APOSTILA Matemática Revisão

GRUPO FISS BANCO DE DADOS
APOSTILA DE
MATEMÁTICA
REVISÃO
APOSTILA DIGITALIZADA POR ALUNOS PARA ALUNOS SEM FIMS LUCRATIVOS COM AUTORIZAÇÃO DO PROFESSOR.
"-
b) Pontos distinto:
GEOMETRIA
Prof.: Alexandre Coutinho
•A
1-
•B
(Ai
B)
Noções primitivas
c)Ponto pertence a reta:
l-As
noções
geométricas
são
estabelecidas por meio de definições ..
Adotaremos sem definir as noções
de:
PONTO, RETA E PLANO
r
•
A
(A
r)
E
d)Pontos colineares são pontos
pertencem a uma mesma reta
2- Notação de ponto reta e plano
que
a) Com letras
Ponto -letras maiúsculas latinas: A, B, ..
Reta -letras minúsculas latinas: a, b, ...
Plano - Letras gregas minúsculas:
a,p,y ....
-'
A~
5- Postulados da determinação
a) Da reta: Dois pontos distintos
determinam uma única que passa por
eles.
b) Notações gráficas
---
Os pontos A e B distintos determinam a reta que indicamos por AB.
(A ;é B, A E r, B E r) =* r = AB
p
•
A
A expressão duas retas colnciden-
r =
tes é equivalente a uma única reta.
o ponto P.
A reta r.
b)Se uma reta tem dois pontos distintos
num plano, então a reta está contida
nesse mesmo plano.
o plano a.
Obs: As proposiçoes geométricas
aceitas mediante demonstrações
são
3- Postulados da existência.
(A
a) Numa reta, bem com fora dela,
há infinitos pontos.
b) Num plano há infinitos planos.
4- posições
ponto e reta
;é-
B, r
= ÃB, A E a, B E a)
=-
r C a
c)
Três
pontos
não
colineares
determinam um único plano que passa
por eles
de dois pontos e de
a) A e B coincidentes - é o
mesmo ponto, um só ponto,
com dois nomes: A e B
A'B
Ã8
(A=B)
Os pontos A, B e C não colineares determinam um plano a que indicamos por (A, B, C).
O plano a é O único plano que passa por A. B e C.
A6,"
d) Pontos coplanares
pontos que pertencem
plano.
3- .Ângulos adjacentes:
são todos os
a um mesmo
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos internos comuns.
AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.
e)Retas concorrentes
a) Definição
Duas retas são CfJncorrentes se, e
somente se, elas têm um único ponto
comum.
r n s = IP]
4-Ângulos opostos pelo vértice:
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são as respectivas semi-retas opostas
aos lados do outro.
6- Segmento de reta - Definição
õÃ e õê opostas
Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estào entre elesé um segmento de ma.
-
.
x
1
=> AÔB
5- Ângulo suplementar
soma é igual a 1800•
B
adjacentes:
ÂNGULOS
I-Definição
a
ângulo à reunião
de duas semi-retas de mesma origem, não contidas numa mesma
reta (não colineares).
.
~
•...•..
AOB = OA U OB
c•
o
A
6- ângulos:
b
AÔB
= aÔb = ~h
a)reto
O ponto O é o vértice do ângulo.
~
4.
As semí-retas OA e OB são os
lados do ângulo.
b
2- Ângulos consecutivos:
Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles é
zmbém lado do outro (um lado de um deles coincide com um lado do outro).
,<o~'k
A
AÔB e AÔC são
consecutivos
õÃ. é o lado comum).
AÔC e BÔC são
consecutivos
(OC é o lado comum).
_______
"L·..J...:..L-.... __
•••.
a
ab é reto
O ângulo é igual a 90°
A
AÔB e BÔC são
consecutivos
(00 é o lado comum).
A
e CÔD são opostos pelo vértice.
AR = IA, B1 U IX IX está emn A e Bl
29. Chama-se
D
Notemos que duas retas concorrentes determinam dois pares de ângn
opostos pelo vértice.
,
A
B
-
OB e OD opostas
'Assim, dados A e B, A t B, o segmento de reta AB (indicado por .4B) é o
que segue:
A
O~~--------~--
a
b)agudo
Grau
EXERCíCIOS
c
cd
segundo
minuto
1) Simplifique as seguintes medidas:
é agudo
0
O ângulo é menor de 90
a) 30°70'
b) 45°150'
c) 65°39'123"
c) obtuso
d) 110°58'300"
e) 30°56'240"
2) Determine a soma:
a) 30°40' + 15°35'
b) 10°30'45"
+ 15°29'20"
3) Determine as diferenças:
a) 20°50'45"
e
êré
- 5°45'30"
c) 90°15'20"
b) 31°40' - 20"45'
obtuso
d) 90° - 50°30'45"
4) Determine os produtos:
O ângulo é maior de 90°
a) 2 x (10°35'45")
b) 5 x (6°15'30")
5) Determine o valor de x nos casos:
d) Ângulo raso:
~
~
Á
o.
30·
O ângulo é igual a 1800
x
e) Ângulos complementares: São os
ângulos cuja soma é igual a 900 •
a+ fJ =90
••
~
x
.
d)
b)
0
f) Ângulos suplementares:
São
0
ângulos cuja soma é igual a 180 •
a + fJ
10 Grau
= 60' min
l'min = 60" segundos
~
/
1"_"0 /'
~
Obs: Se dois ângulos são opostos pelo
vértice, então eles são iguais.
0
7- Unidade de medida de ângulos
-
os
= 180
g) Ângulos replementares:
São
0
ângulos cuja soma é igual a 360 •
a + fJ = 3600
- 45°30'50"
os
6) Determine o valor de x nos casos:
~
~
TRIÂNGULOS
7) Determine o valor de a nos casos:
a)
b)
1- Definição : Dados três pontos A, B, e
C não colineares, à reunião dos,
-
2x - 10·
I
\a = x + 40°
8)Calcule
ângulos:
a) 47°
O
-
seguimentos AB, BC e A C chama-se
triangulo ABC.
Indicação:
Triangulo ABC = MBC
complemento dos seguintes
b) 25°
c) 3r25'
c
9)Calcule o complemento dos seguintes
ângulos:
a) 72°
b) 141°
c) 93°15'
B~L--------a------~~
2- Classificação:
10)Dado um ângulo de medida
indique:
a) seu complemento;
b) seu suplemento;
c) o dobro do seu complemento;
d) o triplo do seu suplemento;
e) a sétima parte do complemento;
f) a quinta parte do suplemento;
x,
11) Dê a medida do ângulo que vale o
dobro do seu complemento.
a) Quanto aos lados, os triângulos
podem se classificar em:
- eqüiláteros se, e somente se, tem os
três lados congruentes;
- isósceles se, e somente se, dois os três
lados congruentes;
- escalenos se, e somente se, dois os três
lados congruentes;
MBC equílátero
A
6RST isósceles
6MNP escaleno
R
N
12) Determine a medida do ângulo igual
ao triplo do seu complemento;
13) Calcule um ângulo, sabendo que um
quarto do seu suplemento vale 36° .
14) Qual é o ângulo que .excede o seu
suplemento em 66° .
15) Na figura, o ângulo x mede a sexta
parte do ângulo y, mais a metade do
ângulo z. Calcule o ângulo y.
p
b) Quanto aos ângulos, os triângulos
podem se classificar em:
- retângulo se, e somente se, têm um
ângulo reto;
- acutângulo se, e somente se, têm os
três ângulos agudos;
- obtusângulo se, e somente se, têm os
um ângulo obtuso.
c
o
B
6ABC retângulo em A
R
F
bJJEF acutârígulo
T
6RST obtusângulo
em S
3- Congruência de triângulos
3°caso-LLL
a)
Definição:
Um
triângulo
é
congruente (congruente ==) a outro se,
somente se, é possível estabelecer uma
correspondência entre seus vértices de
modo que:
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados. er.tão esses triângulos são congruentes.
seus lados são ordenadamente
congruentes aos lados do outro e
seus ângulos são ordenadamente
congruentes aos ângulos do outro.
A
4 ° caso - LAAo
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são
congruentes.
A'
o
1\
/~
/
\
A /
\
C'
ABC =-
A
LVl
1\ "B'C'
,_>ft
Ç=>
~
== A'B'
~ == ~')
== A'C
_'
e B- == B'
(
BC == B'C
ê == t:
AB
AC
_
Hipótese
BC
==
B'C (I),
fi == fi'
Tese
(2), Â
==
Ã' (3)
.6ABC
===>
A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.
4- Mediana de um triângulo - definição
b) Casos de congruência:
1° caso - LAL - postulado:
Mediana de um triângulo é um
segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto.
M( é o ponto médio do lado BC.
AM( é a mediana relativa ao lado
• Se dois triân~ulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o
angulo compreendIdo, então eles são congruentes.
A
BC.
AMJ é a mediana relativa ao
vértice A,
5- Bissetriz interna de um triângulo
definição
2°caso-ALA
"Se dois triângulos têm ordenadament~. congrue~tes um lado e ~~
dois ângulos a ele adjacentes, então esses tnangulos sao congruentes.
Bíssetriz interna de um triângulo
é o segmento, com extremidades num
vérticee no lado oposto, que divide o
ângulo desse vértice em dois ângulos
congruentes.
S( E BC,
t;
B
A
A'
~~
B'
A' = X
C'
B'
SjÂB
==
S(ÂC
_
AS( é a bissetriz relativa ao lado
BC.
AS( é a bissetriz relativa ao vértice A.
C'
M,
==
,t\,A'B'C
6- Teorema do ângulo externo
a
Dado um /',ABe e sendo
a
=Heta oposta à semi-reta éB, o ân-
5- Se o MBC é isósceles de base AC ,
determine x.
A
A
.g;;jo
= ACX
ê
= t:bgulo externo do /',ABe adjacente
-t e não adjacente aos ângulos  e li.
O ângulo
ê
e~ -----..:.....\
....•......
B
é o suplementar adjacente de ê.,
c
Exercícios
1- Se o MBC
determine x.
é isósceles de base BC,
A
6- Se o MBC é isósceles de base AC,
determine x e y.
A
2x - 40°
B
2- o MBC
y.
é eqüilátero. Determine x e
7- Determine o valor de x e y, sabendo
que o MBC é eqüilátero.
A
b)
a)
A
A
3- Se o MBC é isósceles de base BC,
determine BC .
:;As
2x
+
4- Se o MBC
determine x.
4
base BC,
10- Determine o perímetro do MBC
nos casos:
a)
Triângulo
eqüilátero
com
A
AB = x+2y,
~
B
y+4
9- Se o perímetro de um triângulo
isósceles é de 100cm e a base mede 40
em, quanto mede cada um dos outros
lados?
C
é isóscelesde
B
y
8- Se o perímetro de um triângulo
equilátero é de 75 em, quanto mede
cada lado?
A
B
8
BC=x+y+3
C
AC=2x-
y
e
c
PARALELISMO
b)Triângulo isósceles de bas~ BC com
AR
= 2x + 3,
A C = 3x - 3 e ;0
= x +3
11- Num
triângulo
isósceles,
semiperímetro vale' '7,5 cm. Calcule
lados desse triângulo, sabendo que
soma dos lados congruentes
é
quádruplo da base.
o
os
a
o
1- 'Retas paralelas - definição - Duas
retas são paralelas ( símbolo: Ii ) se, e
somente se, são coincidentes ( iguais )
ou' são coplanares e não têm nenhum
ponto em comum.
aca,bca,anb={}
b
12- Na figura, o triângulo ABC
é
congruente
ao
triângulo
DCE.
Determine o valor de a e fi .
a
E
A'"""jf-;;-t--;-hL--I-....::J.i~D
2- Reta transversal - sejam a e b duas
retas distintas, paralelas ou não, e t uma
reta concorrentes com a e b:
a) t é uma transversal de a e b:
B
13- Na figura ao lado, o triângulo ABC
é congruente ao triângulo CBD. Calcule
x e y e os lados do triângulo ACD.
o
~
A
x"
B
.
ov
C
14- Na figura, o triângulo CBA é
congruente ao triângulo CDE. Calcule x
e y e a razão entre os perímetros desses
triângulos.
B
A
t
b
1
a
5
a
b
6
4 3
5
8 7
8 7
b) Com mais detalhes podemos ter:
- Alternos internos: 3 e 5 , 4 e 6
- Alternos externos: 1 e 7 , 2 e 8
- Colaterais internos: 3 e 6 , 4 e 5
- Colaterais externos: 1 e 8 , 2 e 7
E
c) Ângulos congruentes:
(1=3=5=7)
(2 = 4 = 6 = 8)
D
ÂNGULOS
1- Ângulo externo - Em todo triângulo,
qualquer ângulo externo é igual à soma
dos
dois
ângulos
internos
não
adjacentes a ele.
A
G
8
e=A+B
C
6
2
4- Na figura, sendo a // b,
2- Soma dos ângulos internos de um
triângulo
calcule
a+P-r·
A
a
b
I
Â
+B+ê
= 1800
5- Sendo a paralela a b, calcule x.
Exercícios
a
1- Sendo a reta a paralela a reta b,
determine x nos casos:
b
a)
~
b)
~~\_w_·_
~a
~~
_
6- Sendo a paralela a b, calcule x.
b
b
c
a
2) Se as retas r e s são paralelas,
determine x nos casos:
b
b)
a)
7- Na figura abaixo, sendo
calcu1e x e y.
r Ii s,
t
s
3- Se as retas r e s são paralelas,
determine x e y.
8- Sendo as retas r e s paralelas,
determine x, y e z nos casos:
b)
a)
b)
. a)
s
2x
s
9- Determine y nos casos:
b)
a)
13- Calcule o valor de x, sendo r/I s.
r
40"
10- Determine x nos casos:
s
b)
a)
14- Calcule o valor de x e y, sendo r I I s..
r
11- Determine x e y:
5
a)
15- Se r Ii s, calcule a.
100·
130·
fi
12- Determine os ângulos do triângulo
nos casos:
16- Se r Ii s, calcule a.
c
a)
A
B<--.J.
x +
20·
B
~:::::..
A
b)
5
c
BU'--------'--""A
QUADRILÁTEROS
3- Retângulo
Possui os quatros
ângulos iguais e lodos iguais dois a
dois.
NOTÁVEIS
Definição: Os quadriláteros notáveis são
os trapézios, os paralelogramos,
os
retângulos, os losangos e os quadrados
que possuem duas diagonais e a soma
dos ângulos internos igual a 3600•
D
C
D
A
1- Trapézio: Um quadrilátero plano
convexo é um trapézio, se somente se,
possuem dois lados paralelos.
B
ABCD é retângulo
<=> Â
=
Ê
== ê == f>
- As diagonais são iguais e se cortam ao
meio.
4- Losango - Possui quatro lados iguais
e paralelos dois a dois e com isso os
ângulos opostos também são iguais.
ABCDé trapézio <=> (AB Ii CD)
a) Trapézio isósceles, se os lados não
paralelos são iguais.
D
AB e CD são bases do trapézío isósceles
A
== (ê == f>
eÂ
== fi
c
A
B
B
Q
D
ABCD é losango <=> AB == BC
1\
1\
1\
1\
A==C e B==D
C
b) Trapézio escaleno, se os lados não
paralelos são diferentes.
Trapézio retângulo (ou bi-retângulo) é um trapézio que tem dois iin@;
los retos.
OLJDD
A
BA
trapézlc eescees
B
A
trepéztõ escaleno
B
trapézlo escaleno
A
trapézlo retâng
5- Quadrado - Possui quatro lados e
quatro ângulos iguais
- As diagonais são iguais e se cortam ao
meIO.
~c
a
D
L---/
A
C
---::!./
B
ABCD é paralelogramo
--
e co ADII BC
A
'"
1\
A==C e B==D
<=> AB II CD
D
D
.
A
l-
B
ABCDéquadrado
2- ParalelogramoPossui lados
ângulos opostos iguais dois a dois.
1'\
= CD == DA
<=> (Â
== B == ê == DeAB == BC == CD == DA)
e
Exercícios
1) Determine o valor de x nos casos:
4L Se
e BP são bissetrizes,
determine x nos casos:
b)
AP
a)
',.-------"
B
D
2) Determine os ângulos do quadrilátero
ABCD nos casos:
aJ
o
o
,--,---...,.--,.
A---
----w
B ••••.•.
_=:::::~
fi
5) Se
O'
trapézio ABCD é isósceles de
A
b)
bases AB e CB determine A.
B
B
A
2x - 15°
D~L-------------L~C
3) Determine
O'
valor de x nos casos:
6) Se ABCD é um paralelogramo
a) PA = PB
A
c
A
A
= 2x
e C
e
A
= x + 70° , determine
B.
D
B
b) AB = AD e CB = CD
A
B
7) Calcule os lados de um retângulo
cujo perímetro mede 40 em, sabendo
que a base excede a altura em 4 cm.
SEMELHANÇA DE TRIANGULOS
3-0s triângulos KLM e FGH
semelhantes. Determine x.
I-Definição:
dois
triângulos
são
semelhantes se, somente se, possuem
três
ângulos
ordenadamente
congruentes e os lados homólogos
proporcionais.
K
F
42
A
CAb
C
AABC - AA'B'Ç'
-=
M
G
G
A'
c>. 6
B
são
B'
a'
Ã=Ã'
)
B es tl' e ~ = ~ = ~
( ê"" t'
a'
b'
c'
Exercícios:
l-Os triângulos ABC e A'B'C' das
.figuras são semelhantes. Se a razão de
3
semelhança do 10 para ao 2 o e 2
determine:
a) a, b e C
b)a razão entre os seus perímetros:
4-0s três lados de um triangulo ABC
medem 8 em, 18 em e 16 cm.
Determine os lados de um Triangulo
A' B' C' semelhante a ABC, sabendo
que a razão de semelhança do primeiro
para o segundo é 3.
5-Se DE//Be, determine x nos casos:
a)
A
f-----~E
c
A
c
b) x = AD
E
a
C
A'
Ü
B'
C'
14
2- Os triângulos ABC e PQR
semelhantes. Determine x e y.
são
Q
'~'~
B
20
C
6- O perímetro de um triângulo é 60 m e
um dos lados tem 25 m. Qual o
perímetro do triangulo semelhante cujo
o lado homólogo ao lado dado mede 15
em?
7- Os lados de um triângulo medem 8,4
em, 15,6cm e 18 em. Esse triângulo é
semelhante
a um triângulo
cujo
perímetro mede 35cm. Calcule o maior
lado do segundo triângulo.
x
8-0s lados de um triângulo ABC
medem 4 em, Sem e 6 em. Calcule os
lados de um triângulo semelhante a
ABC , cujo perímetro mede 20em.
ll-Detennine
x e y nos casos:
a)
9-Se os ângulos com marcas iguais são
congruentes, determine as incógnitas
nos casos:
a)
b)
~
A~~------------~~
x
12-Sendo r e s retas paralelas, determine
x.
b)
a)
2:1-
9~X
~
10-Se
casos:
y
6
a
=
p,
determine
x e y nos
13- Nas figuras, determine x.
a)
~
17
b)
b)
2
y
RELACÓESMÊTIDCASNO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Sendo o triângulo ABC, retângulo em
2- Determine o valor de x nos casos:
a)
A, com altura AD.
5
A
x
b
~/
--_---"'...a.. C
b)
J
x+2
A
6
A
!
x
!
jh
c
L
L_R
I
6
B n D
D
Explorando a semelhança de triângulos,
temos que:
a
c
3-Num triângulo retângulo, os catetos
são de 3 em e 4cm. Determine a
hipotenusa, as projeções dos catetos
sobre a hipotenusa e a altura relativa à
hipotenusa.
2
MBC ~ I1DBA => - = - => c = a.n ;
c n
a b
2
MBC ~ I1DAC => - = - => b = a.m ;
b m
h n
2
I1DBA ~ I1DAC => - = - => c = a.n .
m h
Essas são as principais relações do
triângulo retângulo, mas outras relações
são importantes, como:
- a.h = b.c
- e o teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2
4-A altura relativa à hipotenusa de um
triangulo retângulo mede 4,8 e a
hipotenusa mede 10cm. Calcule a
medidas dos catetos.
5)Calcule x, y, z e t no triangulo
retângulo abaixo.
Exercícios:
1- Determine o valor de x:
,
a)
5
,~x
x
15
6-Num triangulo retângulo a altura
determina na hipotenusa dois segmentos
de medidas 9 em e 16cm. Calcule a
hipotenusa os catetos e a altura.
b)
3
7- Determine o valor de x:
b) quadrado
a)
6
10 - O perímetro de um retângulo é de
30 cm e a diagonal
5./5 m. Determine
os lados desse retângulo.
b)
x
(5
6
.
~.
.
3
4
11- Determine o valor de x e m cada
caso:
8- Determine o valor de x e m cada
caso:
a)
a)
4~
x
b}
b)
~
10
9- Determine o valor de x nos casos :
c)
A
a) retângulo
c
5
12
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Obs: Área do triangulo eqüilátero de
lado a. um triângulo eqüilátero de lado
* Retângulo
a-J3
a tem altura h=--
s~
2
+ a af
e sua área é então:
=
l_s_=:
a_ _f3=-3_
2
*Trapézio:
b2
*Quadrado: Dada um quadrado de lado
a.
a
I
a
Ao
=
a .a
=>
,
Ao::;: a2
I
~ (b, + b,)· h
A
Tra
2
* Losango:
*Parale1ogramo: Equivale a área do
retângulo.
r-----
,
,
,,
DJ
1
h
I
b __
I-
o-j
f---b_
*Triângulo:
* hexágono: Temos em um hexágono
exatamente seis triângulos eqüiláteros.
--------7
- '---------:::.,'
,r
I
--b----I
AT
--º--:...1L
-
2
1_
t __ ~1
Ahexásono
*Área
= 6.S
A
hexágono
* Área
= ~3lj
da coroa circular
2
do círculo
ou
EXERCÍCIOS
1)Detennine a área das figuras abaixo,
sendo o metro a unidades das medidas
indicadas.
r---------------~
1rDz
Ar =
T = --4ã)\ quadrado
'ir
(D)~
~~
retângulo
Obs: O comprimento da circunferência
é dado pela seguinte fórmula C = 2w
8
6
*Área
c) paralelogramo
do setor
-;»
6
*Área
do segmento circular
Asegm =(f-h)-
R
2
d) losango
e) quadrado
8
4) Determine a área do retângulo nos
casos a seguir, sendo o metro a unidade
de medida.
a)
g) trapézio
h) paralelogramo
b)
o C5J
15
/~
"
D
2
,/
12
c)
~*t"
j)
5) Determine a área dos paralelogramos
nos casos a seguir, sendo o metro a
unidade de medida.
a)
2) A área do polígono é dada entre
parênteses, em cada caso. Determine x.
a) quadrado (36 m')
16 f
b) quadrado (50 mZ)
3
<>
d) trapézio (10 mZ)
b)
4-
c)
e) trapézio (18 m2)
x + 2
x + 2
6) Determine a área dos triângulos nos
casos a seguir, sendo o metro a unidade
de medida.
3) Na figura temos um quadrado ABCD
inscrito no triângulo PQR. Se QC é
igual ao lado do quadrado, RD= 3cm, a
altura, relativa a AB, do triângulo PAB
é igual a 4cm e a área do triângulo PQR
é de 75cm. Determine o lado do
quadrado.
.,!:-__
~ Q
b)
12
17
d)
p
R '---:!:-__
a)
e)
7)' Determine a área do triângulos nos
casos a seguir, sendo o metro a unidade
de medida.
a)
b)
b)
a)
e)
d)
~'
\~/12m
14) Determine a área da coroa circular
nos casos:
6
~
Q
.:
e)
a)
b)
10
8) A área de um retângulo mede 40cm2
e sua base excede em 6 em a sua altura.
Determine a altura do retângulo.
9) Um retângulo tem 24cm2 de área e
20 em de perímetro. Determine suas
dimensões.
lO)Uma
das
excede a outra
medidas dessas
área do trapézio
IS)Determine a área do setor circular
sombreado nos casos abaixo:
~
W
bases de um trapézio
em 4cm. Determine as
bases, sendo 40cm 2 a
e Scm sua altura.
11)Determine a área de um losango,
sendo 120cm o seu perímetro e 36cm a
medida do diagonal menor.
d}
c)
6m
12) Determina o lado de um quadrado,
sabendo-se que, se aumentarmos seu
lado em 2cm, sua área aumenta em
36cm2•
13) Determine a área do círculo e o
comprimento
da circunferência
nos
casos:
16) Determine
a área
sombreada nos casos:
a) quadrado de lado 8 m
o
da
região
b) hexágono regular de lado 6 m
a)
b)
o
18) Calcule
sombreada.
c) triângulo equilátero de lado
12 m
d) quadrado de lado 8 m
o
a) quadrado
a
'
área
da
superficie
b) retângulo
19) Determine a área sombreada, nas
figuras abaixo, sendo AC o triplo de CB
e AB igual a 32 cm.
a)
e) hexágono regular de lado 12 m
B
b)
f) triângulo equilátero de 6 m de
lado
AI------'*---+=:.....--fB
17) Calcule a área da superficie
sombreada,
sabendo-se
que
O
quadrilátero dado é um quadrado.
20) Calcule
sombreada.
a
área
da
superficie
c