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Ensino Infantil - Ensino Fundamental
Ensino Médio – Período Integral
LISTA DE RECUPERAÇÃO – ÁLGEBRA – 2º ANO – 1º TRIMESTRE
1. (G1 - ifce) Considere um relógio analógico de doze horas. O ângulo obtuso formado entre os
ponteiros que indicam a hora e o minuto, quando o relógio marca exatamente 5 horas e 20 minutos, é
a) 330°.
b) 320°.
c) 310°.
d) 300°.
e) 290°.
2. (Unesp) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro
externo, marcando 1 hora e 54 minutos.Usando a aproximação π  3, a medida,
em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo
formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale
aproximadamente
a) 22.
b) 31.
c) 34.
d) 29.
e) 20.
3. (Ufscar) O gráfico em setores do círculo de centro O representa a
distribuição das idades entre os eleitores de uma cidade. O diâmetro
 5π 
AB mede 10 cm e o comprimento do menor arco AC é 
 cm.O
 3 
setor x representa todos os 8000 eleitores com menos de 18 anos, e o
setor y representa os eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo
número é
a) 12000
b) 14800
c) 16000
d) 18000
e) 20800
4. (Ufjf) O valor de y = sen2 10° + sen2 20° + sen2 30° + sen2 40° + sen2 50° + sen2 60° + sen2 70° +
sen2 80° + sen2 90° é:
a) -1.
b) 1.
c) 2.
d) 4.
e) 5.
Unidade I: Av. Mascote, 913 - Vila Mascote - S.P. - Fone: (11) 5564 3466 - CEP: 04363-001
Dominus Junior: R. Palacete das Águias, 666 - Vl. Alexandria - S.P. - Fone: (11) 5031 7108 - CEP: 04365-023.
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5. (G1 - ifal) O valor da expressão
sen 30  tg 225
é
π
cos  sen ( 60)
2
a) 1.
b)
1
.
2
 3.
c)
d) 3.
1
2
e)  .
6. (Fatec) Se x é um arco do 30. quadrante e cosx = -4/5, então cossecx é igual a
a) -5/3
b) -3/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 5/3
7. (G1 - ifsc) Se cos (x) 
12
3π
, πx
e x  (3º quadrante), então é CORRETO afirmar que o
13
2
valor de tg (x) é:
a) –5/13.
b) –5/12.
c) 5/13.
d) 5/12.
e) 0,334.
8. (Uel) Se x é tal que π  x 
a)
5
5
b)
2 5
5
c) 
5
5
d) 
2 5
5
e) 
30
5
3π
2
e sec x   5, então o valor de sen x é
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9. (Mackenzie) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg 2x vale:
a) 24/7.
b) - 24/7.
c) - 8/3.
d) 8/3.
e) - 4/3.
1
4
sen(2x)  2sen(x)cos(x).
10. (Ucs) Qual é o valor de sen(2α ) para α tal que sen(α ) 
real x vale a identidade trigonométrica
a) 
15
4
b) 
15
8
c)
d) 
e)
e
π
 α  π.
2
Dado: para todo número
15
8
3
4
15
4
11. (Pucrj) Sabendo que π  x 
3π
2
1
3
e sen (x)   , é correto afirmar que sen (2x) é:
2
3
1
b) 
6
a) 
3
8
1
d)
27
4 2
e)
9
c)
12. (Uel) O triângulo ABC é retângulo em A. Se cos B = 0,6, então cotg C é igual a
a) 5/3
b) 4/3
c) 3/4
d) 3/5
e) 1/2
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13. (Pucrj) Se cos 2θ 
7
e θ pertence ao primeiro quadrante, então cos θ é igual a:
25
4
5
3
b)
5
a)
c)
d)
e)
 5
3
5
7
 3
2

2
14. (Uel) Seja x um número real pertencente ao intervalo [0, ]. Se secx =
a)
b)
c)
d)
e)
3
2
, então tgx é igual a
2
3
2
3
1
2
5
2
3
2
15. (Uft) Se sen 
5
 3 
e    ,  , então
13
 4 
o valor de tg(2  ) é:
12
13
120
b) 
119
120
c)
119
a) 
d) 1
e)
3
3
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16. (G1 - ifce) O valor de cos(105) é
a)
b)
c)
d)
e)
3
.
2
2
4
2
2
2
2
2
4
6
6
6
6
.
.
.
.
17. (Eear) O valor de cos 735 é
a)
b)
c)
d)
1
4
3
4
2 6
4
2 6
8
18. (Udesc) O grado é uma unidade de medida de ângulos em que uma das vantagens é facilitar as
operações envolvendo ângulos retos. Neste sistema, a circunferência é dividida em 400 partes iguais
e cada parte é denominada 1 gon. Na figura abaixo, observa-se a divisão dos quatro quadrantes
usando este sistema.
Desta forma, o seno do ângulo de
a)
b)
c)
d)
e)
3
2
2
4
2
4
2
2
2
2
350
gon é igual a:
3
6
3
6
6
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19. (Ueg) Considerando-se que sen(5) 
a)
2
( 621  2)
50
b)
2
( 621  2)
50
c)
2
(1  621)
50
d)
2
( 621  1)
50
2
, tem-se que cos(50) é
25
20. (Espcex (Aman)) O cosseno do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 14
horas e 30 minutos vale
a) 
b) 
c)

3 1
2


2 1
2
1 2 
d) 
e)


4

6 2
4
2 3


4
21. (Ucpel) Sendo x  0, 2π e 2sen2 x  3cosx  0, então x vale
a)
b)
c)
d)
e)
π
3
2π
3
2π
5
3π
4
5π
6
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22. (Espcex (Aman)) A soma das soluções da equação cos(2 x)  cos(x)  0, com x  [0, 2π), é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
5π
3
2π
7π
3
π
8π
3
23. (Ucs) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, possa ser
expressa, em função do tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por
 2π(t  105) 
T(t)  14  12sen 
.
364


Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de
a) julho.
b) setembro.
c) junho.
d) dezembro.
e) março.
24. (Acafe) A área da região que tem como vértices as extremidades dos arcos que verificam a
equação sen2x  senx  0 no intervalo de [0, π], em unidades de área, é:
a)
b)
c)
d)
3
2
3
4
3
3 3
4
25. Julgue os itens a seguir em V(verdadeiro) ou F (falso),
a) (
) Desenvolvendo-se a expressão (sen 15° + cos 15°)2 obtém-se 0,5.
b) (
) O valor de
c) (
) O valor de sen 17° . cos 13° + cos 17° . sen 13° é igual a
d) (
) O valor de cos 73° . cos 17° – sen 73° . sen 17° é igual a zero.
tg 31  tg 14
é igual a 1.
1  tg 31 . tg 14
3
2
.
26. (Fuvest) Ache todas as soluções da equação sen3x cos x - 3 senx cos3x = 0 no intervalo [0,2π).
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Gabarito:
Resposta da questão 1: [B]
O ângulo percorrido pelo ponteiro das horas em
20
minutos corresponde a
20
 10. Desse modo, o
2
e 20 minutos, é igual a
menor ângulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas, às 5 horas
30  10  40. Em consequência, o maior ângulo formado por esses ponteiros é igual a
360  40  320.
Observação: Dizemos que um ângulo
α
é obtuso se
90  α  180.
Resposta da questão 2: [B]
Cada minuto do relógio corresponde a 6o, portanto, α  60  6  66.
Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o
ponteiro das horas se desloca 30°, temos:
30
β
60min
54min
Logo, β  27, portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°.
Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos:
93  2π  20
 31 cm (considerando, π  3)
360
Resposta da questão 3: [C]
Resposta da questão 4: [E]
Resposta da questão 5: [D]
Calculando:
1 1
sen30  tg225
sen 30  tg 45
3 2
3
3
2


 


 3
π
cos 90  sen ( 60) 0  3
2 3
3 3
cos  sen( 60)
2
2
Resposta da questão 6: [A]
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Resposta da questão 7: [D]
No terceiro quadrante senos e cossenos são negativos. Utilizando a relação fundamental, temos:
sen2(x) + cos2(x) = 1
2
144
25
5
 12 
sen2 (x)      1  sen2 (x)  1 
 sen(x)  
 sen(x)   .
169
169
13
 13 
Como o arco x tem extremidade no terceiro quadrante, temos: sen(x)  
5
.
13
Calculado a tangente de x.
sen(x)
tg(x) 

cos(x)
5
13  5 .
12 12

13

Resposta da questão 8: [D]
Resposta da questão 9: [A]
Resposta da questão 10: [B]
Considerando todos os ângulos no primeiro quadrante, pode-se escrever:
2
15
 1
2
 4    cos(α )  1  cos(α )  4
 
sen(2α )  2sen(α )cos(α )  2 
Porém, como
π
 α  π,
2
1 15
15

 sen(2α ) 
4 4
8
ou seja, segundo quadrante,
2α
portanto, seu seno tem sinal negativo. Logo, sen(2α )  
estará no terceiro ou quarto quadrante e,
15
.
8
Resposta da questão 11: [E]
2
8
2 2
 1
cos x  1      cos2 x   cos x  
9
3
 3
Como π  x 
3π
,
2
temos: cos x  
2 2
3
Portanto:
sen2x  2sen x  cos x
 1  2 2  4 2
sen2x  2       

3 
9
 3  
Resposta da questão 12: [B]
Resposta da questão 13: [A]
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Resposta da questão 14: [D]
Resposta da questão 15: [B]
cos2  = 1 – sen2 
2
5
cos2  = 1 -  
 13 
144
169
12
cos=  (segundo quadrante)
13
12
cos =
13
5
sen 
5
13


tg =
cos   12 12
13
 5
 10
2.

2.tg
120
 12 
tg 2 

 12 
2
2

119
119
1  tg 
 5
1 

144
 12 
cos2  =
Resposta da questão 16: [E]
cos105  cos(60  45)
cos105  cos 60  cos 45  sen60  sen45
1 2
3 2



2 2
2 2
2 6
cos105 
4
cos105 
Resposta da questão 17: [C]
735  2  360  15
Portanto,
cos735  cos15  cos(45  30) 
 cos 45  cos30  sen 45  sen30 

2 3
2 1


 
2 2
2 2
6 2
4
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Resposta da questão 18: [B]
Desde que
350
350 π
7π
gon 

rad 
rad,
3
3 200
12
temos
sen
7π
5π
 sen
12
12
π π
 sen   
4 6
π
π
π
π
 sen cos  sen cos
4
6
6
4

6 2
.
4
Resposta da questão 19: [B]
2
621
 2 
cos2 5  1     cos5 
25
25
 
cos50  cos  45  5   cos 45  cos5  sen45  sen5 
2 621
2 2
2





2
25
2 25 50

621  2

Resposta da questão 20: [D]
Considere a figura ao lado.
O arco compreendido entre quaisquer dois pontos consecutivos
indicados, sobre a circunferência, na figura, vale
α  4  30  120.
em
30
360
 30.
12
Logo,
Por outro lado, o deslocamento do ponteiro das horas,
minutos, é θ 
30
 15.
2
Portanto, o resultado pedido é dado por:
cos(α  θ)  cos105
 cos(45  60)
 cos 45  cos 60  sen 45  cos 60
2 1
2 3
 

2 2 2 2
2 6

4
6 2

.
4

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Resposta da questão 21:[A]
2sen2 x  3cosx  0
2  (1  cos2 x)  3  cosx  0
2  2cos2 x  3  cosx  0
2cos2 x  3  cosx  2  0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita cosx, temos:
cosx 
1
ou cos x  2 (não convém)
2
π
3
Portanto, o valor pedido é x  .
Resposta da questão 22: [B]
cos(2x)  cos(x)  0
cos2 x  sen2 x  cos x  0
cos2 x  (1  cos2 x)  cos x  0
2cos2 x  cos x  1  0
1 3
cos x 
4
cos x  1 ou cos x  
1
2
Logo,
x
2π
3
ou x 
4π
ou x  0.
3
Portanto, a soma das raízes da equação será dada por:
2π 4 π

 0  2π
3
3
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Resposta da questão 23: [A]
A temperatura média máxima ocorre quando
π
 2π(t  105) 
 2π(t  105) 
sen 
  1  sen 
  sen 2
364
364




2π(t  105) π

  2kπ
364
2
 t  105  91  364k
 t  196  364k, k  .
Assim, tomando k  0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre
do ano, ou seja, no mês de julho.
196
dias após o início
Resposta da questão 24: [A]
Desenvolvendo a equação dada:
sen2x  senx  0
2  senx  cos x  senx  0
senx   2  cos x  1  0
Portanto, as raízes possíveis da equação são:
sen x  0  x  180  π rad ou x  0  0 rad
2π
cos x   1  x  120 
rad
2
3
Percebe-se que há três raízes possíveis dentro do intervalo [0, π].
Desenhando as extremidades dos arcos que resolvem a equação
numa circunferência de raio igual a 1, tem-se a figura ao lado:
Assim, a área delimitada pelos vértices das extremidades dos arcos
que verificam a equação é um triângulo retângulo em B. Sua área
pode ser escrita como sendo:
b  h (1  1)  h

Sh
2
2
Analisando o triângulo COB,
S
percebe-se que este é equilátero e que sua altura h é correspondente
altura do triângulo retângulo ABC. Logo, sua altura será dada por:
h
L 3
3
h
2
2
Assim, a área da região que tem como vértices as extremidades dos arcos que verificam a equação
dada é igual a 3 2.
Resposta da questão 26:
a) F
b) V
c) F
d) V
Resposta da questão 22:
S = {0; π/3; π/2; 2π/3; π; 4π/3; 3π/2; 5π/3}
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