4a3 g  20  1  2   0
3K1  K 2
4
9
6 K1K 2 x
4a30 g sen   8a30 g  4a31g  4a32 g  8a31g  a30 g 
2
3K1  K 2
4a30 g sen  
 sen  
25 3
6K1K 2 x
a 0 g  12a31g  4a32 g 
2
3K1  K 2
25
 
6 K1K 2 x
3 1  2  3
8
0 0 4a 0 g  3K1  K 2 
 25

 
3K1K 2 x
  arcsen   3 1  2  3

0 0 2a 0 g  3K1  K 2  
 8
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Física
Anderson
André Villar
Cícero
Marcelo
Marcos
Moisés
Vinícius Miranda
Wesley
Colaboradores
Aline Alkmin, Carolina Chaveiro, Igor Macedo, José Diogo,
Moisés Humberto, Nathally Cortez, Paulo Adorno
Digitação e Diagramação
Daniel Alves
Érika Rezende
João Paulo
Valdivina Pinheiro
Desenhistas
Luciano Lisboa, Rodrigo Ramos
Projeto Gráfico
Vinicius Ribeiro
Assistente Editorial
Valdivina Pinheiro
Supervisão Editorial
José Diogo
Rodrigo Bernadelli
Marcelo Moraes
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